Dokumen tersebut membahas tentang himpunan, termasuk definisi himpunan, contoh soal himpunan, operasi himpunan seperti irisan dan penggabungan, hukum-hukum himpunan, dan cara membuktikan proposisi himpunan.

2. KELOMPOK 4
1.ANAJAZI
2.JUSMIKAWATI
3.MELY RISMAWATI
4.NITRA HAYANI

3. HIMPUNAN
• Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang
dapat didefinisikan dengan jelas,sehingga dengan
tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan
dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

4. contoh
1)Diberikan P = {1,2,3,9,12,13}.
Himpunan kelipatan 3 yang
terdapat di P adalah...
Penyelesaian :
himpunan kelipatan 3 yang terdapat
di P adalah {3,9,12}.

5. • PENYAJIAN HIMPUNAN

6. • KARDINALITAS
• CONTOH
Jika K = {a,b,c} dan R = {1,2,3,4} maka n(R) - n(K) + 2 =...
pembahasan :
Kardinalitas atau banyaknya anggota himpunan dari :
K = 3
R = 4
Jadi n(R) - n(K) + 2 menjadi 4 - 3 + 2 hasilnya adalah 3.

7. HIMPUNAN KOSONG
Himpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai anggotadan di
notasikan dengan { } atau Ø

8. contoh
N Adalah himpunan nama-namabulan dalam
setahun yang diawali dengan huruf C.nyatakan
N dalam notasi himpunan ?
Penyelesaian :
Nama-namabulan dalam setahun adalah
januari,februari,maret,april,mei,juni,juli,agustu
s.september,oktober,november dan
desember,karenatidak adanamabulan yang
diawali dengan huruf C,makaN adalah
himpunan kosong ditulis N = Ø atau N = { }.

9. HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan bagian adalah anggotadari masing-
masing himpunan.
Contoh:
Banyaknyahimpunan bagian dari {1,2} adalah...
Penyelesaian:
. Jadi banyaknyahimpunan bagian dari {1,2}
adalah 4 pangkat 2 = 4, yaitu {}, {1} , {2} dan
{1,2}.

10. • Himpunan Yang Sama
• Dua buah himpunan mungkin saja sama yaitu semua
anggota didalam kedua himpunan tersebut
sama,meskipun urutannya didalam himpunan tidak
sama.
• DEFINISI 2.4. Himpunan A dikatakan sama dengan
himpunan B jika dan hanya jika keduanya
mempunyai elemen yang sama .Dengan kata lain, A
sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B
dan B adalah himpunan bagian dari A.Jika tidak
demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.
• Notasi : A = B ↔ A B dan A B⊆ ⊆

11. Contoh:
Jika A : { 0,1 } dan B : { x | x ( x-1 ) = 0 },
maka A = B
Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 5,3,8 }, maka A = B
Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 3,8 }, maka A ≠B

12. Himpunan yang ekivalen
Duabuah himpunan dapat mempunyai kardinal yang
samameskipun anggotanyakeduahimpunan tersebut
tidak sama.Kitakatakan keduahimpunan tersebut
ekuivalen. Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan
himpunan B jikadan hanyajikakardinal dari kedua
himpunan tersebut sama.
Notasi : A~ B↔ |A| = |B|
Contoh :
JikaA : { 1,3,5,7 } dan B : { a,b,c,d } ,maka: A~ B
sebab|A| = |B| = 4

13. Himpunan Saling Lepas
Duabuah himpunan mungkin sajatidak
memiliki anggotayang samasatu buah
pun.Keduahimpunan tersebut dikatakan saling
lepas( disjoint ). Duahimpunan A dan B
dikatakan saling lepasjikakeduanyatidak
memiliki elemen yang sama.
Notasi : A // B
Contoh :
JikaA : { x | x ∈ P, x < 8 } dan
B : { 10,20,30,....},makaA // B

14. Himpunan kuasa
• Himpunan kuasa dari suatu himpunan
mengandung semua himpunan bagian dari
himpunan yang dimaksud. Himpunan kuasa
( powerset ) dari himpunan A adalah suatu
himpunan yang elemennya merupakan semua
himpunan bagian dari A,termasuk himpunan
kosong dan himpunan A sendiri.
• Notasi : P(A) atau 2A
• Contoh :
• Jika A : { 1,2 }, maka P(A) = { , {1},{2},∅
{1,2}}

15. Operasi terhadap
himpunan

16. • Perampatan Operasi Himpunan
• Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap
2 atau lebih himpunan. Dalam hal ini kita
melakukan perampatan operasi
(generalization) operasi himpunan dengan
menggunakan dasar perampatan yang ada
pada operasi aritmatika biasa.

17. Contoh :
A = { 1,2,3} B = {a,b}
C = {3,2}
A X B X C =
{{1,a,3} , {1,a,2} , {1,b,3} , {1,b,2} ,
{2,a,3} , {2,a,2} , {2,b,3} , {2,b,2} ,

18. hukum-hukum himpunan
Hukum-hukum pada himpunan dinamakan
Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup
banyak hukum yang terdapat pada aljabar
himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan
11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip
dengan hukum aljabar pada sistem bilangan
riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum
distributif

19. 1. Hukum identitas: A = A Dualnya : A U =∪ ∅ ∩
A
2. Hukum null/dominasi:A = Dualnya : A U = U∩∅ ∅ ∪
3.Hukum komplemen:A = U Dualnya : A =∪Ā ∩Ā ∅
4.Hukumidempoten: A A=A Duaalnya : A A=A∪ ∩
5.Hukum penyerapan (absorpsi):A ( A B)=A∪ ∩
Dualnya : A ( A B)= A∩ ∪
6.Hukumkomutatif: A B=B A Dualnya : A B=B A∪ ∪ ∩ ∩
7.Hukum asosiatif: A (B C)=( A B) C Dualnya : A∪ ∪ ∪ ∪
( B C )=( A B) C∩ ∩ ∩ ∩
8.Hukum distributif: A ( B C )=( A B) ( A )∪ ∩ ∪ ∩ ∪
Dualnya : A ( B C )=( A B) ( A C )∩ ∪ ∩ ∪ ∩

20. Prinsip dualitas banyak ditemukan pada
beberapa situasi .Prinsip ini menyatakan
bahwa dua konsep yang berbeda dapat
dipertukarkan namun tetap memberikan
jawaban yang benar. ( Prinsip Dualitas
Pada Himpunan ) .Misalkan S adalah suatu
kesmaan yang melibatkan himpunan ( set
identiti ) dan operasi-operasi seperti ∪
, ,dankoplemen.Jika S^⃰diperoleh dari S∩
dengan mengganti menjadi , menjadi∪ ∩ ∩
, menjadi U ,dan U menjadi∪ ∅ ∅
,sedangkan komplemen dibiarkan menjadi
seperti semula ,maka kesamaan S^⃰juga

21. • Prinsip Inklusi – Eksklusi
• Penggabungan dua buah hipunan
menghasilkan himpunan baru yang elemen-
elemennya berasal dari himpunan A dan
himpunan B.Himpunan A dan himpunan B
mungkin memiliki elemen-elemen yang sama
,banyaknya elemen bersama antara S dan B
adalah | A∩B|. Setiap unsur yang sama itu telah
dihitung dua kali ,sekali pada | A | dan sekali
pada | B | ,meskipun seharusnya dianggap
sebagai satu buah elemen didalam | A ∪B |
.Karena itu,jumlah elemen hasil penggabungan
seharusnya adalah jumlah elemen dimasing-
masing himpunan dikurangi dengan jumlah
elemen didalam irisannya ,atau :
• | A ∪B| = |A| + | B | - |A ∩B|

22. contoh
• Misalkan :
• A = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
• B = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
• A B= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan∩
5( yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK
dari 3 dan 5 )
• Yang ditanyakan adalah | A B|∪
• Terlebih dahulu harus dihitung
• |A| = [100/3] = 33,
• |B| = [100/5] = 20
• | A B| = 100/15 = 6∩
• Unttuk mendapatkan
• | A B| = |A| + |B| - | A B| = 33 + 20 – 6 = 47∪ ∩
• Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi oleh 3 atau 5.

23. • Pembuktian Proposisi Himpunan
• Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan
notasi himpunan.Pernyataan dapat berupakesamaan,misalnya
“
• A ∩ (B∩ C)=(A∩ B)∪(A∩ C) adalah sebuah kesamaan
himpunan,atu dapat berupaimplikasi seperti “ jikaA ∩ B= ∅
dan A ⊆ ( B ∪C ) makaselalu berlaku bahwaA ⊆ C “.
• Beberapametodeyang digunakan untuk membuktikan
kebenaran proposisi himpunan ,antaralain :
• Pembuktian dengan menggunakan diagram venn
• Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan
• Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan
• Pembuktian dengan menggunakan definisi