3. PENDAHULUAN
• Matematika =suatu cabang logika dg kerangka
sistematis utk mempelajari hubungan kuantitatif
antar peubah (variabel)
• Bedakan: Matematika Murni & Terapan
• Matematika Murni: lambang2 yg digunakan
menyatakan konsep abstrak yg nilainya sesuai
definisinya (mis. - 5 < X < 12)
• Matematika Terapan: lambang2 yg dipakai
menyatakan peubah (variabel) yg nilainya sesuai
pengamatan di dunia nyata; mis. P = variabel harga,
maka P ³ 0
4. MATEMATIKA BISNIS
• Matematika Bisnis = matematika terapan
• Ilmu ekonomi fokus ke konsep kuantitatif,
menyangkut variabel seperti biaya, harga, upah,
permintaan-penawaran, penerimaan- biaya-laba,
maka banyak analisis ekonomi menggunakan
analisis matematika terapan
• Hubungan kuantitatif antar variabel ekonomi
dipelajari secara empiris=>model matematis
Contoh :
1. Konsumsi dg Pendapatan
2. Permintaan (demand) dg Harga
5. CAKUPAN MATERI KULIAH
Pendahuluan & Model Ekonomi
Jenis2 Fungsi & Penggambaran Grafiknya
Fungsi Linear & Penerapannya
Fungsi Kuadrat/Kubik & Penerapannya
Fungsi Eksponensial & Logaritma
Bunga Majemuk dan Anuitas
Limit dan Diferensial
Diferensial Biasa & Penerapannya
Nilai Ekstrim Fungsi Satu Variabel
Diferensial Parsial & Penerapannya
Nilai Ekstrim Fungsi Variabel Jamak
Matriks dan Penerapannya
7. Himpunan adalah suatu kumpulan atau
gugusan dari sejumlah obyek dan didefinisikan
dgn jelas.
Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk
sebuah himpunan disebut anggota, atau
elemen, atau unsur.
Simbol himpunan : A, B, C, P, Q, R, X, Y
atau Z (dengan huruf kapital)
Simbol anggota suatu himpunan : a, b, c, p,
q, r, x, y atau z.
8. ∉(p ∈(A berarti obyek p merupakan anggota unsur atau elemen) dari himpunan A
p A berarti obyek p BUKAN anggota unsur atau elemen) dari himpunan A
9. • Penyajian sebuah himpunan dapat
dituliskan dengan dua macam
cara yaitu :
1. Cara daftar
2. Cara kaidah
10. Cara daftar
Cara daftar ialah dengan
mencantumkan seluruh obyek yang
menjadi anggota suatu himpunan.
Contoh :
HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT
BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT
DITULIS SEBAGAI
A = {1, 2, 3, 4}
11. Cara Kaidah
Cara kaidah ialah dengan menyebutkan
karakteristik tertentu dari obyek-obyek
yang menjadi anggota himpunan tersebut
Dengan cara penyajian ini, himpunan
dinyatakan dengan menulis syarat yang
harus dipenuhi oleh anggotanya.
Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi
oleh x}
12. Lanjutan…
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan :
a) Bagian di kiri tanda ‘ | ‘
melambangkan elemen himpunan
b) Tanda ‘ | ‘ dibaca dimana atau
sedemikian sehingga
c) Bagian di kanan tanda ‘|’
menunjukkan syarat keanggotaan
himpunan
d) Setiap tanda ‘ , ‘ di dalam syarat
keanggotaan dibaca sebagai dan.
13. Contoh :
i. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil
dari 5, dinyatakan sebagai
A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif
lebih kecil dari 5 }
atau dalam notasi yang lebih ringkas :
A = {x | x ∈ P, x < 5}
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
ii. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih
kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebgai
B = {x | x adalah himpunan bilangan genap
positif lebih kecil atau sama dengan 8}
atau dalam notasi yang lebih ringkas :
B = { x | x/2 ∈ P, 2 ≤ x ≤8}
yang ekuivalen dengan B = {2, 4, 6, 8}
14. JENIS-JENIS HIMPUNAN :
1. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang
anggotanya semua objek pembicaraan.
Simbol himpunan semesta : S atau U.
2. Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki satupun
elemen atau himpunan dengan kardinal = 0
disebut himpunan kosong (null set).
Notasi : ∅ atau { }
Contoh :
i. E = {x | x < x}, maka n(E) = 0
ii. P = {orang Indonesia yang pernah ke
bulan}, maka n(P) = 0
15. Lanjutan…
3. Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B
dikatakan superset dari A
Notasi : A ⊆ B
Contoh :
{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}
16. Lanjutan…
4. Himpunan yang Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika
dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B
dan sebaliknya setiap B merupakan elemen A. Dengan
kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan
bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.
Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak sama
dengan B.
Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A
17. Contoh Himpunan yang Sama dan Tidak Sama :
i. Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x-1) =
0}, maka A = B
ii. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8},
maka A = B
i. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8},
maka A ≠ B
18. Lanjutan…
5. Himpunan yang saling lepas
• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas
(disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen
yang sama.
• Notasi : A // B
• Contoh :
Jika A = {x | x P, ∈ x < 8} dan B = {10,
20, 30,…}, maka A // B
19. OPERASI HIMPUNAN :
1. Gabungan (Union)
A U B = {x| x Є A atau x Є B}
2. Irisan (Intersection)
A ∩ B = {x| x Є A dan x Є B}
3. Selisih
A - B = A|B {x| x Є A tetapi x Є B}
4. Pelengkap (Complement)
Ā atau Ac= {x| x Є U tetapi x Є A} = U – A
22. KKaaiiddaahh--kkaaiiddaahh MMaatteemmaattiikkaa ddaallaamm PPeennggooppeerraassiiaann
HHiimmppuunnaann
Kaidah Idempoten
a. A U A = A b. A ∩ A = A
Kaidah Asosiatif
a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Kaidah Komutatif
a. A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif
a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )
23. LLaannjjuuttaann ........................
Kaidah Identitas
a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø
c. A U U = U d. A ∩ U = A
Kaidah Kelengkapan
a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø
c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U
Kaidah De Morgan
a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B
24. LLaattiihhaann
Gambarkan sebuah diagram venn untuk
menunjukkan himpunan universal U dan
himpunan-himpunan bagian A serta B jika :
U = {1,2,3,4,5,6,7,8 }
A = {2,3,5,7}
B = {1,3,4,7,8 }
Kemudian selesaikan :
(a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B
(b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā
27. 2.1 Hubungan Perbandingan antar
Bilangan
• Pada sistem bilangan riil atau nyata,
berlaku salah satu dari 4 tanda
ketidaksamaan berikut :
< (kurang dari)
> (lebih dari)
≤ (kurang dari atau sama dengan)
≥ (lebih dari atau sama dengan)
• Sedangkan pada sistem bilangan khayal
atau kompleks berlaku salah satu dari 2
sifat, yaitu = dan ≠
28. 2.2 Operasi Bilangan
(1) KAIDAH KOMUTATIF
a + b = b + a
a x b = b x a
(2) KAIDAH ASOSIATIF
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
(3) KAIDAH PEMBATALAN
a + c = b + c
ac = bc ( c ≠ 0)
(4) KAIDAH DISTRIBUTIF
a(b + c) = ab + ac
(5) UNSUR PENYAMA
a + 0 = a
a . 1 = a
(6) KEBALIKAN
a + (-a) = 0
a x 1/a = 1
29. 2.3 OPERASI TANDA
• Operasi Penjumlahan
(+a)+(+b)=(+c)
(-a)+(-b)=(-c)
(+a)+(-b)=(+c) jika |a| > |b|
(+a)+(-b)=(-d) jika |a| < |b|
(-a)+(+b)=(+c) jika |a| < |b|
(-a)+(+b)=(-d) jika |a| > |b|
30. • Operasi Pengurangan
(+a)-(+b)=(+c) jika |a| > |b|
(+a)-(+b)=(-d) jika |a| < |b|
(-a)-(-b)=(+c) jika |a| < |b|
(-a)-(-b)=(-d) jika |a| > |b|
(+a)-(-b)=(+c)
(-a)-(+b)=(-c)
31. • Operasi Perkalian dan Pembagian
(+) x (+) = (+) (+) : (+) = (+)
(+) x (-) = (-) (+) : (-) = (-)
(-) x (+) = (-) (-) : (+) = (-)
(-) x (-) = (+) (-) : (-) = (+)
32. 2.4 OPERASI BILANGAN PECAHAN
Penjumlahan Pecahan dan Pengurangan
Pecahan
Untuk menjumlah atau mengurangi pecahan-pecahan
yang penyebutnya tidak sama.
Langkah pertamanya adalah menyamakan penyebutnya
terlebih dahulu, yaitu dengan mengubah ke bentuk
pecahan yang senilai sehingga penyebut-penyebut
pecahan menjadi sama.
39. Perkalian Pecahan
a x c
b x d
x c
b
a =
d
8
15
x x
2 4
2 = =
3 5
4
5
3
x
3
8
- 3 x 7
= -
8
7
1
3
5 ÷ø
3
= 3
= 5
9
- xæ-
9
ö çè
Langkahnya :
1. Jadikan semua pecahan itu menjadi pecahan biasa.
Contoh :
1.
2.
3.
2. Kalikan
40. Pembagian Pecahan
Langkahnya :
1. Jadikan pecahan-pecahan menjadi pecahan biasa semua.
2. Ubahlah menjadi bentuk perkalian, dengan cara bilangan
pembagi dibalik.
3. Kerjakan seperti perkalian.
: 1
5
=
3
2
11
5
2 = x = 6
=
5
3
1
2
5
: 1
5
3
Contoh :
46. Pendahuluan
Pada umumnya, simbol akar dapat digunakan
1
ditulis sebagai n
a= n a , dimana
n disebut indeks akar dan a disebut bilangan dasar.
Jika n = 2, tanda akar (
Pengertian kedua simbol tersebut sama.
Bila indeks tidak ditulis, berarti n = 2.
untuk a
1
n
disebut tanda akar,
) digunakan untuk akar kuadrat.
47. ³ 0 ³ 0 a b = ab n a n b = n ab
Jika a dan b maka
³ 0 a =
³ 0
a = a
n
b
b
n
n
a
b
b
Î ¹ 0
Teorema :
m n
(n a )m = n am
Î
m n
(n a )m = n am
dan
Jika a
dan b > 0 maka
dan
Jika a
, m, n bilangan bulat dan n
maka
Jika a < 0, m bilangan bulat dan n ganjil maka
Tidak didefinisikan apabila n genap.
a =
a =
50. Akar sama
Akar-akar dengan bilangan dasar dan indeks yang sama disebut akar sama.
Contoh :
7 3, 1 3 , -
6 3
2
3 3 3, - 4 3 3, 10 3 3
7, 8, 10
3 7, 7, 4 7
dan
Akar Tidak Sama
Contoh :
dan
