Dokumen tersebut membahas tentang himpunan dalam matematika diskrit. Ia menjelaskan definisi himpunan, penyajian himpunan, kardinalitas, jenis-jenis himpunan, operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan pembuktian pernyataan suatu himpunan menggunakan diagram Venn dan tabel keanggotaan.
Dokumen tersebut membahas tentang himpunan dalam matematika. Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek yang berbeda dan terdefinisi dengan baik. Dokumen tersebut menjelaskan konsep-konsep penting tentang himpunan seperti elemen himpunan, keanggotaan, cara penyajian himpunan, subset, himpunan yang sama, operasi terhadap himpunan, dan lain-lain.
Himpunan merupakan kumpulan objek yang berbeda. Ada beberapa cara untuk menyajikan himpunan seperti enumerasi, simbol-simbol baku, notasi pembentuk himpunan, dan diagram Venn. Terdapat berbagai operasi pada himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan beda setangkup.
Makalah ini membahas konsep himpunan dan fungsi. Pertama, dijelaskan definisi himpunan, cara menyatakan himpunan, dan hubungan antar himpunan seperti himpunan bagian dan irisan. Kemudian dijelaskan operasi-operasi pada himpunan seperti gabungan, irisan, selisih, dan komplemen. Terakhir, dijelaskan konsep fungsi, jenis-jenis fungsi, dan komposisi fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang himpunan dalam matematika. Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek yang berbeda dan terdefinisi dengan baik. Dokumen tersebut menjelaskan konsep-konsep penting tentang himpunan seperti elemen himpunan, keanggotaan, cara penyajian himpunan, subset, himpunan yang sama, operasi terhadap himpunan, dan lain-lain.
Himpunan merupakan kumpulan objek yang berbeda. Ada beberapa cara untuk menyajikan himpunan seperti enumerasi, simbol-simbol baku, notasi pembentuk himpunan, dan diagram Venn. Terdapat berbagai operasi pada himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan beda setangkup.
Makalah ini membahas konsep himpunan dan fungsi. Pertama, dijelaskan definisi himpunan, cara menyatakan himpunan, dan hubungan antar himpunan seperti himpunan bagian dan irisan. Kemudian dijelaskan operasi-operasi pada himpunan seperti gabungan, irisan, selisih, dan komplemen. Terakhir, dijelaskan konsep fungsi, jenis-jenis fungsi, dan komposisi fungsi.
Teks tersebut membahas tentang definisi dan penyajian himpunan, termasuk tabulasi, notasi pembentuk himpunan, diagram Venn, kardinalitas, himpunan kosong, subset, kesamaan, ekivalensi, saling lepas, himpunan kuasa, dan berbagai operasi himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, beda setangkup, perkalian Kartesian, dan prinsip inklusi-eksklusi.
Terdapat penjelasan tentang konsep dasar himpunan termasuk definisi, cara penyajian, keanggotaan, kardinalitas, subset, himpunan yang sama, himpunan kuasa, operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, serta prinsip-prinsip dasar himpunan. Dokumen ini memberikan panduan mengenai konsep-konsep penting dalam teori himpunan.
Dalam bahasan ini akan dijelaskan Pengertian Himpunan,
Penyajian Himpunan, Himpunan Universal dan Himpunan Kosong, Operasi Himpunan,Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
Himpunan A, B, dan C mewakili pembaca tiga koran berbeda berdasarkan survei 60 responden. Ada informasi tentang jumlah pembaca setiap koran dan pembaca ganda antar koran.
1. Bab I membahas peranan matematika dalam analisis ekonomi, terutama untuk memahami hubungan antar variabel ekonomi dan melakukan peramalan serta pengukuran pengaruh menggunakan fungsi matematika.
2. Bab II menjelaskan konsep dasar himpunan, termasuk pengertian, penyajian, operasi, dan kaidah-kaidah matematika dalam operasi himpunan.
3. Bab-bab berikutnya membahas sistem bilangan, p
Himpunan merupakan kumpulan objek yang berbeda. Ada beberapa cara untuk menyajikan himpunan seperti enumerasi, simbol-simbol baku, notasi pembentuk himpunan, dan diagram Venn. Terdapat berbagai operasi pada himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan beda setangkup.
Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda. Dokumen ini menjelaskan definisi himpunan dan cara penyajian himpunan seperti enumerasi dan simbol-simbol baku. Juga dibahas tentang keanggotaan, subset, himpunan yang sama, operasi dasar pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih dan produk kartesian.
Salah satu materi perkuliahan prodi pendidikan matematika mata kuliah teori himpunan dan logika matematika - Kardinalitas, definisi kardinalitas, himpunan kuasa, operasi relasi dua himpunan, himpunan bagian
Dokumen ini membahas operasi himpunan seperti penggabungan, irisan, selisih, dan kartesian. Didefinisikan sifat-sifat komutatif, asosiatif, idempoten, dan distributif dari operasi-operasi tersebut. Diberikan contoh penyelesaian masalah operasi himpunan.
Teks tersebut membahas tentang definisi dan penyajian himpunan, termasuk tabulasi, notasi pembentuk himpunan, diagram Venn, kardinalitas, himpunan kosong, subset, kesamaan, ekivalensi, saling lepas, himpunan kuasa, dan berbagai operasi himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, beda setangkup, perkalian Kartesian, dan prinsip inklusi-eksklusi.
Terdapat penjelasan tentang konsep dasar himpunan termasuk definisi, cara penyajian, keanggotaan, kardinalitas, subset, himpunan yang sama, himpunan kuasa, operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, serta prinsip-prinsip dasar himpunan. Dokumen ini memberikan panduan mengenai konsep-konsep penting dalam teori himpunan.
Dalam bahasan ini akan dijelaskan Pengertian Himpunan,
Penyajian Himpunan, Himpunan Universal dan Himpunan Kosong, Operasi Himpunan,Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
Himpunan A, B, dan C mewakili pembaca tiga koran berbeda berdasarkan survei 60 responden. Ada informasi tentang jumlah pembaca setiap koran dan pembaca ganda antar koran.
1. Bab I membahas peranan matematika dalam analisis ekonomi, terutama untuk memahami hubungan antar variabel ekonomi dan melakukan peramalan serta pengukuran pengaruh menggunakan fungsi matematika.
2. Bab II menjelaskan konsep dasar himpunan, termasuk pengertian, penyajian, operasi, dan kaidah-kaidah matematika dalam operasi himpunan.
3. Bab-bab berikutnya membahas sistem bilangan, p
Himpunan merupakan kumpulan objek yang berbeda. Ada beberapa cara untuk menyajikan himpunan seperti enumerasi, simbol-simbol baku, notasi pembentuk himpunan, dan diagram Venn. Terdapat berbagai operasi pada himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan beda setangkup.
Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda. Dokumen ini menjelaskan definisi himpunan dan cara penyajian himpunan seperti enumerasi dan simbol-simbol baku. Juga dibahas tentang keanggotaan, subset, himpunan yang sama, operasi dasar pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih dan produk kartesian.
Salah satu materi perkuliahan prodi pendidikan matematika mata kuliah teori himpunan dan logika matematika - Kardinalitas, definisi kardinalitas, himpunan kuasa, operasi relasi dua himpunan, himpunan bagian
Dokumen ini membahas operasi himpunan seperti penggabungan, irisan, selisih, dan kartesian. Didefinisikan sifat-sifat komutatif, asosiatif, idempoten, dan distributif dari operasi-operasi tersebut. Diberikan contoh penyelesaian masalah operasi himpunan.
Bab 2 membahas tentang himpunan, termasuk definisi himpunan, penyajian himpunan, kardinalitas, operasi-operasi himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan perkalian kartesian.
Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda. Elemen himpunan disebut anggota. Himpunan dapat disajikan dengan enumerasi, simbol-simbol baku, notasi pembentuk himpunan, dan diagram Venn. Terdapat berbagai jenis himpunan seperti himpunan kosong, himpunan bagian, himpunan yang sama, dan himpunan kuasa. Terdapat pula operasi-operasi pada himpunan seperti irisan, gabungan, selis
Sistem Bilangan dan Himpunan. Bilangan,adalah suatu konsep dalam ilmu matemat...NidaAuliana4
Bilangan,adalah suatu konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.
Bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangan nol dan bilangan bulat positif.Contoh: B = { ...., -2, -1, 0, 1, 2, ..... }
Bilangan asli adalah bilangan positif yang dimulai dari bilangan satu ke atas. Contoh: A = { 1, 2, 3, ..... }
Bilangan prima adalah bilangan yanga tidak dapat dibagi oleh bilangan apapun, kecuali bilangan itu sendiri dan 1 (satu). Contoh: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... }
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan positif dan nol. Contoh: C = { 0, 1, 2, 3, ..... }
Bilangan nol adalah bilangan nol itu sendiri (0) Contoh: N = { 0 }
Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut sebagai pembilang dan bilangan b disebut sebagai penyebut. Contoh: H = { 1/2, 2/3,1/6,5/8, ..... }Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh: R = { ¼, ¾, .... }
Bilangan irrasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan selain bilangan rasional. Contoh: I = { √2, √3, √6, ..... }
Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional itu sendiri. Contoh: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ..... }
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian himpunan, penyajian himpunan, himpunan universal dan kosong, operasi himpunan, dan kaidah matematika dalam operasi himpunan.
1. Matematika diskrit mempelajari objek-objek diskrit seperti himpunan bilangan bulat dan graf.
2. Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda, seperti anggota kelas.
3. Operasi dasar pada himpunan meliputi irisan, gabungan, selisih, dan komplemen.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar himpunan matematika, termasuk definisi himpunan, cara penyajian himpunan, keanggotaan himpunan, himpunan bagian, himpunan yang sama, operasi-operasi dasar pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep dasar himpunan, termasuk definisi himpunan, elemen himpunan, kesamaan himpunan, subset himpunan, operasi-operasi dasar pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan produk kartesian himpunan.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi himpunan, cara penyajian himpunan seperti enumerasi dan simbol-simbol baku, keanggotaan suatu elemen dalam himpunan, diagram Venn, kardinalitas, himpunan kosong, himpunan bagian, himpunan yang sama, himpunan yang ekivalen, himpunan saling lepas, himpunan kuasa, operasi-operasi dasar terhadap himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selis
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep dasar himpunan, termasuk definisi himpunan, cara penyajian himpunan, keanggotaan, himpunan bagian, himpunan yang sama, operasi-operasi dasar pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang definisi himpunan, cara penyajian himpunan, keanggotaan, himpunan bagian, kardinalitas, operasi-operasi dasar pada himpunan seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan beda setangkup. Dokumen tersebut juga menampilkan berbagai contoh untuk memperjelas penjelasan-penjelasan tersebut.
Teks tersebut membahas tentang subnetting dan Classless Inter Domain Routing (CIDR). Subnetting digunakan untuk membagi alamat IP menjadi beberapa subnet dengan jumlah yang lebih kecil, sedangkan CIDR merupakan metode baru untuk mengklasifikasi alamat IP tanpa harus tergantung pada kelas A, B, atau C. CIDR memungkinkan penulisan notasi prefix alamat IP dan subnet mask secara lebih sederhana.
Dokumen tersebut membahas tentang pengkabelan jaringan komputer. Terdiri dari tujuan pembelajaran yaitu mahasiswa dapat menjelaskan perangkat jaringan, tipe pengkabelan, dan melakukan praktikum pengkabelan. Materi meliputi peralatan jaringan seperti kartu jaringan, kabel, konektor, dan alat tes kabel. Terdapat pula contoh soal dan praktikum merakit kabel straight dan crossover.
Dokumen tersebut membahas tentang routing dalam jaringan komputer. Secara umum menjelaskan bahwa routing digunakan untuk menghubungkan jaringan ke jaringan lain atau perangkat ke perangkat lain. Ada dua jenis routing yaitu routing statis yang menggunakan konfigurasi manual dengan tujuan IP yang jelas, dan routing dinamis yang mendeteksi jaringan secara otomatis melalui protokol tertentu.
Matematika diskrit digunakan untuk menjelaskan struktur dan operasi komputer karena komputer beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil bit. Perangkat matematika diskrit meliputi logika matematika, teori himpunan, dan fungsi. Tujuan pembelajaran matematika diskrit adalah memahami operasi logika dan konsep-konsep seperti implikasi dan inferensi.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan jenis-jenis array dalam pemrograman komputer. Array adalah kumpulan nilai data yang sama yang disusun secara teratur dengan indeks. Terdapat tiga jenis array yaitu array satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi yang membedakan jumlah koordinat untuk mengakses elemennya.
Dokumen tersebut membahas tentang jenis-jenis operator dasar dalam pemrograman komputer seperti operator aritmatika, logika, penugasan, bitwise, increment/decrement, dan relasi beserta contoh penggunaannya.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep pewarisan (inheritance) dalam pemrograman berorientasi objek. Konsep inheritance memungkinkan suatu kelas mewarisi sifat dan metode dari kelas lainnya. Kelas yang mewarisi disebut subclass, sedangkan kelas yang diwarisi disebut superclass. Pewarisan dapat diterapkan dengan menambahkan kata kunci "extends" saat mendeklarasikan subclass. Dokumen ini juga membahas tentang modifier yang mengatur ruang lingkup akses dan overriding
This document discusses polymorphism in object-oriented programming and Java. It defines polymorphism as an object taking on many forms. There are two types of polymorphism in Java: runtime (dynamic) polymorphism and compile-time (static) polymorphism. Runtime polymorphism occurs through method overriding, where a parent class reference can refer to a child class object. Compile-time polymorphism is demonstrated through method overloading, where a class can have multiple methods with the same name but different parameters. Examples are provided to illustrate both types of polymorphism.
1. Enkapsulasi adalah salah satu konsep OOP utama dalam bahasa pemrograman Java yang menyembunyikan data dan membatasi aksesnya.
2. Contoh enkapsulasi dalam kehidupan sehari-hari adalah sistem generator listrik dimana arus listrik dan sistem perputarannya bekerja secara terpisah tanpa saling mempengaruhi.
3. Enkapsulasi memberikan manfaat seperti modularitas dan perlindungan terhadap implementasi internal suatu
P.3 media 2 class, objek, method pada javaahmadmuzaqqi
Class adalah blueprint yang mendefinisikan variabel dan method untuk objek-objek. Objek adalah kumpulan variabel dan method yang terkait berdasarkan class. Method merupakan operasi yang dapat dilakukan objek.
Dokumen tersebut membahas sejarah bahasa pemrograman Java, mulai dari pengembangannya pada tahun 1990 oleh James Gosling di Sun Microsystems hingga perkembangannya menjadi bahasa pemrograman populer saat ini. Dokumen tersebut juga menjelaskan asal usul nama "Java" yang terinspirasi dari kopi Jawa setelah beberapa nama sementara seperti Oak dan Greentalk.
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 Fase E Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka.
Pendidikan inklusif merupakan sistem pendidikan yang
memberikan akses kepada semua peserta didik yang
memiliki kelainan, bakat istimewa,maupun potensi tertentu
untuk mengikuti pendidikan maupun pembelajaran dalam
satu lingkungan pendidikan yang sama dengan peserta didik
umumlainya
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
PPT RENCANA AKSI 2 modul ajar matematika berdiferensiasi kelas 1Arumdwikinasih
Pembelajaran berdiferensiasi merupakan pembelajaran yang mengakomodasi dari semua perbedaan murid, terbuka untuk semua dan memberikan kebutuhan-kebutuhan yang dibutuhkan oleh setiap individu.kelas 1 ........
2. Tujuan Pembelajaran
2
memahami definisi himpunan
memahami dasar konsep penyajian himpunan
memahami konsep bentuk kardinalitas
memahami konsep jenis - jenis humpunan
3. Himpunan (1)
o Himpunan kumpulan objek – objek yang berbeda.
o Objek didalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
o Penyajian himpunan :
1. Enumerasi ( menyebutkan semua anggota himpunan yang ada)
contoh 1 : A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6,8}
2. Simbol – simbol baku (ditulis dengan menggunakan huruf kapital
yang dicetak tebal)
contoh 2: N = himpunan bilangan asli = {1,2,…}
P = himpunan bilangan bulat positif ={1,2,3,…}
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
3
4. Himpunan(2)
3. Notasi pembentuk himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Aturan:
1. Bagian di kiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan
2. Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian hingga
3. Bagian di kanan tanda’|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
4. Setiap tanda ‘,’ didalam syarat kenaggotaan dibaca sebagai dan
contoh 3: A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau A = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
contoh 4: M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4
6. Kardinalitas
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
• Misalkan A merupakan himpunan berhingga,maka jumlah elemen berbeda
di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
• notasi : n(A) atau |A|
• Contoh 6:
a. A = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih
kecil dari 20}, A={2,3,5,7,11,13,17,19},maka |A| = 8
b. B = {a, {a}, {{a}}, { }}, maka |B| = 4
c. B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 21 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
d. T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5
e. A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3
6
7. Himpunan Kosong
• Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan
kardinal = 0.
• Notasi : atau { }
• Contoh 7:
(i) A = {x | x > x}, maka |A| = 0
(ii) B = {x | x adalah akar persamaan dari x2 + 5x + 10= 0}, maka |B| = 0
(iii) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(iv) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(v) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
• {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu
himpunan kosong.
7
8. Himpunan Bagian (Subset)
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika
dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
• B dikatakan superset dari A.
• Notasi : A B
• Contoh 8:
a. {1, 2, 3} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
b. {1, 2, 3} {1,2,3}
c. A = {(x,y) | x+y < 4, x≥0, y≥0} dan B = {(x,y) | 2x+y < 4, x≥0, y≥0}
maka B A
d. Jika A B maka bentuk diagram venn-nya:
8
9. Himpunan yang Sama
• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian
dari A.
• Jika tidak demikian, maka A B.
• Notasi : A = B A B dan B A
• Contoh 9:
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
• Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
9
10. Himpunan yang Ekivalen
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika
kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
• Notasi : A ~ B A = B
• Contoh 10: Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab
A = B = 4
10
11. Himpunan Saling Lepas
• Dua himpunan dikatakan saling lepas, jika dan hanya jika keduanya tidak
memiliki elemen yang sama.
• Notasi : A // B
• Diagram Venn:
• Contoh 11:
JIka A = {1,3,5,7} dan B = {a,b,c,d}, maka A//B
11
12. Himpunan Kuasa
• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
• Notasi : P(A) atau 2A
• Jika A = m, maka P(A) =
• Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
• Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan
kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
12
2m
13. Operasi Himpunan (1)
• Irisan (intersection)
▫ Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang
setiap elemennya dari himpunan A dan B.
▫ Notasi : A B = {x|x є A dan x є B}
13
Contoh :
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B
= {4, 10, 14, 18},
maka A B = {4, 10}
14. Operasi Himpunan (2)
• Gabungan (union)
▫ Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap
anggotanya merupakan anggota himpunan A dan B.
▫ Notasi : A B = { x x A atau x B }
14
Contoh :
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = {
7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5,
7, 8, 22 }
15. Operasi Himpunan (3)
• Komplemen (complement)
▫ Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang
mengandung semua elemen dalam semesta
pembicaraan yang tidak ada didalam A.
▫ Notasi : A= { x x U, x A }
15
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka =
{2, 4, 6, 8}
16. Operasi Himpunan (4)
• Selisih (difference)
▫ Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A
tetapi bukan elemen dari B. Selisih dari A dan B dapat
juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B
relatif terhadap himpunan A.
▫ Notasi :
A – B = { x x A dan x B } = A B
16
Contoh :
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2,
3} – {1, 3, 5} = {2}
17. Operasi Himpunan (5)
• Beda Setangkup (Symmetric Difference)
▫ Beda stangkup dari himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau
B, tetapi tidak pada keduanya.
▫ Notasi : A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
17
Contoh :
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 },
maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
18. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• Perkalian Kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
elemennya adalah semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang
dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen
kedua dari himpunan B
• Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
• Kardinalitas perkalian kartesian : A B = AB
• Contoh 20.
• (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
• (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A B = himpunan semua titik di bidang datar
18
19. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A .
B.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
(b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A
atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }
C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
19
20. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m
= mie rebus }
• B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
• Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun
dari kedua himpunan di atas?
• Jawab:
• A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s,
t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
20
21. Pembuktian pernyataan suatu himpunan
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A (B C) =
(A B) (A C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A (B C) (A B) (A C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).
Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak
banyak jumlahnya.
Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn
tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
21
22. Pembuktian pernyataan suatu himpunan
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa :
A (B C) = (A B) (A C).
Bukti:
Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama, maka A (B C)
= (A B) (A C).
22
A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
24. Pembuktian pernyataan suatu himpunan
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
• Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak
berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi.
• Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau
).
Contoh. Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A
C. Buktikan!
Bukti:
I. Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap x P juga
Q. Misalkan x A. Karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian,
x juga (B C).
II. Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x B atau x C.
Karena x A dan A B = , maka x B
Dari (I) dan (II), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka
dapat disimpulkan A C .
24
25. PRINSIP
DUALITAS
• Prinsip dualitas: dua
konsep yang berbeda
dapat dipertukarkan
namun tetap
memberikan jawaban
yang benar.
25
1. Hukum identitas:
A = A
Dualnya:
A U = A
2. Hukum null/dominasi:
A =
Dualnya:
A U = U
3. Hukum komplemen:
A A = U
Dualnya:
A A =
4. Hukum idempoten:
A A = A
Dualnya:
A A = A
5. Hukum penyerapan:
A (A B) = A
Dualnya:
A (A B) = A
6. Hukum komutatif:
A B = B A
Dualnya:
A B = B A
7. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
9. Hukum De Morgan:
BA = A B
Dualnya:
BA = A B
10. Hukum 0/1
= U
Dualnya:
U =
26. Prinsip Inklusi-Eksklusi
• Prinsip Inklusi-Eksklusi adalah suatu prinsip yang digunakan
untuk mengetahui jumlah elemen hasil penggabungan dari
beberapa himpunan.
• Jumlah elemen hasil penggabungan dihitung dari jumlah elemen di
masing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen di
dalam irisannya.
• Untuk dua himpunan A dan B:
A B = A + B – A B
A B = A +B – 2A B
26
27. Contoh:
U=100
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan
Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
Hitunglah jumlah bilangan yang habis di bagi 3 atau 5?
yang ditanyakan adalah A B.
A = 100/3 = 33,
B = 100/5 = 20,
A B = 100/15 = 6
A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
27
28. Prinsip Inklusi-Eksklusi
Contoh:
Di antara bilangan bulat antara 101 dan 600 (termasuk 101 dan 600 itu
sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 dan 5 atau
yang habis dibagi oleh keduanya?
Solusi:
Misalkan
U={Jumlah bilangan bulat antara 101 dan 600,
termasuk 101 dan 600 }
A = { Anggota U yang habis dibagi 4 }
B = { Anggota U yang habis dibagi 5 }
Maka
U= 600-101 = 500
A= 500/4 = 125
B= 500/5 = 100
A B = 500/20 = 25
28
Ditanyakan: A B?
30. Prinsip Inklusi-Eksklusi
Prinsip inklusi-ekslusi untuk 3 buah himpunan A,B,C :
Misalkan A1, A2, …, An himpunan hingga.
Maka
||)1(||
||||||
21
1
1
11
221
n
n
kj
nkji
i
j
nji
i
ni
i
AAAAAA
AAAAAA
A B C A B C A B A C B C A B C
30
31. Prinsip Inklusi-Eksklusi
• Contoh:
Carilah banyaknya anggota dari |A B C D| jika setiap himpunan
berukuran 50, setiap irisan dari dua himpunan berukuran 30, setiap irisan dari
tiga himpunan berukuran 10, dan irisan dari keempat himpunan berukuran 2.
Solusi.
|ABCD|=|A| + |B| + |C| + |D| - |AB| -
|AC| - |AD| - |BC| - |BD|-
|CD| + |ABC|+ |ABD|+
|ACD|+ |BCD| -
|A B C D|
= 4 . 50 – 6 . 30 + 4 . 10 – 2 = 58
31