Dokumen tersebut membahas tentang vektor dalam ruang tiga dimensi. Secara singkat, dibahas definisi vektor dan komponennya, penjumlahan dan pengurangan vektor, panjang vektor, vektor nol dan vektor satuan, sifat-sifat vektor, serta hasil kali titik vektor beserta definisi paralel dan tegak lurusnya.

1. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
HASILKALI TITIK DALAM RUANG DIMENSI
TIGA
Yulian Sari, M.Si
Pendidikan Matematika
16 Februari 2015
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De…nisi Vektor
De…nition
Suatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurut
dari himpunan bilangan riil (x, y, z). Bilangan x, y, dan z disebut
sebagai komponen dari vektor (x, y, z).
Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarah
dari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)
dinamakan sebagai vektor standar.
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

3. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De…nisi Vektor
De…nition
Suatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurut
dari himpunan bilangan riil (x, y, z). Bilangan x, y, dan z disebut
sebagai komponen dari vektor (x, y, z).
Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarah
dari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)
dinamakan sebagai vektor standar.
Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x, y, z)dapat
dinyatakan sebagai berikut
r =
!
OP = xi + yj + zk
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

4. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De…nisi Vektor
De…nition
Suatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurut
dari himpunan bilangan riil (x, y, z). Bilangan x, y, dan z disebut
sebagai komponen dari vektor (x, y, z).
Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarah
dari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)
dinamakan sebagai vektor standar.
Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x, y, z)dapat
dinyatakan sebagai berikut
r =
!
OP = xi + yj + zk
(perhatikan gambar!)
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

5. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De…nition
Penjumlahan dan pengurangan vektor dalam ruang dimensi tiga
dapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk sebarang vektor
A = a1i + a2j + a3k dan B = b1i + b2j + b3k,
A + B = (a1 + b1) i + (a2 + b2) j + (a3 + b3) k
A B = (a1 b1) i + (a2 b2) j + (a3 b3) k.
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

6. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor
!
P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)
dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena
!
P1P2 =
!
OP2
!
OP1
= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1)
= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

7. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor
!
P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)
dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena
!
P1P2 =
!
OP2
!
OP1
= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1)
= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k
Untuk segitiga ABC,
!
AC =
q
a2
1 + a2
2
dan untuk segitiga ACD,
ja1i + a2j + a3kj =
!
AD =
r
!
AC
2
+
!
CD
2
=
q
a2
1 + a2
2 + a2
3
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

8. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor
!
P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)
dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena
!
P1P2 =
!
OP2
!
OP1
= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1)
= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k
Untuk segitiga ABC,
!
AC =
q
a2
1 + a2
2
dan untuk segitiga ACD,
ja1i + a2j + a3kj =
!
AD =
r
!
AC
2
+
!
CD
2
=
q
a2
1 + a2
2 + a2
3
Maka panjang vektor A = a1i + a2j + a3k dapat dinyatakan
sebagai
jAj = ja1i + a2j + a3kj =
q
a2
1 + a2
2 + a2
3
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

9. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor
0 = 0i + 0j + 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dan
tidak memiliki arah.
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

10. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor
0 = 0i + 0j + 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dan
tidak memiliki arah.
Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.
Vektor standar adalah vektor unit karena
jij = j1i + 0j + 0kj =
p
12 + 02 + 02 = 1
jjj = j0i + 1j + 0kj =
p
02 + 12 + 02 = 1
jkj = j0i + 0j + 1kj =
p
02 + 02 + 12 = 1
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

11. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor
0 = 0i + 0j + 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dan
tidak memiliki arah.
Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.
Vektor standar adalah vektor unit karena
jij = j1i + 0j + 0kj =
p
12 + 02 + 02 = 1
jjj = j0i + 1j + 0kj =
p
02 + 12 + 02 = 1
jkj = j0i + 0j + 1kj =
p
02 + 02 + 12 = 1
Jika A =a1i + a2j + a3k, maka vektor unit U memiliki arah
yang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.
U =
a1
jAj
i +
a2
jAj
j +
a3
jAj
k
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

12. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
A + B = B + A
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

13. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
A + B = B + A
A+ (B + C) = (A + B) +C
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

14. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
A + B = B + A
A+ (B + C) = (A + B) +C
Terdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi
A + 0 = A
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

15. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
A + B = B + A
A+ (B + C) = (A + B) +C
Terdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi
A + 0 = A
Terdapat vektor A dalam dimensi tiga sehingga
A+ ( A) = 0
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

16. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd) A =c(dA)
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

17. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd) A =c(dA)
c (A + B) =cA+cB
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

18. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd) A =c(dA)
c (A + B) =cA+cB
(c + d)A =cA+dA
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

19. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
Theorem
Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan
c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian
skalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd) A =c(dA)
c (A + B) =cA+cB
(c + d)A =cA+dA
1 (A) = A
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

20. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De…nition
Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka hasilkali titik dari
A dan B, dinotasikan sebagai A B dinyatakan sebagai berikut.
A B =(a1, a2, a3) (b1, b2, b3) =a1b1 + a2b2 + a3b3
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

21. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Theorem
Jika θ adalah sudut antara dua vektor bukan nol A dan B dalam
ruang dimensi tiga, maka
A B = jAj jBj cos θ
De…nition
Dua vektor bukan nol dalam ruang dimensi tiga dikatakan paralel
jika dan hanya jika satu dari vektor tersebut adalah perkalian skalar
dari vektor yang lainnya.
De…nition
Dua vektor bukan nol saling tegak lurus (perpendicular/orthogonal)
jika sudut yang dibentuk dari keduanya adalah π/2.
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG