Giải đề cương giải tích 3

FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]
2 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |

Lời giải – Hướng dẫn được thực hiện bởi Team GT3 nhóm BK-ĐCMP
I Chuỗi
1 Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có:
a) 2 2
1 1 1 1 1 1
... ...
2 3 2 3 2 3
n n
     
      
     
     
= 2 2
1 1 1 1 1 1
... ... ... ...
2 2 2 3 3 3
n n
   
        
   
   
=
1 1
1 1
1 1
2 3
. .
1 1
2 3
1 1
2 3
lim
n n
n
 
   
 
 
   
   
 

 
 
 
 
=
1 3
1
2 2
 
Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng S =
3
2
b)
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5
  
1 1 1 1 1 1 1
...
2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1). ( 1)
lim
n n n n n

 
      
 
 
 
1 ( 1) ( 1) 1 1 1
( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)
n n
n n n n n n n n n n
 
 
  
  
 
 
     
 
 
1 1 1 1
2 1.2 ( 1) 4
lim
n n n

 
  
 

 
Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng S =
1
4
c) 2 2
1 2
... ...
9 225 (2 1) (2 1)
n
n n
   
 
Hội tụ và tổng S =
1
8
Gợi ý:
   
2 2
2 2
2 2 2 2
(2 1) (2 1) 1 1 1
(2 1) (2 1) 8.(2 1) (2 1) 8 2 1 2 1
n n n
n n n n n n
 
  
  
 
 
     
 
2 Các chuỗi sau hội tụ hay phân kì? Tại sao?
a)
1
3
( 1)
5
n
n
n


 
 
 
 

 
1 1 1
3 3
( 1) ( 1)
5 5
n n
n n
n n n
  
  
   
    
   
   
  

 
1
) ( 1)n
n


 
 là chuỗi PK
1
3
)
5n
n


 
  
 
 là chuỗi HT
Do đó chuỗi đã cho PK
b)
1
1
4 1
n
n
n
n


 
 

 

Ta có:
1
1
4 1
n
n
n
n


 
 

 
 là chuỗi dương và ta lại có:
1
1 1
ln 1 .
1 1
1 1 1 1
lim lim 0
4 1 4 4 4
lim lim n n
n
n
n
n
n n
n n
n
n
a e e e
 

   
   
   
    
   
   
   
   
   

 
 
 
    
 

 
Nên chuỗi đã cho PK
3 Sử dụng các tiêu chuẩn: So sánh; Cauchy; D’Alambert; Tích phân, xét sự hội
tụ:
a) 2
1 10 1
n
n
n

 

Ta có: 2
1 10 1
n
n
n

 
 là chuỗi dương
2
1
10 1 10
n
n n

 khi n  .
Mà 1
1
10
n n


 phân kì nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi đã cho phân kì.
b)
2 ( 1)( 2)
n
n
n n

  

Ta có
2 ( 1)( 2)
n
n
n n

  
Ta lại có: 1 0
( 1)( 2)
lim lim
n
n n
n
n n
a
 
  
 
nên chuỗi đã cho PK
c)
2
2
2
1
1
n
n
n



 
 

 


Ta có:
2
2 2
1 1
1 ( 1)
n
n n

 

 
 
 
Mà 2
2
1
( 1)
n n

 
 HT nên chuỗi đã cho HT
d) 3/4
1
1 1
n
n n
n


  

aa
Và: 3/4 5/4
3/4
1 1 2 1
( 1 1)
n n
n n
n n n
  

  
 khi n  
Hơn nữa: 5/4
2
1
n n


e) 2
2
1 1
n
n
n
n n



 
 
 

Ta có 2 2 2
1 1 1 1 1
1 .
n n
n
e
n n n n n

   
 
   
   
 khi n   mà 2
2
n
e
n


 HT nên => HT
f)
2
1
ln
n n



2
1
ln
n n


 Là chuỗi dương
Ta có ln n n
 với mọi n ≥2 nên
1 1
ln n n
 Mà
2
1
n n


 PK => Chuỗi đã cho PK
g)
2
ln
n
n
n



Ta có: 3/4
1
1 1
n
n n
n


  

Ta lại có:
ln ln 2
n
n n

với mọi n ≥2
Mà
2
ln 2
n n


 PK => Chuỗi đã cho PK
h)
2
1 1
ln
1
n
n
n
n



 
 

 

Chuỗi đã cho là dương.
Ta có 3/2
1 1 1 2 1 2 2
ln ln 1 .
1 1 1
n
n n n n
n n n

   
 
   
  
   
  khi n  
Mà 3/2
2
2
n n


 HT => chuỗi đã cho HT
i)
1
1 1
ln
n
n
n n



 

 
 

(Dùng khai triển Mac)
Ta có: 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln 1 ( )
2 2
n
o
n n n n n n n n n

     
       
     
     
 khi n  
Do đó chuỗi đã cho HT
j)
2
2 2
2
1
ln tan
n
n n
n n n


 

 
 

 

Chuỗi đã cho là dương
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2 3
1 1 1 1
ln tan ln 1 tan .
n n n n n n
n n n n n n n n n n
   
  
 
   
   
  
   
  khi n  
Ta có:
2
ln
n
n
n



k) 2
1
(3 1)!
.8n
n
n
n




(Sử dụng Tiêu chuẩn D’Alambert với những chuỗi có “!”)
2 2
2 1 2
1 (3 4)! .8 (3 2)(3 3)(3 4).
. 1
( 1) .8 (3 1)! 8.( 1)
lim lim lim
n
n
n n n
n
n
n n n n n n
n n n
a
a 
  
    
    
  
Do đó chuỗi đã cho PK
l) 2 1
2
1.3.5...(2 1)
2 ( 1)!
n
n
n
n






2 1
2 1
1 1.3.5...(2 1) 2 .( 1)! 2 1 1
. 1
2 . ! 1.3.5...(2 1)! 4 2
lim lim lim
n
n
n n n
n
n
n n n
n n n
a
a


  
  
  
   
 

 
=>chuỗi đã cho HT
4 Xét sự HT
2
1
1 1
) 1
5
n
n
n
a
n


 

 
 

Chuỗi đã cho dương nên ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy
2
1 1 1 1
1 1
5 5
lim lim lim
n n
n
n
n n n
n
n
n n
a
  
   
   
   
   
1 1
ln 1 .
lim lim
1 1 1
1
5 5 5
n n
n n
n n
e
e
e  
   
   
   
   
   
   
   
   
 
   
2
1
3 ( !)
)
(2 )!
n
n
n
b
n



Chuỗi dương nên ta xét:
1 2 2
2
1 3 (( 1)!) (2 )! 3( 1) 3
. 1
(2 2)! 3 ( !) (2 1)(2 2) 4
lim lim lim
n
n
n n n
n
n
n n n
n n n n
a
a

  

 
 
   
 
  
 
=>chuỗi đã cho HT

2
1
5
)
2n
n
n
c




Chuỗi dương nên ta xét:
2 2
1 2 2
1 ( 1) 5 2 2 6 1
. 1
2 5 2( 5) 2
lim lim lim
n
n
n n n
n
n
n n n
n n
a
a 
  

 
   
   
 
 
 
nên chuỗi đã cho HT
( 1)
1
1
)
1
n n
n
n
d
n




 
 

 

( 1) 1 1
( 1)ln
1
1 1 lim
1 1
lim lim lim n
n n n n
n
n n n
n
n n n
n n
a
n n e 
  
 
  

 
  
 
   
  
   
 
   
2 2( 1)
( 1)ln 1 2
1 1
lim lim 1
n n
n
n
n n e
e e
 
  
 
  
 
 
 
   
Nên chuỗi đã cho HT
2
2
1
7 ( !)
)
n
n
n
n
e
n



Chuỗi dương.
1
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
7 (( 1)!) 7( 1) .
.
( 1) 7 ( !) ( 1) .( 1)
lim lim lim
n
n n n
n n n
n n n
n
n n n n
a
a n n n n



  
 
 
 
 
  
 
2
2
2 2
1 7
1 ... 1
( 1) 1
7lim 7lim
n
n
n
n n
n
n n e
 
 
     
 
 
 
2
1
)
4 3
n
n
n
f n
n


 
 

 

Chuỗi dương.
2 2 1 1
2 2
1
.
4 3 4 3 16
lim lim lim lim
n
n n
n n
n
n n n n
n n
a n n n
n n
   
   
 
   
 
   


  0
1
2
1 1 1
... 1
16 16 16
lim
n
n
n e

     => Chuỗi đã cho HT
2
1
1
ln
)
n
n
g
n



Ta có
2 2
1 1 1
1
ln
ln
n
n n n
n
n a
n n
  
  
   
  
 Chọn 3/2
1
n
b
n
 3/2
1 1
1
) n
n n
b
n
 
 
 
  là chuỗi HT
Ta có:
3/2 ( ')
2 1/2 1/2
ln ln 2
... 0
lim lim lim lim
L
n
n n n n
n
a n n n
b n n n
   
    
=>
1
n
n
a


 HT. Suy ra chuỗi đã cho HT
1
) sin (2 3)n
n
h 


 

 

Bạn đọc có thể cập nhật trên nhóm “BK – Đại Cương Môn Phái” trên Facebook.
2
3
1
)
ln (ln ln )
n
i
n n n



Chuỗi đã cho dương và giảm nên ta xét 2
1
( ) , 3
ln (lnln )
f x x
x x x
 
2 2 2
3
3 3 3 3
(ln ) (lnln ) 1
( ) lnln3
ln (lnln ) ln (ln ln ) (ln ln ) ln ln
dx d x d x
f x dx
x x x x x x x

   
       
   
Tích phân này hội tụ nên chuỗi đã cho cũng HT
1
. !
)
n
n
n
e n
k
n



Chuỗi PK

Gợi ý: Sử dụng công thức Stirling: ! 2
n
n
n n
e

 
 
 

5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau
a)
2
1
1
1
n
n
n e


 

 
 

2 2
1
1 1
1
n
n e n
n n
   
 
   
 
 
 khi n   => Chuỗi đã cho PK
b)
1
( 1) 1
ln
n
n n n


 


2 2 1
1 1 1 1
( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2
ln 2 ln(2k) 2 1 ln(2k 1) 2 ln(2k)
n k k
n k n k
n n k k k

   
   
     
  
     
   
Lại có:
2 2 1
2 ln(2k) 2
k k k
 

Mà
1
1
k k


 PK nên chuỗi đã cho PK
c)
1
arcsin( )
n
n
e




Chuỗi dương.
1 1
arcsin( ) arcsin( ) ( )
n
n n
e n
e e

  

1
1
n
n e


 HT (vì
1
e
<1) nên Chuỗi đã cho HT
d)
2 2
1
sin( ),
n
n a a



 
 

e) 1
1.3.5...(2 1)
3 . !
n
n
n
n




Chuỗi dương.
1
1
1.3.5...(2 1) 3 . ! 2 1 2
. 1
3 .( 1)! 1.3.5...(2 1) 3 3
lim lim lim
n
n
n
n n n
n
a n n n
a n n n


  
 
 
  
 
 
 

f)
3
1
cos ,
n
n
a
a
n


 

 
 
 
+a = 0
:
3
1 1
0
cos 1
n
n n
n
 
 
 

 
 
  PK
+a ≠ 0: Chuỗi dương và ta có:
3 2
2
ln cos
lim
cos cos
lim lim lim n
n n a
n
n n
n n n
n
n
a a
n n
a e 
 
 
 
  
   
  
   
   
2 2
2 2 2
2
ln 1 cos 1 . cos 1 .
2
2
lim lim lim 1
n n n
a a a a
n n n
n n n
e e e e
  
 

   
   
   
 
   
   
     
     
  
 
Nên chuỗi đã cho HT
g)
2
2
1
.2
( 1)
n n
n
n
n
n

 

Chuỗi dương và ta có:
2
2
.2 2 1
1
( 1) 1
( 1)
lim lim lim 2lim
n
n n n
n
n
n
n n n n
n
n
n n
n n
n
a
   
 
   
 
 
 

1
1
ln 1
1 1
2
lim lim 2. 1
2 2
. .
n n
n
n
n n e
e
e e
 
 
   
 
    
 
   
 
 
 
 
   
 nên chuỗi đã cho HT

h)
1
1
,( , 0)
(ln )
n n n
 
 




i) 3
3 2
( 1) 2cos
,
(ln )
n
n
n
a
n n



 

 
Ta có: 3/2 3/2
( 1) 2cos 3
, 3
(ln ) (ln )
n
n
n
n n n n

 
  
Dãy 3/2
3
(ln )
n n
 
 
 
dương và giảm về 0 nên ta xét:
3/2
1
( ) , 3
(ln )
f x x
x x
 
 
1/2
3/2 3/2
3
3 3 3
(ln )
( ) 2 ln 2ln3
(ln ) (ln )
dx d x
f x dx x
x x x
   

      
   => 3/2
3
3
(ln )
n n n


 HT
j) 2
1
,( ,0 1)
(1 )n
n
na
a a
a


  

 
Xét ,
2
2 1 2 2
1 ( 1) (1 ) 1 1
.
(1 ) (1 ) 1
) lim lim lim
n
n
n n
n
n
n
n a a n
a na n a a
a
a 
 

   
  
  

2
1
1 2
1
a
a
  

Khi đó chuỗi 2
1 (1 )n
n
na
a

 
2
1
1 0 2
1
a
a
   

Khi đó chuỗi 2
1 (1 )n
n
na
a

 
 PK nên chuỗi đã cho PK (Theo
D’Alambert)
2
1 (1 )n
n
na
a

 
 2
(1 )
n n
na
a
a



2
1
1 2
1
a
a
  

Khi đó chuỗi đã cho có dạng:
1
( 1) .( 2).
n
n
n


 
 PK
Vậy chuỗi đã cho HT với 2
a  và PK với 0 2
a
 
6 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau
1
1
)
1 n
n
a
x

 

Ta có
1 1
1 n n
x x

 khi n  . Mà
1
1
n
n x


 HT khi 1
x 
 MHT:  
1,1
x 

2
1
)
1
n
n
n
x
b
x

 

2 2
1
1
n n
n n n
x x
x x x


 khi n  
Do đó ta có MHT:  
1,1
x 

1
1
) x
n
n
c
xn




1 1
1 1 1 1
.
x x x x
n n
xn xn xn x n
 

 
 Mà 1 1
1 1
1 1 1 1
x x
n n
x n x n
 
 
 

  HT khi 1 1 2
x x
   
 MHT: (2, )
x 
1
cos
)
2nx
n
nx
d



Ta có
cos 1 1
2 2 (2 )
nx nx x n
nx
  Mà
1
1
(2 )
x n
n


 HT khi 2 1 0
x
x
  
 MHT: (0, )
x 

1
2
1
( 1)
)
1
n
n
e
n x






Ta có:
1
2 2
2
( 1) 1 1
1 1
n
n x n x
n x



 
 Mà 2
1
1
n n x


 HT với mọi 0
x 
 MHT: {0}
x 
1
1
ln
)
n
n
x
n
f
x e


 

 
 


1/2 1/2
1 1
ln ln
ln
ln 1,( )
( ) ( )
lim lim lim lim
n
n
n n
n n n n
n
n
x x
x
n n
x x e
x e x e
x e
a
   
   
 
   
   
     
 

Chuỗi đã cho PK ( , )
x e
  
1
3 2
) . ,
( 1)
n
n
n x
g
n x





 

 
  
 
1/ 1/
3 2 3 2 3 2
. .
( 1) ( 1) ( 1)
lim lim lim lim
n n
n
n n
n
n n n n
n x x n x n
a
n x x n x n
  
   
   
  
 
  
   
 
  
     
 
3 2
1
ln ln( 1)
3 2
lim
. n
x
x
n n
n x
x
e k



 
 
 
  
  
3 2 1
) 1 1 1
2
x
k x
x

      
3 2 1
) 1 1 1
2
x
k x x
x

        Chuỗi trở thành
1 ( 1)
n
n
n 

 
 không hội tụ với mọi α
Do đó ta có MHT:
1
,1
2
x
 
 
 

1
1
)
2
n
n n
n
h x
x


 

 
 

1
) n
n
n
n
x
i
x



1
1
lim lim lim lim
n
n
n
n
n
n
n n n n
n
n
x x
x
x x
a k

   
   
+ 1
x  : k = 0 => Chuỗi HT
+ 1
x 
1 1
1
n
n
n
n n
x
x
 
 

  : Phân kì
+ 1
x  : k   Chuỗi PK
 MHT: ( , 1) (1, )
x     
 
1 2
5
1
2 1
) . 2
( 1)
n
n
n
k x
n







1 2 5
1
5 1 2 2
(2 3).( 2) ( 1) 1
. ...
( 2) (2 1)( 2) ( 2)
lim lim
n
n
n
n n
n
a n x n
k
a n n x x
 


 
  
   
   
2
1
) 1 1 1 3
( 2)
k x x
x
         

2
1
) 1 1 1 3
( 2)
k x x
x
         
 Chuỗi trở thành
 
5
1
2 1
( 1)
n
n
n





 là chuỗi HT
Do đó ta có MHT: ( , 3] [ 1, )
x    
7 Dùng tiêu chuẩn Weiertrass, chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên tập
tương ứng
a) 2
1 (1 )
n
n
n
x
x

 
 trên R
2
2
1
1 2
1 2
x
x x
x
   

b) 1
1
1 2 1
.
2 2
n
n
n
x
x




 
 

 
 trên  
1;1

2 1 1
1 1
2 2
x x
x x
 
  
 
 
1;1
x
  

2 2
1 1
(1 ) 1 2 2
n n
n
n n
x
x
x x
   
   
   
   
 
Mà
1
1
2n
n


 HT nên ta có đpcm.
1 1
1 2 1 1
.
2 2 2
n
n n
x
x
 

 
 
 

 
Mà 1
1
1
2n
n



c) 1
1
1
2 1
n
n nx


 
 trên [0; )

Ta có: 1 1
nx
  0
x
 
 1
1
1 1
2
2 1
n
n
nx




Mà 1
1
1
2n
n



d)
2 2
2
1
n x
n
e
n



 trên R
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 1
,( 1)
.
n x
n x
n x
e
e
n n
n e

  
2
1
1
n n


 HT nên ta có đpcm
8 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số
a) 2
1
( 2)n
n
x
n




Đặt y = x – 2
Chuỗi đã cho trở thành 2 2
1 1
1
,
n
n
n n
n n
y
a y a
n n
 
 
 
 
Ta có Bán kính hội tụ 2 2
1
1 1
: 1
( 1)
lim lim
n n
n
n
a
R
a n n
 

 
  
 

 
Do đó chuỗi HT với 1
y  và PK với 1
y 
+ Tại y = 1, Chuỗi trở thành 2
1
1
n n


 HT
+ Tại y = -1, Chuỗi trở thành 2
1
( 1)n
n n



 HT

MHT: 1 2 1 1 3
y x x
      
b) 2
1
1
( 1)n
n n x

 

Đặt
1
1
y
x


khi đó chuỗi trở thành chuỗi lũy thừa 2
1
n
n
y
n



MHT:
1
1 1 ( ;0] [2; )
1
y x
x
       

c)
2 5
2
1
( 3)
4
n
n
x
n






2 7 2
2
1
2 2 5
(x 3) 4
. ( 3)
( 1) 4 ( 3)
lim lim
n
n
n
n n
n
a n
x
a n x



 
 
  
  
Do đó chuỗi đã cho HT khi: 2
( 3) 1 2 4
x x
    
Dễ thấy tại x=2; x=4 chuỗi cũng HT
MHT: [2;4]
x
d)
2
1
(2 1)
.2
n
n
n
x
n




Đặt
2
(2 1)
y x
  => Chuỗi trở thành
1 .2
n
n
n
y
n



Bán kính hội tụ R = 1
1
1 1 2( 1)
: 2
.2 ( 1).2
lim lim lim
n
n n
n n n
n
a n
a n n n

  

  
  
 

 

+ Tại y = 2 Chuỗi 1 1
2 1
.2
n
n
n n
n n
 
 

  PK
+ Tại y = - 2 Chuỗi
1 1
( 2) ( 1)
.2
n n
n
n n
n n
 
 
 

  HT
Do đó chuỗi đã cho HT với 2 2
y
   => MHT:
1 2 1 2
;
2 2
x
 
 
 
 
 
e) 1
1
2 1
2 1
n
n
n
n x
x




 
 

 

Đặt
2 1
1
x
y
x



. Chuỗi đã cho trở thành 1
1 2
n
n
n
n
y




Bán kính hội tụ R =
1
1
1 2
: 2
2 2 1
lim lim lim
n
n n
n n n
n
a n n n
a n

  


 
  
 

 
Tại y = 2 Chuỗi 1
1 1
2 2
2
n
n
n n
n
n
 

 

  PK
Tại y = - 2 Chuỗi  
1
1 1
( 2) 1 2
2
n
n
n
n n
n
n
 

 
  
  PK
Do đó chuỗi đã cho HT với 2
y  => MHT:  
1;
x  
f)
1
( 1)
1
n
n
x
n





Đặt y = x+1
Chuỗi HT với 1
y  => MHT:  
2;0
x 
g)
2 1
1
( 5)
2 .4
n
n
n
x
n






2 1 2 1 2
1
1
( 5) ( 5) ( 5)
:
(2 2).4 2 .4 4
lim lim
n n
n n
n
n n
n
a x x x
a n n
 
 


 
  
 
 

 
Do đó chuỗi đã cho HT khi:
2
( 5)
1 7 3
4
x
x

     
Tại x= - 3
2 1
1 1
2 1
2 .4 4
n
n
n n
n n

 
 

  là chuỗi PK
Tại x = - 7
2 1 2 1
1 1 1
( 2) ( 1) 1
2 .4 4 4
n n
n
n n n
n n n
 
  
  
  
 
   PK
MHT: ( 7; 3)
x  
h)
1 2
2
1
( 1) .(2 1) .( 1)
(3 2)
n n n
n
n
n x
n



  


Đặt y = x – 1
2 2 2 2
2 2 2 2
1
(2 1) (2 1) (3 1) 9
:
(3 2) (3 1) (2 1) 4
lim lim lim
n n
n
n n
n n n
n
a n n n
R
a n n n


  

 
  
   
 
  
 
9
)
4
y
  Chuỗi trở thành
1 2
2
1
9
( 1) .(2 1) .
4
(3 2)
n
n n
n
n
n
n



 
   
 


PK
1 2 2 ( )
1/3
2 2
( 1) .(2 1) 9 9 (2 1)
. . ... 0
(3 2) 4 4 (3 2)
lim lim lim
n n n
n
n
n n L
n n
n n
a e
n n
  

 
 
  
 
 
    
 
 
 
 
   
 
9
)
4
y
   tương tự, chuỗi PK
Do đó chuỗi chuỗi đã cho HT với
9
4
y  => MHT:
5 13
;
4 4
x

 
 
 

i)
1
!
( 3)n
n
n
n
x
n




Đặt y = x + 3
1
1
! ( 1)! ( 1) 1
: 1
( 1)
lim lim lim lim
n n n n
n
n
n
n n n
n
a n n n
e
a n n n n
R
   


 
   
     
   
  
 
y e
 Chuỗi trở thành:
1
! n
n
n
n
e
n


 PK
y e
 Tương tự, chuỗi PK
9 Tính tổng các chuỗi sau
a)  
2 5
2
1
, 3;3
3 (2 1)
n
n
n
x
x
n



 


2 1
4
2
1
( )
3 (2 1)
n
n
n
x
f x x
n






Xét hàm:
2 1 2 2
2
2 2 2
1 1 1
1 9
( ) '( )
3 (2 1) 3 9 9
1
9
n
n n
n n
n n n
x x x
g x g x
x
n x

  
  
 
     
 
 
  
  
4
2
9 3 3 3 3
( ) ln ( ) ln
9 2 3 2 3
x x
g x dx f x x
x x x
 
    
  

b)
1
1
1
( 1)
(2 1).3
n
n
n n







1 1
1 2 1
1 1
( 1) ( 1)
3
(2 1).3 (2 1).( 3)
n n
n n
n n
n n
 
 
 
 
 

 
 
Đặt
1
3
t  và xét
1 2 1
1
( 1) .
( )
(2 1)
n n
n
t
f t
n
 






 1 2 2 2 1
2
1 1
1
'( ) ( 1) . ( )
1
n n n
n n
f t t t
t
 
  
 
    

 
 2
( ) arctan
1
dt
f t t
t
 




1 1
( ) arctan
6
3 3
f

 

1
1
1
( 1) 1 3
3
(2 1).3 6
3
n
n
n
f
n





  
 
 
  

c)  
2 2
1
, 1;1
(2 1)(2 2)
n
n
x
x
n n



 
 

 
2 2
1
( ) , 1;1
(2 1)(2 2)
n
n
x
f x x
n n



  
 

2 1 2 1
1 1
'( ) (2 2)
(2 1)(2 2) (2 1)
n n
n n
x x
f x n
n n n
 
 
 
  
  
 
2
2
2
1 1
1
''( ) (2 1)
(2 1) 1
n
n
n n
x
f x n x
n x
 
 
   
 
 
 
2
0 0
1
'( ) '(0) ''( ) ln(1 t) ln(1 )
1 2
x x
dt
f x f f t dt t
t
       

 
=>  
1
'( ) ln(1 ) ln(1 )
2
f x x x
    (vì '(0) 0
f  )
 
0 0
1
( ) (0) '( ) ln(1 t) ln(1 ) ( 1)ln(1 ) ( 1)ln(1 )
2
x x
f x f f t dt t dt x x x x
            
 
( ) ( 1)ln(1 ) ( 1)ln(1 )
f x x x x x
       (vì (0) 0
f  )
Cách khác:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
(2 1)(2 2) 2 1 2 2
n n n
n n n
x x x
n n n n
  
  
  
 
   
  
d)  
2
1
1 2
, 1;1
n
n
n
x x
n n



 
 
 

 

2
1 1 1 1
1 2 1 1
( )
1 1
n n
n n
n n n n
n x x
f x x x
n n n n n n
   
   

   
    
   
  
   
   
+) Xét hàm:
1
1 1
1
( ) '( ) ( ) ln(1 )
1 1
n
n
n n
x dx
g x g x x g x x
n x x
 

 
        
 
  
1
1 1
1
)
1 1
n n
n n
x x
n x n

 
 
 
 
  Xét tiếp:
1
1 1
( ) '( )
1 1
n
n
n n
x x
h x h x x
n x

 
 
   
 
 

( ) ln(1 )
1
xdx
h x x x
x
     


1 1
( ) ln(1 ) ( ln(1 ) ) ln(1 ) 1
x
f x x x x x
x x

           
10 Khai triển thành chuỗi Maclaurin
a)
3
2
1
( )
4 3
x x
f x
x x
 

 
3
2
1 3 1 31 1
( ) 4
4 3 2 1 6 1
3
x x
f x x
x
x x x
 
    
   

0 0
3 31
( ) 4
2 6 3
n
n
n
n n
x
f x x x
 
 
   
  ( -1 < x < 1)
b) ( ) sin3 cos3
f x x x x
 
Ta có:
2 1
0
(3 )
) sin3 ( 1)
(2 1)!
n
n
n
x
x
n



  


2
0
(3 )
) cos3 ( 1)
2 !
n
n
n
x
x
n


  

2 1 2
0 0
(3 ) (3 )
( ) sin3 cos3 ( 1) ( 1)
(2 1)! 2 !
n n
n n
n n
x x
f x x x x x
n n

 
 
      

 
c) 2
1
( )
4
f x
x


2 2 4 2
1/2 1
3 1
2
1 1 1 3 1.3.5...(2n 1).
( ) (1 ) ... ( 1)
2 4 2 16 128.2! !.2
4
n
n
n
x x x x
f x
n
x
 


        

d)
2
( ) ln(1 2 )
f x x x
  
2
ln(1 2 ) ln(1 x) ln(1 2x)
x x
     

Ta lại có: 1
1
ln(1 ) ( 1)
n
n
n
x
x
n



  

Do đó:
1
1 1
( )
ln(1 ) ( 1)
n n
n
n n
x x
x
n n
 

 

    
 
1 1
1 1
(2 ) 2
ln(1 2 ) ( 1) ( 1)
n n n
n n
n n
x x
x
n n
 
 
 
    
 
1
1 1
2
( ) ( 1)
n n n
n
n n
x x
f x
n n
 

 
   
 
11
a) Khai triển ( )
f x x
 thành chuỗi lũy thừa của x – 4
Ta có
( ) ( )
0 1
(4) (4)
( ) ( 4) (4) ( 4)
! !
n n
n n
n n
f f
f x x f x
n n
 
 
    
 
(4) 2
f 
1/2
1
'( )
2
f x x
 =>
1
'(4)
4
f 
3/2 3/2
1 1 1
''( ) .
2 2 4
f x x x
 
 
   
 
 
=>
1
''(4)
32
f  
1 2
1 1
( ) ( )
2
3 1
( 1) .1.3.5...(2 3) ( 1) .(2 3)!!
( ) (4)
2 2
n
n n
n n
n n
n n
f x f
x

 

   
  

1
2 3 1
2
1 ( 1) (2 3)!!
( ) 2 ( 4) ( 4)
2 2 . !
n
n
n
n
n
f x x x
n




 
    

b) Khai triển ( ) sin
3
x
f x

 thành chuỗi lũy thừa của x – 1
3
(1)
2
f 
( )
( ) sin
3 3 2
n
n x
f x n
  
   
 
   
   

( )
(1) sin
3 3 2
n
n
f n
  
   
 
   
   

1
2 1
1
3 ( 1)
( ) sin
2 ! 3 3 2
n
n
n
n
f x n x
n
  




    
  
   
   


c) Khai triển 2
1
( )
3 2
f x
x x

 
thành chuỗi lũy thừa của x + 4
Ta có
1 1
( )
1 2
f x
x x
 
 
1
( 4)
6
f  
( )
1 1
1 1
( ) ( 1) . !.
( 1) ( 2)
n n
n n
f x n
x x
 
 
  
 
 
 

( )
1 1 1 1
1 1 1 1
( 4) ( 1) . !. ( 1) !
( 3) ( 2) 3 2
n n n
n n n n
f n n
   
   
      
 
 
   
 
 1 1
1
1 1 1
( ) ( 1) ( 4)
6 3 2
n n
n n
n
f x x

 

 
    
 
 

d) Khai triển ( ) ln
f x x
 thành chuỗi lũy thừa của
1
1
x
x


Đặt:
1 1
1 1 1 ( 1)
( ) ln ln(1 ) ln(1 )
1 1 1
n n n
n n
x t t t t
t x f t t t
x t t n n
 
 
   
          
  
 

1 1
1 1 ( 1) 1
( )
1 1
n n
n
n n
x x
f x
n x n x
 
 
  
   
 
   
 
   
 
12
a) Khai triển Fourier các hàm số sau
1/ ( ) , 1
f x x x
  chu kì 2.
Ta có 1
l  và f(x) là hàm chẵn.
Do đó:
1 1
0 0 0 0
2
( ) 2 2 1
l
a f x dx x dx xdx
l
   
  
1
1
2 2
0 0
0
2 sin(n x) cos(n x)
( )cosn x 2 cos(n x) 2
n n
l
n
x
a f x dx x dx
l l
  

 
 
   
 
 
  (TPTP)

  2 2
2 2
4
, 2 1
2
cos 1 , *
0, 2
n k
n k N
n
n
n k
 



 

   



0
n
b 

0
2 2
1 1
1 4 cos(2 1)
( ) ( cos sin )
2 2 (2 1)
n n
n n
a n x
f x a n x b n x
l l n
  

 
 

    

 
20
/ ( ) 2 ,0 1
f x x x
   Kéo dài f(x) thành các hàm chu kì 2 và khai triển.
+) Xét g( ) 2 , 1 1
x x x
    tuần hoàn chu kì 2.
Ta đi khai triển Fourier hàm g(x)
Ta có g(x) chẵn và 1
l 
1 1
0 0 0
2 ( ) 2 2 2
a g x dx xdx
  
 
1 1
2 2
0 0
4
2 ( )cosn x 2 2 cosn x ... ( 1) 1
n
n
a g x dx x dx
n
 

 
     
 
  (TPTP)
0
n
b 
2 2
1
8 cos(2 1)
( ) 1 ( ),(0 1)
(2 1)
n
n x
g x f x x
n





     


+) Nếu kéo dài f thành hàm lẻ:
Ta xét ( ) 2 , 1 1
h x x x
   
Ta có:
1 1
0
1 1
( ) 2 0
a h x dx xdx
 
  
 
1
1 1
0 0
4.( 1)
2 ( )sinn x 2 2 sinn x ...
n
n
b h x dx x dx
n
 



   
  (TPTP)
0
n
a 
1
1
4 ( 1)
( ) sin ( ),(0 1)
n
n
h x n x f x x
n






    


30
/ ( ) 10 ,5 15
f x x x
    chu kì 10
Đặt 10
t x
  khi đó ta
có:
( )
f t t
 với 5 5
t
  
Ta đi khai triển hàm f(t) với chu kì 10 ,
Lại có l = 5 và f(t) là hàm lẻ.
Do đó :
5 5
0 5 5
1 1
( ) 0
5 5
a f t dt tdt
 
  
 
0
n
a 
5 5
0 0
2 2
( )sin(n ) . n(n )
5 5 5 5
n
b f t t dt t si t dt
 
 
  (TPTP)
5
1
2 2
0
2 5 25 10cos 10
cos( ) sin( ) .( 1)
5 5 5
n
t n
n t n t
n n n n
  
   

 
 
    
 
 

1
1 1
10 ( 1)
( ) sin sin
5 5
n
n
n n
f t b n t n t
n
 


 
 

 
 

1
1
10 ( 1)
( ) sin (10 )
5
n
n
f x n x
n






 

b)
2
( )
f x x
 trên  
;
 
 . Hãy khai triển Fourier của hàm f(x) sau đó tính tổng các
chuỗi số   2
1
1
1
n
n n



 , 2
1
1
n n



+) Khai triển
Ta có f(x) là hàm chẵn.
2
2
0
1 1 2
( )
3
a f x dx x dx
 
 

 
 
  
 
2
2
0 0 0
0
2 2 2 2
( )cosnx x cosnx sin xsinnx
n
x
a f x dx dx nx dx
n n

  
  
 
 
   
 
 
  

2 2
0 0
0
4 1 4 1 4
cos cos cos sin ( 1)n
x
nx nxdx n nx
n n n n n n n
 



 
   
   
     
   
   
   

0
n
b 

2
2
1
( 1)
( ) 4 .
3
n
n
f x cosnx
n
 


  
+) Tính giá trị của chuỗi:
Ta có
2
2
1
( 1)
0 (0) 4 .
3
n
n
f
n
 


   
2
2
1
( 1)
.
12
n
n n




  

Lại có:
2 2
2
2 2
1 1
( 1) 1
( ) 4 . 4 .
3 3
n
n n
f cosn
n n
 
  
 
 

    
 
2
2
1
1
6
n n



 


Giải đề cương giải tích 3

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Giải đề cương giải tích 3

Similar to Giải đề cương giải tích 3 (20)

More from Trường Việt Nam

More from Trường Việt Nam (10)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Giải đề cương giải tích 3