Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu

M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s
- 1 -
S GIÁO D C & ðÀO T O ð NG NAI
Trư ng THPT BC Lê H ng Phong
Giáo viên th c hi n
NGUY N T T THU
Năm h c: 2008 – 2009

- 2 -
M C L C
M C L C....................................................................................................................................1
L I M ð U..............................................................................................................................3
I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG
DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T. ............................................................4
II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S ...........24
III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI
TOÁN V DÃY S - T H P...............................................................................................30
BÀI T P ÁP D NG .................................................................................................................41
K T LU N – KI N NGH ......................................................................................................45
TÀI LI U THAM KH O........................................................................................................46

- 3 -
L I M ð U
Trong chương trình toán h c THPT các bài toán liên quan ñ n dãy s là m t ph n
quan tr ng c a ñ i s và gi i tích l p 11 , h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn khi gi i
các bài toán liên qua ñ n dãy s và ñ c bi t là bài toán xác ñ nh công th c s h ng t ng
quát c a dãy s . Hơn n a m t s l p bài toán khi ñã xác ñ nh ñư c công th c t ng
quát c a dãy s thì n i dung c a bài toán g n như ñư c gi i quy t. Do ñó xác ñ nh công
th c t ng quát c a dãy s chi m m t v trí nh t ñ nh trong các bài toán dãy s .
Chuyên ñ “M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ”
nh m chia s v i các b n ñ ng nghi p m t s kinh nghi m gi i bài toán xác ñ nh CTTQ
c a dãy s mà b n thân ñúc rút ñư c trong quá trình h c t p và gi ng d y.
N i dung c a chuyên ñ ñư c chia làm ba m c :
I: S d ng CSC – CSN ñ xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a m t s d ng dãy s
có d ng công th c truy h i ñ c bi t.
II: S d ng phương pháp th lư ng giác ñ xác ñ nh CTTQ c a dãy s
III: ng d ng c a bài toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s vào gi i m t s bài toán v
dãy s - t h p .
M t s k t qu trong chuyên ñ này ñã có m t s sách tham kh o v dãy s , tuy
nhiên trong chuyên ñ các k t qu ñó ñư c xây d ng m t cách t nhiên hơn và ñư c s p
x p t ñơn gi n ñ n ph c t p giúp các em h c sinh n m b t ki n th c d dàng hơn và
phát tri n tư duy cho các em h c sinh.
Trong quá trình vi t chuyên ñ , chúng tôi nh n ñư c s ñ ng viên, giúp ñ nhi t
thành c a BGH và quý th y cô t Toán Trư ng THPT BC Lê H ng Phong. Chúng tôi
xin ñư c bày t lòng bi t ơn sâu s c.
Vì năng l c và th i gian có nhi u h n ch nên chuyên ñ s có nh ng thi u sót. R t
mong quý Th y – Cô và các b n ñ ng nghi p thông c m và góp ý ñ chuyên ñ ñư c t t
hơn.

- 4 -
M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH
CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S
I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S
D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T.
Trong m c này chúng tôi xây d ng phương pháp xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy
s có công th c truy h i d ng ñ c bi t. Phương pháp này ñư c xây d ng d a trên
các k t qu ñã bi t v CSN – CSC , k t h p v i phương pháp ch n thích h p. Trư c h t
chúng ta nh c l i m t s k t qu ñã bi t v CSN – CSC .
1. S h ng t ng quát c a c p s c ng và c p s nhân
1.1: S h ng t ng quát c a c p s c ng
ð nh nghĩa: Dãy s ( )n
u có tính ch t 1n n
u u d−
= + 2n∀ ≥ , d là s th c không ñ i
g i là c p s c ng .
d : g i là công sai c a CSC; 1
u : g i s h ng ñ u, n
u g i là s h ng t ng quát c a c p s
ð nh lí 1: Cho CSC ( )n
u . Ta có : 1
( 1)n
u u n d= + − (1).
ð nh lí 2: G i nS là t ng n s h ng ñ u c a CSC ( )n
u có công sai d. Ta có:
1
S [2 ( 1) ]
2n
n
u n d= + − (2).
1. 2: S h ng t ng quát c a c p s nhân
ð nh nghĩa: Dãy s ( )n
u có tính ch t 1
. *n n
u q u n+
= ∀ ∈ ℕ g i là c p s nhân công
b i q .
ð nh lí 3: Cho CSN ( )n
u có công b i q . Ta có:
1
1
n
n
u u q −
= (3).
ð nh lí 4: G i nS là t ng n s h ng ñ u c a CSN ( )n
u có công b i q . Ta có:
1
1 -
1 -
n
n
q
S u
q
= (4).

- 5 -
2. Áp d ng CSC – CSN ñ xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s ñ c bi t
Ví d 1.1: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s ( )n
u ñư c xác ñ nh b i:
1 1
1, 2 2n n
u u u n−
= = − ∀ ≥ .
Gi i:
Ta th y dãy ( )n
u là m t CSC có công sai 2d = − . Áp d ng k t qu (1) ta có:
1 2( 1) 2 3n
u n n= − − = − + .
Ví d 1.2: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s ( )n
1 1
3, 2 2n n
u u u n−
= = ∀ ≥ .
Gi i:
Ta th y dãy ( )n
u là m t CSN có công b i 2q = . Ta có: 1
3.2n
n
u −
= .
Ví d 1.3: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy ( )n
1 1
2, 3 1 2n n
u u u n−
= − = − ∀ ≥ .
Gi i:
Trong bài toán này chúng ta g p khó khăn vì dãy ( )n
u không ph i là CSC hay CSN! Ta
th y dãy ( )n
u không ph i là CSN vì xu t hi n h ng s 1− VT. Ta tìm cách làm m t
1− ñi và chuy n dãy s v CSN.
Ta có:
3 1
1
2 2
− = − + nên ta vi t công th c truy h i c a dãy như sau:
1 1
1 3 1
3 3( )
2 2 2n n n
u u u− −
− = − = − (1).
ð t 1
1 5
2 2n n
v u v= − ⇒ = − và 1
3 2n n
v v n−
= ∀ ≥ . Dãy ( )n
v là CSN công b i 3q =
1 1
1
5
. .3
2
n n
n
v v q − −
⇒ = = − . V y
1 5 1
.3
2 2 2
n
n n
u v= + = − + 1,2,...,..n∀ = .
Nh n xét: M u ch t cách làm trên là ta phân tích
3 1
1
2 2
− = − + ñ chuy n công th c
truy h i c a dãy v (1), t ñó ta ñ t dãy ph ñ chuy n v dãy ( )n
v là m t CSN. Tuy
nhiên vi c làm trên có v không t nhiên l m! Làm th nào ta bi t phân tích
3 1
1
2 2
− = − + ? Ta có th làm như sau:

- 6 -
Ta phân tích
1
1 3
2
k k k− = − ⇒ = .
V i cách làm này ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy 1 0
1
( ) :
2n
n n
u x
u
u au b n−
 =

= + ∀ ≥
.
Th t v y:
* N u 1a = thì dãy ( )n
u là CSC có công sai d b= nên 1
( 1)n
u u n b= + − .
* N u 1a ≠ , ta vi t
1 1
ab b
b
a a
= −
− −
. Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như
sau: 1
( )
1 1n n
b b
u a u
a a−
+ = +
− −
, t ñây ta có ñư c: 1
1
( )
1 1
n
n
b b
u u a
a a
−
+ = +
− −
Hay
1
1
1
1
1
n
n
n
a
u u a b
a
−
− −
= +
−
.
V y ta có k t qu sau:
D ng 1: Dãy s 1 0 1
( ) : , 2n n n
u u x u au b n−
= = + ∀ ≥ ( , 0a b ≠ là các h ng s ) có
CTTQ là:
1
1
1
1
( 1) khi 1
1
. khi a 1
1
n
n n
u n b a
u a
u a b
a
−
−
 + − =

=  −
+ ≠
 −
.
Ví d 1.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy ( )n
u ñư c xác ñ nh : 1 1
2; 2 3 1n n
u u u n−
= = + − .
Gi i: ð tìm CTTQ c a dãy s ta tìm cách làm m t 3 1n − ñ chuy n v dãy s là m t
CSN. Mu n làm v y ta vi t :
3 1 3 5 2 3( 1) 5n n n − = − − + − +  (2).
Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như sau:
3 5 2 3( 1) 5n n
u n u n + + = + − + .
ð t 3 5n n
v u n= + + , ta có: 1
10v = và 1 1
1 1
2 2 .2 10.2n n
n n n
v v n v v − −
−
= ∀ ≥ ⇒ = =
V y CTTQ c a dãy ( ) : 3 5 5.2 3 5 1,2,3,...n
n n n
u u v n n n= − − = − − ∀ = .
Chú ý : 1) ð phân tích ñư c ñ ng th c (2), ta làm như sau:

- 7 -
3 1 2 ( 1)n an b a n b − = + − − +  . Cho 1; 2n n= = ta có:
2 3
5 5
a b a
b b
 − = = − 
⇔ 
− = = −  
.
2) Trong trư ng h p t ng quát dãy ( ) 1
1
:
( ) 2n
n n
u
u
u au f n n−


= + ∀ ≥
, trong ñó ( )f n
là m t ña th c b c k theo n , ta xác ñ nh CTTQ như sau:
Phân tích ( ) ( ) ( 1)f n g n ag n= − − (3) v i ( )g n cũng là m t ña th c theo n . Khi ñó ta
có: 1
1 1
( ) ( 1) ... (1)n
n n
u g n a u g n a u g−
−
   − = − − = = −   
V y ta có: 1
1
(1) ( )n
n
u u g a g n−
 = − +  .
V n ñ còn l i là ta xác ñ nh ( )g n như th nào ?
Ta th y :
*N u 1a = thì ( ) ( 1)g n ag n− − là m t ña th c có b c nh hơn b c c a ( )g n m t b c và
không ph thu c vào h s t do c a ( )g n , mà ( )f n là ña th c b c k nên ñ có (3) ta
ch n ( )g n là ña th c b c 1k + , có h s t do b ng không và khi ñó ñ xác ñ nh ( )g n
thì trong ñ ng th c (3) ta cho 1k + giá tr c a n b t kì ta ñư c h 1k + phương trình,
gi i h này ta tìm ñư c các h s c a ( )g n .
* N u 1a ≠ thì ( ) ( 1)g n ag n− − là m t ña th c cùng b c v i ( )g n nên ta ch n ( )g n là
ña th c b c k và trong ñ ng th c (3) ta cho 1k + giá tr c a n thì ta s xác ñ nh ñư c
( )g n .
D ng 2: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy ( )n
u ñư c xác ñ nh b i: 1 0
1
. ( )n n
u x
u a u f n−
 =

= +
, trong
ñó ( )f n là m t ña th c b c k theo n ; a là h ng s . Ta làm như sau:
Ta phân tích: ( ) ( ) . ( 1)f n g n a g n= − − v i ( )g n là m t ña th c theo n . Khi ñó, ta ñ t
( )n n
v u g n= − ta có ñư c: 1
1
(1) ( )n
n
u u g a g n−
 = − +  .
Lưu ý n u 1a = , ta ch n ( )g n là ña th c b c 1k + có h s t do b ng không, còn n u
1a ≠ ta ch n ( )g n là ña th c b c k .
Ví d 1.5: Cho dãy s 1
1
2
( ) :
2 1n
n n
u
u
u u n−
 =

= + +
. Tìm CTTQ c a dãy ( )n
u .
Gi i: Ta phân tích 2 2
2 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)n g n g n a n n b n n   + = − − = − − + − −  

- 8 -
( trong ñó 2
( )g n an bn= + ).
Cho 0, 1n n= = ta có h : 21 1
( ) 2
3 2
a b a
g n n n
a b b
 − + = = 
⇔ ⇒ = + 
+ = =  
.
2
2 1n
u n n⇒ = + − .
Ví d 1.6: Cho dãy s
1
1
1
( ) :
3 2 ; 2,3,...nn
n n
u
u
u u n−
 =

= + =
.Tìm CTTQ c a dãy ( )n
u .
Gi i: Ta v n b t chư c cách làm trong các ví d trên, ta phân tích:
1
2 .2 3 .2n n n
a a −
= − . Cho 1n = , ta có: 1
2 2 2.2 3.2.2n n n
a −
= − ⇒ = − +
Nên ta có: 1 1
1 1
2.2 3( 2.2 ) ... 3 ( 4)n n n
n n
u u u− −
−
+ = + = = +
V y 1 1
5.3 2n n
n
u − +
= − .
Chú ý : Trong trư ng h p t ng quát dãy 1
( ) : . . n
n n n
u u a u b α−
= + , ta phân tích
1
. .n n n
k akα α α −
= − v i ( )a α≠ .
Khi ñó: ( ) ( )1 1
1 1
. . ...n n n
n n
u kb a u kb a u bkα α − −
−
− = − = = −
Suy ra 1
1
( ) .n n
n
u a u bk bk α−
= − + .
Trư ng h p aα = , ta phân tích 1
. ( 1).n n n
n nα α α α −
= − −
( )1 1
1 1
. ( 1). ... ( )n n n
n n
u bn u b n u bα α α α α− −
−
⇒ − = − − = = −
1
1
( 1) n n
n
u b n uα α −
⇒ = − + . V y ta có k t qu sau.
D ng 3: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy
1
1
( ) :
. . 2nn
n n
u
u
u a u b nα−


= + ∀ ≥
, ta làm như
sau:
• N u 1
1
( 1) n n
n
a u b n uα α α −
= ⇒ = − + .
• N u a α≠ , ta phân tích 1
. .n n n
k akα α α −
= − . Khi ñó: 1
1
( ) .n n
n
u a u bk bk α−
= − +
Ta tìm ñư c: k
a
α
α
=
−
.

- 9 -
Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy
1
1
2
( ) :
5 2.3 6.7 12 ; 2,3,...n nn
n n
u
u
u u n−
 = −

= + − + =
.
Gi i: Ta có:
1
1
3 .3 5 .3
7 .7 5 .7
n n n
n n n
k k
l l
−
−
 = −

= −
cho 1n = , ta ñư c:
3
2
7
2
k
l

= −

 =

Hơn n a 12 3 5.3= − + nên công th c truy h i c a dãy ñư c vi t l i như sau:
( )1 1 1
1 1
3.3 21.7 3 5 3.3 21.7 3 ... 5 ( 9 147 3)n n n n n
n n
u u u− − −
−
+ + + = + + + = = + + +
V y 1 1 1
157.5 3 3.7 3n n n
n
u − + +
= − − − .
1
1
1
( ) :
2 3 ; 2nn
n n
u
u
u u n n−
 =

= + − ∀ ≥
.
Gi i: Ta phân tích:
1
3 3.3 2.3.3
2 2 ( 1) 2
n n n
n n n
− = −

 = − − + − +  
nên ta vi t công th c truy h i c a dãy
như sau: 1 1
1 1
3.3 2 2 3.3 ( 1) 2 ... 2 ( 12)n n n
n n
u n u n u− −
−
 − − − = − − − − = = −
 
V y 1 1
11.2 3 2n n
n
u n− +
= − + + + .
D ng 4: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy
1
1
( ) :
. . ( ); 2nn
n n
u p
u
u a u b f n nα−
 =

= + + ∀ ≥
, trong
ñó ( )f n là ña th c theo n b c k , ta phân tích n
α và ( )f n như cách phân tích d ng 2
và d ng 3.
Ví d 1.9: Xác ñ nh CTTQ c a dãy 0 1 1 2
( ) : 1, 3, 5 6 2.n n n n
u u u u u u n− −
= − = = − ∀ ≥
Gi i: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy ( )n
u b ng m t dãy s khác là
m t CSN. Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy như sau:

- 10 -
1 1 2 1 1 2
. ( )n n n n
u x u x u x u− − −
− = − , do ñó ta ph i ch n 1 2
1 2
1 2
5
, :
6
x x
x x
x x
 + =

=
hay 1 2
,x x là
nghi m phương trình : 2
5 6 0 2; 3x x x x− + = ⇔ = = . Ta ch n 1 2
2; 3x x= = . Khi ñó:
1 1
1 1 2 1 0
2 3( 2 ) ... 3 ( 2 ) 5.3n n
n n n n
u u u u u u− −
− − −
− = − = = − =
1
1
2 5.3n
n n
u u −
−
⇒ = + . S d ng k t qu d ng 3, ta tìm ñư c: 5.3 6.2n n
n
u = − .
Chú ý : Tương t v i cách làm trên ta xác ñ nh CTTQ c a dãy ( )n
0 1
1 2
;
. . =0 2n n n
u u
u a u b u n− −


− + ∀ ≥
, trong ñó ,a b là các s th c cho trư c và 2
4 0a b− ≥
như sau:
G i 1 2
,x x là hai nghi m c a phương trình : 2
0 (4)x ax b− + = ( phương trình này
ñư c g i là phương trình ñ c trưng c a dãy).
Khi ñó: 1
1 1 2 1 1 2 2 1 1 0
. ( . ) ... ( . )n
n n n n
u x u x u x u x u x u−
− − −
− = − = = − .
S d ng k t qu c a d ng 3, ta có các trư ng h p sau:
• N u 1 2
x x≠ thì 2 0 1 1 0
1 2
2 1
. .n n
n
x u u u x u
u x x
x x y x
− −
= +
− −
. Hay 1 2
. .n n
n
u k x l x= + , trong ñó
,k l là nghi m c a h : 0
1 2 1
. .
k l u
x k x l u
 + =

+ =
.
• N u 1 2
x x α= = thì 1 0 0
1
( )
2 2
n
n
u a au
u u nα −
 
= + − 
  
, hay 1
( ) n
n
u kn l α −
= + , trong
ñó ,k l là nghi m c a h : 0
1
.l u
k l u
α =

+ =
.
D ng 5: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy ( )n
u : 0 1
1 2
;
. . 0 2n n n
u u
u a u b u n− −


− + = ∀ ≥
, trong
ñó , ,a b c là các s th c khác không; 2
4 0a b− ≥ ta làm như sau:
G i 1 2
,x x là nghi m c a phương trình ñ c trưng: 2
0x ax b− + = .

- 11 -
• N u 1 2
x x≠ thì 1 2
. .n n
n
u k x l x= + , trong ñó ,k l là nghi m c a h : 0
1 2 1
. .
k l u
x k x l u
 + =

+ =
.
• N u 1 2
x x α= = thì 1
( ) n
n
u kn l α −
= + , trong ñó ,k l là nghi m c a h : 0
1
.l u
k l u
α =

+ =
.
Ví d 1.10: Cho dãy s ( )n
u ñư c xác ñ nh b i : 0 1
1 1
1; 2
4 1n n n
u u
u u u n+ −
 = =

= + ∀ ≥
.
Hãy xác ñ nh CTTQ c a dãy ( )n
u .
Gi i:
Phương trình 2
4 1 0x x− − = có hai nghi m 1 2
2 5; 2 5x x= + = − .
1 2
. .n n
n
u k x l x⇒ = + . Vì 0 1
1; 2u u= = nên ta có h :
1
(2 5) (2 5) 2
k l
k l
 + =

+ + − =
1
2
k l⇔ = = . V y
1
(2 5) (2 5)
2
n n
n
u  = + + −
 
.
Ví d 1.11: Xác ñ nh CTTQ c a dãy: 0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 0 2,3,...n
n n n
u u
u
u u u n− −
 = =

− + = ∀ =
.
Gi i:
Phương trình ñ c trưng 2
4 4 0x x− + = có nghi m kép 2x = nên 1
( )2n
n
u kn l −
= +
Vì 0 1
1; 3u u= = nên ta có h :
2
1; 2
3
l
k l
k l
 =
⇔ = =
+ =
.
V y 1
( 2)2n
n
u n −
= + .
Ví d 1.12: Cho dãy
0 1
2
1 2
1; 3
( ) :
5 6 2 2 1; 2n
n n n
u u
u
u u u n n n− −
 = − =

− + = + + ∀ ≥
. Xác ñ nh
CTTQ c a dãy ( )n
u .
Gi i:
V i cách làm tương t như Ví d 1.4, ta phân tích: 2
2 2 1n n+ + =

- 12 -
2 2 2
( ) 5 ( 1) ( 1) 6 ( 2) ( 2)kn ln t k n l n t k n l n t   = + + − − + − + + − + − +
   
(5)
(5) cho 0; 1; 2n n n= = = ta có h :
19 7 2 1 1
7 5 2 5 8
3 2 13 19
k l t k
k l t l
k l t t
 − + = =
 
− + = ⇔ = 
 − − + = =
 
.
ð t 2
0 1
8 19 20; 25n n
v u n n v v= − − − ⇒ = − = − và 1 2
5 6 0n n n
v v v− −
− + =
.3 .2n n
n
v α β⇒ = + . Ta có h :
20 15
3 2 25 35
α β α
α β β
 + = − = 
⇔ 
+ = − = −  
2
15.3 35.2 15.3 35.2 8 19n n n n
n n
v u n n⇒ = − ⇒ = − + + + .
Chú ý : ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s : 0 1
1 1
;
( ) :
. . ( ) ; 2n
n n n
u u
u
u a u b u f n n+ −


+ + = ∀ ≥
,
( trong ñó ( )f n là ña th c b c k theo n và 2
4 0a b− ≥ ) ta làm như sau:
• Ta phân tích ( ) ( ) ( 1) ( 2)f n g n ag n bg n= + − + − (6) r i ta ñ t ( )n n
v u g n= −
Ta có ñư c dãy s 0 0 1 1
1 2
(0); (1)
( ) :
0 2n
n n n
v u g v u g
v
v av bv n− −
 = − = −

+ + = ∀ ≥
. ðây là dãy s mà ta ñã xét
trong d ng 5. Do ñó ta s xác ñ nh ñư c CTTQ c a n n
v u⇒ .
• V n ñ còn l i là ta xác ñ nh ( )g n như th nào ñ có (6) ?
Vì ( )f n là ña th c b c k nên ta ph i ch n ( )g n sao cho ( ) ( 1) ( 2)g n ag n bg n+ − + − là
m t ña th c b c k theo n . Khi ñó ta ch c n thay 1k + giá tr b t kì c a n vào (6) ta s
xác ñ nh ñư c ( )g n .
Gi s 1
1 1 0
( ) ...m m
m m
g n a n a n a n a−
−
= + + + + ( 0m
a ≠ ) là ña th c b c m . Khi ñó h
s c a m
x và 1m
x −
trong VP là: .(1 )m
a a b+ + và 1
( 2 ) . (1 )m m
a b m a a b a −
 − + + + +  .
Do ñó :
)i N u PT: 2
0x ax b+ + = (1) có nghi m hai nghi m phân bi t khác 1 thì
1 0a b+ + ≠ nên VP(6) là m t ña th c b c m .
)ii N u PT (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó có m t nghi m 1x = 1 0a b⇒ + + =
và 1
( 2 ) . (1 ) ( 2 ). . 0m m m
a b m a a b a a b m a−
− + + + + = − + ≠ nên VP(6) là m t ña th c b c
1m − .
)iii N u PT (1) có nghi m kép 1x = 2; 1a b⇒ = − = nên VP(6) là m t ña th c b c
2m − .
V y ñ ch n ( )g n ta c n chú ý như sau:

- 13 -
N u (1) có hai nghi m phân bi t, thì ( )g n là m t ña th c cùng b c v i ( )f n
N u (1) có hai nghi m phân bi t, trong ñó m t nghi m b ng 1 thì ta ch n
( ) . ( )g n n h n= trong ñó ( )h n là ña th c cùng b c v i ( )f n .
N u (1) có nghi m kép 1x = thì ta ch n 2
( ) . ( )g n n h n= trong ñó ( )h n là ña th c
cùng b c v i ( )f n .
D ng 6: ð tìm CTTQ c a dãy 0 1
1 2
;
( ) :
. . ( ) ; 2n
n n n
u u
u
u a u b u f n n− −


+ + = ∀ ≥
,
( trong ñó ( )f n là ña th c theo n b c k và 2
4 0b ac− ≥ ) ta làm như sau:
Xét ( )g n là m t ña th c b c k : 1 0
( ) ...k
k
g n a n a k a= + + + .
• N u phương trình : 2
0 (1)x ax b+ + = có hai nghi m phân bi t, ta phân tích
( ) ( ) ( 1) ( 2)f n g n ag n bg n= + − + − r i ñ t ( )n n
v u g n= − .
• N u (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó m t nghi m 1x = , ta phân tích
( ) . ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)f n n g n a n g n b n g n= + − − + − − r i ñ t . ( )n n
v u n g n= − .
• N u (1) có nghi m kép 1x = , ta phân tích
2 2 2
( ) . ( ) ( 1) . ( 1) ( 2) . ( 2)f n n g n a n g n b n g n= + − − + − − r i ñ t 2
. ( )n n
v u n g n= − .
Ví d 1.13: Xác ñ nh CTTQ c a dãy 0 1
1 2
1; 4
( ) :
3 2 2 1 2n
n n n
u u
u
u u u n n− −
 = =

− + = + ∀ ≥
.
Gi i:
Vì phương trình 2
3 2 0x x− + = có hai nghi m 1; 2x x= = nên ta phân tích
2 1 ( ) 3( 1) ( 1) 2( 2) ( 2)n n kn l n k n l n k n l   + = + − − − + + − − +    , cho 0; 1n n= = ta
có h :
5 1
1; 6
3 3
k l
k l
k l
 − =
⇔ = − = −
− =
.
ð t 0 1
( 6) 1; 11n n
v u n n v v= + + ⇒ = = và 1 2
3 2 0n n n
v v v− −
− + =
.2 .1n n
n
v α β⇒ = + v i
1
, : 10; 9
2 11
α β
α β α β
α β
 + =
⇔ = = −
+ =
1 2
10.2 9 5.2 6 9 0,1,2,...n n
n n
v u n n n+
⇒ = − ⇒ = − − − ∀ = .

- 14 -
Ví d 1.14: Tìm CTTQ c a dãy s
0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 3 5.2 2nn
n n n
u u
u
u u u n− −
 = − =

− + = ∀ ≥
.
Gi i: Ta phân tích 1 2
2 .2 4 .2 3 .2n n n n
a a a− −
= − + .
Cho 2n = ta có: 4 4 8 3 4a a a a= − + ⇔ = −
ð t 0 1
5.4.2 19; 43n
n n
v u v v= + ⇒ = = và 1 2
4 3 0n n n
v v v− −
− + =
Vì phương trình 2
4 3 0x x− + = có hai nghi m 1, 3x x= = nên .3 .1n n
n
v α β= +
V i
19
, : 12; 7 12.3 7
3 43
n
n
v
α β
α β α β
α β
 + =
⇔ = = ⇒ = +
+ =
.
V y 1 2
4.3 5.2 7 1,2,...n n
n
u n+ +
= − + ∀ = .
Chú ý : V i ý tư ng cách gi i trên, ta tìm CTTQ c a dãy s ( )n
0 1
1 2
;
. . . 2n
n n n
u u
u a u b u c nα− −


+ + = ∀ ≥
(v i 2
4 0a b− ≥ ) như sau:
Ta phân tích 1 2
. . . .n n n n
k a k b kα α α α− −
= + + (7).
Cho 2n = thì (7) tr thành: 2 2
( . )k a bα α α+ + =
T ñây, ta tìm ñư c
2
2
k
a b
α
α α
=
+ +
khi α không là nghi m c a phương trình :
2
0x ax b+ + = (8).
Khi ñó, ta ñ t . n
n n
v u kc α= − , ta có dãy 0 0 1 1
1 2
;
( ) :
. 0 2n
n n n
v u kc v u kc
v
v a v bv n
α
− −
 = − = −

+ + = ∀ ≥
1 2 1 2
. . ( ,n n
n
v p x q x x x⇒ = + là hai nghi m c a (8)).
1 2
. . .n n n
n
u p x q x kc α⇒ = + + .
V y n u x α= là m t nghi m c a (8), t c là: 2
0a bα α+ + = thì ta s x lí th nào ?
Nhìn l i cách gi i d ng 3, ta phân tích :
1 2
. . ( 1) ( 2)n n n n
kn a k n bk nα α α α− −
= + − + − (9).
Cho 2n = ta có: 2
(2 ) (2 ) ( )
2 2
a
k a k a k
a
α
α α α α α α
α
+ = ⇔ + = ⇔ = ≠ −
+
.
(2)⇒ có nghi m k α⇔ là nghi m ñơn c a phương trình (8).
Khi ñó: 1 2
. . .n n n
n
u p x q x kcn α⇒ = + + .

- 15 -
Cu i cùng ta xét trư ng h p
2
a
x α= = − là nghi m kép c a (8). V i tư tư ng như trên,
ta s phân tích: 2 2 1 2 2
. . ( 1) ( 2)n n n n
kn a k n bk nα α α α− −
= + − + − (10).
Cho 2n = ta có: 2 2 1
(10) 4 . .
4 2
k ak k
a
α
α α α
α
⇔ = + ⇒ = =
+
.
Khi ñó: 2
1 2
1
. . .
2
n n n
n
u p x q x cn α⇒ = + + .
D ng 7: Cho dãy s ( )n
u xác ñ nh b i:
0 1
1 2
;
. . . ; 2n
n n n
u u
u a u b u c nα− −


+ + = ∀ ≥
.
ð xác ñ nh CTTQ c a dãy ( )n
u ta làm như sau:
Xét phương trình : 2
0 (11)x ax b+ + =
• N u phương trình (11) có hai nghi m phân bi t khác α thì
1 2
. . .n n n
n
u p x q x kc α= + + v i
2
2
k
a b
α
α α
=
+ +
.
• N u phương trình (11) có nghi m ñơn x α= thì
1 2
. . .n n n
n
u p x q x kcn α= + + v i
2
k
a
α
α
=
+
.
• N u x α= là nghi m kép c a (11) thì : 21
( ).
2
n
n
u p qn cn α= + + .
Ví d 1.15: Xác ñ nh CTTQ c a dãy
0 1
1 2
1; 3
( ) :
5 6 5.2 2nn
n n n
u u
u
u u u n− −
 = − =

− + = ∀ ≥
.
Gi i:
Phương trình 2
5 6 0x x− + = có hai nghi m 1 2
2; 3x x= = , do ñó
.2 .3 5 .2n n n
n
u p q kn= + + .

- 16 -
V i
2
2
2 4 5
1 2; 26; 25
2 3 10 3
k
a
p q k p q
p q k
α
α

= = = −
+ −
+ = − ⇔ = − = − =
 + + =


.
V y 1
26.2 25.3 10 .2 25.3 2 (5 13)n n n n n
n
u n n+
= − + − = − + 1,2,...n∀ = .
− −
 = =

− + =
0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 3.2nn
n n n
u u
u
u u u
.
Gi i:
Phương trình 2
4 4 0x x− + = có nghi m kép 2x = nên 23
( )2
2
n
n
u p qn n= + +
D a vào 0 1
,u u ta có h :
1
1; 1
0
p
p q
p q
 =
⇔ = = −
+ =
.
V y 2 1
(3 2 2)2 1,2,...n
n
u n n n−
= − + ∀ = .
V i cách xây d ng tương t ta cũng có ñư c các k t qu sau:
D ng 8: Cho dãy ( ):nu 0 1 2
1 2 3
, ,
0 3n n n n
u u u
u au bu cu n− − −


+ + + = ∀ ≥
.ð xác ñ nh CTTQ
c a dãy ta xét phương trình: 3 2
0x ax bx c+ + + = (12) .
• N u (12) có ba nghi m phân bi t 1 2 3 1 2 3
, , n n n
n
x x x u x x xα β γ⇒ = + + . D a vào
0 1 2
, ,u u u ta tìm ñư c , ,α β γ .
• N u (12) có m t nghi m ñơn, 1 nghi m kép:
1 2 3 1 3
( ) .n n
n
x x x u n x xα β γ= ≠ ⇒ = + +
D a vào 0 1 2
• N u (12) có nghi m b i 3 2
1 2 3 1
( ) n
n
x x x u n n xα β γ= = ⇒ = + + .
D a vào 0 1 2
Ví d 1.17: Tìm CTTQ c a dãy ( ) :n
u 1 2 3
1 2 3
0, 1, 3,
7 11. 5. , 4n n n n
u u u
u u u u n− − −
 = = =

= − + ∀ ≥

- 17 -
Gi i : Xét phương trình ñ c trưng : 3 2
7 11 5 0x x x− + − =
Phương trình có 3 nghi m th c: 1 2 3
1, 5x x x= = =
V y 5n
n
a nα β γ= + +
Cho 1, 2, 3n n n= = = và gi i h phương trình t o thành, ta ñư c
1 3 1
, ,
16 4 16
α β γ= − = =
V y ( ) 11 3 1
1 .5
16 4 16
−
= − + − + n
na n .
Ví d 1.18: Tìm CTTQ c a dãy s 0 1 1
0 1 1
2; 2
( ),( ) : 1
1; 2
n n n
n n
n n n
u u u v
u v n
v v u v
− −
− −
 = = +
∀ ≥
= = +
.
Gi i:
Ta có: 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2( 2 )n n n n n n n n
u u u v u u u u− − − − − − −
= + + = + + −
1 2
4 3n n n
u u u− −
⇒ = − và 1
5u =
T ñây, ta có:
1 1
1
1 3 1 3
2
2 2
n n
n n n n
u v u u
+ +
+
+ − +
= ⇒ = − = .
Tương t ta có k t qu sau:
D ng 9: Cho dãy 1 1 1
1 1 1
;
( ),( ) :
;
n n n
n n
n n n
x px qy x
x y
y ry sx y
− −
− −
 = +

= +
. ð xác ñ nh CTTQ c a hai dãy
( ),( )n n
x y ta làm như sau:
Ta bi n ñ i ñư c: 1 2
( ) ( ) 0n n n
x p s x ps qr x− −
− + + − = t ñây ta xác ñ nh ñư c n
x ,
thay vào h ñã cho ta có ñư c n
y .
Chú ý : Ta có th tìm CTTQ c a dãy s trên theo cách sau:
Ta ñưa vào các tham s ph λ , 'λ
1 1
1 1
( )( )
'
' ( ' )( )
'
n n n n
n n n n
q r
x y p s x y
s p
q r
x y p s x y
p s
λ
λ λ
λ
λ
λ λ
λ
− −
− −
 −
− = − − −⇒ 
+ + = + +
 +

- 18 -
Ta ch n λ , 'λ sao cho 1 1
1 1
( )( )
' ' ( ' )( ' )
'
'
n n n n
n n n n
q r
x y p s x ys p
q r x y p s x y
s p
λ
λ λ λ λλ
λ λ λ λ
λ
λ
− −
− −
 −
=  − = − − − ⇒ 
+ + = + + =
 +
1
1 1
1
1 1
( ) ( )
' ( ' ) ( ' )
n
n n
n
n n
x y p s x y
x y p s x y
λ λ λ
λ λ λ
−
−
 − = − −

+ = + +
gi i h này ta tìm ñư c( ) ( ),n nx y .
1
1
1
1
( ) : 2
2
3 4
n n
n
n
u
u u
u n
u
−
−
 =


= ∀ ≥ +
.
Gi i: Ta có 1
1 1
3 41 3 1
2
2 2
n
n n n
u
u u u
−
− −
+
= = + . ð t
1
n
n
x
u
= , ta có:
1
1
1
3
2
2n n
x
x x −
 =


= +

1
1
5.2 3 2
2 5.2 3
n
n n n
x u
−
−
−
⇒ = ⇒ =
−
.
1
1
1
2
( ) : 9 24
2
5 13
n n
n
n
u
u u
u n
u
−
−
 =

− −
= ∀ ≥ +
.
Gi i: Bài toán này không còn ñơn gi i như bài toán trên vì trên t s còn h s t do,
do ñó ta tìm cách làm m t h s t do trên t s . Mu n v y ta ñưa vào dãy ph b ng
cách ñ t n n
u x t= + . Thay vào công th c truy h i, ta có:
2
1 1
1 1
9 9 24 ( 9 5 ) 5 22 24
5 5 13 5 5 13
n n
n n
n n
x t t x t t
x t x
x t x t
− −
− −
− − − − − − − −
+ = ⇒ =
+ + + +
Ta ch n 2
1
: 5 22 24 0 2 4t t t t x+ + = ⇒ = − ⇒ =
1
1
1
1 1
1 3 1 11.3 10 4
5
5 3 4 11.3 10
n
n
n n n
n n n n
x
x x
x x x x
−
−
−
− −
−
⇒ = ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
+ −
1
1
22.3 24
2
11.3 10
n
n n n
u x
−
−
− +
⇒ = − =
−
.

- 19 -
D ng 10: Cho dãy ( n
u ): 1
1
1
; 2n
n
n
pu q
u u n
ru s
α −
−
+
= = ∀ ≥
+
. ð tìm CTTQ c a dãy (xn)
ta làm như sau:
ð t n n
u x t= + , thay vào công th c truy h i c a dãy ta có:
2
1 1
1 1
( ) ( )n n
n
n n
px pt q p rt x rt p s t q
x t
ru rt s rx rt s
− −
− −
+ + − − + − +
= − =
+ + + +
(13).
Ta ch n 2
: ( ) 0t rt s p t q+ − − = . Khi ñó ta chuy n (13) v d ng:
1
1 1
n n
a b
x x −
= +
T ñây ta tìm ñư c
1
n
x
, suy ra n
u .
Ví d 1.21: Xác ñ nh CTTQ c a hai dãy s 1
1
2
( ),( ) :
1n n
u
u v
v
 =

=
và
2 2
1 1
1 1
2
2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
− −
− −
 = +
∀ ≥
=
.
Gi i:
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2 2 ( 2 )
2 2 2 2 ( 2 )
n n n n n n n
n n n n n n n
u u v u v u v
v u v u v u v
− − − −
− − − −
 = + + = + 
⇒ 
= − = −  
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 ( 2 ) (2 2)
2 ( 2 ) (2 2)
n n
n n
n n
n n
u v u v
u v u v
− −
− −

+ = + = +
⇒ 
 − = − = −

1 1
1 1
2 2
2 2
1
(2 2) (2 2)
2
1
(2 2) (2 2)
2 2
n n
n n
n
n
u
v
− −
− −
  
= + + −    ⇒ 
  = + − −  
.

- 20 -
Nh n xét: T
2
1
2 22 2
11 11 1
1 1 1 1 1
1
2
22
2 2
2
n
nn n nn n n
n n n n n n n
n
u
vu u vu u v
v u v v u v u
v
−
−− −− −
− − − − −
−
 
+   += +  ⇒ = =
=     
 
Do v y n u ta ñ t n
n
n
u
x
v
= ta ñư c dãy s
1
2
1
1
2
( ) : 2
2
n n
n
n
x
x x
x
x
−
−
 =

+
=

. Ta có bài toán sau:
Ví d 1.22: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s
1
2
1
1
2
( ) : 2
2
2
n n
n
n
x
x x
x n
x
−
−
 =

+
= ∀ ≥

.
Gi i:
Xét hai dãy 1
1
2
( ),( ) :
1n n
u
u v
v
 =

=
và
2 2
1 1
1 1
2
2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
− −
− −
 = +
∀ ≥
=
.
Ta ch ng minh n
n
n
u
x
v
= (14).
• 2
2
2
2 2 2
u
n x n
v
= ⇒ = = ⇒ = (14) ñúng.
• Gi s
2 2 2
1 1 1 1
1
1 1 1 1
2 2
(14)
2 2
n n n n n
n n
n n n n n
u x u v u
x x
v x u v v
− − − −
−
− − − −
+ +
= ⇒ = = = ⇒ ñư c ch ng
minh
Theo k t qu bài toán trên, ta có:
1 1
1 1
2 2
2 2
(2 2) (2 2)
2
(2 2) (2 2)
n n
n nn
x
− −
− −
+ + −
=
+ − −
.
D ng 11:
1) T hai ví d trên ta có ñư c cách tìm CTTQ c a hai dãy s ( ),( )n n
u v ñư c xác ñ nh
b i:
2 2
1 1 1
1 1 1
. ;
2 ;
n n n
n n n
u u a v u
v v u v
α
β
− −
− −
 = + =

= =
(trong ñó a là s th c dương) như sau:

- 21 -
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1
. ( )
. 2 . ( )
n n n n n n n
n n n n n n n
u u a v u au u au
a v a v u u au u au
− − − − −
− − − − −
 = + + = + 
⇒ 
= − = −  
1 1
1 1
2 2
2 2
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
n n
n n
n
n
u a a
v a a
a
α β α β
α β α β
− −
− −
  
= + + −    ⇒ 
  = + − −  
.
2) Áp d ng k t qu trên ta tìm ñư c CTTQ c a dãy
1
2
1
1
( ) :
2
n n
n
n
x
x x a
x
x
α
−
−
 =

+
=

.
Xét hai dãy
2 2
1 1 1
1 1 1
. ;
( ),( ) :
2 ; 1
n n n
n n
n n n
u u a v u
u v
v v u v
α− −
− −
 = + =

= =
Khi ñó:
1 1
1 1
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
n n
n n
n
n
n
u a a
x a
v a a
α α
α α
− −
− −
+ + −
= =
+ + −
.
1
2
1 1
1
( ) :
5 24 8 2
n
n n n
u
u
u u u n− −
 =

= + − ∀ ≥
. Tìm n
u ?
Gi i:
Ta có: 2 3 4
9; 89; 881u u u= = = . Gi s : 1 2n n n
u xu yu− −
= +
9 89 10
89 9 881 1
x y x
x y y
 + = = 
⇒ ⇔ 
+ = = −  
. Ta ch ng minh: 1 2
10n n n
u u u− −
= − 3n∀ ≥
T công th c truy h i c a dãy ta có: 2 2
1 1
( 5 ) 24 8n n n
u u u− −
− = −
2 2
1 1
10 8 0n n n n
u u u u− −
⇔ − + + = (15) thay n b i 1n − , ta ñư c:
2 2
2 2 1 1
10 8 0n n n n
u u u u− − − −
− + − = (16).
T 2
(15),(16) ,n n
u u−
⇒ là hai nghi m c a phương trình : 2 2
1 1
10 8 0n n
t u t u− −
− + − =
Áp d ng ñ nh lí Viet, ta có: 2 1
10n n n
u u u− −
+ = .
V y ( ) ( )
1 16 2 6 2
5 2 6 5 2 6
2 6 2 6
n n
n
u
− −− +
= − + + .

- 22 -
D ng 12:
1) Dãy
1
2
1 1
1
( ) :
5 8 2
n
n n n
u
u
u u au n− −
 =

= + − ∀ ≥
là dãy nguyên 24a⇔ = .
Th t v y: 2
5 8 5u a t= + − = + ( 8t a= − ∈ ℕ) 2 2
3
5 ( 8)( 5) 8u t t⇒ = + + + −
2 2 2
3
( ) ( 8)( 5) 8 ( )u f t t t m m⇒ ∈ ⇔ = + + − = ∈ℤ ℤ .
Mà 2 2 2 2
( 5 4) ( ) ( 5 14)t t f t t t+ + < < + + k t h p v i ( )f t là s ch n ta suy ra
2
5m t t x= + + v i { }6,8,10,12x ∈ . Th tr c ti p ta th y 4 24t a= ⇒ = .
2) V i dãy s
1
2
1 1
( ) :
2
n
n n n
u
u
u au bu c n
α
− −
 =

= + + ∀ ≥
, v i 2
1a b− = ta xác ñ nh
CTTQ như sau:
T dãy truy h i 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2 0n n n n n n n
u au bu c u au u u c− − − −
⇒ − = + ⇔ − + − =
Thay n b i 1n − , ta có: 2 2
2 1 2 1
2 0n n n n
u au u u c− − − −
− + − = 2 1
2n n n
u u au− −
⇒ + = .
3) V i dãy
1
1
2
1
( ) :
2nn
n
n
u
uu
u n
a cu b
α
−
−
 =

 = ∀ ≥

+ +
,trong ñó 0; 1aα > > ; 2
1a b− = ta
xác ñ nh CTTQ như sau:
Ta vi t l i công th c truy h i dư i d ng:
2
1 1
1
n n n
a b
c
u u u− −
= + + . ð t
1
n
n
x
u
=
Ta có 2
1 1n n n
u au bx c− −
= + + ñây là dãy mà ta ñã xét trên.
1 2
2
1
2
1
( ) : 2
2n n
n
n
u u
u u
u n
u
−
−
 = =

+
= ∀ ≥

. Tìm n
u ?
Gi i:
Ta có: 3 4 5
3; 11; 41u u u= = = . Ta gi s 1 2n n n
u xu yu z− −
= + + .T 3 4
3; 11;u u= =

- 23 -
5
41u = ta có h phương trình: 1 2
3 4
3 11 1 4
11 3 41 0
n n n
x y z x
x y z y u u u
x y z z
− −
 + + = =
 
+ + = ⇔ = − ⇒ = − 
 + + = =
 
Ta ch ng minh 1 2
1 2
1
( ) :
4 3n
n n n
u u
u
u u u n− −
 = =

= − ∀ ≥
.
• V i 3 2 1
3 4 3 3n u u u n= ⇒ = − = ⇒ = ñúng
• Gi s 1 2
4k k k
u u u− −
= − . Ta có:
( )
2
2 2 2
1 2 1 1 2 2
1
1 1 1
4 22 16 8 2k kk k k k k
k
k k k
u uu u u u u
u
u u u
− − − − − −
+
− − −
− ++ − + +
= = =
2
1 1 2 1 3
1 2 3
1
16 8
16 8k k k k k
k k k
k
u u u u u
u u u
u
− − − − −
− − −
−
− +
= = − +
1 2 2 3 1
4(4 ) (4 ) 4k k k k k k
u u u u u u− − − − −
= − − − = −
Theo nguyên lí quy n p ta có ñpcm ( ) ( )
1 13 1 3 1
2 3 2 3
2 3 2 3
n n
n
u
− −+ −
⇒ = − + + .

- 24 -
II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S
Nhi u dãy s có công th c truy h i ph c t p tr thành ñơn gi n nh phép th lư ng giác.
Khi trong bài toán xu t hi n nh ng y u t g i cho ta nh ñ n nh ng công th c lư ng
giác thì ta có th th v i phương pháp th lư ng giác. Ta xét các ví d sau
Ví d 2.1: Cho dãy 1
2
1
1
( ) : 2
2 1 2
n
n n
u
u
u u n−

=

 = − ∀ ≥

. Xác ñ nh CTTQ c a dãy ( )n
u .
Gi i:
T công th c truy h i c a dãy, ta liên tư ng ñ n công th c nhân ñôi c a hàm s côsin
Ta có: 2
1 2
1 2
cos 2cos 1 cos
2 3 3 3
u u
π π π
= = ⇒ = − =
2
3 4
2 4 8
2cos 1 cos cos
3 3 3
u u
π π π
⇒ = − = ⇒ = ....
Ta ch ng minh
1
2
cos
3
n
n
u
π−
= . Th t v y
• V i
2 1
2
2 2
2 cos cos
3 3
n u
π π−
= ⇒ = = (ñúng)
• Gi s
2 1 1
2 2
1 1
2 2 2
cos 2 1 2cos 1 cos
3 3 3
n n n
n n n
u u u
π π π− − −
− −
= ⇒ = − = − =
V y
1
2
cos
3
n
n
u
π−
= 1n∀ ≥ .
D ng 13: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s
1
2
1
( ) :
2 1 2n
n n
u
u
u u n−


= − ∀ ≥
ta làm như
sau:
• N u 1
| | 1u ≤ , ta ñ t 1
cosu α= . Khi ñó ta có: 1
cos2n
n
u α−
= .
• N u 1
| | 1u > ta ñ t 1
1 1
( )
2
u a
a
= + ( trong ñó 0a ≠ và cùng d u v i 1
u ).
Khi ñó 2 2 4
2 32 2 4
1 1 1 1 1 1
( 2 ) 1 ( ) ( )
2 2 2
u a a u a
a a a
= + + − = + ⇒ = + ....

- 25 -
Ta ch ng minh ñư c
1
1
2
2
1 1
( ) 1
2
n
nn
u a n
a
−
−
= + ∀ ≥ . Trong ñó a là nghi m (cùng d u
v i 1
u ) c a phương trình : 2
1
2 1 0a u a− + = . Vì phương trình này có hai nghi m có
tích b ng 1 nên ta có th vi t CTTQ c a dãy như sau
1 12 2
2 2
1 1 1 1
1
1 1
2
n n
n
u u u u u
− − 
    = − − + + −   
    
 
.
Ví d 2.2: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s 1
3
1 1
3
( ) : 2
4 3 2
n
n n n
u
u
u u u n− −

=

 = − ∀ ≥

.
Gi i:
Ta có:
2
3
1 2 3
3 3
cos 4 cos 3cos cos 3 cos
2 6 6 6 6 6
u u u
π π π π π
= = ⇒ = − = ⇒ = .....
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c:
1
3
cos
6
n
n
u
π−
= .
D ng 14:
1) ð tìm CTTQ c a dãy
1
3
1 1
( ) :
4 3 2n
n n n
u p
u
u u u n− −
 =

= − ∀ ≥
, ta làm như sau
• N u | | 1 0; : cosp pα π α ≤ ⇒ ∃ ∈ =  .
Khi ñó b ng quy n p ta ch ng minh ñư c : 1
cos3n
n
u α−
= .
• N u | | 1p > , ta ñ t 1
1 1
2
u a
a
 
= + 
 
(a cùng d u v i 1
u )
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c
1
1
3
3
1 1
2
n
nn
u a
a
−
−
 
= + 
 
 
.
Hay
1 13 3
2 2
1 1 1 1
1
1 1
2
n n
n
u u u u u
− − 
    = − − + + −   
    
 
.
2) T trư ng h p th hai c a bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ c a dãy s

- 26 -
1
3
1 1
( ) :
4 3 2n
n n n
u p
u
u u u n− −
 =

= + ∀ ≥
b ng cách ñ t 1
1 1
( )
2
u a
a
= − . Khi ñó b ng quy n p
ta ch ng minh ñư c :
1 1
1
1
3 3
3 2 2
1 1 1 1
3
1 1 1
1 1
2 2
n n
n
nn
u a u u u u
a
− −
−
−
       = − = + + + − +              
.
Chú ý : Trong m t s trư ng h p ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy ( )n
u cho b i:
1
3 2
1 1 1
2n n n n
u
u u au bu c n− − −


= + + + ∀ ≥
.
B ng cách ñưa vào dãy ph ñ chuy n dãy ñã cho v m t trong hai d ng trên.
Ví d 2.3: Xác ñ nh CTTQ c a dãy 1
3
( ) :
6
n
u u = và
3 2
1 1 1
24 12 6 15 6 2n n n n
u u u u n− − −
= − + − ∀ ≥ .
Gi i:
ð t .n n
u x v y= + . Thay vào công th c truy h i c a dãy, bi n ñ i và rút g n ta ñư c
3 3 2 2 2 2
1 1 1
. 24 12(6 6 ) 3(24 8 6 5 )n n n n
x v y x v x y x v xy xy x v− − −
+ = + − + − + +
3 2
24 12 6 15 6y y y+ − + − .
Ta ch n
2 2
3 2
6 6 0 1
:
24 12 6 15 6 6
x y x
y y
y y y y
 − =
⇔ =
− + − =
.
Khi ñó: 3 3 2 3
1 1 1 1
. 24 3 . 24 3n n n n n n
x v x v x v v x v v− − − −
= + ⇔ = + . Ta ch n
1
6
x =
3
1 1
4 3n n n
v v v− −
⇒ = + và 1
2v = .
1 1
3 31
(2 5) (2 5)
2
n n
n
v
− − 
⇒ = + + −  
.
V y
1 13 31 1
(2 5) (2 5) 1,2,...
2 6 6
n n
n
u n
− − 
= + + − + ∀ =  
.

- 27 -
Ví d 2.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy 1
2
1
3
( ) : 2
2 2
n
n n
u
u
u u n−

=

 = − ∀ ≥

.
Gi i: ð t
3
cos , ;
4 2
π
α α π
 
− = ∈  
 
, khi ñó :
2
1 2
2cos 2(1 2cos ) 2cos2u uα α α= − ⇒ = − = − .
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c 1
2cos2n
n
u α−
= − .
1
2
1
1
2
( ) :
2 2 1
2
2
n
n
n
u
u
u
u n
−

=


− −
= ∀ ≥
.
Gi i: T công th c truy h i c a dãy, g i ta nh ñ n công th c lư ng giác
2 2 2 2
sin cos 1 1 sin cosα α α α+ = ⇔ − = .
Ta có:
2
1 2
2 2 1 sin 2(1 cos )
1 6 6sin sin
2 6 2 2 2.6
u u
π π
π π
− − −
= = ⇒ = = =
1
sin
2 .6
n n
u
π
−
= .
Ví d 2.6: Cho ,a b là hai s th c dương không ñ i th a mãn a b< và hai dãy ( ),( )n n
a b
ñư c xác ñ nh:
1 1 1
1 1
1
; .
2
; 2
2
n n
n n n n
a b
a b ba
a b
a b a b n− −
−
 +
= =
 + = = ∀ ≥

. Tìm n
a và n
b .
Gi i:
Ta có: 0 1
a
b
< < nên ta ñ t cos
a
b
α= v i 0;
2
π
α
 
∈  
 
Khi ñó: 2
1
(1 cos )cos
cos
2 2 2
bb b
a b
αα α++
= = = và 2
1
. cos cos
2 2
b bb b
α α
= =

- 28 -
2
21 1
2 2
cos cos
2 2 cos .cos
2 2 2 2
b ba b
a b
α α
α α
++
= = = và 2 2
cos cos
2 2
b b
α α
= .
2
2
cos cos ...cos
2 2 2
n n
a b
α α α
= và
2
cos cos ...cos
2 2 2
n n
b b
α α α
= .
Ví d 2.7: Cho dãy
1
1
1
3
( ) : 2 1
2
1 (1 2)
n n
n
n
u
u u
u n
u
−
−
 =

+ −
= ∀ ≥
+ −
. Tính 2003
u (Trích ñ thi
Olympic 30 – 4 – 2003 Kh i 11).
Gi i: Ta có
1
1
tan
8tan 2 1
8
1 tan
8
n
n
n
u
u
u
π
π
π
−
−
+
= − ⇒ =
−
Mà 1 2
tan tan
3 83 tan tan( )
3 3 8
1 tan tan
3 8
u u
π π
π π π
π π
+
= = ⇒ = = +
−
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c tan ( 1)
3 8n
u n
π π 
= + − 
 
.
V y 2003
2002
tan tan ( 3 2)
3 8 3 4
u
π π π π   
= + = + = − +   
   
.
Chú ý : ð tìm CTTQ c a dãy
1
1
1
( ) :
2
1
n n
n
n
u a
u u b
u n
bu
−
−
 =

+
= ∀ ≥ −
.
Ta ñ t tan ; tana bα β= = , khi ñó ta ch ng minh ñư c: tan ( 1)n
u nα β = + − 
1
1
2
1
3
( ) :
2
1 1
nn
n
n
u
uu
u n
u
−
−
 =

 = ∀ ≥

+ +
.

- 29 -
Gi i: Ta có:
2
1 1
1 1 1
1
n n n
u u u− −
= + + . ð t
1
n
n
x
u
= khi ñó ta ñư c dãy ( )n
x ñư c xác
ñ nh như sau: 2
1 1 1
1
và 1
3
n n n
x x x x− −
= = + + .
Vì 2
1 2
1 cos
1 3cot cot 1 cot cot
3 3 3 2.33 sin
3
x x
π
π π π π
π
+
= = ⇒ = + + = =
1 1
cot tan 1,2,...
2 .3 2 .3
n nn n
x u n
π π
− −
= ⇒ = ∀ =

- 30 -
III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S
BÀI TOÁN V DÃY S - T H P
Trong m c này chúng tôi ñưa ra m t s ví d các bài toán v dãy s và t h p mà quá
trình gi i các bài toán ñó chúng ta v n d ng m t s k t qu trên.
Ví d 3.1: Cho dãy s 0 1 1 1( ): 0, 1, 2 1 1n n n na a a a a a n+ −= = = − + ∀ ≥ . Ch ng minh
r ng 2
4 1n n
A a a +
= + là s chính phương.
Gi i:
T công th c truy h i c a dãy ta thay 1n + b i n ta ñư c:
1 1
1 1 2
1 2
2 1
3 3 0
2 1
n n n
n n n n
n n n
a a a
a a a a
a a a
+ −
+ − −
− −
 = − +
⇒ − + − =
= − +
.
Xét phương trình ñ c trưng 3 2
3 3 1 0 1λ λ λ λ− + − = ⇔ =
2
( )n
a n nα β γ⇒ = + + , do 0 1 2
1
0, 1, 3 0,
2
a a a α β γ= = = ⇒ = = = .
2 2 21
( ) ( 1)( 2)( 3) ( 3 1)
2n
a n n A n n n n n n⇒ = + ⇒ = + + + = + + ⇒ñpcm.
Ví d 3.2: Cho dãy s 1 2 1 1
( ) : 7, 50; 4 5 1975 2n n n n
x x x x x x n+ −
= = = + − ∀ ≥ .
Ch ng minh r ng 1996 1997x ⋮ (HSG Qu c Gia – 1997 )
Gi i:
Vì 1975 22(mod1997)− = do ñó ta ch c n ch ng minh dãy
1 1
4 5 22 1997n n n
x x x+ −
= + + ⋮ .
ð t 1 1 1 1
(4 5 22) 4( ) 5( ) 22 8n n n n n n
y ax b a x x b ax b ax b a b+ + − −
= + = + + + = + + + + −
1
4 5 22 8n n
y y a b−
= + + − .
Ta ch n a, b sao cho: 22 8 0a b− = , ta ch n 4 11a b= ⇒ = .
1 1 1 2 1 1
4 11 39, 211; 4 5n n n n n
y x y y y y y+ + + −
⇒ = + ⇒ = = = +
T ñây ta có ñư c:
1996
1996
8( 1) 25.5 8 25.5
3 3
n n
n
y y
− + +
= ⇒ = .
Vì 1996
1996
8 25.5 1 1 0(mod3) y+ ≡ − + = ⇒ ∈ ℤ
Theo ñ nh lí Fecma 1996
1996
5 1(mod1997) 11(mod1997)y≡ ⇒ ≡
1996 1996
4 11 11(mod1997) 0(mod1997)x x⇒ + ≡ ⇒ ≡ .

- 31 -
Nh n xét: T bài toán trên ta có k t qu t ng quát hơn là: 1p
x p−
⋮ v i p là s nguyên t
l .
Ví d 3.3: Cho dãy s 0 1
1 1
20; 100
( ) :
4 5 20 2n
n n n
u u
u
u u u n+ −
 = =

= + + ∀ ≥
.Tìm s nguyên dương
h bé nh t sao cho: 1998 *n h n
u u n+
− ∀ ∈⋮ ℕ (HSG Qu c Gia B ng A – 1998 ).
Gi i:
ð t 2 5n n
a u= + , ta có dãy 0 1
1 1
45; 205
( ) :
4 5 2n
n n n
a a
a
a a a n+ −
 = =

= + ∀ ≥
10 125 125 5 5
( 1) .5 .5 ( 1)
3 3 6 3 2
n n n n
n n
a u⇒ = − + ⇒ = + − − .
Vì 2( ) 1998 2.1998n h n n h n n h n n h n
a a u u u u a a+ + + +
− = − ⇒ − ⇔ −⋮ ⋮ 2 3
2 .3 .37=
Mà
( 1) .10 125.5
( 1) 1 (5 1)
3 3
n n
h h
n h n
a a+
−  − = − − + −
 
• N u h ch n
5 1 4
125.5
(5 1) 4.27.37 5 1 81
3
5 1 37
h
n
h h
n h n
h
a a+
 −

⇒ − = − ⇔ −

−
⋮
⋮ ⋮
⋮
(17)
G i k là s nguyên dương nh nh t th a mãn 5 1 37k
− ⋮ . Vì 36
5 1 37 36 k− ⇒⋮ ⋮
{ }1,2,3,4,12,18,36k⇒ ∈ th tr c ti p ta th y ch có 36k = th a mãn
5 1 37 36 (18)h
h⇒ − ⇒⋮ ⋮
Ch ng minh tương t , ta cũng có: 5 1 81 (81) 54 (19)h
h ϕ− ⇒ =⋮ ⋮
T (18) và (19) ta suy ra (17) 36,54 108 108h h ⇔ = ⇒ ≥ ⋮ .
• N u h l : Vì (mod 1998)n h n
u u+
≡
Nên ta có: 0
1 1
20(mod1998)
100(mod1998)
h
h
u u
u u+
 ≡ ≡

≡ ≡
1 1
5 4 20 0(mod1998)h h h
u u u− +
⇒ ≡ − − ≡
1
0(mod1998)h
u −
⇒ ⋮
Vì h l 1h⇒ − ch n
125 25
.5
6 6
h
h
u⇒ = − và 1
1
125 5
.5
6 6
h
h
u −
−
= −
1
5 0(mod1998)h h
u u −
⇒ ≡ ≡ mâu thu n v i 20(mod1998)h
u ≡ .

- 32 -
V i 108h = ta d dàng ch ng minh ñư c (mod1998) 1n h n
u u n+
≡ ∀ ≥ .
V y 108h = là giá tr c n tìm.
Ví d 3.4: Cho dãy 0 1
2 1
( ) : 2;
2
n
n n
n
x
x x x
x+
+
= =
+
1) Tính 2000
?x
2) Tìm ph n nguyên c a
2000
1
i
i
A x
=
= ∑ (Olympic 30 – 4 – 2000 kh i 11 ).
Gi i: Ta có: 1
1
1 1 3
1 1
2 1 1
n
n
n n n
x
x
x x x+
+
−
− = ⇒ = +
+ − −
. ð t 0
1
1
1n
n
a a
x
= ⇒ =
−
và
1
1 1
3 1 2
3 1 1
2 3 1
n
n n n n n
a a a x
+
+ +
−
= + ⇒ = ⇒ = +
−
.
a) Ta có:
2001
2000 2001
3 1
3 1
x
+
=
−
b) Ta có:
2000 2000
1
1 1
1 2 1
2000 2 2000 2000 2001
33 1 3i i
i i
A A
+
= =
= + ⇒ < < + <
−
∑ ∑
V y [ ] 2000A = .
Ví d 3.5: Cho dãy
2
1 1
(2 cos2 ) cos
( ) : 1;
(2 2cos2 ) 2 cos2
n
n n
n
x
x x x
x
α α
α α+
+ +
= =
− + −
.
ð t
1
1
1
2 1
n
n
i i
y n
x=
= ∀ ≥
+
∑ . Tìm α ñ dãy s ( )n
y có gi i h n h u h n và tìm gi i
h n ñó. ( HSG Qu c Gia B ng A – 2004 ).
Gi i:
Ta có
2
2
1
1
1 2sin 1 1 1 1
(1 )sin
2 1 3 3(2 1) 2 1 3 3n n
n n n
x x x
α
α
−
+
= + ⇒ = + −
+ + +
2 2
1
1 1 1
1 1 1 1 1 3 1
sin (1 ) (1 ) [ (1 )]sin
2 1 2 23 3 3 3
n n n
n i i n n
i i ii
y n
x
α α
−
= = =
⇒ = = + − = − + − −
+
∑ ∑ ∑
Vì
1
lim 0
3n
= nên dãy ( )n
y có gi i h n h u h n sin 0 kα α π⇔ = ⇔ =

- 33 -
Khi ñó
1
lim
2n
y = .
Ví d 3.6: Cho hai dãy 1
1
1
( ),( ) :
1n n
x
x y
y
 = −

=
và
2 2
1
2 2
1
3 2 8
2 3 2
n n n n n
n n n n n
x x x y y
y x x y y
+
+
 = − − +

= + −
1n∀ ≥ .
Tìm t t c các s nguyên t p sao cho p p
x y+ không chia h t cho p . (TH&TT – 327 )
Gi i:
Ta có:
12 2
1 1 1 1
2 ( 2 ) ... ( 2 ) 1
n
n n n n
x y x y x y
−
− −
+ = + = = + = (20)
Gi s có m t s t nhiên k ñ 1
2 0k k k
y x y +
= ⇒ = . Khi ñó, ta có:
2
2 1
2
3
1
k k
k
x x
x
+ +
+
 = −

=
vô lí. V y 1
(2 )( 2 ) 0n n n n n
y x y x y n+
= − + ≠ ∀ .
Suy ra : 1
1
(3 4 )( 2 ) 3 4
(2 )( 2 ) 2
n n n n n n n
n n n n n n n
x x y x y x y
y x y x y x y
+
+
− + − +
= − =
− + −
.
ð t 1
1 1 1
1
3 4
1;
2 1
n n
n n
n n
x a
a a a
y a
+
+ +
+
− +
= ⇒ = − =
−
1
1
1
2 1 2( 5)1 5 1
2 2
2 1 2 2 2 3
n
n
n
n n n n
a
a
a a a a
−
+
+
+ + −
⇒ + = ⇒ = − ⇒ =
− + + +
1
1
1 4.( 5)
1 2.( 5)
n
n
n n
n
x
a
y
−
−
− −
⇒ = =
+ −
(21)
T (20) và (21)
1 1 1
1 4.( 5) 1 2.( 5) 2 2( 5)
;
3 3 3
n n n
n n n n
x y x y
− − −
− − + − − −
⇒ = = ⇒ + = .
* N u 2 2
2 4 2 2p x y p= ⇒ + = ⇒ =⋮ không th a yêu c u bài toán.
* N u 3 3
3 16p x y= ⇒ + = − không chia h t cho 3 3p⇒ = th a yêu c u bài toán.
* N u 5p = ta th y cũng th a yêu c u bài toán.
* N u 1
5 ( 5) 1(mod ) 0(mod )p
p p
p p x y p−
> ⇒ − ≡ ⇒ + ≡
V y 3, 5p p= = là hai giá tr c n tìm.

- 34 -
Ví d 3.7: Cho dãy
1
1
1
2
3
( ) :
2
2(2 1) 1
n
n
n
n
u
u u
u n
n u
−
−

=

 = ∀ ≥
− +
. Tính t ng c a 2001 s
h ng ñ u tiên c a dãy ( )n
u (HSG Qu c Gia – 2001 ).
Gi i:
Ta có:
1
1 1
4 2
n n
n
u u −
= + − (22).
Ta phân tích 2 2
4 2 ( 1) ( 1)n k n n l n n   − = − − + − −  
. Cho 0; 1n n= = , ta có h
2
2; 0
2
k l
k l
k l
− + = −
⇔ = =
+ =
.
Suy ra 2 2
1 1
1 1 1 1
(22) 2 2( 1) ... 2
2n n
n n
u u u−
⇔ − = − − = = − = −
2
(2 1)(2 1)1 4 1
2 2n
n nn
u
− +−
⇒ = =
2 1 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1n
u
n n n n
⇒ = = −
− + − +
2001 2001
1 1
1 1 1 4002
1
2 1 2 1 4003 4003i
i i
u
i i= =
 
⇒ = − = − = 
− + 
∑ ∑ .
Ví d 3.8: Cho hai dãy s ( );n
x ( )n
y xác ñ nh : 1
1
3
3
x
y
 =

=
và
2
1 1
1
1
1
1 1
n n n
n
n
n
x x x
y
y
y
− −
−
−
 = + +

=
+ +
2n∀ ≥ . Ch ng minh r ng 2 3 2n n
x y n< < ∀ ≥ . (Belarus 1999).
Gi i:
Ta có: 2
1 2
cos 1
63 cot cot 1 cot cot
6 6 6 2.6
sin
6
x x
π
π π π π
π
+
= = ⇒ = + + = =

- 35 -
1
cot
2 .6
n n
x
π
−
= .
Theo k t qu c a ví d 2.8, ta có:
1
tan
2 .3
n n
y
π
−
=
ð t cot ; tan2 . tan2 .cot
2 .3
n n n n n n n n nn
x y x y
π
α α α α α= ⇒ = = ⇒ =
ð t
2 2
2 1 2
tan tan2 .cot .
1 1
n n n
t
t
tt t
α α α= ⇒ = =
− −
.
Vì 21 2
2 0 0 tan 1 1
6 6 33
n
n t t
π π
α≥ ⇒ < < ⇒ < < = ⇒ ≤ − <
2
2
2 3 2 3 2
1
n n
x y n
t
⇒ < < ⇒ < ≤ ∀ ≥ ⇒
−
ñpcm.
Ví d 3.9: Cho dãy s
1
2
1
| | 1
( ) : 3 3
2
2
n n n
n
x
x x x
x n+
 <

 − + −
 = ∀ ≥

.
1) C n có thêm ñi u ki n gì ñ i v i 1
x ñ dãy g m toàn s dương ?
2) Dãy s này có tu n hoàn không ? T i sao ? (HSG Qu c Gia 1990).
Gi i:
Vì 1
| | 1x < nên t n t i 1
; : sin
2 2
x
π π
α α
 
∈ − = 
 
. Khi ñó:
2
1 3
sin cos sin( )
2 2 3
x
π
α α α= − + = −
3
1 3
sin( ) | cos( ) |
2 3 2 3
x
π π
α α= − − + − .
• N u 3
sin
6 2
x
π π
α α− ≤ < ⇒ =
• N u 3
2
sin( )
2 6 3
x
π π π
α α− < < − ⇒ = − .
)i N u
6 2
π π
α− ≤ < thì:
sin khi 2 1
sin( ) khi 2
3
n
n k
x
n k
α
π
α
 = +

= 
− =


- 36 -
)ii N u
2 6
π π
α− < < − thì:
2
sin( ) khi 2 1
3 1
sin( ) khi 2
3
n
n k
x k
n k
π
α
π
α

− = +
= ∀ ≥
 − =

.
1) Dãy g m toàn s dương
sin 0 0
2 0
sin 0 3
3
6 3
πα α π
απ
π πα
α
 > < < 
⇔ ⇔ ⇔ < <  
− >  − ≤ <  
.
V y 1
3
0
2
x< < là ñi u ki n c n ph i tìm.
2) D a vào k t qu trên ta có:
• N u 1
1
sin sin
3 6 2
x
π π
α α α
 
= − ⇔ = ⇔ = 
 
. Khi ñó t (1) ta có ñư c
1 2
... ... ( )n n
x x x x= = = = ⇒ là dãy tu n hoàn.
• N u
1
1
1
1
2
1
2
x
x

− ≤ <

 ≠

thì dãy s có d ng 1 2 1 2
, , , ,....x x x x
• N u 1
1
1
2
x− < < − thì dãy s có d ng 1 2 3 2 3
, , , , ....x x x x x
Ví d 3.10: Tính t ng 1 3 5 .. 2 1n
S n= + + + + − , v i n là s t nhiên 1n ≥ .
Gi i:
Ta có: 1
1S = và 1
2 1n n
S S n−
= + − .
Mà: 2 2 2 2
1 1
2 1 ( 1) ( 1) ... 1 0n n
n n n S n S n S−
− = − − ⇒ − = − − = = − =
V y 2
n
S n= .
Ví d 3.11: Tính t ng 2 2 2 2
1 2 3 ...n
S n= + + + + v i n là s t nhiên 1n ≥ .
Gi i: Ta có 1
1S = và 2
1n n
S S n−
= + (23).
Ta phân tích: 2 3 3 2 2
( 1) ( 1) ( 1)n k n n l n n t n n     = − − + − − + − −    

- 37 -
Cho 0; 1; 2n n n= = = , ta có h :
0
1 1 1
1 ; ;
3 2 6
7 3 4
k l t
k l t k l t
k l t
 − + =

+ + = ⇔ = = =
 + + =

3 2 3 2
1
1 1 1 1 1 1
(23) ( 1) ( 1) ( 1)
3 2 6 3 2 6n n
S n n n S n n n−
   
⇒ ⇔ − + + = − − + − + −   
   
3 2
3 2
1
( 1)(2 1)1 1 1 2 3
1 0
3 2 6 6 6n n
n n nn n n
S n n n S S
  + ++ +
⇒ − + + = − = ⇒ = = 
 
.
Ví d 3.12: Tính t ng 1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2)n
S n n n= + + + + + 1n∀ ≥ .
Gi i: Ta có: 1
6S = và 1
( 1)( 2)n n
S S n n n−
− = + + 2n∀ ≥ .
Do 4 4 3 31 1
( 1)( 2) ( 1) ( 1)
4 2
n n n n n n n   + + = + − + + − −
   
2 21 1
( 1) ( 1)
4 2
n n n n   − + − − + −  
.
ð t 4 3 21 1 1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
4 2 4 2
f n n n n n= + + + − + − +
1 1
( ) ( 1) ... (1) 0n n
S f n S f n S f−
⇒ − = − − = = − =
( 1)( 1)( 3)
( )
4n
n n n n
S f n
+ + +
⇒ = = .
Ví d 3.13: Trong mp cho n ñư ng th ng, trong ñó không có ba ñư ng nào ñ ng quy và
ñôi m t không c t nhau. H i n ñư ng th ng trên chia m t ph ng thành bao nhiêu mi n ?
Gi i: G i n
a là s mi n do n ñư ng th ng trên t o thành. Ta có: 1
2a = .
Ta xét ñư ng th ng th 1n + (ta g i là d ), khi ñó d c t n ñư ng th ng ñã cho t i n
ñi m và b n ñư ng th ng chia thành 1n + ph n, ñ ng th i m i ph n thu c m t mi n
c a n
a . M t khác v i m i ño n n m trong mi n c a n
a s chia mi n ñó thành 2 mi n,
nên s mi n có thêm là 1n + . Do v y, ta có: 1
1n n
a a n+
= + +
T ñây ta có:
( 1)
1
2n
n n
a
+
= + .

- 38 -
Chú ý :
V i gi thi t trong ví d trên n u thay yêu c u tính s miên b ng tính s ña giác t o
thành thì ta tìm ñư c:
( 2)( 1)
2n
n n
a
− −
= .
Ví d 3.14: Trong không gian cho n m t ph ng, trong ñó ba m t ph ng nào cũng c t
nhau và không có b n m t ph ng nào cùng ñi qua qua m t ñi m. H i n m t ph ng trên
chia không gian thành bao nhiêu mi n ?
Gi i:
G i n
b là s mi n do n m t ph ng trên t o thành
Xét m t ph ng th 1n + (ta g i là ( )P ). Khi ñó ( )P chia n m t ph ng ban ñ u theo n
giao tuy n và n giao tuy n này s chia ( )P thành
( 1)
1
2
n n +
+ mi n, m i mi n này n m
trong m t mi n c a n
b và chia mi n ñó làm hai ph n.V y
2
1
2
2n n
n n
b b+
+ +
= + .
T ñó, ta có:
2
( 1)( 6)
6n
n n n
b
+ − +
= .
Ví d 3.15: Trong m t cu c thi ñ u th thao có m huy chương, ñư c phát trong n ngày
thi ñ u. Ngày th nh t, ngư i ta ph t m t huy chương và
1
7
s huy chương còn l i.
Ngày th hai, ngư i ta phát hai huy chương và
1
7
s huy chương còn l i. Nh ng ngày
còn l i ñư c ti p t c và tương t như v y. Ngày sau cùng còn l i n huy chương ñ phát
. H i có t t c bao nhiêu huy chương và ñã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967).
Gi i: G i k
a là s huy chương còn l i trư c ngày th k 1
a m⇒ = , khi ñó ta có:
1
1
6 6 6
( 36) 6 42
7 7 7
k
k k k
k
a a a m k
−
+
 
= − ⇒ = − − + 
 
1
6
( 36) 6 42
7
n
n
a n m n
−
 
⇒ = = − − + 
 
1
7
36 7( 6)
6
n
m n
−
 
⇒ − = −  
 
Vì ( )6,7 1= và 1
6 6n
n−
> − nên ta có 6 0 6 36n n m− = ⇔ = ⇒ = .
V y có 36 huy chương ñư c phát và phát trong 6 ngày.

- 39 -
Ví d 3.16: Có bao nhiêu xâu nh phân ñ dài n trong ñó không có hai bit 1 ñ ng c nh
nhau?
Gi i: G i n
c là s xâu nh phân ñ dài n th a mãn ñi u ki n ñ u bài.
Ta có 1
2c = ; 2
3c = .
Xét xâu nh phân ñ dài n th a mãn ñi u ki n ñ u bài có d ng 1 2 2 1
......n n n
a a a a a− −
.
Có hai trư ng h p
• 1n
a = . Khi ñó 1
0n
a −
= và 2 2 1
......n
a a a−
có th ch n là m t xâu b t kỳ ñ dài 2n −
th a ñi u ki n. Có 2n
c −
xâu như v y, suy ra trư ng h p này có 2n
c −
xâu.
• 0n
a = . Khi ñó 1 2 1
......n
a a a−
có th ch n là m t xâu b t kỳ ñ dài 1n − th a ñi u
ki n. Có 1n
c −
xâu như v y, suy ra trư ng h p này có 1n
c −
xâu.
V y t ng c ng xây d ng ñư c 1 2n n
c c− −
+ xâu, hay 1 2n n n
c c c− −
= + .
1 1
5 2 1 5 2 5 1 5
2 25 5
n n
n
c
− −
   − − − +
⇒ = +   
   
   
.
Ví d 3.17: Cho s nguyên dương n . Tìm t t c các t p con A c a t p
{ }1,2,3,...,2X n= sao cho không t n t i hai ph n t ,x y A∈ th a mãn: 2 1x y n+ = +
(Th y S 2006).
Gi i:
ð gi i bài toán này ta s ñi ñ m s t p con A c a X th a mãn luôn tôn t i hai ph n t
,x y A∈ sao cho 2 1x y n+ = + (ta g i t p A có tính ch t T ).
G i n
a là s t p con A c a t p { }1,2,...,2n có tính ch t T
Khi ñó các t p con { }1,2,...,2 ,2 1,2 2A n n n⊂ + + x y ra hai trư ng h p.
TH1: Trong t p A ch a hai ph n t 1 và 2 2n + , trong trư ng h p này s t p A có tính
ch t T chình b ng s t p con c a t p g m 2n ph n t { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + và s t p
con c a t p này b ng 2
2 n
.
TH2: Trong t p A không ch a ñ y ñ hai ph n t 1 và 2 2n + . Khi ñó A ph i ch a
m t t p 'A là t p con c a t p { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + sao cho có hai ph n t ', ' ' :x y A∈
' ' 2 3x y n+ = + . Ta th y s t p con 'A như trên chính b ng s t p con c a t p
{1,2,...,2 }n có tính ch t T (Vì ta tr các ph n t c a { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + ñi m t ñơn
v ta ñư c t p {1,2,...,2 }n và ', ' ' :x y A∈ ' ' 2 1x y n+ = + )

- 40 -
Hơn n a v i m i t p 'A ta có ñư c ba t p A (b ng cách ta ch n A là 'A ho c {1} 'A∪
ho c {2 2} 'n A+ ∪ )
Do v y: 2
1
3 2 4 3n n n
n n n
a a a+
= + ⇒ = −
V y s t p con th a mãn yêu c u bài toán là: 4 3n n
n
a− = .

- 41 -
Bài t p áp d ng
Bài 1: Tìm CTTQ c a các dãy s sau
1) 1 2 1 1
1; 0, 2 1, 2n n n
u u u u u n n+ −
= = − + = + ≥
2) 1 2 1 1
0; 0, 2 3.2 , 2n
n n n
u u u u u n+ −
= = − + = ≥
3) 1 2 1 1
0; 0, 2 3 2 , 2n
n n n
u u u u u n n+ −
= = − − = + ≥
4) 1 2 3 1 2 3
0, 1, 3, 7 11. 5. , 4n n n n
u u u u u u u n− − −
= = = = − + ≥
5)
1
1
1
3
3
2 3
2
1 ( 3 2)
n
n
n
u
u
u n
u
−
−

=

 + −
 = ∀ ≥
 − −
.
Bài 2: Cho dãy s { }n
b xác ñ nh b i : ( )1 2
1 2
2.
3
1, 2
n n n
b b b
n N n
b b
− −
 = +
∈ ≥
= =
Ch ng minh r ng
5
,
2
n
n
b n N
 
≤ ∀ ∈ 
 
Bài 3: Cho dãy s { }n
u tho mãn như sau : 0 1
1 2
,
1, 9
10. , 2
n
n n n
u Z N
u u
u u u n N n
+
− −
 ∈ ∀ ∈

= =
 = − ∀ ∈ ≥

Ch ng minh : , 1k N k∀ ∈ ≥ .
2 2
1 1
1) 10 . 8k k k k
u u u u− −
+ − = −
1
2) 5. 4k k
u u −
− ⋮ và 2
3. 1 2k
u − ⋮
Bài 4: Cho dãy s n
x xác ñ nh như sau: 0 1
1 2
1; 0
2 2 2n n n
x x
x x x n− −
 = =

− + = ∀ ≥
.
Xác ñ nh s t nhiên n sao cho : 1
22685n n
x x+
+ = .

- 42 -
Bài 5: Cho dãy ( )n
x ñư c xác ñ nh b i 0 1
1 1
1; 5
6 1n n n
x x
x x x n+ −
 = =

= − ∀ ≥
.
Tìm { }lim 2n n
x x (TH&TT T7/253).
Bài 6: Xét dãy 1
1
( ) :
2n
a a = và
1
1 2
2 2
1
1 (1 )
1
2
n
n
a
a n+
 
 − −
= ∀ ≥ 
 
 
 
.
Ch ng minh r ng: 1 2 2005
... 1,03a a a+ + + < (TH&TT T10/335).
Bài 7: Cho dãy 2
0 1
( ) : 2; 4 15 60 1n n n n
a a a a a n+
= = + − ∀ ≥ . Hãy xác ñ nh CTTQ
c a n
a và ch ng minh r ng s 2
1
( 8)
5 n
a + có th bi u di n thành t ng bình phương c a
ba s nguyên liên ti p v i 1n∀ ≥ (TH&TT T6/262).
Bài 8: Cho dãy s { }( )p n ñư c xác ñ nh như sau: (1) 1;p =
( ) (1) 2 (2) ... ( 1) ( 1)p n p p n p n= + + + − − 2n∀ ≥ . Xác ñ nh ( )p n (TH&TT T7/244).
Bài 9: Xét dãy
1
3 2
1
2
( ) :
3 2 9 9 3 2n
n n
u
u
u u n n n n−
 =

= + − + − ∀ ≥
. Ch ng minh r ng
v i m i s nguyên t p thì
1
1
2000
p
i
i
u
−
=
∑ chia h t cho p (TH&TT T6/286).
Bài 10: Dãy s th c
0
2
1
( ) :
2 1 0n
n n
x a
x
x x n+
 =

= − ∀ ≥
.
Tìm t t c các giá tr c a a ñ 0 0n
x n< ∀ ≥ (TH&TT T10/313).
Bài 11: Dãy s 0 1
1
( ) : 1,
2n
x x x= = và 1
2
1 1
.
2002 2001 2000
n n
n
n n n n
x x
x
x x x x
+
+
+ +
=
+ +
0n∀ ≥ . Hãy tìm CTTQ c a n
x (TH&TT T8/298).
Bài 12: Cho dãy s ( )n
a ñư c xác ñ nh như sau:
1
1
1
1
2
( ) :
1
2 1
n
n
n
n
a
a a
a n
na
−
−

=

 = ∀ ≥
+
.
Tính t ng 1 2 1998
...a a a+ + + .

- 43 -
a ñư c xác ñ nh b i :
1 2
1.2.3, 2.3.4, ...,a a= = ( 1)( 2)n
a n n n= + + .
ð t 1 2
...n n
S a a a= + + + . Ch ng minh r ng 4 1n
S + là s chính phương .
(HSG Qu c Gia – 1991 B ng B )
Bài 14: Cho hai dãy s ( ),( )n n
a b ñư c xác ñ nh như sau: 0 0
2; 1a b= = và
1 1 1
2
, 0n n
n n n n
n n
a b
a b a b n
a b+ + +
= = ∀ ≥
+
.
Ch ng minh r ng các dãy ( )n
a và ( )n
b có cùng m t gi i h n chung khi n → +∞ .
Tìm gi i h n chung ñó. ( HSG Qu c Gia – 1993 B ng A ngày th 2)
Bai 15: Cho các s nguyên ,a b . Xét dãy s nguyên ( )n
a ñư c xác ñ nh như sau
0 1 2 3 2 1
; ; 2 2; 3 3 0n n n n
a a a b a b a a a a a n+ + +
= = = − + = − + ∀ ≥
)a Tìm CTTQ c a dãy ( )n
a .
)b Tìm các s nguyên ,a b ñ n
a là s chính phương v i 1998n∀ ≥ .
(HSG Qu c Gia – 1998 B ng B).
Bài 16: Cho dãy s 0
1
3
( ) :
(3 )(6 ) 18 1n
n n
a
a
a a n−
 =

− + = ∀ ≥
. Tính
1
1n
i i
a=
∑
(Trung Qu c – 2004 ).
Bài 17: Cho dãy s
0
2
1 1
1
( ) : 7 45 36
1
2
n n n
n
a
a a a
a n− −
 =

 + −
 = ∀ ≥

. Ch ng minh
1) n
a là s nguyên dương v i 0n∀ ≥ .
1
2) 1n n
a a+
− là s chính phương 0n∀ ≥ . ( Trung Qu c – 2005 ).
Bài 18: Cho dãy s 1 2
1 2
1; 2
( ) :
4 3n
n n n
u u
u
u u u n− −
 = =

= − ∀ ≥
. Ch ng minh r ng
2
1
3
n
u −
là s
chính phương ( Ch n ñ i tuy n Ngh an – 2007 ).
Bài 19: Cho dãy s 0 1
1 2
3
12;
( ) : 2
. 3 2
n
n n n
b b
b
b b b n− −

= =

 + = ∀ ≥

. Tính
2007
0
i
i
b
=
∑ ( Moldova 2007).

- 44 -
Bài 20: Có n t m th ñư c ñánh s t 1 ñ n n . Có bao nhiêu cách ch n ra m t s th
(ít nh t 1 t m) sao cho t t c các s vi t trên các t m th này ñ u l n hơn ho c b ng s
t m th ñư c ch n.
Bài 21: Cho dãy ( )n
1
2
1
1
1; 0 1
1 1
2
n
n
n
n
u u n
u
u n
u
−
−
 = > ∀ ≥

+ −
= ∀ ≥

. Ch ng minh
r ng 1
1 2
1
... 1 1 ( )
4 2
n
n
u u u
π − 
+ + + ≥ + − 
 
(HSG Qu ng Bình 2008 – 2009 ).
Bài 22: Cho dãy ña th c : 3
( ) 6 9P x x x= − + và ( ) ( (...( ( ))))n
P x P P P x= n l n. Tìm
s nghi m c u ( )P x và ( )n
P x ? (D tuy n Olympic).
Bài 23: Xác ñ nh h s 2
x trong khai tri n chính quy c a ña th c
2 2 2 2 2
( ) (...((( 2) 2) 2) ...) 2)k
Q x x= − − − − − (có k d u ngo c).
Bài 24: Cho dãy 0 1 1 1
: 1, 1, 4 1n n n n
x x x x x x n+ −
= = = − ∀ ≥ và dãy s
( ) 0 1 1 1
: 1, 2, 4 1n n n n
y y y y y y n+ −
= = = − ∀ ≥ . Ch ng minh r ng:
2 2
3 1 0n n
y x n= + ∀ ≥ (Canada – 1998 ).
Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có ñ dài các c nh là các s t nhiên không vư t quá 2n
(Macedonian – 1997 ).
u ñư c xác ñ nh như sau: 0 1
1u u= = và 1 1
14n n n
u u u+ −
= − v i
1n∀ ≥ . Ch ng minh r ng v i 0n∀ ≥ thì 2 1n
a − là m t s chính phương (Ch n ñ i
tuy n Romania 2002).

- 45 -
K T LU N – KI N NGH
Tr i qua th c ti n gi ng d y, n i dung liên quan ñ n chuyên ñ v i s góp ý c a ñ ng
nghi p v n d ng chuyên ñ vào gi ng d y ñã thu ñư c m t s k t qu sau
1) H c sinh trung bình tr lên có th v n d ng m t s k t qu cơ b n trong chuyên ñ
vào gi i bài toán xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s có d ng truy h i ñ c bi t.
2) H c sinh gi i có th v n d ng các k t qu trong chuyên ñ ñ tham kh o ph c v
trong nh ng kì thi h c sinh gi i c p T nh và c p Qu c Gia.
3) T o ñư c s h ng thú cho h c sinh khi h c v bài toán dãy s .
4) Là tài li u tham kh o cho h c sinh và giáo viên.
5) Qua ñ tài giáo viên có th xây d ng các bài toán v dãy s .
Bên c nh nh ng k t qu thu ñư c, chuyên ñ còn m t s h n ch sau:
1) Trong chuyên ñ chưa xây d ng ñư c phương pháp xác ñ nh CTTQ c a m t s
dãy s mà các h s trong công th c truy h i bi n thiên.
2) Chưa ñưa vào m t s phương pháp xác ñ nh CTTQ c a dãy s d a vào m t s ki n
th c liên quan ñ n Toán cao c p như phương pháp hàm sinh...
Hy v ng các ñ ng nghi p s phát tri n, m r ng và kh c ph c m t s h n ch nói trên.

- 46 -
TÀI LI U THAM KH O
[1] ð i S và Gi i Tích l p 11 Nâng Cao
[2] Các bài thi Olympic Toán THPT Vi t Nam, T sách TH&TT – NXB GD 2007
[3] M t s bài toán ch n l c v dãy s , Nguy n Văn M u, NXBGD – 2003
[4] Các phương pháp ñ m nâng cao, Tr n Nam Dũng
[5] T p chí Toán H c Và Tu i Tr
[6] Các di n ñàn Toán h c như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org …
[7] Tuy n t p các chuyên ñ thi Olympic 30 – 4 Kh i 11
[8] Phép quy n p trong hình h c, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Kh ng Xuân Hi n
d ch xu t b n năm 1987)

Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu

Similar to Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu