SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...
tich phan on luyen thi dai hoc 2014 hay nhat va kho
1. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Trong các các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán.
Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây là một bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy
việc mất điểm sẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệu. Ở bài viết nhỏ này sẽ
cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( và
đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi
kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọc tài liệu, việc đứng trước một bài
toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em . Chúc các em thành công !
Trong bài viết này sẽ giới thiệu tới các em 8 phần:
Trang
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ……………………………
1
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ……………………………
2
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN….. 3 –12– 26
IV. 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG... 27 – 81
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………….. 82 – 93
VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI……..94 – 102 - 106
VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA
k
Cn ……...107 - 110
VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
Trang 1
2. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
Điều kiện tiên quyết để làm tốt phần tích phân là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách
vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thức thì sẽ biết cách suy
luận ra các công thức còn lại)
x 1
x dx
C
1
1
1 ax b
; ax b dx .
C
1
u
a
1
1) u du
C ( 1)
1
du
1
du
1
C
du u C ; u 2 u C; u
1 u 1
dx
x ln x C
du
2) ln u C
u
dx 1 ln ax b C
ax b a
x
ax
a dx
C; eu du eu C
au
ln a
3) au du
C
ln a
1 axb
ax b
e x dx e x C ;
e dx a e C
sin xdx cos x C
4) sin udu cos u C
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
cos xdx sin x C
5) cos udu sin u C
1
cos( ax b)dx sin( ax b) C
a
dx
2 cot x C
du
sin x
6) 2 cot u C
dx
1
sin u
cot(ax b) C
2
sin (ax b)
a
dx
cos 2 x tan x C
du
7)
tan u C
dx
1
cos2 u
tan(ax b) C
2
cos (ax b) a
du
1
ua
a 2 u 2 2a ln u a C
du
1
1
1
1
ua
8) 2 2
u a u a du 2a ln u a C
u a 2a
dx
1
xa
ln
C
x 2 a 2 2a
xa
Trang 2
3. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ I f ( x) dx
g ( x)
(*)
Chú thích: Sơ đồ trên được hiểu như sau :
Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc của tử số và mẫu số.
*) Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi đó ta chú ý tới bậc dưới mẫu số. Cụ thể:
++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 1 ta có luôn công thức trong bảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số.
++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 2 ta quan tâm tới hay “tính có nghiệm” của phương trình dưới mẫu.
+) Nếu 0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành
hai biểu thức có mẫu bậc 1 (quay về trường hợp mẫu số có bậc bằng 1 ).
+) Nếu 0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để
đưa tích phân về dạng đã biết.
+) Nếu 0 tức khi đó ta không thể phân tích dưới mẫu số thành tích và hằng đẳng thức được.
-) Nếu trên tử là hằng số khác 0 ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển về dạng cơ bản
( theo cách đổi biến ở sơ đồ trên).
-) Nếu trên tử có dạng bậc nhất ta sẽ chuyển về bậc 0 ( hằng số hay số tự do) bằng kĩ thuật vi phân
như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trường hợp trước đó (tử là hằng số khác 0 ).
++) Nếu bậc của mẫu số lớn hơn 2 ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi biến hoặc các kĩ thuật:
Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân…
*) Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số thì ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2).
Trang 3
4. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
CHÚ Ý :
Việc đồng nhất hệ số dựa theo cách phân tích sau:
f ( x)
m
2
( ax b) (cx dx e)
n
A1
( ax b )
A2
(ax b)
2
...
Am
( ax b )
m
B1 x C1
2
(cx dx e)
B2 x C 2
2
(cx dx e)
2
...
Bn x Cn
(cx 2 dx e) n
Sau đó quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng
nhau” từ đó tìm được các Ai , B j , C j (i 1, m; j 1, n) hoặc có thể dùng cách chọn x để tìm các Ai , B j , C j .
Các ví dụ minh họa
2
Ví dụ 1. Tính tích phân I
0
Giải: 1) Với k
2
dx
với :
x 2x k
2
1) k
3
4
2) k 1
3) k 4
3
thì :
4
2
2
2
4dx
(2 x 3) (2 x 1)
2
2x 1
2
I
2
2
dx
dx ln
3 0 4 x 8x 3
(2 x 1)(2 x 3)
2 x 1 2x 3
2x 3
0 x2 2x
0
0
4
dx
2
2) Với k 1 thì : I
0
2
3) Với k 4 thì : I
0
2
ln
0
15
7
2
2
dx
dx
1
2
2
2
x 2 x 1 0 ( x 1)
x 1 0 3
2
dx
dx
2
x 2 x 4 0 ( x 1) 2 3
3dt
Đặt x 1 3 tan t với t ; dx
3.(1 tan 2 t ) dt và x : 0 2 thì t :
2
cos t
6
3
2 2
3
Khi đó I
6
3
3.(1 tan t )dt
3
3
3
2
dt 3 t 63 18
3.(tan t 1)
3
2
6
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
2
0
3
dx
1) I1
2) I 2 2
dx
4x 1
2x x 3
1
1
1
5) I 5
0
4x 5
dx
x2 x 2
2
6) I 6
1
1
3) I 3
0
3x 2
dx
4x 4 x 1
2
Trang 4
dx
2
x 6x 9
2
7) I 7
x
1
2
x 3
dx
2x 4
1
4) I 4
0
dx
x 2x 2
2
5. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2
2
3
3
3 7
Giải: 1) I1
dx ln 4 x 1 ln
4x 1
4
4 3
1
1
0
2) I 2
0
0
(2 x 3) 2( x 1)
dx
( x 1)(2 x 3)
1
dx
dx
1
1 2 x 2 x 3 1 ( x 1)(2 x 3) 5
0
1
1 1
2
1
x 1
1 x 1 2 x 3 dx 5 ln 2 x 3
5
0
1 1
ln 6
ln
5 6
5
1
1
1
dx
dx
1
1
2
2
x 6 x 9 0 ( x 3)
x 3 0 12
3) I3
0
1
4) I 4
0
1
dx
dx
2
x 2 x 2 0 ( x 1) 2 1
dt
Đặt x 1 tan t với t ; dx
(1 tan 2 t )dt và x : 0 1 thì t : 0
2
cos t
4
2 2
0
Khi đó I 4
1
5) I 5
0
4
(1 tan 2 t )dt
tan 2 t 1
0
dt t
4
1
0
4
4
1
1
4x 5
( x 1) 3( x 2)
3
1
dx
dx
dx ln x 2 3ln x 1 0 4 ln 2
2
x x2
( x 1)( x 2)
x 2 x 1
0
0
Chú ý: Việc phân tích 4 x 5 x 1 3( x 2) có được là do ta đi tìm hệ số a , b thỏa mãn:
a b 4
a 1
4 x 5 a ( x 1) b( x 2) 4 x 5 ( a b) x a 2b khi đó
a 2b 5
b 3
3
7
2
2
2
2 x 1
3x 2
3
7
2 dx
6) I 6 2
dx 2
2
2(2 x 1) 2(2 x 1)2 dx
4x 4x 1
(2 x 1)
1
1
1
2
3
7
3
7
ln 2 x 1
ln 3
4(2 x 1) 1
2
6
4
1
2
2
2
2 x 2 4
x 3
1
(2 x 2)
dx
1
7) I 7 2
dx 2 2
dx 2
dx 4 2
A 4 B (*)
x 2x 4
x 2x 4
2 1 x 2 x 4
x 2x 4 2
1
1
1
2
2
+) Tính A
2
+) Tính B
2
(2 x 2)
d ( x 2 2 x 4)
2
dx 2
1 x 2 2 x 4 1 x 2 x 4 ln x 2 x 4
2
1
2 ln 2 (1)
2
dx
dx
1 x 2 2 x 4 1 ( x 1) 2 3
3dt
Đặt x 1 3 tan t với t ; dx
3.(1 tan 2 t ) dt và x : 1 2 thì t : 0
2
cos t
3
2 2
3
B
0
3
3.(1 tan 2 t )dt
3
4 3
3 dt 3 t 03
(2) . Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I 7 ln 2
2
tan t 1
3
3
0
Trang 5
6. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
2
2 x3 x 2 2 x 4
1) I1
dx
2x 1
1
1
1
2) I 2
0
2
2
( x 1)
dx ( D – 2013)
x2 1
0
4) I 4
5) I 5
0
2
x 4 2 x3 4 x 2 x 2
dx
x2 2x 3
3) I3
1
4 x3 4 x 2 7 x 2
dx
4x2 4 x 1
2
2x x 1
dx
x2 2x 4
Giải:
2
2
2
x3
2 x3 x 2 2 x 4
5
5
10 5
2
1) I1
dx x 1
ln 3
dx x ln 2 x 1
2x 1
2x 1
2
3 2
3
1
1
1
1
2) I 2
0
1
1
x 4 2 x3 4 x 2 x 2
x5
2( x 1) ( x 3)
dx x 2 1 2
dx x 2 1
dx
2
x 2x 3
x 2x 3
( x 1)( x 3)
0
0
1
1
x3
1
2
2
x2 1
dx x 2 ln x 3 ln x 1 2 ln 3 ln 2
3
x 3 x 1
3
0
0
2
3) I3
1
2
2
2
4 x3 4 x 2 7 x 2
6x 2
3(2 x 1) 1
3
1
dx x 2
dx x
dx x
dx
2
2
2
4x 4 x 1
4x 4 x 1
(2 x 1)
2 x 1 (2 x 1)
1
1
1
2
x2 3
1
11 3
ln 2 x 1
ln 3
2(2 x 1) 1 6 2
2 2
1
( x 1) 2
dx ( D – 2013)
x2 1
0
4) I 4
1
1
I4
0
1
1
1
1
1
x2 1 2x
2x
2x
d ( x 2 1)
dx 1 2
dx dx 2
dx dx 2
x ln( x 2 1) 1 ln 2
2
0
x 1
x 1
x 1
x 1
0
0
0
0
0
3
2
2
(2 x 2) 6
2x2 x 1
3x 9
2
5) I5 2
dx 2 2
dx
dx 2 2
x 2x 4
x 2x 4
x 2x 4
0
0
0
2
2
2
2
2
3
3
3 d ( x 2 2 x 4)
dx
2 x ln( x 2 2 x 4) 6I 4 ln 3 6 I (*)
2 dx 2
6 2
2 0 x 2x 4
x 2x 4
2
2
0
0
0
2
Tính I
0
2
dx
dx
2
x 2 x 4 0 ( x 1) 2 3
3
dt 3(1 tan 2 t )dt
dx
2
Đặt x 1 3 tan t (với t ; )
và x : 0 2 thì t :
cos t
6
3
2 2
( x 1)2 3 3(1 tan 2 t )
3
I
6
2
3
6
6
3(1 tan t )dt
3
3 3
3
dt
t
2
3(1 tan t )
3
3
18
3
3
(2*). Thay (2*) vào (*) ta được: I5 4 ln 3
2
3
Trang 6
7. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
1
2
4) I 4
1
1
x7
2) I 2
dx
(3 2 x 4 ) 2
0
(B – 2012)
1
2x 3
dx
2
( x 2 x)( x 2 4 x 3)
5) I5
x
dx
(1 2 x) 3
0
Giải:
1) I1
8) I8
0
1
x3
dx
x 4 3x 2 2
3) I3
1
dx
x 1 x 2014
1
0
1
x2 1
dx
x( x 4 3x 2 2)
2
6) I 6
1
0
9) I9
(B – 2012) Đặt t x 2 dt 2 xdx hay xdx
và x : 0 1 thì t : 0 1 I1
2
x 1
2 x 4 4 x3 6 x 2 4 x 1 dx
2
7) I 7
1
2
1
x3
1) I1 4
dx
x 3x 2 2
0
dx
x x5
3
x 2 dx
(1 x)8
1
dt
2
1
1
x 2 .xdx
1
t.dt
1 2(t 1) (t 2)
1 2
1
2
dt
dt
4
2
x 3 x 2 2 0 t 3t 2 2 0 (t 1)(t 2)
2 0 t 2 t 1
1
1
3
ln t 2 ln t 1 ln 3 ln 2
2
2
0
1
3
3
dt 8 x dx x dx 8 dt
Đặt t 3 2 x 4
và x : 0 1 thì t : 3 1
x4 3 t
2
3t
1
1
1
3
7
4
x
x
1
1 3t
Khi đó I 2
dx
.x3 dx 2 dt 2 dt
(3 2 x 4 ) 2
(3 2 x 4 ) 2
8 3 t2
16 1 t
0
0
1
x7
2) I 2
dx
(3 2 x 4 ) 2
0
3
3
1 3 1
1 3
2 ln 3
2 dt ln t
16 1 t t
16 t
16
1
2
3) I3
1
x2 1
dx
x( x 4 3 x 2 2)
2
Khi đó I3
1
dt
và x :1 2 thì t :1 2
2
2
( x 2 1)
1
t 1
.xdx 2
dt
2
4
2
x ( x 3 x 2)
2 1 t (t 3t 2)
Lúc này ta sẽ phân tích
hệ số . Cụ thể:
Đặt t x 2 dt 2 xdx xdx
t 1
thành tổng các phân thức có mẫu bậc 1 bằng phương pháp đồng nhất
t (t 3t 2)
2
t 1
t 1
A B
C
t (t 3t 2) t (t 1)(t 2) t t 1 t 2
t 1 A(t 1)(t 2) Bt (t 2) Ct (t 1) (*)
2
Việc tìm A, B, C có thể làm theo 2 cách :
1
A 2
A B C 0
2
Cách 1: (*) t 1 ( A B C )t (3 A 2 B C )t 2 A khi đó 3 A 2 B C 1 B 2
2 A 1
3
C
2
Trang 7
8. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
1
2
+) Chọn t 1 thì (*) có dạng: 2 B B 2
Cách 2: +) Chọn t 0 thì (*) có dạng: 1 2 A A
+) Chọn t 2 thì (*) có dạng: 3 2C C
3
2
2
2
1 1
2
3
3
7 ln 3 11.ln 2
1
Vậy I3
dt 4 ln t ln(t 1) 4 ln(t 2)
2 1 2t t 1 2(t 2)
4
1
2
2
2
2x 3
2x 3
2x 3
dx
dx 2
dx
2
2
( x 2 x)( x 4 x 3)
x( x 2)( x 1)( x 3)
( x 3x)( x 2 3x 2)
1
1
1
4) I 4
Cách 1: (đổi biến)
Đặt t x 2 3 x dt (2 x 3) dx và x :1 2 thì t : 4 10
10
10
dt
1 1
1
1
t
Khi đó I 4
dt ln
t (t 2) 2 4 t t 2
2 t2
4
10
4
1 15
ln
2 12
Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân)
2
2
2
2
2
1 ( x 3 x 2) ( x 3 x) (2 x 3)
1 (2 x 3) dx
(2 x 3) dx
I4
dx 2
2
2
2
21
( x 3 x)( x 3 x 2)
2 1 x 3x
x 3x 2
1
2
2
1 d ( x 2 3 x)
d ( x 2 3 x 2) 1
x 2 3x
2
2
ln 2
2 1 x 3x
x 3x 2 2 x 3x 2
1
1
5) I5
1
1 15
ln
2 12
2
x
2
2
4
x 1
dx
4 x 6 x2 4x 1
Chia cả tử và mẫu trong biểu thức tích phân cho x 2 ta được:
3
1
1 2 dx
x
I5
dx
4 1
1
1
2 x 2 4 x 6
2 x 2
2
4 x 6
2
x x
x
x
1
1
1
x2
1
1
dt 1 x 2 dx
1
5
Cách 1: (đổi biến) Đặt t x
và x : 2 1 thì t : 2
x
2
t 2 x 2 1 2
2
x
2
2
2
2
dt
dt
dt
1
1
Khi đó I5 2
2
2
t 2 5 36
5 (t 2) 4t 6
5 t 4t 4
5 (t 2)
2
2
2
2
Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho những ai có kĩ năng phân tích tốt)
1
1
1
2
1
1 d x
1 2 dx
1
1
x
x
I5
2
2
1
36
1
1
1
2
2
x 2
x 4 x 4
x 2
x
2
x
x
x
Trang 8
9. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2
6) I 6
1
2
dx
dx
3
3
5
x x
x (1 x 2 )
1
Cách 1: (đổi biến)
dt
và x :1 2 thì t :1 4
2
2
4
4
4
4
xdx
1
dt
1 (t 1) t
1 1
1
1 1 (t 1) t
Khi đó I 6 4
2
2
dt 2
dt 2
dt
x (1 x 2 ) 2 1 t (t 1) 2 1 t (t 1)
2 1 t t (t 1)
2 1 t
t (t 1)
1
Đặt t x 2 dt 2 xdx xdx
4
4
1 1 1 1
1 1
t 1
3 1 5
2
dt 2 t ln t 8 2 ln 8
2 1 t t t 1
1
Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép)
2
2
2
1 (1 x 2 ) x 2
1
x
(1 x 2 ) x 2
1
1 1
dx 3
dx 3
dx 3
dx
3
2
2
2
x (1 x )
x x(1 x )
x
x(1 x )
x x 1 x2
1
1
1
1
2
I6
2
2
2
1
3
1 5 3 1 5
1 d (1 x 2 ) 1
1 1
3 dx
2 ln x ln(1 x 2 ) ln 2 ln ln
2
x x
2 1 1 x
2
2 2 8 2 8
2x
1 8
1
1
1
1
1
x
1 1 2x 1
1
1
1
1
1
1
1
7) I 7
dx
dx
dx
3
3
2
3
2
(1 2 x)
2 0 (1 2 x)
2 0 (1 2 x) (1 2 x)
2 2(1 2 x) 4(1 2 x) 0 18
0
2
8) I8
1
dx
x 1 x 2014
Đặt t 1 x 2014 dt 2014 x 2013 dx x 2013dx
2
x 2013dx
1
Khi đó I8 2014
2014
1 x 2014
1 x
1 22014
2
dt
và x :1 2 thì t : 2 1 2 2014
2014
dt
1
(t 1)t 2014
1 2 2014
2
1 1
dt
t 1 t
1
t 1
ln
2014
t
0
9) I9
1 22014
2
2015ln 2 ln(1 2 2014 )
2014
2
x dx
(1 x)
8
Đặt t 1 x dt dx và x : 1 0 thì t :1 2
1
2
Khi đó I9
2
2
2
(1 t )2 dt 1 2t t 2
1
1
33
1 2 1
1
t 8 t 8 dt t 8 t 7 t 6 dt 7t 7 3t 6 5t 5 1 4480
1
1
1
2
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
1) I1
1
x2 1
dx
x3
ln 2
2) I 2
Giải:
2
1
x2 1
dx
x3
tdt xdx
Đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 2 2
và cận t : 0 3
x t 1
2
1) I1
2
I1
1
x2 1
x 2 1.xdx
dx
x3
x4
1
3
0
t.tdt
2
(t 1)2
3
0
t2
dt
(1 t 2 )2
Trang 9
0
3
e x 1dx
10. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
Đặt t tan u dt
3
du
(1 tan 2 u)du và cận u : 0
2
cos u
3
2
2
3
3
2
3
2
tan u.(1 tan u )du
tan u
sin u
du
.cos 2 udu sin 2 udu
2
2
2
2
(1 tan u )
1 tan u
cos u
0
0
0
I1
0
3
1 cos 2u
1
3 4 3 3
1
3
du u sin 2u
2
4
24
2
0 6 8
0
3t 2 dt e x dx
Đặt t 3 e x 1 t 3 e x 1 x 3
và cận t : 0 1
e t 1
ln 2
2) I 2
3
e x 1dx
3
e x 1dx
0
ln 2
I2
ln 2 3
0
0
1
1
1
e x 1.e x dx
t.3t 2 dt
t 3dt
1
3
3 3
3 1 3 dt
x
e
t 1
t 1
t 1
0
0
0
Ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số:
1
1
A
Bt C
2
1 A.(t 2 t 1) ( Bt C )(t 1)
3
2
t 1 (t 1)(t t 1) t 1 t t 1
A B 0
1
1
2
1 ( A B ) t ( A B C )t A C A B C 0 A ; B ; C
3
3
3
A C 1
( Có thể chọn t 0 và t 1 được ba pt 3 ẩn A, B, C rồi giải tìm được A, B, C (máy tính có thể giúp ) )
2
Vậy ta có:
1
1
t 2
1 1
t 2
2
2
t 1 3(t 1) 3(t t 1) 3 t 1 t t 1
3
1
1
(2t 1) 1
1
1
1
1
1
1 d (t 2 t 1)
dt
1
t2
I2 3
2 2
dt 2
2
2
dt 3
dt 3
t 1 t t 1
t 1
t t 1
t 1
2 0 t t 1
t t 1
0
0
0
0
1
1
1
3t ln(t 1) ln(t 2 t 1) J 3 ln 2 J
2
0
1
3
3(1 tan 2 u )
dt
du
du
2 cos 2 t
2
1
3
Đặt t
tan u
2
2
2 2
t 1 3 3 (1 tan 2 u )
2 2
4
6
J
6
2
3(1 tan u )
4
2 3
.
du
2
2
3(1 tan u )
3
Thay (2*) vào (*) ta được : I 2 3 ln 2
6
và t : 0 1 thì cận u :
2 3 6
2 3
du
u
(2*)
3
9
6
6
2 3
9
Trang 10
1
dt
dt
2
2
t t 1 0 1 3 2
0
t
2 2
(*) với J
6
6
11. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
Nhận xét: Trong các bài toán đổi biến các em sẽ nhận ra một điều (rất quan trọng trong phần đổi biến), khi
chúng ta đổi biến thì bước tiếp theo là bước vi phân cả 2 vế. Sau khi làm xong điều này các em sẽ biết ngay
là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không. Cụ thể: Nếu sau khi vi phân ta có: f (t ) dt g ( x) dx thì
xảy ra 2 khả năng:
+) Trong đề bài có chứa g ( x) dx (có thể phải thêm bước tách ghép, thêm bớt để nhìn thấy nó) và phần còn
lại của biểu thức dưới dấu tích phân (nếu có) còn chứa biến x mà ta rút được theo t . Khi đó xác suất ta đi
theo hướng này đúng là cao.
+) Trong đề bài không có lượng g ( x) để ta chỉnh (vì dx đi một mình lúc này “không ổn” phải có mặt
g ( x ) đi cùng hay phải có g ( x ) dx thì ta mới chuyển được theo f (t ) dt ). Khi đó các em nên nghĩ tới việc tự
nhân thêm vào (đề bài không cho thì ta tự cho) và chỉnh bằng cách nhân với lượng tương ứng ở dưới mẫu số
và phần phát sinh thêm sau khi nhân cùng với biểu thức trước đó sẽ rút được theo t (ở cả hai bài toán trên
ta đã tự nhân cả tử và mẫu lần lượt với x và e x )
Bài luyện
1
Tính các tích phân sau:
1) I
0
3
3
x
dx
2
x 2x 1
3) I 3
0
1
0
0
7) I 7
(x
1
1
2
0
0
9
( Đs: 3ln 4 )
4
dx
4 x 3)( x 2 4 x 4)
dx
x 4 3x 2 4
9) I 9
2) I 2
3
4) I 4
( Đs:
0
6) I 6
0
1 3 1
ln )
2 2 6
( Đs:
1
2
8) I 8
0
0
1
1
3
dx
( Đs: ln 2
) 15) I15
3
1 x
3
18
0
14) I14
x2 2
17) I17 4
3
2
1 x 2 x 5x 4x 4
3
( Đs: )
44
6 10
2
1
dx
x4 4 x2 3
13) I13
0
1 x2
dx ( Đs:
1 x4
9
)
2
( Đs:
4
1
x
1
dx
2
( Đs:
)
dx ( Đs: ) 12) I12
2
3
2
(1 3 x)
8
8
0
0 x 1
11) I11
( Đs: ln
x3dx
3
( Đs: ln 2 )
2
x 1
2
dx
x 2 x2 1
10) I10
1
1
4 x 11
dx
x 5x 6
2
x 2 3 x 10
1 4
dx ( Đs:1 ln )
2
x 2x 9
2 3
1
ln 3
)
20
1
1
xdx
1 3
( Đs: ln )
4
2
x 4x 3
4 2
5) I 5
1
dx
1 1
( Đs: ln )
2
x x2
3 4
1 1
ln 3 )
3 4
( Đs:
(9 2 3)
)
72
x3 dx
x
8
4
2
( Đs:
1 ln 3
)
96 128
1
2
1 x4
) 16) I16
dx (Đs: )
6
6
1 x
3
0
1
2x 5
1 5
dx ( Đs: ln )
2
( x 3 x 2)( x 7 x 12)
2 4
0
18) I18
2
2
1
19) I19
0
1
2x 1
dx
x 4 2 x3 3x 2 2 x 3
3
( Đs: ln )
5
xdx
3
( Đs: ln 2 )
2
( x 1)( x 2)
20 5
0
21) I 21
2
23) I 23
1
3
2
20) I 20
1
1
22) I 22
0
5
2
x x 4x 1
8 15
dx ( Đs: ln )
4
3
x x
3 7
x2 3
13
21
dx ( Đs:
ln 3 ln 2 )
4
2
4
4
x( x 3x 2)
2 x 2 5x 2
dx
x3 2 x 2 4 x 8
( Đs:
1
3
ln )
6
4
4 x3 2 x 2 x 1
15 2
dx ( Đs: ln )
2
2
x ( x 1)
2 15
3
24) I 24
Trang 11
12. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Trước khi đi vào 10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng các em cần nắm
được cách tính các tích phân lượng giác cơ bản qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau với k 1;5 (có 40 câu tích phân trong ví dụ này) :
2
2
A sin k xdx
B cos k xdx
0
C tan k xdx
0
4
1
F
dx
cos k x
0
1
E k dx
sin x
D cot k xdx
4
3
0
6
2
2
4
G
6
3
1
dx
tan k x
H
4
1
dx
cot k x
Giải:
*) Với k = 1 . Ta có:
2
+) A1 sin xdx cos x
2
0
2
1
0
0
4
4
4
0
sin x
d cos x
dx
ln cos x
cos x
cos x
0
0
2
2
+) C1 tan xdx
4
2
+) E1
4
0
2 1
ln 2
2
2
ln
2
cos x
d sin x
+) D1 cot xdx
dx
ln sin x
sin x
sin x
3
+) B1 cos xdx sin x 02 1
4
2
4
ln
2 1
ln 2
2
2
4
1
dx
sin x
2
Cách 1: E1
3
2
2
3
3
1
sin x
sin x
dx 2 dx
dx . Lúc này ta có 2 cách trình bày
2
sin x
sin x
1 cos x
Cách trình bày 1: Đặt t cos x dt sin xdx và x :
1
2
1
2
1
2
1
thì t : 0
3
2
2
1
2
dt
dt
1 (1 t ) (1 t )
1 1
1
1 1 t
Khi đó E1
dt
dt ln
2
1 t 0 (1 t )(1 t ) 2 0 (1 t )(1 t )
2 0 1 t 1 t
2 1 t
0
1
2
1
ln 3
2
1
ln 3
2
0
Cách trình bày 2:
2
2
d cos x
1
1
1
1 1 cos x
E1
d cos x ln
2 1 cos x 1 cos x
2 1 cos x
(1 cos x )(1 cos x )
3
3
Trang 12
2
3
13. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
x
x
x
x
x
2 x
cos 2
sin dx
cos dx
2 sin
2 d cos
2 d sin
1
12
12
2
2 dx
Cách 2: E1
dx
2 2 2x x2 x2
x
x
sin x
2 cos x
2sin
sin
cos
sin
cos
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
x
x 2
x
ln cos ln sin ln tan
2
2
2
3
2
2
2
2
1
1
dx
Cách 3: E1
dx
dx
x
x
x
2 x
sin x
2sin
2 tan
cos
cos
3
3
3
2
2
2
2 3
6
x
2 ln tan x
x
2
tan
2
d tan
2
1
ln 3
2
1
ln 3
2
3
2
3
6
6
1
cos x
cos x
+) F1
dx
dx
dx ( tính tương tự như E1 - hoặc đổi biến hoặc vi phân)
2
cos x
cos x
1 sin 2 x
0
0
0
6
6
1
d sin x
1 1
1
1 1 sin x
d sin x ln
2 0 (1 sin x)(1 sin x) 2 0 1 sin x 1 sin x
2 1 sin x
4
+) G1
6
4
4
4
1
cos x
d sin x
dx cot xdx
dx
ln sin x
tan x
sin x
sin x
6
6
3
3
3
4
6
ln 2
4
4
4
2
1
1
1
2
+) A2 sin xdx (1 cos 2 x)dx x sin 2 x
20
2
2
4
0
0
2
2
12
1
1
2
+) B2 cos 2 xdx (1 cos 2 x)dx x sin 2 x
20
2
2
4
0
0
4
4
2
2
4
4
4
1
4
+) C2 tan 2 xdx
1 dx tan x x 0
2
cos x
4
0
0
4
1
2
+) D2 cot 2 xdx 2 1 dx cot x x
4
sin x
4
2
+) E2
3
0
1
ln 3
2
1
ln 2
2
*) Với k = 2 . Ta có:
2
6
3
1
sin x
d cos x
+) H1
dx tan xdx
dx
ln cos x
cot x
cos x
cos x
4
6
1
3
2
dx cot x
2
sin x
3
3
6
1
3
6
dx tan x 0
2
cos x
3
0
+) F2
Trang 13
3
4
ln
2 1
ln 2
2
2
14. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
4
4
4
6
6
6
3
3
3
4
4
1
1
2
4
+) G2
dx cot xdx 2 1 dx cot x x 3 1
2
12
tan x
sin x
6
+) H 2
4
1
1
3
dx tan 2 xdx
1 dx tan x x 3 1
2
2
cot x
12
cos x
4
*) Với k = 3 . Ta có:
2
2
2
cos3 x 2 2
+) A3 sin xdx sin x.sin xdx (1 cos x)d cos x cos x
(có thể đặt t cos x )
3 0 3
0
0
0
3
2
2
2
2
2
sin 3 x 2 2
+) B3 cos3 xdx cos 2 x.cos xdx (1 sin 2 x)d sin x sin x
3 0 3
0
0
0
4
4
4
(có thể đặt t sin x )
4
tan x
+) C3 tan 3 xdx tan x tan 3 x tan x dx tan x(1 tan 2 x) tan x dx 2 tan x dx
cos x
0
0
0
0
4
4
4
tan x
tan 2 x 4
1 1
dx tan xdx tan xd tan x C1
C1 ln 2
2
cos x
2 0
2 2
0
0
0
( các em có thể xem lại cách tính C1
2
2
1
ln 2 đã tính ở trước đó với k = 1 )
2
2
2
cot x
+) D3 cot 3 xdx cot x cot 3 x cot x dx cot x(1 cot 2 x) cot x dx 2 cot x dx
sin x
4
4
2
4
4
4
2
2
2
4
4
4
cot x
cot 2 x
1 1
dx cot xdx cot xd cot x D1
D1 ln 2
2
sin x
2
2 2
(các em có thể xem lại cách tính D1
2
2
2
1
sin x
sin x
+) E3 3 dx 4 dx
dx
2
2
sin x
sin x
(1 cos x )
3
1
ln 2 đã tính ở trước đó với k = 1 )
2
3
Đặt t cos x dt sin xdx và t :
1
0
2
3
1
2
1
2
1
2
dt
1 (1 t ) (1 t ) dt 1 2 (1 t ) 2 (1 t ) 2 2(1 t ).(1 t )
Khi đó E3
dt
(1 t 2 ) 2 4 0 (1 t ) 2 .(1 t ) 2
40
(1 t )2 .(1 t )2
0
1
2
1
2
1 1
1
2
1 1
1
1
1
(1 t ) 2 (1 t )2 (1 t ).(1 t ) dt 4 (1 t )2 (1 t ) 2 1 t 1 t dt
40
0
1
1 1
1
1 t 2 1
1
ln
4 ln 3 3
4 1 t 1 t
1 t 0
Trang 14
15. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
6
6
6
1
cos x
cos x
dx
dx
dx
3
4
cos x
cos x
(1 sin 2 x)2
0
0
0
+) F3
Đặt t sin x dt cos xdx và x : 0
1
2
1
thì t : 0
6
2
1
2
1
2
dt
1 (1 t ) (1 t ) dt 1 2 (1 t ) 2 (1 t ) 2 2(1 t ).(1 t )
Khi đó F3
dt
(1 t 2 ) 2 4 0 (1 t ) 2 .(1 t ) 2
40
(1 t ) 2 .(1 t ) 2
0
1
2
1
2
1 1
1
2
1 1
1
1
1
(1 t ) 2 (1 t )2 (1 t ).(1 t ) dt 4 (1 t )2 (1 t ) 2 1 t 1 t dt
40
0
1
1 1
1
1 t 2 1
1
ln
4 ln 3 3
4 1 t 1 t
1 t 0
4
4
4
4
1
+) G3
dx cot 3 xdx cot x cot 3 x cot x dx cot x(1 cot 2 x) cot x dx
3
tan x
6
6
6
6
4
4
4
6
6
6
6
4
4
cot x
cos x
d sin x
cot x cos x
2
dx 2 dx
dx cot xd cot x
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
6
cot 2 x
4
1
ln sin x 1 ln 2
2
2
6
3
+) H 3
4
3
3
4
3
4
1
dx tan 3 xdx tan x tan 3 x tan x dx tan x(1 tan 2 x) tan x dx
3
cot x
4
3
3
3
4
4
4
4
3
3
tan x
sin x
d cos x
tan x sin x
2
dx
dx
dx tan xd tan x
2
cos x
cos x
cos x
cos x
cos x
4
tan 2 x
3
1
ln cos x 1 ln 2
2
2
4
*) Với k = 4 . Ta có:
2
2
2
2
2
1
1
1 cos 4 x
1 cos 2 x
2
+) A4 sin 4 xdx
dx 1 2cos 2 x cos 2 x dx 1 2 cos 2 x
dx
2
40
4 0
2
0
0
2
1 3
1
13
1
2 3
2 cos 2 x cos 4 x dx x sin 2 x sin 4 x
4 02
2
42
8
0 16
Trang 15
16. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2
2
2
2
2
1
1
1 cos 4 x
1 cos 2 x
2
+) B4 cos 4 xdx
dx 1 2cos 2 x cos 2 x dx 1 2 cos 2 x
dx
2
40
4 0
2
0
0
1 23
1
13
1
2 3
2 cos 2 x cos 4 x dx x sin 2 x sin 4 x
16
4 02
2
42
8
0
4
4
4
4
tan 2 x
+) C4 tan 4 xdx tan 2 x tan 4 x tan 2 x dx tan 2 x(1 tan 2 x) tan 2 x dx 2 tan 2 x dx
cos x
0
0
0
0
4
4
4
tan 2 x
tan 3 x 4
1 4 3 8
dx tan 2 xdx tan 2 xd tan x C2
C2
2
cos x
3 0
3
4
12
0
0
0
(các em có thể xem lại cách tính C2
2
2
4
4
4
đã tính ở trước đó với k = 2 )
4
2
2
cot 2 x
+) D4 cot 4 xdx cot 2 x cot 4 x cot 2 x dx cot 2 x(1 cot 2 x) cot 2 x dx 2 cot 2 x dx
sin x
4
2
2
cot 2 x
cot 3 x
dx cot 2 xdx cot 2 xd cot x D2
sin 2 x
3
4
4
4
(các em có thể xem lại cách tính D2
2
+) E4
3
4
2
2
4
D2
1 4 3 8
3
4
12
4
đã tính ở trước đó với k = 2 )
4
2
3
2
3
2
3
1
1
1
cot x
10 3
dx 2 . 2 dx 1 cot 2 x .d cot x cot x
4
sin x
3
27
sin x sin x
6
6
4
3
6
1
1
1
tan 3 x 6 10 3
+) F4
dx
.
dx 1 tan 2 x .d tan x tan x
cos 4 x
cos 2 x cos 2 x
3 0
27
0
0
0
4
4
4
1
+) G4
dx cot 4 xdx cot 2 x cot 4 x cot 2 x dx cot 2 x(1 cot 2 x) cot 2 x dx
4
tan x
6
6
6
6
4
4
4
6
6
6
6
4
4
cot 2 x
cot 2 x
1
2 cot 2 x dx 2 dx cot 2 xdx cot 2 xd cot x 2 1 dx
sin x
sin x
sin x
6
cot 3 x
4 8
cot x x
3
12
6
Trang 16
17. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
3
+) H 4
4
3
3
4
3
4
1
dx tan 4 xdx tan 2 x tan 4 x tan 2 x dx tan 2 x(1 tan 2 x) tan 2 x dx
4
cot x
3
4
3
2
3
3
4
2
3
4
4
tan x
tan x
1
2 tan 2 x dx
dx tan 2 xdx tan 2 xd tan x
1 dx
2
2
cos x
cos x
cos x
4
4
tan 3 x
3 8
tan x x
12
3
4
*) Với k = 5 . Ta có:
2
2
2
2
+) A5 sin 5 xdx sin 4 x.sin xdx (1 cos 2 x) 2 .sin xdx (1 2cos 2 x cos 4 x).d cos x
0
0
0
0
2
1
8
2
cos x cos 3 x cos5 x
3
5
0 15
2
2
2
(có thể đặt t cos x )
2
+) B5 cos 5 xdx cos 4 x.cos xdx (1 sin 2 x) 2 .cos xdx (1 2sin 2 x sin 4 x).d sin x
0
0
0
0
2
1
8
2
sin x sin 3 x sin 5 x
3
5
15
0
4
4
4
(có thể đặt t sin x )
4
tan 3 x
+) C5 tan 5 xdx tan 3 x tan 5 x tan 3 x dx tan 3 x(1 tan 2 x) tan 3 x dx 2 tan 3 x dx
cos x
0
0
0
0
4
3
4
4
tan x
tan 4 x 4
1 1 1
1
1
dx tan 3 xdx tan 3 xd tan x C3
C3 ln 2 ln 2
2
cos x
4 0
4 2 2
4
2
0
0
0
( các em có thể xem lại cách tính C3
2
2
1 1
ln 2 đã tính ở trước đó với k = 3 )
2 2
2
2
4
4
cot 3 x
+) D5 cot 5 xdx cot 3 x cot 5 x cot 3 x dx cot 3 x(1 cot 2 x) cot 3 x dx 2 cot 3 x dx
sin x
4
4
2
2
2
4
4
4
4
1 1 1
1
cot 3 x
cot 4 x 2
1
2 dx cot 3 xdx cot 3 xd cot x D3
D3 ln 2 ln 2
4 2 2
4
4
2
sin x
( các em có thể xem lại cách tính D3
Trang 17
1 1
ln 2 đã tính ở trước đó với k = 3 )
2 2
18. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2
+) E5
3
2
2
3
3
1
sin x
sin x
dx 6 dx
dx
5
2
3
sin x
sin x
(1 cos x )
Đặt t cos x dt sin xdx và x :
1
2
1
thì t : 0
3
2
2
dt
(1 t 2 )3
0
. Khi đó E5
3
1
1 (1 t ) (1 t ) 1 (1 t )3 (1 t )3 6(1 t ).(1 t )
Ta có:
.
.
(1 t 2 )3 8 (1 t )3 .(1 t )3
8
(1 t )3 .(1 t )3
2
1 1
1 1
1
6
1
3 (1 t ) (1 t )
.
8 (1 t )3 (1 t )3 (1 t )2 .(1 t )2 8 (1 t )3 (1 t )3 2 (1 t ) 2 .(1 t )2
1 1
1
3 (1 t ) 2 (1 t ) 2 2(1 t ).(1 t )
.
8 (1 t )3 (1 t )3 2
(1 t )2 .(1 t ) 2
1 1
1
3 1
1
2
3
3
2
2
8 (1 t ) (1 t ) 2 (1 t ) (1 t ) (1 t ).(1 t )
1 1
1
3 1
1
1
1
3
3
2
2
8 (1 t ) (1 t ) 2 (1 t ) (1 t ) 1 t 1 t
1
2
Suy ra E5
1 1
1
3 1
1
1
1
(1 t )3 (1 t )3 2 (1 t )2 (1 t )2 1 t 1 t dt
80
1
1 1
1
3 1
1
1 t 2 1 3
ln
ln 3
8 2(1 t )2 2(1 t ) 2 2 1 t 1 t
1 t 0 12 16
6
+) F5
0
6
6
1
cos x
cos x
dx
dx
dx
5
6
cos x
cos x
(1 sin 2 x)3
0
0
Đặt t sin x dt cos xdx và t : 0
1
2
1
2
dt
1 3
ln 3 (xem cách tính E5 ở ý trên)
2 3
(1 t )
12 16
0
Khi đó F5
3
3
3
3
1
+) H 5
dx tan 5 xdx tan 3 x tan 5 x tan 3 x dx tan 3 x(1 tan 2 x) tan 3 x dx
5
cot x
4
4
3
4
4
3
3
3
3
4
3
4
tan x
1
tan x
1
2
dx
dx
dx tan 3 xd tan x H 3
3
2
3
cot x
cos x
cos x
cot x
4
4
3
tan 4 x
1
1
H 3 2 1 ln 2 1 ln 2
4
2
2
4
1
( các em có thể xem lại cách tính H 3 1 ln 2 đã tính ở trước đó với k = 3 )
2
Trang 18
.
19. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
CHÚ Ý:
+) Sẽ có nhiều em thắc mắc là biểu thức dưới dấu tích phân tan k xdx tương tự với
k
k
x
dx và
1
dx . Nếu đi tính nguyên hàm (tích phân bất định ) chúng có sự giống nhau
x
(tính nguyên hàm được hiểu là tính trên tập xác định của hàm). Nhưng nếu đi tính tích phân xác định thì sẽ
cot
xdx tương tự với
1
cot
tan
k
4
4
1
dx thì C1 1 như cách chúng ta đã làm. Còn H1
cot x
0
0
trong tình huống này với kiến thức toán sơ cấp sẽ không tính được vì hàm số dưới dấu tích phân không xác
định với cận x 0 .
có sự khác biệt . Ví như tính C1 tan xdx và H1
+) Để đưa ra công thức tổng quát cho các tích phân trên các em sẽ tìm hiểu rõ hơn ở mục VI trong phần
tích phân truy hồi.
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
2
2
dx
1) I1
1 cos x
0
2
dx
2) I 2
2 cos x
0
4
dx
1 sin x
0
3) I3
4
4) I 4 sin 2 x cos 3 x cos 5 xdx
0
5) I 5 (1 2sin 2 x) sin 6 x cos 6 x dx
0
3
6) I 6 sin 3
0
x
x
cos dx
2
2
Giải:
x
d
2
2
dx
dx
2 tan x 2 1
1) I1
1 cos x 2 cos 2 x cos 2 x
20
0
0
0
2
2
2dt
2
dx 1 t 2
x
dx
2) I 2
Đặt t tan
và x : 0 thì t : 0 1
2
2
2 cos x
2
0
cos x 1 t
2
1 t
2dt
3
1
1
du 3(1 tan 2 u )du
dt
1 t 2 2dt
Đặt t 3 tan u
và t : 0
I2
cos 2 u
2
t2 3
1 t
6
0
0
t 2 3 3(1 tan 2 u )
2
2
1 t
2
6
2
6
2 3(1 tan u )du 2 3
2 3 6
3
Khi đó I 2
du
u
2
3(1 tan u )
3 0
3 0
9
0
2 dt
dx 1 t 2
x
CHÚ Ý: Khi đặt t tan
2
2
sin x 2t ; cos x 1 t
1 t 2
1 t2
Trang 19
20. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2
2
2
dx
dx
dx
x 2
3) I3
cot 1
2
x
1 sin x 0
2 40
x
x
0
0 2sin 2
sin cos
2 4
2
2
1
1
1
( hoặc biến đổi
)
1 sin x
2 x
1 cos x 2sin
2
2 4
4
4
4) I 4 sin 2 x cos 3 x cos 5 xdx
0
4
1
1
sin 2 x cos8 x cos 2 x dx sin 2 x cos 8 x sin 2 x cos 2 x dx
2
20
0
4
1
1 1
1
1
4 13
sin10 x sin 6 x sin 4 x dx cos10 x cos 6 x cos 4 x
40
4 10
6
4
0 120
4
5) I 5 (1 2sin 2 x) sin 6 x cos 6 x dx
0
1 2sin 2 x cos 2 x
Ta có: 6
3 2
6
2
2
3
2
2
2
2
sin x cos x (sin x cos x) 3sin x.cos x(sin x cos x) 1 sin 2 x
4
4
4
1 3
1
1
3
4 3
Khi đó I5 cos 2 x 1 sin 2 x dx 1 sin 2 2 x d sin 2 x sin 2 x sin 3 2 x
2 0 4
2
4
4
0 8
0
3
3
x
x
x
x 1
x3
1
6) I 6 sin cos dx 2 sin 3 d sin sin 4
2
2
2
2 2
20
4
0
0
3
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
4
3
1) I1
2) I 2
cos x sin x
dx
1 sin 2 x
0
0
3
4
sin x
3 sin x cos x
k
dx với k 1;3
4
5) I5 cos 2 x.(sin 3 x sin 3 x cos3 x cos 3 x)dx
4) I 4 cos3 x.cos 3 xdx
0
0
Giải:
4
dx
2 sin x cos x
4
4
3) I 3
4
4
cos x sin x
d (sin x cos x)
1
2
1) I1
dx
1
2
1 sin 2 x
(sin x cos x)
sin x cos x 0
2
0
0
Trang 20
sin 4 x
dx
sin 4 x cos 4 x
0
6) I 6
21. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
3
2) I 2
0
sin x
3 sin x cos x
k
dx với k 1;3
Cách trình bày 1:
3
Ta có: I 2
0
sin x
6 6
3
sin x
1
dx
dx k
k
k
2
0 k
3 sin x cos x
3
1
2
sin x cos x
2
2
3
0
3
1
sin x cos x
2
6 2
6
dx
k
sin x
6
d sin x
dx
3 cos x
1 3
3dx
3 3
dx
1 3
6
6
k 1
2k 1 k 1 2 k 1
2 0
k 1
0 sin k x
0 sin
0 sin k x
x
sin x 6
6
6
6
3
d sin x
3
dx
1
3
1
3
6
+) Với k 3 I 2
cot x
2 16 0 3 16 6
16 0
32
sin x
sin x
32sin 2 x
6
6
6 0
3
3
33
+) Với k 2 khi đó I 2
8
0
d sin x
13
3
1
6
A B
80
8
8
sin x
sin 2 x
6
6
dx
(1)
sin x
sin x
3
6
6
*) Ta có: A
dx
dx
2
0 sin x
0 sin
0 1 cos 2 x
x
6
6
6
3
3
dx
d cos x
3
1
1
1
6
d cos x
2 0
6
0
1 cos x 1 cos x
1 cos x 1 cos x
6
6
6
6
3
1 cos x
1
6
ln
2
1 cos x
6
3
ln
32
3
d sin x
1
6
*) Ta có: B
1
0 sin 2 x
sin x
6
60
3
(2)
0
3 ln
Thay (3); (2) vào (1) ta được: I 2
3 2 1
8
d sin x
3
33
13
1
3
3 1
6
+) Với k 1 I 2
dx 4 4 x 4 ln sin x 6 12 4 ln 2
4 0
0
0 sin x
6
Trang 21
(3)
22. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
3
Cách trình bày 2: I 2
0
3
Ta có: I 2
sin x
3 sin x cos x
k
dx với k 1;3
3
sin x
k
sin x
dx
k
dx
1
2k
3
sin x
dx
0 sin k x
6
3
1
2k
sin x cos x
2
2
Đặt t x dt dx và x : 0 thì t :
6
3
6
2
3
1
sin t
sin t cos t
1 2
1 2 2
1 2 3 sin t cos t
6 dt
2
Khi đó I 2 k
dt k 1
dt
2 sin k t
2k
sin k t
2 sin k t sin k t
0
3 sin x cos x
0
6
6
6
2
2
2
1
cos t
1
d sin t 1
+) Với k 1 I 2 3
dt 3dt
4
4
sin t
4
sin t
6
6
6
3t ln sin t
2
6
3 1
ln 2
12 4
2
2
2
3 sin t cos t
1
1
d cos t
d sin t
+) Với k 2 I 2
2 dt 3
2
8 sin 2 t
sin t
8
(1 cos t )(1 cos t )
sin t
6
6
6
2
3 1 cos t
1
ln
16 1 cos t 8sin t
3 ln
3 2 1
8
6
2
1 2 3
cos t
1 2 dt
d sin t 1
3
1 2
+) Với k 3 I 2 2 3 dt 3 2
3
16 3 cot t 2sin 2 t 32
16 sin t sin t
16 sin t sin t
6
6
6
6
3
4
3) I 3
4
dx
2 sin x cos x
3
4
4
1
2
dx
2 2 cos x
4
3
4
4
1
2
3
4
4
dx
1
1 cos x 2 2
4
4
dx
x
sin 2
2 8
x
3
d
2 8 1 cot x 4 2
x
2
2
2 8
sin 2
4
2 8
4) I 4 cos3 x.cos 3 xdx
3
4
Ta có: cos 3 x.cos 3x cos 2 x.(cos x.cos3x)
0
1 cos 2 x cos 4 x cos 2 x
.
2
2
1
cos 4 x cos 2x cos 2 x.cos 4 x cos2 2 x
4
1
cos 6 x cos 2 x 1 cos 4 x cos 6 x 3cos 4 x 3cos 2 x 1
cos 4 x cos 2 x
4
2
2
8
Trang 22
23. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
1
1 sin 6 x 3sin 4 x 3sin 2 x
I 4 (cos 6 x 3cos 4 x 3cos 2 x 1)dx
x =
80
8 6
4
2
0 8
Chú ý: Bài toán trên ta có thể có cách biến đổi :
Xuất phát từ công thức nhân 3 của cos: cos 3 x 4 cos3 x 3cos x ( sau đó nhân cả 2 vế với cos 3x )
1 cos 6 x
3(cos 4 x cos 2 x)
cos 2 3x 4cos 3 x.cos 3x 3cos x.cos3x
4 cos3 x.cos 3x
2
2
cos 6 x 3cos 4 x 3cos 2 x 1
cos3 x.cos3x
8
4
5) I5 cos 2 x.(sin 3 x sin 3 x cos 3 x cos 3 x) dx
0
Ta có: sin 3 x sin 3 x cos3 x cos 3 x = sin x(1 cos 2 x) sin 3x cos x(1 sin 2 x) cos 3x
= sin x sin 3x cos x cos 3x sin x cos x cos x sin 3x sin x cos 3x
= cos 2 x sin x cos x.sin 4 x
cos 2 x 2 sin x cos x.sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 2 x cos 2 x
cos 2 x sin 2 2 x cos 2 x cos 2 x(1 sin 2 2 x) cos3 2 x
4
4
4
2
4
1
1 cos 4 x
2
Khi đó: I5 cos 2 x.cos3 2 xdx cos 4 2 xdx
dx 1 2 cos 4 x cos 4 x dx
2
40
0
0
0
1 4
1 cos 8 x
1 43
1
13
1
1
4 3
1 2 cos 4 x
dx 2cos 4 x cos 8 x dx x sin 4 x sin 8 x
4 0
2
4 02
2
42
2
16
0 32
2
2
2
4
1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 cos 2 x 2 sin 2 x 2cos 2 x
sin x
2
4
4
Ta có:
2
1 2
2 sin 2 x
4
4
sin x cos x 1 2 sin 2 x
2
4
sin 4 x
dx
sin 4 x cos 4 x
0
6) I 6
4
Khi đó: I 6
4
Tính I
0
1
4
4
1 2 sin 2 x 2 cos 2 x
1
2 cos 2 x
1
cos 2 x
dx 1
dx I
dx x
2
2
2
20
2 sin 2 x
2 0 2 sin 2 x
2 0 0 2 sin 2 x
8
cos 2 x
dx
2 sin 2 2 x
Đặt t sin 2 x dt 2 cos 2 xdx cos 2 xdx
2 t dt 1
2 t 2 t 4 2
1
ln 2 1
8 2 2
1
1
dt
1
I
2
2 0 2t
4 2
0
Vậy I 6
4
2
2 t
1
0
dt
và t : 0 1 , suy ra:
2
1
1
1
1
ln
dt
2 t
2 t
4 2
2 t
2 t
0
1
2 2
ln
Chú ý: Bài toán trên ta có thể có cách biến đổi :
2
2
2
2
sin 4 x
sin 4 x cos 4 x sin 4 x cos 4 x 1 sin x cos x sin x cos x 1
cos 2 x
4
4
4
4
sin x cos x
2
2 2 sin 2 2 x
1
2 sin x cos x
2 1 sin 2 2 x
2
Trang 23
2 1
24. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2
1) I1
3) I 3
0
2) I 2
0
0
3
dx
1 sin x cos x
0
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
2
4
sin x 7 cos x 6
dx
4sin x 3cos x 5
4) I 4
sin 2 x
(2 sin x)
2
2sin x 11cos x
dx
3sin x 4cos x
dx
sin x.sin x
6
6
5) I5
dx
2
Giải:
dt
2
1 tan 2
dx
x
2
2 dx 1 t dx dx 2 dt
2
1 t2
x
dx
x
2
2cos 2
1) I1
Đặt t tan
2
1 sin x cos x
2
0
2t
1 t 2
sin x
; cos x
1 t 2
1 t2
1
và x : 0 thì t : 0 1 , khi đó I1
2
0
4
2) I 2
0
2sin x 11cos x
dx
3sin x 4cos x
1
1
2 dt
dt
ln t 1 0 ln 2
2
t 1
2
1
1 t 2 1 1 tt 2 1 tt 2 0
Ta phân tích: 2 sin x cos x A(3sin x 4 cos x) B (3 cos x 4 sin x)
2sin x 11cos x (3 A 4 B) sin x (4 A 3B) cos x
3 A 4 B 2
A 2
Đồng nhất hệ số ta được:
4 A 3B 11 B 1
4
Khi đó : I 2
0
4
4
2(3sin x 4cos x) (3cos x 4sin x)
d (3sin x 4 cos x)
dx 2 dx
3sin x 4 cos x
3sin x 4 cos x
0
0
2 x ln 3sin x 4 cos x 4
0
2
3) I3
0
sin x 7 cos x 6
dx
4sin x 3cos x 5
7 2
ln
2
8
Phân tích: sin x 7 cos x 6 A(4 sin x 3cos x 5) B (4 cos x 3sin x) C
sin x 7 cos x 6 (4 A 3B ) sin x (3 A 4 B ) cos x 5 A C
4 A 3B 1
Đồng nhất hệ số ta được: 3 A 4 B 7 A B C 1
5 A C 6
2
Khi đó : I3
0
2
2
4sin x 3cos x 5
4cos x 3sin x
1
dx
dx
dx
4sin x 3cos x 5
4sin x 3cos x 5
4sin x 3cos x 5
0
0
2
dx
0
2
0
d (4sin x 3cos x 5)
9
I x ln 4sin x 3cos x 5 2 I ln I
0
4sin x 3cos x 5
2
8
Trang 24
(*)
25. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2 dt
dx
1
x
1 t2
Tính I
Đặt t tan
dx
4sin x 3cos x 5
2
2t
1 t2
0
sin x
; cos x
1 t 2
1 t2
2dt
1
1
1
1
dt
dt
1
1
1 t2
và x : 0 thì t : 0 1 . Suy ra I
2
2
2
2
2t
1 t
t 4t 4 0 (t 2)
t 2 0 6
0
4.
3.
5 0
2
2
1 t
1 t
9 1
Thay (2*) vào (*) ta được: I3 ln
2
8 6
2
0
4) I 4
sin 2 x
(2 sin x)
2
(2*)
dx
2
Cách 1: (Phân tích, kết hợp kĩ thuật vi phân)
0
I4
2
sin 2 x
dx
(2 sin x) 2
0
2
0
2
2
0
0
2 cos x(2 sin x) 4 cos x
cos x
cos x
dx 2
dx 4
dx
2
2
(2 sin x)
2 sin x
(2 sin x )
2
2
0
0
d (2 sin x)
d (2 sin x)
4
4
2ln 2 sin x
2 ln 2 2
2
2 sin x
(2 sin x)
2 sin x
2
2
Cách 2: (Đổi biến)
Đặt t 2 sin x dt cos xdx và x :
0
Khi đó I 4
2
0 thì t :1 2
2
2
2
2
2sin x
2(t 2)
4
2 4
cos xdx
dt 2 dt 2 ln t 2 ln 2 2
2
2
(2 sin x)
t
t t
t 1
1
1
3
3
5) I5
Cách 1: I5
dx
sin x.sin x
6
6
6
3
2
6
dx
3
1
sin x.
sin x cos x
2
2
3
dx
2
sin x.
3
3 cot x
2
6
d
6
2dx
sin x.
3 cot x
3 cot x
3 sin x cos x
2 ln
3 cot x
sin x x
cos x cos x sin x
3 sin x
6
6
6
dx 2
Cách 2: I5
.
dx
sin
sin x.sin x
sin x.sin x
6
6 6
6
6
1
3
3 d sin x 6 d sin x 6
cos x cos x 6
sin x
dx 2
2
sin x 2ln
sin x
sin x
sin x
sin x
6
6
6
6
6
6
3
Trang 25
3
2 ln
6
3
2
3
6
2 ln
3
2
26. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
CHÚ Ý :
Khi gặp tích phân I
f ( x)
g ( x) dx mà
h( x), g ( x) là các hàm bậc nhất theo sin x và cos x thì ta có thể dùng phương
pháp đồng nhất hệ số:
*)
h ( x) a sin x b cos x
c sin x d cos x
c cos x d sin x
. Khi đó:
A
B
g ( x) c sin x d cos x
c sin x d cos x
c sin x d cos x
c cos x d sin x
d (c sin x d cos x)
I A dx B
dx A dx B
A.x B ln c sin x d cos x ?
c sin x d cos x
c sin x d cos x
h ( x) a sin x b cos x e
c sin x d cos x h
c cos x d sin x
1
*)
.Khi đó:
A
B
C
g ( x) c sin x d cos x h
c sin x d cos x h
c sin x d cos x h
c sin x d cos x h
dx
bằng hai cách:
c sin x d cos x h
I Ax B ln c sin x d cos x h C.I 3 và ta tính I3
C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển về các công thức lượng giác trong bảng nguyên hàm .
C2: Đặt t tan
x
2dt
2t
1 t2
dx
và sinx
; cos x
2
1 t 2
1 t2
1 t2
Bài luyện
Tính các tích phân sau:
2
dx
1) I1 6
sin x
4
6
4) I 4
dx
3 cos x sin x
0
2
6) I 6
4
28
( Đs: )
15
2) I 2
4
dx
56
( Đs: )
6
cos x
15
4
3) I 3
0
3
dx
4 3
8) I 8 2
( Đs:
)
2
3
sin x cos x
( Đs:
xdx ( Đs:
13
)
15 4
2
1 (2 3)
( Đs: ln
)
4
3
2
6
0
2
sin 2 x cos 3x 2sin x dx
tan
5) I 5 sin x sin 2 x sin 3xdx ( Đs:
0
2
2
)
2 5
2
sin 3 xdx
9) I 9
1 cos x
0
1
)
6
7) I 7 cos 2 x.cos 4 xdx ( Đs: 0 )
0
1
( Đs: )
2
2
10) I10
sin xdx
1 sin x
0
( Đs:
1 )
2
6
4
11) I11
sin
6
2
13) I13
2
dx
( Đs: 2 4 3 2 )
x cot x
4sin x 3cos x 1
4sin x 3cos x 5 dx
0
4
( Đs:
12) I12
0
3
1
9
ln )
6
8
14) I14
0
Trang 26
sin x cos x
sin x cos x 3 dx
( Đs: ln
3 2
)
4
dx
4 3
( Đs:
ln 2 )
3
cos x.cos x
3
27. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
IV. 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
DẠNG 1: I1
f g ( x), n g ( x) .g '( x)dx
(*)
CÁCH GIẢI CHUNG
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
4
1
1) I1 x 2 x dx (B – 2013)
0
2
4) I 4
x x 1 1
x3 1 x 1 dx
1
4
7) I 7
2 3
4
5) I 5
7
2
x dx
3
0
5
3
1
8) I8
x4 1
4
2x 1
2) I 2
dx
0 1 2x 1
2
1
dx
3
x2 4 x
3) I 3
0
4x 1
dx (D – 2011)
2x 1 2
0
dx
x x2 4
(A – 2003)
6 ) I6
31
1
9) I9
1
2
x
dx
x 1
3
5
2
2
10) I10
1
xdx
1 2x
xdx
x x2 1
Giải:
1
1) I1 x 2 x 2 dx (B – 2013)
0
Đặt t 2 x 2 t 2 2 x 2 2tdt 2 xdx xdx tdt và x : 0 1 thì t : 2 1
1
2
2
t3
2 2 1
Khi đó I1 t.tdt t dt
31
3
1
2
2
4
2) I 2
1
0
2x 1
dx
2x 1
Đặt t 2 x 1 t 2 2 x 1 tdt dx và x : 0 4 thì t :1 3
3
3
3
t2
3
t
t2
1
.tdt
dt t 1
dt t ln(t 1) 2 ln 2
1 t
t 1
t 1
2
1
1
1
1
I2
Trang 27
28. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
4
3) I 3
tdt dx
Đặt t 2 x 1 t 2 2 x 1
và x : 0 4 thì t :1 3
2
2 x t 1
4x 1
dx (D – 2011)
2x 1 2
0
3
3
3
2t 3
3 40
2(t 2 1) 1
2t 3 3t
10
5
.tdt
dt 2t 2 4t 5
dt
2t 2 5t 10 ln(t 2)
10 ln
t2
t 2
t2
1
3
3
1 3
1
I3
1
2
x4 x 1 1
x4
x 1 1
dx 3
3
x 1 x 1 x3 1 x 1
x 1 x 1
1
2
4) I 4
1
2
dx
1 2 3
2
3
x
2x 1 8
+) Tính B
1
2
2
x
dx
dx
dx 3 A B (*)
1 x 1 1 x
1
(1)
2
x
dx
x 1
1 1
+) Tính A
dx 2tdt
Đặt t x 1 t 2 x 1
và x :1 2 thì t : 0 1
2
x t 1
1
1 3
1
t3 t 2
1 11
(t 2 1).2tdt
t t
2
2
dt 2 t 2 t 2
dt 2 2t 2 ln(t 1) 4ln 2 (2)
1 t
t 1
t 1
3 2
0 3
0
0
0
A
Thay (1); (2) vào (*) ta được: I 4
2 3
5) I 5
5
dx
x x2 4
97
4 ln 2
24
(A – 2003)
tdt xdx
Đặt t x 2 4 t 2 x 2 4 2 2
và x : 5 2 3 thì t : 3 4
x t 4
2 3
Khi đó I 5
5
2 3
dx
x x2 4
5
xdx
x2 x2 4
4
4
4
tdt
dt
1 [(t 2) (t 2)]dt
2
2
(t 4).t 3 t 4 4 3 (t 2)(t 2)
3
4
0
6) I 6
31
5
xdx
1 2x
2
1 1
1
1 t 2 4 1 5
t 2 t 2 dt 4 ln t 2 3 4 ln 3
4 3
2 4
4
5t dt 2dx dx 5 t dt
Đặt t 5 1 2 x t 5 1 2 x
và cận t : 2 1
5
x 1 t
2
1 t5 2 4
. t dt
1
2
4
9
2 5
1 (t 3 t 8 )dt t t 2 1909
I6
t
5
36
4 91
2
1
4
7) I 7
7
1
x 3dx
3
0
2
I7
3
Đặt t 3 x 4 1 t 3 x 4 1 3t 2 dt 4 x 3dx x 3dx t 2 dt và cận t :1 2
4
x4 1
2
3 t 2 dt 3
1
1 t 4 t 1 t 1 dt
41
1
2 3 3 3
3 t2
t ln(t 1) ln
4 2
1 8 4 2
Trang 28
29. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2
8) I8
3
6
2
1
6
6
2
x 4 x
1
I 21
dx 6t 5 dt
Đặt t x x t
3 2
4
; x t3
x t
dx
6
và cận t :1 6 2
6
2 2
2
2
t2
62
6t 5dt
t dt
1
6 1
6
6 t 1
dt 6 t ln(t 1)
3 3 2 6 6 2 3 6 ln
4
3
t t
t 1 1
t 1
2
2
1
1
Nhận xét:
Trong bài toán trên đồng thời xuất hiện căn bậc 2 và căn bậc 3 nên chúng ta đã tìm cách đổi biến để đồng
thời mất cả hai căn. Khi đó chúng ta sẽ nghĩ tới việc đặt t 6 x hay x t 6 ( ở đây 6 BCNN (2;3) ) .
b
Như vậy khi gặp I f ( m g ( x ), n g ( x )) dx thì ta đặt t k g ( x) với k là BCNN của m và n.
a
1
1
x
dx
3
x 1
1
9) I9
1
2
và x :
2
I9
3
1
x 1 3
x
3
2
Đặt t 1
1
x
3
tdt
2
1
(t 2 1)2 . 2 .t 3
t 1
2
10) I10
1
1
2
1
1
1
x 1 3
x
dx
1
2
x2
1
x 1 3
x
dx
3
1
1
1
2t
2
t
t 2 1 3 x3 2
3 x 2 dx 2
dt x 2 dx . 2
dt
x3
x
t 1
(t 1)2
3 (t 1) 2
1
1 thì t : 3 2
2
2
dx
. Khi đó :
3
dt
2
t2 1 3
2
3
dt
1
(t 1)(t 1) 3
2
3
1
1 t 1
1
t 1 t 1 dt 3 ln t 1
2
3
2
1
ln
3
xdx
x x2 1
Nhận xét: Nếu đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 tdt xdx nhưng ta không chuyển được x theo t
Khi đó ta nghĩ tới việc nhân liên hợp. Cụ thể ta có lời giải:
2
I10
1
x x 2 1
1
x x x 2 1 dx
2
xdx
x
1 32
7
x I I
3 1
3
x 2 1 x x 2 1
2
1
(1)
2
Tính I x x 2 1dx
1
Đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 tdt xdx và x :1 2 thì t : 0 3
3
3
t.tdt
2
t dt
0
I
0
Từ (1) và (2) I10
2
2
x x x 2 1 dx x 2 dx x x 2 1dx
t3 3
3 (2) .
3 0
7
3
3
Trang 29
1
1
2 1
2
2
30. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
2
sin 2 x
1) I1
(A – 2006)
dx
cos 2 x 4sin 2 x
0
3) I3
2
2) I 2
sin 2 x sinx
dx (A – 2005)
1 3cos x
0
2
4) I 4
sin x 1 cos x sin xdx
0
2
6
1 cos 3 x sin x cos5 xdx
0
Giải:
2
sin 2 x
1) I1
dx
cos 2 x 4sin 2 x
0
2
Đặt t cos 2 x 4sin 2 x 1 3sin 2 x t 2 1 3sin 2 x 2tdt 6sin x cos xdx sin 2 xdx tdt
3
2
2
2 tdt 2
2 2 2
và cận t :1 2 I1
dt t
31 t
31
3 1 3
2
2) I 2
sin 2 x sinx
dx (A – 2005)
1 3cos x
0
2
2tdt 3sin xdx sin xdx tdt
3
Đặt t 1 3cos x t 2 1 3cos x
và t : 2 1
2
cos x t 1
3
2
1
(2 cos x 1)sin x
dx
1 3cos x
0
2
I2
3) I 3
2.
t 2 1
1
2
2
2 2t 3 2 34
2
3
. tdt (2t 2 1) dt
t
t
91
9 3
3
1 27
2
sin x 1 cos x sin xdx
2
2
2
+) Tính A
2
2
2
sin xdx
0
0
+) Tính B
0
0
sin xdx
0
1 cos x sin xdx A B
1 cos 2 x
x sin 2 x 2
dx
2
4 0
4
2
(*)
(1)
2
Đặt t 1 cos x t 2 1 cos x 2tdt sin xdx và cận t : 2 1
1 cos x sin xdx
0
2
2
B 2 t.tdt 2 t 2 dt
1
1
2t 3 2 4 2 2
3 1
3
(Các em có thể trình bày : I3
2
2
2
sin xdx
0
0
(2)
.Thay (1), (2) vào (*) ta được: I3
2
1 cos 2 x
1 cos x sin xdx
dx
2
0
4 22
x sin 2 x 2
(1 cos x)3 2
)
4
3
4
3
2
0
Trang 30
4 2 2
4
3
2
0
1 cos xd (1 cos x)
31. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
4) I 4
2
6
1 cos 3 x sin x cos5 xdx
0
6t 5 dt 3cos2 x sin xdx sin x cos2 xdx 2t 5dt
Đặt t 6 1 cos3 x t 6 1 cos3 x 3
và cận t : 0 1
6
cos x 1 t
I4
2
6
0
1
1
t 7 t13 1 6
1 cos3 x cos3 x sin x cos 2 xdx t (1 t 6 ).2t 5 dt 2 (t 6 t 12 ) dt
7 13 0 91
0
0
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
e
1) I1
1
e 3 1
3) I3
e3
1 3ln x ln x
dx
x
e 1
(B – 2004)
2) I 2
1
1 ln 2 ( x 1)
dx
( x 1).ln( x 1)
e
4) I 4
1
3 2ln x
dx
x 1 2 ln x
x x ln(ex) ln x
x 1 x ln x
dx
Giải:
e
3dx
dx 2
2tdt
tdt
x
x 3
2
Đặt t 1 3ln x t 1 3ln x
và cận: t :1 2
t 2 1
ln x
3
1 3ln x ln x
dx
x
1) I1
1
2
I1 t .
1
e3
2) I 2
1
3 2 ln x
dx
x 1 2ln x
2
t 2 1 2
2
2 t 5 t 3 2 116
. tdt (t 4 t 2 )dt
3 3
91
9 5 3 1 135
dx
tdt
Đặt t 1 2 ln x t 2 1 2 ln x
và cận t :1 2
x
2
2ln x t 1
2
2
3 (t 2 1)
t3 2 5
I2
.tdt (4 t 2 )dt 4t
t
31 3
1
1
e 3 1
3) I3
e 1
1 ln 2 ( x 1)
dx
( x 1).ln( x 1)
Đặt t 1 ln 2 ( x 1) t 2 1 ln 2 ( x 1) tdt
e 3 1
Khi đó I3
2
e 1
1 ln 2 ( x 1) ln( x 1)
.
dx
ln 2 ( x 1)
x 1
1 (t 1) (t 1)
1 .
dt
2 (t 1)(t 1)
2
ln( x 1)
dx và x : e 1 e
x 1
2
t
t 2 1 .tdt
2
2
2
t2
t 2 1 dt
2
2
1 t
2
2
1 1
1
1 t 1
1 2 . t 1 t 1 dt t 2 ln t 1
2
Trang 31
3
2
2
1 thì t : 2 2
1
dt
1
1
2 2 ln
2
2 1
3
2
32. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
x x ln(ex) ln x
e
4) I 4
x 1 x ln x
1
dx
x 1
1
Đặt t x ln x t 2 x ln x 2tdt 1 dx
dx và x :1 e thì t :1 e 1
x
x
e
x( x 1 ln x) ln x
Khi đó I 4
x 1 x ln x
1
e 1
2
1
e
x ln x x 1
.
dx
x ln x x
1 1
dx
t3 t 2
1
2
t t 1
dt 2 t ln 1 t
1 t
3 2
1
e 1
1
t2
.2tdt 2
1 t
e 1
e 1
1
t3
dt
1 t
2(e 2) e 1 3e 2
1 e 1
2 ln
3
3
2
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
ln 5
1) I1
ln 3
e2 x dx
2) I 2
ex 1
ln 2
(e
0
1
e x dx
x
1) e x 1
3) I 3
0
1
(1 x )e x
2 1 xe x
( x e 2 x ) x 2 e2 x
dx
4 x 2 4e 2 x 1
0
4) I 4
dx
Giải:
ln 5
1) I1
2tdt e x dx
Đặt t e x 1 t 2 e x 1 x 2
và x : ln 2 ln 5 thì t :1 2
e t 1
e 2 x dx
ex 1
ln 2
ln 5
I1
e x .e x dx
ln 2
ln 3
2) I 2
(e
ex 1
2
2
t 3 2 20
(t 2 1).2tdt
2 (t 2 1) dt 2 t
t
3 1 3
1
1
e x dx
x
0
Đặt t e x 1 t 2 e x 1 2tdt e x dx và x : 0 ln 3 thì t : 2 2
x
1) e 1
2
I2
2
2tdt
dt
2
2 t 2 .t 2 2 t 2 t
2
2 1
2
1
( x e 2 x ) x 2 e2 x
dx
4 x 2 4e 2 x 1
0
Đặt t x 2 e2 x t 2 x 2 e 2 x tdt ( x e 2 x )dx và t :1 1 e2
4) I 4
1 e2
Khi đó I 4
1
1
4
t.tdt
1
2
4t 1 4
1 e 2
1
1 e 2
1
4t 2 1 1
1
dt
2
4t 1
4
Ví dụ 5. Tính tích phân :
1) I1
0
1) I1
0
1
1
1 (2t 1)(2t 1) dt
1 1
1
1 1 2t 1
1 2 2t 1 2t 1 dt 4 t 4 ln 2t 1
1
1
1
1 e2
1 e2 1 1 6 1 e2 3
ln
4
16 2 1 e2 1
6
dx
3 3
1 e2
(1 x ) 1 x
3
dx
3 3
(1 x ) 1 x3
Phân tích: Nếu đặt: t 3 1 x 3 t 3 1 x 3 t 2 dt x 2 dx
Trang 32
cos x
dx
0 cos 2 x cos 2 x
2) I 2
33. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
1
Vậy để chỉnh được vi phân ta phải biến đổi I
0
1
dx
(1 x3 ) 3 1 x3
0
x 2 dx
x 2 (1 x3 ) 3 1 x3
nhưng x2 dưới mẫu số không rút được theo t và giá như không có x2 dưới mẫu số song vẫn có x 2 dx để ta
1
chỉnh vi phân. Từ đây ta nghĩ tới việc đặt x nhưng do cận x 0 ta không tìm được cận t tương ứng
t
nên ta “khắc phục” bằng cách tính nguyên hàm rồi sau đó mới thế cận.
1
dt
dt
dx
Giải: Tính nguyên hàm: I
Đặt x dx 2 I
3 3
3
t
t
1
1
(1 x ) (1 x )
t 2 1 3 3 1 3
t
t
hay I
t 2 dt
t
3
1 t 1
3
3
Đặt: u 3 t 3 1 u 3 t 3 1 u 2 du t 2 dt
u 2 du
du 1
1
x
I 3 2 C
C
C
3 3
3
u .u
u
u
t 1
1 x3
2
(có thể dùng kĩ thuật vi phân để tính : I
t dt
t
3
1 t 1
3
3
CHÚ Ý : Dạng tổng quát của bài toán trên I
I1
1
x
3
1 x3
1
0
4
3
1 3
1
3
(t 1) d (t 1) 3 t 3 1 C )
3
dx
n n
(a bx ) a bx
và ta giải bằng cách đặt x
n
1
t
6
cos x
dx
0 cos 2 x cos 2 x
2) I 2
Phân tích: Tương tự như ý 1) nếu bài toán này ta đặt t cos 2 x thì sẽ không ổn.
Nên trước tiên ta sẽ biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân. Cụ thể ta có lời giải như sau:
6
Giải: +) Ta có: I 2
0
6
cos x
cos 2 x cos 2 x
dx
0
cos x
(1 2sin 2 x) 1 2sin 2 x
dx
1
2
+) Đặt t sin x dt cos xdx và t : 0
+) Ta sẽ đi tính nguyên hàm I
Đặt t
dt
1
I2
(*)
2
2
2
0 (1 2t ) 1 2t
dt
2
(1 2t ) 1 2t 2
1
du
dt 2 I
u
u
du
2
2
u 2 1 2 1 2
u
u
0
udu
(u 2 2) u 2 2
3
1
1
(u 2 2) 2 d (u 2 2)
C
2
u2 2
1
2
I2
dt
2
(1 2t ) 1 2t
2
Trang 33
1
2
t
1 2t
2
0
2
2
1
d (u 2 2)
2 (u 2 2) u 2 2
1
t
C
C
1
1 2t 2
2
t2
34. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
dx
CHÚ Ý : +) Dạng tổng quát của (*) là I
n n
và ta giải bằng cách đặt x
n
(a bx ) a bx
+) Dạng tích phân trên các em sẽ được tìm hiểu kĩ hơn ở Dạng 9.
1
.
t
Ví dụ 6. Tính tích phân :
4
3
x 2 dx
1) I1
2) I 2
1 x x
0
1
1 x
1
1 x
1
3) I 3
dx
4) I 4
dx
x x 1
0 1
2
0
dx
2
x 4x 3
Giải:
4
x 2 dx
1) I1
Đặt t 1 x x t 2 1 x x
1 x x
0
4
x x t 2 1 x3 (t 2 1)2 3 x 2 dx 4t (t 2 1)dt x 2 dx t (t 2 1)dt
3
3
3
4 t (t 2 1)dt 4 2
và x : 0 4 thì t :1 3 , khi đó: I1
(t 1)dt
31
t
31
3
2) I 2
3
4 t3
80
t
3 3 1
9
dx
1 x
1 x2
Cách 1: (Nhân liên hợp)
1
3
I2
dx
1 x
1
1 x2
3
1
3
3
1 x 1 x2
1 x 1 x2
1 1
1 x2
dx
dx
1
(1 x)2 (1 x 2 )
2x
2 1x
x
1
3
1
1
ln x x
2
2
1
3
Tính I
1
1 x2
dx
x
3
Khi đó I
1
3
dx
1 x2
ln 3
3 1 1
dx
I
x
4
2
2
1
Đặt t 1 x 2 t 2 1 x 2 tdt xdx và x :1 3 thì t : 2 2
1 x2
xdx
x2
2
t
2 t 2 1 .tdt
2
t 2 1 1
2 t 2 1 dt
2
1 t
2
2
1
dt
1
2
1 1
1
1 t 1
1
dt t ln
2 t 1 t 1
2 t 1
2
2
2
1
2 2 ln( 2 1) ln 3 (2*)
2
Thay (2*) vào (*) ta được: I 2
3 2 3 ln(3 2 3)
2
Cách 2:
Đặt t x 1 x 2 t x 1 x 2 t 2 2tx x 2 1 x 2 x
và x :1 3 thì t :1 2 2 3 , khi đó:
Trang 34
t 2 1
t2 1
dx 2 dt
2t
2t
(*)
35. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
2 3
I2
2 3
2 3 2
2 3
1
1 t2 1
1
t2 1
1
t (t 1) t
1
1
1
. 2 dt 2
dt
dt
2
dt
2
t 1 2t
2 1 2 t (t 1)
2 1 2 t (t 1)
2 1 2 t 1 t t (t 1)
1 2
2 3
2 3
1
1
1 1 1
1
1 1
2
2 t 1 t 2 t t 1 dt 2 1 2 t 1 t 2 t dt
2 1
2 3
1
1
2 ln t 1 ln t
2
t
1
3 2 3 ln(3 2 3)
2
2
CHÚ Ý: Các em có thể sử dụng kĩ thuật đồng nhất hệ số để biến đổi :
t 2 1
A B C
( A C )t 2 ( A B)t B
2
, đồng nhất hệ số :
t 2 (t 1) t t t 1
t 2 (t 1)
Khi đó ta được:
A C 1
A 1
A B 0 B 1
B 1
C 2
t 2 1
1 1
2
2
2
t (t 1)
t t t 1
1
dx
x x 1
0 1
3) I 3
Đặt t x x 1 t 2 2 x 1 2 x( x 1) 2 x( x 1) t 2 (2 x 1)
t2 1
4 x 2 4 x t 4 2(2 x 1)t 2 4 x 2 4 x 1 4t 2 x t 4 2t 2 1 x
2t
Suy ra dx 2.
t2 1 t2 1
(t 2 1)(t 2 1)
. 2 dt
dt và x : 0 1 thì t :1 1 2
2t 2t
2t 3
1 2
Khi đó I3
1
2
1
2
1 (t 2 1)(t 2 1)
1
.
dt
3
t 1
2t
2
1 2
1
1 2
1
(t 1)(t 2 1)
1
dt
3
t
2
1 2 3
1
t t 2 t 1
dt
t3
1 2
1
1 1
1 1 1
1 2 3 dt t ln t 2
2
t 2t
t t t
1
3 2 ln( 2 1)
2
CHÚ Ý:
Nếu ta biến đổi
1
1 x x 1
1 x x 1
2
1 x x 1 (1 x ) ( x 1)
2 x
1 1
x 1
1
và áp dụng
2 x
x
1
dx
thì phép biến đổi trên không chính xác do không xác định tại cận tại x 0 .
x x 1
0 1
để giải I 3
1
4) I 4
0
dx
2
x 4x 3
1
0
dx
( x 1)( x 3)
Đặt t x 1 x 3
1
x 1 x 3
dx
dx
2dt
1
dt
dx t.
dx
t
2 ( x 1)( x 3)
2 ( x 1)( x 3)
( x 1)( x 3)
2 x 1 2 x 3
2 2
và x : 0 1 thì t :1 3 2 2
. Khi đó: I 4 2
1 3
Trang 35
dt
2ln t
t
2 2
1 3
2 ln
2 2
1 3
36. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
Bài luyện
Tính các tích phân sau:
2
5
1) I1 x 2 5 xdx ( Đs:
1
5
1
4) I 4
2) I 2 x 3 1 x 2 dx ( Đs:
0
0
dx
x 2 x 1
5
5) I 5
0
10) I10
x
2
x 1
0
1
13) I13
11) I11
dx ( Đs: 1)
2
x3
4 x
0
2
dx ( Đs:
14) I14
1
1
x
1 3x 4 x 2 dx ( Đs:
0
1
7
x
42 2
17) I17
)
dx ( Đs:
4
9
1 x
0
dx
x x
3
1
1
21) I 21
1
2
1
0
x
1
0
e
30) I 30
ln x
dx
1 ln x
2
0
18) I18
( Đs:
dx
x 2 ln x x ln(ex)
2 x ln x
x
1
dx
dx
1
2
0
26) I 26
28) I 28
( Đs:
( Đs:
1 ln 2 x .ln x
6 2 3
dx ( Đs:
)
x
8
2
1 ln x
95
54 ln 2 )
3
7 (3 2e) 3 e
2
2 ln
)
3
3 e 1
Trang 36
84 2
)
3
sin 2 x s inx
28 2 3
dx ( Đs:
ln )
27 3 2
1 3cos x
ln xdx
x 1 ln x
1
2 22
)
3
1
1
76
)
15
( Đs:
1 1 x
11
2 ln 2 )
6
2
2 1
)
ln
3
2
dx ( Đs:
dx
xdx
12
dx (Đs: )
5
2x 2
3 3 3
( Đs: ln )
4 2 2
x x 1
0
e
1
2
( Đs:
3
2
0
2 22 5
ln
) 24) I 24
2
17 1
dx
x 1
1 x
3
dx ( Đs:
2
x
20) I 20
22) I 22
2
x
3
1
3 2x x 1
x 1
1
3
8 x3 6 x 2 5 x 1
(Đs:
1 x
1
2
ln(2 3) )
2
1
29) I 29
16) I16
e 3
1
( Đs:
ex 3
e3
27) I 27
5 6x 2x2
1
2
ln 6
25) I 25
46
)
27
2
( Đs: 11 6 ln )
3
dx
(3 2 x)
1
7
xdx
17 9 3
( Đs:
)
9
3x 1 2 x 1
0
23) I 23
3
3 1
( Đs: ln )
2 12
3
12) I12
2 x x3
0
15) I15
19) I19
1
1
16
3 3 )
3
1
64
1 x
1 3
dx ( Đs:1 ln )
x
2 2
3
52
)
9
4 x2
dx ( Đs: 3 2 ln(2 3) )
x
2
x3 1dx ( Đs:
4x 1
2
2 2
2
dx
2x 1
9) I 9
x
0
6
7) I 7
( Đs:1 2 ln 2 )
11
x
1 x 1 dx (A – 2004) ( Đs: 3 4 ln 2 )
1
3
3) I3
x 1
11
)
dx ( Đs:
6
4x 1
2
8) I 8
2
2
)
15
2
x
42 2
)
dx (CĐ – 2012) ( Đs:
3
x 1
10
6) I 6
1
3
)
50
( Đs:
3 2 ln( 2 1)
)
4
37. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
DẠNG 2: I 2
f x 2n , ax 2 bx c dx
(2*)
CÁCH GIẢI CHUNG
CHÚ Ý:
*) Với tích phân có dạng
dx
x2 k
dx
x2 k
thì ta có thể không dùng tới phương pháp trên. Cụ thể ta biến đổi:
( x x 2 k )dx
( x x2 k ) x2 k
d ( x x2 k )
( x x2 k )
ln( x x 2 k )
...
Hoặc một cách trình bày khác: Đặt t ( x x 2 k ) (phương pháp đổi biến)
*) Với tích phân I f ( ax 2 bx c )dx mà
ax 2 bx c =
u u 2 thì đặt u sin 2 t ( hoặc u cos 2 t )
*) Với tích phân I
mx
dx thì đặt x m cos 2t .
m x
f
Các ví dụ minh họa
2
2
1) I1 x 2 4 x 2 dx
Ví dụ . Tính các tích phân sau:
1
0
2
3) I 3
0
e
7) I 7
x
1
2
dx
x2 2 x 4
4) I 4
2
1
2
dx
2
1 3ln x
8) I 8
1
4
2
2
dx
5) I 5
x2 1
1 x2
0
2
dx
xx
x 2 dx
9) I 9
2
1
Trang 37
1
x
2
2x
dx
2 x
x2 1
dx
x2
2) I 2
3
6) I 6
x2
3 x2
0
2
10) I10
0
dx
cos xdx
7 cos 2 x
38. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
Giải:
dx 2cos tdt
Đặt x 2 sin t với t ;
và x : 0 2 thì t : 0
2
2
2 2
4 x 2 cos t
2
1) I1 x 2 4 x 2 dx
0
I1
2
0
2
2) I 2
1
sin 4t 2
4sin t.2 cos t.2 cos tdt 4 sin 2tdx 2 (1 cos 4t )dt 2 t
4 0
0
0
2
2
x2 1
dx
x2
2
2
sin tdt
1
dx cos 2 t
3
Đặt x
với t 0; ;
và x :1 2 thì t : 0
cos t
3
2 2
x 2 1 tan t
3
3
3
3
3
3
3
sin tdt
sin 2 t
1 cos 2 t
dt
cos t
I 2 tan t.
dt
dt
cos tdt
dt cos tdt
1
cos t
cos t
cos t 0
1 sin 2 t
0
0
0
0
0
0
cos 2 t.
2
cos t
3
3
1
1 1 sin t
3
3
1
d sin t cos tdt = ln
sin t ln(2 3)
1 sin t 1 sin t
2
2 1 sin t
0
0
0
2
3) I 3
0
dx
x2 2 x 4
2
0
dx
( x 1)2 3
; )
2 2
Đặt x 1 3 tan t (với t
3
3
3
dt
dx
cos 2 t
và x : 0 2 thì t :
6
3
( x 1)2 3 3
cos t
dt 3 cos tdt 3
d sin t
1 3 1
1
1 1 sin t
I3
d sin t ln
2
2 1 sin t 1 sin t
2 1 sin t
3
cos t
cos t
(1 sin t )(1 sin t )
cos 2 t.
6
6
6
6
6
cos t
ln 3
ln(2 3)
2
2
4) I 4
2
3dt
dx
x2 1
sin tdt
1
dx cos 2 t
3
Cách 1: Đặt x
với t 0; ;
và x : 2 2 thì t :
cos t
4
3
2 2
x 2 1 tan t
3
3
sin tdt
dt
Khi đó I 4
2
cos t .tan t
cos t
4
. Để giải tiếp I 4 ta có thể đổi biến hoặc dùng kĩ thuật vi phân. Cụ thể:
4
Cách 1.1: Đặt u sin t du cos tdt và t :
2
3
thì x :
4
3
2
2
Trang 38
3
6
39. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
3
cos tdt 3 cos tdt
Suy ra I 4
2
2
cos t
1 sin t
4
3
2
du
2 1 u 2
4
2
3
2
2
2
du
1
(1 u )(1 u ) 2
3
2
1
1
1 u 1 u du
2
2
3
2
1 1 u
ln
2 1 u
ln(2 2 6 3 2)
2
2
3
cos tdt 3
cos tdt
1 3 (1 sin t ) (1 sin t ) cos tdt 1 3 cos tdt 3 cos tdt
Cách 1.2: I 4
2
2
(1 sin t )(1 sin t )
2 1 sin t 1 sin t
cos t
(1 sin t )(1 sin t )
4
4
4
4
4
3
1 d (1 sin t ) 3 d (1 sin t ) 1 1 sin t
2 ln 1 sin t
2 1 sin t
1 sin t
4
4
3
ln(2 2 6 3 2)
4
Cách 2:
2
I4
2
dx
x2 1
2
2
( x x 2 1)dx
( x x 2 1) x 2 1
2
2
d ( x x 2 1)
( x x 2 1)
ln( x x 2 1)
2
ln(2 2 6 3 2)
2
Cách 3: (Cách trình bày khác của Cách 2 )
Cách trình bày 3.1:
t2 1
dx 2 dt
2t
t2 1
2
2
2
2
Đặt t x x 1 x 1 t x x 1 (t x ) x
2
2
2
2t
x2 1 t 1 1 t 1
2t
2t
và x : 2 2 thì t :1 2 2 3 , khi đó :
2 3
I4
1 2
t2 1
dt 2 3
dt
2t 2
ln t
2
t 1
t
1 2
2t
2 3
1 2
ln(2 2 6 3 2)
Cách trình bày 3.2:
x
x x2 1
dx
dx
Đặt t x x 2 1 dt 1
x2 1
x2 1
2 3
và x : 2 2 thì t :1 2 2 3 , khi đó : I 4
1 2
2
2
5) I 5
x 2 dx
1 x2
0
I5
4
0
t
x2 1
dt
ln t
t
dx
2 3
1 2
dx
x2 1
dt
t
ln(2 2 6 3 2)
dx cos tdt
Đặt x sin t với t ;
và cận t : 0
4
2 2
1 sin 2 t cos t
4
sin 2 t.cos tdt 4 2
1 cos 2 x
sin 2 x 4 2
1
sin tdt
dt x
8
cos t
2
4 0
2
0
0
Trang 39
40. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
3
6) I 6
x
3 x2
0
3
dt
dx
cos 2 t
Đặt x 3 tan t với t ;
3
3
2 2
3 x 2 3(1 tan 2 t )
cos t cos t
2
dx
và cận t : 0
4
I6
4
0
3 tan 2 t
4
3
sin 2 t
.
dt 3
dt
2
cos3 t
3 cos t
0
cos t
4
4
sin 2 t.cos t
sin 2 t.cos tdt
2
Đặt u sin t du cos tdt và cận u : 0
I 24 3
dt 3
3
2
cos 4 t
(1 sin 2 t )2
0
0
2
2
0
u 2 du
(1 u 2 )2
2
Mà ta có:
u2
u 2 1 1
1
1 (u 1) (u 1)
1
1 1
1
2
2
2
.
2
2
2 2
2
2
2
2
2
(1 u )
(u 1)
u 1 4 (u 1) (u 1)
u 1 4 (u 1) (u 1) u 1
2
3
I6
4
e
7) I 7
x
1
2
0
1 1
1
2
2(u 1) 4 (u 1) (u 1)2
1
2
2
1
1
3 u 1
1
1 2
3 2 2
2 ln
2 2
u 2 1 (u 1)2 (u 1)2 du 4 ln u 1 u 1 u 1
2
2
0
dx
1 3ln 2 x
Đặt t ln x dt
1
dx
dt
và x :1 e thì t : 0 1 . Khi đó I 7
x
1 3t 2
0
du
dt 3 cos 2 u
1
Cách 1: Đặt t
tan u với u ;
và t : 0 1 thì u : 0
3
1
3
2 2
1 3t 2
cos u
1 3 du
1 3 cos udu
1 3
d sin u
1 3 1
1
I7
cos u 3 cos2 u 3 (1 sin u)(1 sin u ) 2 3 1 sin u 1 sin u d sin u
30
0
0
0
1 sin u
ln
2 3 1 sin u
1
1
Cách 2: I 7
0
1
dt
1 3t
2
1
30
1 2
d t
t
1
dt
1
1
3
1 2 1 2 dt 3
1 2
30
0
t
t
t
t
t
3
3
3
1
t
1
1
1 2
ln t
t
3
3
Trang 40
0
1
3
ln(2 3)
3
0
1
3
ln(2 3)
1 2
t
3
1 2
t
3
41. HOÀNG THÁI VIỆT - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG - 01695316875 - LTĐH
gmail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com, facebook : https://www.facebook.com/gsbkdn2013
1
2
8) I 8
dx 2sin t cos tdt
Đặt x sin 2 t với t 0;
2 x x 2 sin 2 t (1 sin 2 t ) sin t cos t
dx
x x2
1
4
và cận t :
6
1 2x
9) I 9 2
dx
x 2 x
1
6
0 I9
6
I8
6
4
2sin t cos tdt
2 dt 2
sin t cos t
4 6 6
6
dx 4sin 2tdt
Đặt x 2 cos 2t với t 0; 2 x
2 2cos 2t
2
2 2 cos 2t
2 x
2
và cận t :
4
4
0
6
1
sin t
2sin 2 t
.
.4sin 2tdt
dt
4 cos 2 2t cos t
cos 2 2t
0
6
1 cos 2 2t
cos 2 2t dt
0
4sin 2 t sin t
4cos 2 t cos t
6
1
cos
0
2
1dt
2t
tan 2t 6 3 3
t
6
2
0
2
10) I10
cos xdx
7 cos 2 x
0
Ta có:
7 cos 2 x 6 2 cos 2 x 8 2sin 2 x
2
Nên đặt t sin x dt cos tdt và cận t : 0 1 I10
0
1
cos xdx
8 2sin 2 x
1
dt
4 t2
20
dt 2cos udu
Đặt t 2 sin u với u ;
và cận u : 0
6
2 2
4 4sin 2 u 2cos u
1
I10
2
6
0
2cos udu 1
2 cos u
2
6
0
du
u 6
2
12
2 0
Bài luyện
Tính các tích phân sau:
3
1) I1
dx
0
1
3) I 3
3 x2
2
0
3
2
5) I5
2014
( Đs: ln(1 2) )
1
x
4 x2
2) I 2
2014 2 x 2 dx ( Đs:
0
dx ( Đs:
3
)
3 2
1
4) I 4
xdx
3 2x x2
0
ln
x 1
3
)
dx ( Đs: 1
2 3
x(2 x)
6) I 6
3
2
0
Trang 41
ex
x
2e e
2x
20142
)
4
( Đs: 3 2
dx ( Đs:
)
6
)
6