Phongmath day-so-nguyen tatthu

1. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 1 - S GIÁO DC ðÀO TO ðÔNG NAI Trưng THPT BC Lê Hông Phong Giáo viên th c hien NGUYEN TÂT THU Năm hc: 2008 – 2009

2. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 2 - MC LC MC LC.................................................................................................................................... 1 LI M ðÂU.............................................................................................................................. 3 I. S DNG CSC – CSN ðE XÂY DNG CÁCH TÌM CTTQ CA MOT SÔ DNG DÃY SÔ CÓ CÔNG THC TRUY HÔI ðAC BIET. ............................................................ 4 II. S DNG PHÉP THÊ LƯNG GIÁC ðE XÁC ðNH CTTQ CA DÃY SÔ........... 24 III. NG DNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CA DÃY SÔ VÀO GII MOT SÔ BÀI TOÁN VÊ DÃY SÔ - TO HP............................................................................................... 30 BÀI TAP ÁP DNG ................................................................................................................. 41 KÊT LUAN – KIÊN NGH...................................................................................................... 45 TÀI LIEU THAM KHO........................................................................................................ 46

3. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 3 - LI M ðÂU Trong chương trình toán hc THPT các bài toán liên quan ñên dãy sô là mot phân quan trng c a ñ i sô và gii tích l

4. p 11 , hc sinh thư ng gap nhiêu khó khăn khi gii các bài toán liên qua ñên dãy sô và ñac biet là bài toán xác ñnh công thc sô h ng tong quát c a dãy sô . Hơn na mot sô l

5. p bài toán khi ñã xác ñnh ñưc công thc tong quát c a dãy sô thì noi dung c a bài toán gân như ñưc gii quyêt. Do ñó xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô chiêm mot v trí nhât ñnh trong các bài toán dãy sô. Chuyên ñê “Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô ” nham chia s v

6. i các b n ñông nghiep mot sô kinh nghiem gii bài toán xác ñnh CTTQ c a dãy sô mà bn thân ñúc rút ñưc trong quá trình hc tap và ging d y. Noi dung c a chuyên ñê ñưc chia làm ba mc : I: S dng CSC – CSN ñe xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a mot sô dng dãy sô có dng công thc truy hôi ñac biet. II: S dng phương pháp thê lưng giác ñe xác ñnh CTTQ c a dãy sô III: ng dng c a bài toán xác ñnh CTTQ c a dãy sô vào gii mot sô bài toán vê dãy sô - to hp . Mot sô kêt qu trong chuyên ñê này ñã có mot sô sách tham kho vê dãy sô, tuy nhiên trong chuyên ñê các kêt qu ñó ñưc xây dng mot cách t nhiên hơn và ñưc sap xêp t ñơn gin ñên phc t p giúp các em hc sinh nam bat kiên thc de dàng hơn và phát trien tư duy cho các em hc sinh. Trong quá trình viêt chuyên ñê, chúng tôi nhan ñưc s ñong viên, giúp ñ# nhiet thành c a BGH và quý thây cô to Toán Trư ng THPT BC Lê Hông Phong. Chúng tôi xin ñưc bày t$ lòng biêt ơn sâu sac. Vì năng lc và th i gian có nhiêu h n chê nên chuyên ñê se có nhng thiêu sót. Rât mong quý Thây – Cô và các b n ñông nghiep thông cm và góp ý ñe chuyên ñê ñưc tôt hơn.

7. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 4 - MOT SÔ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðNH CÔNG THC TONG QUÁT CA DÃY SÔ I. S DNG CSC – CSN ðE XÂY DNG CÁCH TÌM CTTQ CA MOT SÔ DNG DÃY SÔ CÓ CÔNG THC TRUY HÔI ðAC BIET. Trong mc này chúng tôi xây dng phương pháp xác ñnh CTTQ c a mot sô d ng dãy sô có công thc truy hôi d ng ñac biet. Phương pháp này ñưc xây dng da trên các kêt qu ñã biêt vê CSN – CSC , kêt hp v

8. i phương pháp chn thích hp. Trư

9. c hêt chúng ta nhac l i mot sô kêt qu ñã biêt vê CSN – CSC . 1. Sô h$ng tong quát ca câp sô cong và câp sô nhân 1.1: Sô h$ng tong quát ca câp sô cong ðnh nghĩa: Dãy sô (un ) có tính chât n n 1 u u - d = + n ³ 2 , d là sô thc không ñoi gi là câp sô cong . d : gi là công sai c a CSC; 1 u : gi sô h ng ñâu, n u gi là sô h ng tong quát c a câp sô ðnh lí 1: Cho CSC ( ) n u . Ta có : 1 ( 1) n u = u + n - d (1). ðnh lí 2: Gi n S là tong n sô h ng ñâu c a CSC ( ) n u có công sai d. Ta có: n = u + n - d (2). 1 S [2 ( 1) ] 2 n 1. 2: Sô h$ng tong quát ca câp sô nhân ðnh nghĩa: Dãy sô ( u ) có tính chât u = + q . u n Î ℕ * gi là câp sô nhân công n n 1 n boi q . ðnh lí 3: Cho CSN ( ) có công boi . Ta có: u = u q n - 1 u q (3). n n 1 ðnh lí 4: Gi n S là tong n sô h ng ñâu c a CSN ( ) n u có công boi q . Ta có: = (4). 1 1 - 1 - n n q S u q

10. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - = - + ñe chuyen công thc - 5 - 2. Áp d)ng CSC – CSN ñe xác ñ,nh CTTQ ca mot sô d$ng dãy sô ñac biet Ví d 1.1: Xác ñnh sô h ng tong quát c a dãy sô ( ) n u ñưc xác ñnh bi: 1 u 1, un un -1 2 n 2 = = - ³ . Gi.i: Ta thây dãy ( ) n u là mot CSC có công sai d = -2 . Áp dng kêt qu (1) ta có: 1 2( 1) 2 3 n u = - n - = - n + . Ví d 1.2: Xác ñnh sô h ng tong quát c a dãy sô ( ) n u ñưc xác ñnh bi: 1 1 3, 2 2 n n u u u - n = = ³ . Gi.i: Ta thây dãy ( ) n u là mot CSN có công boi q = 2. Ta có: 1 3.2n n u = - . Ví d 1.3: Xác ñnh sô h ng tong quát c a dãy ( ) n u ñưc xác ñnh bi: 1 1 2, 3 1 2 n n u u u - n = - = - ³ . Gi.i: Trong bài toán này chúng ta gap khó khăn vì dãy ( ) n u không phi là CSC hay CSN! Ta thây dãy ( ) n u không phi là CSN vì xuât hien hang sô -1 VT. Ta tìm cách làm mât -1 ñi và chuyen dãy sô vê CSN. Ta có: 3 1 - 1 = - + nên ta viêt công thc truy hôi c a dãy như sau: 2 2 1 3 1 u - = 3 u - = 3( u - ) (1). n 2 n - 1 2 n - 1 2 ðat 1 1 5 2 2 n n v = u - ⇒ v = - và 1 3 2 n n v v - n = ³ . Dãy ( ) n v là CSN công boi q = 3 ⇒ v = v q - 1 = - - 1 . Vay 1 5 1 n 1 5 n n . .3 2 u = v + = - .3 n + n = 1,2,...,... n n 2 2 2 Nhan xét: Mau chôt cách làm trên là ta phân tích 3 1 1 2 2 truy hôi c a dãy vê (1), t ñó ta ñat dãy ph ñe chuyen vê dãy ( ) n v là mot CSN. Tuy nhiên viec làm trên có v không t nhiên lam! Làm thê nào ta biêt phân tích 3 1 - 1 = - + ? Ta có the làm như sau: 2 2

11. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô + = + - n n n v v n v v - - - 6 - Ta phân tích 1 - 1 = k - 3 k ⇒ k = . 2  =  u x V

12. i cách làm này ta xác ñnh ñưc CTTQ c a dãy 1 0 = + ³  1 ( ) : n 2 n n u u au - b n . That vay: * Nêu a = 1 thì dãy ( u ) là CSC có công sai d = b nên u = u + ( n - 1) b . n n 1 * Nêu a ¹ 1, ta viêt ab b = - - - 1 1 b a a . Khi ñó công thc truy hôi c a dãy ñưc viêt như b b a - a + = + sau: u a ( u ) 1 - - 1 1 n n , t ñây ta có ñưc: 1 1 ( ) - - 1 1 n n b b u u a a a Hay 1 = - 1 + - 1 1 1 n n n a u u a b - a - . Vay ta có kêt qu sau: D$ng 1: Dãy sô 1 0 1 ( ) : , 2 n n n u u x u au - b n = = + ³ (a,b ¹ 0 là các hang sô) có CTTQ là:   u + n - b a = =  1  1 + - ¹ u a 1 1 ( 1) khi 1 1 - . khi a 1 1 n n n u a b a - - . Ví d 1.4: Xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u ñưc xác ñnh : 1 1 2; 2 3 1 n n u u u - n = = + - . Gi.i: ðe tìm CTTQ c a dãy sô ta tìm cách làm mât 3n - 1 ñe chuyen vê dãy sô là mot CSN. Muôn làm vay ta viêt : 3n - 1 = -3n - 5 + 2 3(n - 1) + 5 (2). Khi ñó công thc truy hôi c a dãy ñưc viêt như sau: 3 5 2 3( 1) 5 n n u + n + = u + n - +  . - = ³ ⇒ = = ðat 3 5 n n v = u + n + , ta có: 1 v = 10 và 1 1 1 1 2 2 .2 10.2 n n n n n u u = v - n - = - n - n = . Vay CTTQ c a dãy ( ) : 3 5 5.2 3 5 1,2, 3,... n Chú ý : 1) ðe phân tích ñưc ñang thc (2), ta làm như sau:

13. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 7 - 3n - 1 = an + b - 2 a(n - 1) + b . Cho n = 1;n = 2 ta có:  - =  = -  Û  - =  = - 2 3 5 5 a b a b b .  2) Trong trư ng hp tong quát dãy ( ) 1 = + ³  1 : n ( ) 2 n n u u u au - f n n , trong ñó f (n) là mot ña thc bac k theo n , ta xác ñnh CTTQ như sau: Phân tích f (n) = g(n) - ag(n - 1) (3) v

14. i g(n) cũng là mot ña thc theo n . Khi ñó ta có: 1 n n u g n a u g n a - u g - =  - -  = =  -  1 1 ( ) ( 1) ... (1) n - n u = u - g a - + g n . Vay ta có: 1 1 (1) ( ) n Vân ñê còn l i là ta xác ñnh g(n) như thê nào ? Ta thây : *Nêu a = 1 thì g(n) - ag(n - 1) là mot ña thc có bac nh$ hơn bac c a g(n) mot bac và không ph thuoc vào he sô t do c a g(n) , mà f (n) là ña thc bac k nên ñe có (3) ta chn g(n) là ña thc bac k + 1, có he sô t do bang không và khi ñó ñe xác ñnh g(n) thì trong ñang thc (3) ta cho k + 1 giá tr c a n bât kì ta ñưc he k + 1 phương trình, gii he này ta tìm ñưc các he sô c a g(n) . * Nêu a ¹ 1 thì g(n) - ag(n - 1) là mot ña thc cùng bac v

15. i g(n)nên ta chn g(n) là ña thc bac k và trong ñang thc (3) ta cho k + 1 giá tr c a n thì ta se xác ñnh ñưc g(n) . Vay ta có kêt qu sau:  =  u x u a u - f n D$ng 2: ðe xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u ñưc xác ñnh bi: 1 0 = +  1 . ( ) n n , trong ñó f (n) là mot ña thc bac k theo n ; a là hang sô. Ta làm như sau: Ta phân tích: f (n) = g(n) - a.g(n - 1) v

16. i g(n) là mot ña thc theo n . Khi ñó, ta ñat n u = u - g a - + g n . ( ) n n v = u - g n ta có ñưc: 1 1 (1) ( ) n Lưu ý nêu a = 1, ta chn g(n) là ña thc bac k + 1 có he sô t do bang không, còn nêu a ¹ 1 ta chn g(n) là ña thc bac k .   u = Ví d 1.5: Cho dãy sô 1 = + +  1 2 ( ) : n 2 1 n n u u u - n . Tìm CTTQ c a dãy ( ) n u . Gi.i: Ta phân tích 2 2 2n + 1 = g(n) - g(n - 1) = a n - (n - 1)  + b n - (n - 1)

17. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô n u = a - u - bk + bka - 8 - ( trong ñó g(n) = an2 + bn ). - + =  =  Û  ⇒ = +  + =  = Cho n = 0,n = 1 ta có he: 2 1 1 ( ) 2 a b a 3 2 g n n n a b b . 2 2 1 n ⇒ u = n + n - .   u = Ví d 1.6: Cho dãy sô 1 = + =  1 1 ( ) : 3 2 ; 2, 3,... n n n n u u u - n .Tìm CTTQ c a dãy ( ) n u . Gi.i: Ta van bat chư

18. c cách làm trong các ví d trên, ta phân tích: 1 2 .2 3 .2 n n n = a - a - . Cho n = 1, ta có: 1 2 2 2.2 3.2.2 n n n a = - ⇒ = - + - Nên ta có: 1 1 n n u u - - u - + = + = = + 1 1 2.2 3( 2.2 ) ... 3 ( 4) n n n n u = - - + . Vay 1 1 5.3 2 n n n n n u u a u ba - = + , ta phân tích Chú ý : Trong trư ng hp tong quát dãy 1 ( ) : . . n 1 . . n n n a = ka - aka - v

19. i (a ¹ a ) . Khi ñó: u - kb. a n = a ( u - - kb. a n - 1 ) = ... = a n - 1 ( u - bk ) n n 1 1 n u = a - u - bk + bka . Suy ra 1 1 ( ) . n n Trư ng hp a = a , ta phân tích 1 . ( 1). n n n a = na -a n - a - ( 1 ) 1 n n u bna a u b n a - a - u ba ⇒ - = - - = = - 1 1 . ( 1). ... ( ) n n n - ⇒ u = b n - a + u a - 1 . Vay ta có kêt qu sau. n 1 ( 1) n n  u D$ng 3: ðe xác ñnh CTTQ c a dãy 1 1 ( ) : . . 2 n n n n u u a u - ba n = + ³  , ta làm như sau: · Nêu 1 n a =a ⇒ u = b n - a + u a - . 1 ( 1) n n · Nêu a ¹ a , ta phân tích 1 . . n n n a = ka - aka - . Khi ñó: 1 1 ( ) . n n Ta tìm ñưc: k a a a = - .

20. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô + + + = - + + + = = + + + - 9 -   u = - Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy 1 = + - + =  1 2 ( ) : 5 2.3 n n 6.7n 12 ; 2,3,... n n u u u - n . Gi.i: Ta có: 1 1 n n n 3 k .3 5 k .3 7 n l .7 n 5 l .7 n - -  = -  = -  cho n = 1, ta ñưc: 3 2 7 2   k = - l  = Hơn na 12 = -3 + 5.3 nên công thc truy hôi c a dãy ñưc viêt l i như sau: ( 1 1 ) 1 n n u u - - - u 1 1 3.3 21.7 3 5 3.3 21.7 3 ... 5 ( 9 147 3) n n n n n n u = - - + - + - . Vay 1 1 1 157.5 3 3.7 3 n n n  =  Ví d 1.8: Tìm CTTQ c a dãy 1 = + - ³  1 1 ( ) : 2 3 ; 2 n n n n u u u u - n n . Gi.i: Ta phân tích:  3 n = 3.3 n - 2.3.3 n - 1   n = - n - 2 + 2  ( n - 1) + 2   nên ta viêt công thc truy hôi c a dãy - - - =  - - - -  = = -   n n u n u - n - u như sau: 1 1 1 1 3.3 2 2 3.3 ( 1) 2 ... 2 ( 12) n n n - n u = - - + + + n + . Vay 1 1 11.2 3 2 n n  u =   p = + + ³ D$ng 4: ðe xác ñnh CTTQ c a dãy 1 1 ( ) : . . ( ); 2 n n n n u u a u ba f n n - , trong ñó f (n) là ña thc theo n bac k , ta phân tích a n và f (n) như cách phân tích d ng 2 và d ng 3. Ví d 1.9: Xác ñnh CTTQ c a dãy 0 1 1 2 ( ) : 1, 3, 5 6 2. n n n n u u u u u - u - n = - = = - ³ Gi.i: ðe xác ñnh CTTQ c a dãy sô trên, ta thay thê dãy ( ) n u bang mot dãy sô khác là mot CSN. Ta viêt l i công thc truy hôi c a dãy như sau:

21. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô n u = k x + l x , trong ñó n u = kn + l a - , trong - 10 -  + =  un - x .= - ) , do ñó ta phi chn 1 2 1 un -1 x2(un -1 x1un -21 2 = 1 2  5 , : 6 x x x x x x hay 1 2 x ,x là nghiem phương trình : 2 x - 5x + 6 = 0 Û x = 2;x = 3 . Ta chn 1 2 x = 2;x = 3. Khi ñó: n n n n u u u u - u u - - - - - = - = = - = 1 1 1 1 2 1 0 2 3( 2 ) ... 3 ( 2 ) 5.3 n n ⇒ = + 1 . S* dng kêt qu d ng 3, ta tìm ñưc: 5.3 n 6.2 n n n u u - 1 2 5.3n - n u = - . Chú ý : Tương t v

22. i cách làm trên ta xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u ñưc xác ñnh bi: u u 0 1 u a u - b u n 1 - 2 ; . . =0 2 n n n  - + ³  , trong ñó a,b là các sô thc cho trư

23. c và 2 a - 4b ³ 0 như sau: Gi 1 2 x ,x là hai nghiem c a phương trình : 2 x - ax + b = 0 (4) ( phương trình này ñưc gi là phương trình ñac trưng c a dãy). Khi ñó: 1 n n n n u x u x u x u x - u x u - . = - = = n - 1 - ( - . - ) ... ( . ) . 1 2 1 1 2 2 1 1 0 S* dng kêt qu c a d ng 3, ta có các trư ng hp sau: - - · Nêu x ¹ x thì 2 0 1 1 0 1 2 . . n n = + - - 1 2 2 1 n x u u u x u u x x x x y x . Hay 1 2 . . n n  + =  k l u x k x l u k,l là nghiem c a he: 0 + =  1 2 1 . . .   · Nêu 1 2 x = x =a thì 1 0 0 1 ( ) 2 2 n n u a au u a - u n =  + -    , hay 1 ( ) n l .u k l u ñó k,l là nghiem c a he: 0 1 a  =  + =  . Vay ta có kêt qu sau: u u u a u - b u - n D$ng 5: ðe xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u : 0 1 1 2 ; . . 0 2 n n n  - + = ³  , trong ñó a,b,c là các sô thc khác không; 2 a - 4b ³ 0 ta làm như sau: Gi 1 2 x ,x là nghiem c a phương trình ñac trưng: 2 x - ax + b = 0.

24. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô  + =  k l u x k x l u + =  l .u k l u n u = kn + l a - , trong ñó k,l là nghiem c a he: 0 - 11 - · Nêu 1 2 x ¹ x thì 1 2 . . n n n u = k x + l x , trong ñó k,l là nghiem c a he : 0 1 2 1 . . . · Nêu 1 2 x = x =a thì 1 ( ) n 1 a  =  + =  .  = =  1; 2 4 1 n n n Ví d 1.10: Cho dãy sô ( ) n u ñưc xác ñnh bi : 0 1 u u u + u u - n = + ³ 1 1  . Hãy xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u . Gi.i: Phương trình 2 x - 4x - 1 = 0 có hai nghiem 1 2 x = 2 + 5; x = 2 - 5 . ⇒ u = k . x n + l . x n . Vì u = 1;u = 2 nên ta có he: n 1 2 0 1 1 k l (2 5) k (2 5) l 2  + =  + + - =  Û k = l = . Vay 1 1 2 u =  + + -  n  (2 5) (2 5)  2 n n .  = =  1; 3 u u Ví d 1.11: Xác ñnh CTTQ c a dãy: 0 1 - + = = 1 2  ( ) : n 4 4 0 2, 3,... n n n u u u - u - n . Gi.i: Phương trình ñac trưng 2 x - 4x + 4 = 0 có nghiem kép x = 2 nên 1 ( )2n n u = kn + l - Vì 0 1 u = 1;u = 3 nên ta có he:   = 2  Û = = + = 1; 2 3 l k l k l . n u = n + - . Vay 1 ( 2)2n  = - =  1; 3 u u Ví d 1.12: Cho dãy 0 1 - + = 2 + + ³ 1 2  ( ) : 5 6 2 2 1; 2 n n n n u u u - u - n n n . Xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u . Gi.i: V

25. i cách làm tương t như Ví d 1.4, ta phân tích: 2 2n + 2n + 1 =

26. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô + + = ³  - = + + + + ( 0 m a ¹ ) là ña thc bac m. Khi ñó he - 12 - 2 = (kn + ln + t) - 5 k(n - 1)2 + l(n - 1) + t  + 6 k(n - 2)2 + l(n - 2) + t      (5) + (5) cho n = 0;n = 1;n = 2 ta có he:  - + =  =    - + = Û  = - - + =  =   19 7 2 1 1 7 5 2 5 8 k l t k k l t l k l t t 3 2 13 19 . 0 1 8 19 20; 25 n n v = u - n - n - ⇒ v = - v = - và 1 2 5 6 0 n n n v v - v - - + = ðat 2 ⇒ v =a .3 n + b .2 n . Ta có he: n a b a a b b  + = -  =  Û   + = -  = - 20 15 3 2 25 35 ⇒ v = 15.3 n - 35.2 n ⇒ u = 15.3 n - 35.2 n + n 2 + 8 n + 19 . n n Chú ý : ðe xác ñnh CTTQ c a dãy sô: 0 1  u u 1 1 ; ( ) : n . . ( ) ; 2 n n n u u + a u b u - f n n , ( trong ñó f (n) là ña thc bac k theo n và 2 a - 4b ³ 0) ta làm như sau: · Ta phân tích f (n) = g(n) + ag(n - 1) + bg(n - 2) (6) rôi ta ñat ( ) n n v = u - g n  = - = -  (0); (1) v u g v u g Ta có ñưc dãy sô 0 0 1 1 + + = ³ 1 2  ( ) : n 0 2 n n n v v av - bv - n . ðây là dãy sô mà ta ñã xét trong d ng 5. Do ñó ta se xác ñnh ñưc CTTQ c a n n v ⇒ u . · Vân ñê còn l i là ta xác ñnh g(n) như thê nào ñe có (6) ? Vì f (n) là ña thc bac k nên ta phi chn g(n) sao cho g(n) + ag(n - 1) + bg(n - 2) là mot ña thc bac k theo n . Khi ñó ta ch, cân thay k + 1 giá tr bât kì c a n vào (6) ta se xác ñnh ñưc g(n) . Gi s* 1 m m g n a n a n - a n a 1 1 0 ( ) ... m m sô c a m x và m 1 x - trong VP là: .(1 ) m a + a + b và 1 ( 2 ) . (1 ) m m a b ma a b a - - + + + +  . Do ñó : i) Nêu PT: 2 x + ax + b = 0 (1) có nghiem hai nghiem phân biet khác 1 thì 1 + a + b ¹ 0 nên VP(6) là mot ña thc bac m. ii) Nêu PT (1) có hai nghiem phân biet trong ñó có mot nghiem x = 1 ⇒ 1 + a + b = 0 và 1 ( 2 ) . (1 ) ( 2 ). . 0 m m m a b ma a b a - a b ma - + + + + = - + ¹ nên VP(6) là mot ña thc bac m - 1 . iii) Nêu PT (1) có nghiem kép x = 1 ⇒a = -2;b = 1nên VP(6) là mot ña thc bac m - 2 . Vay ñe chn g(n) ta cân chú ý như sau:

27. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô Nêu (1) có hai nghiem phân biet, thì g(n) là mot ña thc cùng bac v

28. i f (n) Nêu (1) có hai nghiem phân biet, trong ñó mot nghiem bang 1 thì ta chn g(n) = n.h(n) trong ñó h(n) là ña thc cùng bac v

29. i f (n) . Nêu (1) có nghiem kép x = 1 thì ta chn 2 g(n) = n .h(n) trong ñó h(n) là ña thc cùng bac v

30. i f (n). - 13 -  u u D$ng 6: ðe tìm CTTQ c a dãy 0 1 + + = ³ 1 2  ; ( ) : n . . ( ) ; 2 n n n u u a u - b u - f n n , ( trong ñó f (n) là ña thc theo n bac k và b 2 - 4ac ³ 0) ta làm như sau: Xét g(n) là mot ña thc bac k : g ( n ) = a n k + ... + a k + a . k 1 0 · Nêu phương trình : 2 x + ax + b = 0 (1) có hai nghiem phân biet, ta phân tích f (n) = g(n) + ag(n - 1) + bg(n - 2) rôi ñat ( ) n n v = u - g n . · Nêu (1) có hai nghiem phân biet trong ñó mot nghiem x = 1, ta phân tích f (n) = n.g(n) + a(n - 1)g(n - 1) + b(n - 2)g(n - 2) rôi ñat . ( ) n n v = u - n g n . · Nêu (1) có nghiem kép x = 1, ta phân tích 2 2 2 f (n) = n .g(n) + a(n - 1) .g(n - 1) + b(n - 2) .g(n - 2) rôi ñat 2. ( ) n n v = u - n g n .  = =  1; 4 u u Ví d 1.13: Xác ñnh CTTQ c a dãy 0 1 - + = + ³ 1 2  ( ) : n 3 2 2 1 2 n n n u u u - u - n n . Gi.i: Vì phương trình 2 x - 3x + 2 = 0 có hai nghiem x = 1;x = 2 nên ta phân tích 2n + 1 = n(kn + l) - 3(n - 1) k(n - 1) + l  + 2(n - 2) k(n - 2) + l  , cho n = 0;n = 1 ta có he:  5 -  = 1  Û = - = - - = 1; 6 k l 3 3 k l k l . ðat 0 1 ( 6) 1; 11 n n v = u + n n + ⇒ v = v = và 1 2 3 2 0 n n n v v - v - - + =  + =  Û = = - + =  1 2 10.2 9 5.2 6 9 0,1,2,... n n ⇒ v =a .2 n + b .1 n v

31. i n 1 a b a b a b , : 10; 9 a b 2 11 n n ⇒ v = - ⇒ u = + - n - n - n = .

32. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô n ⇒ u = p x + q x + kca . Vay nêu x =a là mot nghiem c a (8), tc là: 2 a + aa + b = 0 thì ta se x* lí thê nào ? Nhìn l i cách gii d ng 3, ta phân tích : - 14 -  = - =  1; 3 u u Ví d 1.14: Tìm CTTQ c a dãy sô 0 1 - + = ³ 1 2  ( ) : n 4 3 5.2n 2 n n n u u u - u - n . Gi.i: Ta phân tích 1 2 2 .2 4 .2 3 .2 n n n n = a - a - + a - . Cho n = 2 ta có: 4 = 4a - 8a + 3a Ûa = -4 ðat 0 1 5.4.2 19; 43 n n n v = u + ⇒ v = v = và 1 2 4 3 0 n n n v v - v - - + = Vì phương trình 2 x - 4x + 3 = 0 có hai nghiem x = 1,x = 3 nên .3 .1 n n n v =a + b V

33. i   + = 19  Û = = ⇒ = + + = , : 12; 7 12.3 7 3 43 n n v a b a b a b a b . n u = + - + + n = . Vay 1 2 4.3 5.2 7 1,2,... n n Chú ý : V

34. i ý tưng cách gii trên, ta tìm CTTQ c a dãy sô ( ) n u ñưc xác ñnh bi: u u 0 1 u a u b u ca - - n 1 2 ; . . . 2 n n n n  + + = ³  (v

35. i 2 a - 4b ³ 0) như sau: Ta phân tích 1 2 . . . . n n n n a = ka + a ka - + b ka - (7). Cho n = 2 thì (7) tr thành: 2 2 k(a + a.a + b) =a T ñây, ta tìm ñưc a 2 a 2 a k a b = + + khi a không là nghiem c a phương trình : 2 x + ax + b = 0 (8).   = - ; = - a v u kc v u kc n n v = u - kca , ta có dãy 0 0 1 1 Khi ñó, ta ñat . n + + = ³ 1 2  ( ) : n . 0 2 n n n v v a v bv n - - n ⇒ v = p x + q x x x là hai nghiem c a (8)). 1 2 1 2 . . ( , n n 1 2 . . . n n n a n = kn. a n + a . k ( n - 1) a n - 1 + bk ( n - 2) a n - 2 (9). Cho n = a 2 ta có: (2 ) 2 (2 ) ( ) a a a a a a a + = Û + = Û = ¹ - 2 2 k a k a k a a + . ⇒(2) có nghiem k Ûa là nghiem ñơn c a phương trình (8). Khi ñó: ⇒ u = p . x n + q . x n + kcn. a n . n 1 2

36. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô x =a = - là nghiem kép c a (8). V

37. i tư tưng như trên, - 15 - Cuôi cùng ta xét trư ng hp a 2 ta se phân tích: 2 2 1 2 2 . . ( 1) ( 2) n n n n a = kn a + a k n - a - + bk n - a - (10). Cho n = 2 ta có: 2 2 1 Û = + ⇒ = = (10) 4 . . 4 2 k ak k a a a a a a + . n ⇒ u = p x + q x + cn a . Khi ñó: 2 n n n 1 2 1 . . . 2 Vay ta có kêt qu sau: u u u a u b u ca n - - D$ng 7: Cho dãy sô ( ) n u xác ñnh bi: 0 1 1 2 ; . . . ; 2 n n n n  + + = ³  . ðe xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u ta làm như sau: Xét phương trình : 2 x + ax + b = 0 (11) · Nêu phương trình (11) có hai nghiem phân biet khác a thì n u = p x + q x + kca v

38. i 1 2 . . . n n n a 2 a 2 a k a b = + + . · Nêu phương trình (11) có nghiem ñơn x =a thì n u = p x + q x + kcna v

39. i 1 2 . . . n n n 2 k a a a = + . · Nêu x =a là nghiem kép c a (11) thì : 2 1 u = ( p + qn + cn ). a . n 2 n  = - =  1; 3 u u Ví d 1.15: Xác ñnh CTTQ c a dãy 0 1 - + = ³ 1 2  ( ) : 5 6 5.2 2 n n n n n u u u - u - n . Gi.i: Phương trình 2 x - 5x + 6 = 0 có hai nghiem 1 2 x = 2;x = 3, do ñó u = p .2 n + q .3 n + 5 kn .2 n . n

40. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 16 - V

41. i    = = 2 = - 2  + - + = - Û = - = - = a a 2 a 4 5 1 2; 26; 25 k p q k p q p q k + + =  2 3 10 3 . n u = - + - n = - + n + n = 1,2,... . Vay 1 26.2 25.3 10 .2 25.3 2 (5 13) n n n n n Ví d 1.16: Tìm CTTQ c a dãy  = =  1; 3 u u 0 1 - - + 1 - = 2  ( ) : 4 4 3.2n n n n n u u u u . Gi.i: Phương trình 2 x - 4x + 4 = 0 có nghiem kép x = 2 nên 2 3 ( )2 2 n n u = p + qn + n Da vào 0 1 u ,u ta có he:   = 1  Û = = - + = 1; 1 0 p p q p q . n u = n - n + - n = . Vay 2 1 (3 2 2)2 1,2,... n V

42. i cách xây dng tương t ta cũng có ñưc các kêt qu sau: u u u u au - bu - cu - n D$ng 8: Cho dãy (un ) : 0 1 2 1 2 3 , , 0 3 n n n n  + + + = ³  .ðe xác ñnh CTTQ c a dãy ta xét phương trình: 3 2 x + ax + bx + c = 0 (12) . · Nêu (12) có ba nghiem phân biet 1 2 3 1 2 3 , , n n n n x x x ⇒ u =a x + b x +g x . Da vào 0 1 2 u ,u ,u ta tìm ñưc a,b ,g . · Nêu (12) có mot nghiem ñơn, 1 nghiem kép: x = x ¹ x ⇒ u = ( a + b n ) x n + g . x n 1 2 3 n 1 3 Da vào u ,u ,u ta tìm ñưc a,b ,g . 0 1 2 · Nêu (12) có nghiem boi 3 2 n x = x = x ⇒ u = a + b n + g n x . 1 2 3 1 ( ) n Da vào 0 1 2 u ,u ,u ta tìm ñưc a,b ,g .  = = =  0, 1, 3, 7 11. 5. , 4 n n n n u u u u u - u - u - n Ví d 1.17: Tìm CTTQ c a dãy ( ) : n u 1 2 3 = - + ³ 1 2 3 

43. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô  u = u = u - + v  n n n - ³  = = + - - ( ),( ) : 1 l l l - - n n n n ' ( ' )( ) - 17 - Gi.i : Xét phương trình ñac trưng : x 3 - 7x2 + 11x - 5 = 0 Phương trình có 3 nghiem thc: 1 2 3 x = x = 1, x = 5 Vay 5n n a =a + b n + g Cho n = 1, n = 2, n = 3 và gii he phương trình t o thành, ta ñưc 1 3 1 , , 16 4 16 a = - b = g = Vay ( ) 1 1 3 1 an = - + n - 1 + .5 n- . 16 4 16 2; 2 Ví d 1.18: Tìm CTTQ c a dãy sô 0 1 1 u v n 1; 2 v v u v 0 1 1 n n n n n . Gi.i: Ta có: 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2( 2 ) n n n n n n n n u u - u - v - u - u - u - u - = + + = + + - ⇒ u = 4 u - - 3 u = n n 1 n - và u 5 2 1 T ñây, ta có: + + = 1 + 3 n 1 ⇒ = - = - 1 + 3 n 1 . n n n n u v u u 1 2 + 2 2 Tương t ta có kêt qu sau: ;  = +  x px qy x - - - - D$ng 9: Cho dãy 1 1 1 = +  1 1 1 ( ),( ) : ; n n n n n n n n x y y ry sx y . ðe xác ñnh CTTQ c a hai dãy ( ),( ) n n x y ta làm như sau: Ta biên ñoi ñưc: 1 2 ( ) ( ) 0 n n n x p s x - ps qr x - - + + - = t ñây ta xác ñnh ñưc n x , thay vào he ñã cho ta có ñưc n y . Chú ý : Ta có the tìm CTTQ c a dãy sô trên theo cách sau: Ta ñưa vào các tham sô ph l ,l ' ( )( ) 1 1 ' - - 1 1 n n n n ' q r x y p s x y s p q r x y p s x y p s l l l l l  - - = - -  ⇒  - + = + + +  +

44. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô  -  =  - = - -  - ⇒   = +  + = + +  + 1 l l l l l l l l l l l q r s p x y p s x y q r x y p s x y ' ' ( ' )( ' ) x - ⇒ x = ⇒ = + ⇒ = ⇒ x = + - 5 3 4 11.3 10 - 18 - ( )( ) Ta chn l , l ' sao cho 1 1 1 1 ' ' n n n n n n n n s p l - - - -  - = - -  l ( l ) ( l ) l l l x y p s x y 1 1 x y p s 1 x y ' ( ' ) ( ' ) 1 1 n n n n n n - - + = + +  gii he này ta tìm ñưc(xn ), ( yn ). Ví d 1.19: Tìm CTTQ c a dãy 1 1 n n 1 1 ( ) : 2 2 3 4 n n u u u u n u - -  =   = ³  + . + 1 3 u 4 3 1 = = + . ðat 1 - - - Gi.i: Ta có 1 2 2 2 u u u 1 1 n n n n n = , ta có: n x u   = 1  = + 1 1 3 2 2 n n x x x - 1 - 5.2 3 2 1 x u 2 5.2 3 n n n n - - ⇒ = ⇒ = - . Ví d 1.20: Tìm CTTQ c a dãy sô  =  1  - -  = 1 ³  + 1 2 ( ) : 9 24 2 n n 5 13 n n u u u u n u - - . Gi.i: Bài toán này không còn ñơn gii như bài toán trên vì trên t* sô còn he sô t do, do ñó ta tìm cách làm mât he sô t do trên t* sô. Muôn vay ta ñưa vào dãy ph bang cách ñat n n u = x + t . Thay vào công thc truy hôi, ta có: - - - - - - 2 - - 9 x 9 t 24 ( 9 5 t ) x 5 t 22 t 24 5 5 13 5 5 13 - - - - + = ⇒ = 1 1 n n x t x + + + + n n x t x t 1 1 n n 1 t : 5t + 22t + 24 = 0 ⇒t = -2 ⇒ x = 4 Ta chn 2 1 1 1 3 1 11.3 10 4 1 5 x x x x 1 1 n n n n n n n n n - - - - - 1 n 22.3 24 1 2 n n n 11.3 10 u x - - - + ⇒ = - = - .

45. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô = + a b - 19 - pu q a - D$ng 10: Cho dãy ( n u ): 1 u u n 1 ; n 2 ru s 1 n n - + = = ³ + . ðe tìm CTTQ c a dãy (xn) ta làm như sau: ðat n n u = x + t , thay vào công thc truy hôi c a dãy ta có: + + - - 2 + - + ( ) ( ) n n px pt q p rt x rt p s t q - - - - = - = 1 1 x t + + + + ru rt s rx rt s 1 1 n n n (13). Ta chn 2 t : rt + (s - p)t - q = 0. Khi ñó ta chuyen (13) vê d ng: 1 1 1 x x n n - T ñây ta tìm ñưc 1 n x , suy ra n u .   u = Ví d 1.21: Xác ñnh CTTQ c a hai dãy sô 1 =  1 2 ( u ),( v ) : n n v 1 và  u = u 2 + 2 v 2  ³ - - - - 1 1 n n n 1 1 2 2 =  n n n n v u v . Gi.i: Ta có:  = +  + = +    ⇒   =  - = - 2 2 2 2 2 ( 2 ) u u v u v u v - - - - 1 1 1 1 2 n n n n n n n 2 v 2 2 u v u 2 v ( u 2 v ) - - - - 1 1 1 1 n n n n n n n   + = + = + 1 1 2 2 2 ( 2 ) (2 2) 2 ( 2 ) (2 2) 1 1 u v u v 1 1 2 2 u v u v 1 1 n n n n n n n n - - - - ⇒   - = - = -  =  + 2 1  + - 2 1    ⇒      =   + 2 1 - - 2 1      1 (2 2) (2 2) 2 1 (2 2) (2 2) 2 2 n n n n u n v n - - - - .

46. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô = ⇒ = = = ⇒ ñưc chng - 20 - Nhan xét: T 2   n 1 +     = 2 + 2 2 + 2  ⇒ = =   - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - n n n n n n n =    1 1 1 1 1     1 2 2 2 2 2 n n n n n n n 2 n u u u v u u v v v u v v u v u v - u = ta ñưc dãy sô Do vay nêu ta ñat n n n x v  =  1  2 + 1 1 2 ( ) : 2 n n - 2 n n x x x x x - =  . Ta có bài toán sau: Ví d 1.22: Xác ñnh CTTQ c a dãy sô  =  1  2 +  = 1 ³ 1 2 ( ) : 2 2 n n - 2 n n x x x x n x - . Gi.i:   u = Xét hai dãy 1 =  1 2 ( u ),( v ) : n n v 1 và  u = u 2 + 2 v 2  ³ - - - - 1 1 n n n 1 1 2 2 =  n n n n v u v . u = (14). Ta chng minh n n n x v u = ⇒ = = ⇒ = (14) ñúng. · 2 2 2 2 n x n 2 2 v · Gi s* + + 2 2 2 2 2 u x u v u - - - - 1 1 1 1 x x 1 n n n n n v x u v v 1 1 1 1 (14) 2 2 n n n n n n n - - - - - minh Theo kêt qu bài toán trên, ta có: - - 1 1 n n = + + - 2 2 (2 2) (2 2) 2 (2 2) (2 2) n n n x - - 1 1 + - - 2 2 . D$ng 11: 1) T hai ví d trên ta có ñưc cách tìm CTTQ c a hai dãy sô ( ),( ) n n u v ñưc xác ñnh bi:  = 2 + . 2 ; =  u u a v u v v u v 1 1 1 n n n 2 ; 1 1 1 n n n a b - - - - = =  (trong ñó a là sô thc dương) như sau:

47. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô 1 1 10 8 0 n n t u - t u - - + - = - 21 - Ta có:  = +  + = +    ⇒   =  - = - 2 2 2 . ( ) u u a v u au u au a v a v u u au u au - - - - - 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n . 2 . ( ) - - - - - 1 1 1 1 1 n n n n n n n   =  1  + + - 1     ⇒   a b a b a b a b 2 2 u a a  =   + 2 1 - - 2 1      1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) v a a 2 n n n n n n a - - - - . 2) Áp dng kêt qu trên ta tìm ñưc CTTQ c a dãy  =  1  2 + 1 1 ( ) : n n 2 n n x x x a x x a - - =  . Xét hai dãy  = + =  - - a - - 2 2 . ; u u a v u 1 1 1 n n n = = 1 1 1  ( ),( ) : 2 ; 1 n n n n n u v v v u v Khi ñó: - - 1 1 n n = = + + - 2 2 u a a ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n v a a 2 2 n x a n n a a a a - - + + - .   u = Ví d 1.23: Cho dãy 1 = + 2 - ³ 1 1  1 ( ) : 5 24 8 2 n n n n u u u - u - n . Tìm n u ? Gi.i: Ta có: 2 3 4 u = 9;u = 89;u = 881. Gi s*: n n 1 n 2 u xu - yu - = +  + =  = 9 x y 89 x 10 89 x 9 y 881 y 1 ⇒  Û   + =  = - . Ta chng minh: 1 2 10 n n n u u - u - = - n ³ 3 1 1 ( 5 ) 24 8 n n n u u - u - - = - T công thc truy hôi c a dãy ta có: 2 2 Û u 2 - 10 u u + u 2 + 8 = - - 0 (15) thay n bi n - 1, ta ñưc: n n n 1 n 1 2 2 2 2 1 1 10 8 0 n n n n u - u - u - u - - + - = (16). T 2 (15),(16) , n n u - u ⇒ là hai nghiem c a phương trình : 2 2 Áp dng ñnh lí Viet, ta có: u + u = - 10 u - . n n 2 n 1 n 1 Vay 6 2 ( 6 2 5 2 6 ) ( n 1 5 2 6 ) 2 6 2 6 n u - - + - = - + + .

48. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô 3 ⇒ u = 5 + (t + 8)(t + 5) - 8 2 1 2 1 2 0 n n n n u - au - u - u - c - + - = 2 1 2 n n n u u - au - - 22 - Dng 12:   u = 1) Dãy 1 = + 2 - ³ 1 1  1 ( ) : 5 8 2 n n n n u u u - au - n là dãy nguyên Ûa = 24. That vay: 2 u = 5 + a - 8 = 5 + t (t = a - 8 Î ℕ) 2 2 ⇒ u Î ℤ Û f (t) = (t 2 + 8)(t + 5) 2 - 8 = m 2 (m Î ℤ) . 3 Mà (t 2 + 5t + 4) 2 f (t) (t 2 + 5t + 14) 2 kêt hp v

49. i f (t) là sô chan ta suy ra 2 m = t + 5t + x v

50. i x Î{6,8,10,12}. Th* trc tiêp ta thây t = 4 ⇒a = 24 . u 2) V

51. i dãy sô 1 2 1 1 ( ) : a 2 n n n n u u au bu c n - -  =  = + + ³  , v

52. i 2 a - b = 1 ta xác ñnh CTTQ như sau: T dãy truy hôi 2 2 2 2 ⇒ - = + Û - + - = 1 1 1 1 ( ) 2 0 n n n n n n n u au - bu - c u au u - u - c Thay n bi n - 1, ta có: 2 2 ⇒ + = . 3) V

53. i dãy 1 - 1 2 1 ( ) : a n n 2 n n u u u u n a cu b -  =  = ³  + +  ,trong ñóa 0;a 1; 2 a - b = 1 ta xác ñnh CTTQ như sau: Ta viêt l i công thc truy hôi dư

54. i d ng: = a + + b . ðat 1 2 c u u - u - 1 1 1 n n n n n x u = n n 1 n 1 u au - bx - c = + + ñây là dãy mà ta ñã xét trên. Ta có 2 Ví d 1.24: Cho dãy  = =  1 2  2 + ( ) : 2 - - = ³  n n 1 2 1 2 n n u u u u u n u . Tìm n u ? Gi.i: Ta có: 3 4 5 u = 3;u = 11;u = 41. Ta gi s* n n 1 n 2 u xu - yu - z = + + .T 3 4 u = 3;u = 11;

55. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô  + + =  =    + + = Û  = - ⇒ = -  + + =  =   x y z x x y z y u u u x y z z u5 = 41ta có he phương trình: 1 2 - - + n - - n - ⇒ = - + + . - 23 - 3 4 3 11 1 4 11 3 41 0 n n n   u = u = Ta chng minh 1 2 1 = - ³ 1 2  ( ) : n 4 3 n n n u u u - u - n . · V

56. i 3 2 1 n = 3 ⇒ u = 4u - u = 3 ⇒ n = 3 ñúng · Gi s* 1 2 4 k k k u u - u - = - . Ta có: ( )2 + - + - + + 2 2 2 2 4 k k 2 16 8 2 k k k k k u u u u u u u - - - - - - 1 2 1 1 2 2 1 = = = 1 1 1 k k k k u u u u + - - - 2 - + u u u u u - - - - - = 1 1 2 1 3 = - + 1 2 3 1 16 8 k k k k k 16 8 k k k k u u u u - - - - 1 2 2 3 1 4(4 ) (4 ) 4 k k k k k k u - u - u - u - u u - = - - - = - 1 Theo nguyên lí quy n p ta có ñpcm 3 1 ( ) 3 1 2 3 ( 1 2 3 ) 2 3 2 3 n u

57. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô II. S DNG PHÉP THÊ LƯNG GIÁC ðE XÁC ðNH CTTQ CA DÃY SÔ Nhiêu dãy sô có công thc truy hôi phc t p tr thành ñơn gin nh phép thê lưng giác. Khi trong bài toán xuât hien nhng yêu tô gi cho ta nh

58. ñên nhng công thc lưng giác thì ta có the th* v

59. i phương pháp thê lưng giác. Ta xét các ví d sau - 24 -   u =  = - ³ Ví d 2.1: Cho dãy 1 2 1 1 ( ) : 2 2 1 2 n n n u u u - n . Xác ñnh CTTQ c a dãy ( ) n u . Gi.i: T công thc truy hôi c a dãy, ta liên tưng ñên công thc nhân ñôi c a hàm sô côsin Ta có: 2 = 1 = p p u cos ⇒ u = 2 cos - 1 = 2 p cos 1 2 2 3 3 3 = 2 2 p ⇒ - = 4 p 8 p u 2 cos 1 cos ⇒ u = cos .... 3 4 3 3 3 Ta chng minh 1 2 cos 3 n n u - p = . That vay · V

60. i 2 1 2 2 2 2 cos cos 3 3 n u - p p = ⇒ = = (ñúng) · Gi s* - 2 p - 1 p - 1 p n n n 2 2 2 = ⇒ = 2 - = 2 - = - - cos 2 1 2 cos 1 cos n n n u u u 1 1 3 3 3 Vay 1 2 cos 3 n n u - p = n ³ 1.  D$ng 13: ðe xác ñnh CTTQ c a dãy sô 1 = 2 - ³  1 ( ) : 2 1 2 n n n u u u u - n ta làm như sau: · Nêu 1 | u |£ 1, ta ñat 1 u = cosa . Khi ñó ta có: 1 cos2n n u = - a . · Nêu 1 | u | 1 ta ñat 1 1 1 ( ) 2 = + ( trong ñó a ¹ 0 và cùng dâu v

61. i 1 u ). u a a 1 1 1 1 1 1 ( 2 ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 = + + - = + ⇒ = + .... Khi ñó u a 2 a 2 u a 4 2 2 2 3 4 a a a

62. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô 1 a - 2u a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghiem có u u u = = p ⇒ = p - p = p ⇒ = p ..... - 25 - Ta chng minh ñưc 1 2 n 1 1 ( ) 1 2 2 1 n n u a n a - - = + ³ . Trong ñó a là nghiem (cùng dâu v

63. i 1 u ) c a phương trình : 2 tích bang 1 nên ta có the viêt CTTQ c a dãy như sau  - -  2 1 2 1 =   - 2 -    +  + 2 -    1 1 1 1 1 1 1 2 n n n u u u u u        .   u =  = - ³ Ví d 2.2: Xác ñnh CTTQ c a dãy sô 1 3 1 1 3 ( ) : 2 4 3 2 n n n n u u u - u - n . Gi.i: Ta có: 2 3 3 3 cos 4 cos 3 cos cos 3 cos 1 2 3 2 6 6 6 6 6 Bang quy n p ta chng minh ñưc: 1 3 cos 6 n n u - p = . D$ng 14:  =  u p 1) ðe tìm CTTQ c a dãy 1 = 3 - ³ 1 1  ( ) : 4 3 2 n n n n u u u - u - n , ta làm như sau · Nêu | p |£ 1⇒ $a Î 0;p  : cosa = p . Khi ñó bang quy n p ta chng minh ñưc : 1 cos 3n n u = - a . · Nêu | p | 1, ta ñat 1   1 1 2 =  +  u a a   (a cùng dâu v

64. i 1 u ) Bang quy n p ta chng minh ñưc   1 1 1 2 =  +   1    3 3 n n n u a a - - . Hay  - -  3 1 3 1 =   - 2 -    +  + 2 -    1 1 1 1 1 1 1 2 n n n u u u u u        . 2) T trư ng hp th hai c a bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ c a dãy sô

65. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô = - . Khi ñó bang quy n p - 26 -  =  u p 1 = 3 + ³ 1 1  ( ) : 4 3 2 n n n n u u u - u - n bang cách ñat 1 1 1 ( ) 2 u a a ta chng minh ñưc :    3 n 1 3 n 1  = 1 3 n 1  - 1  = 1   + 2 +  +  - 2 +   2  1  1   1   3  2  1 1   1 1     n n u a u u u u a - - - - . Chú ý : Trong mot sô trư ng hp ta xác ñnh ñưc CTTQ c a dãy ( ) n u cho bi: u 1 u u 3 au 2 - - bu - c n 1 1 1 2 n n n n  = + + + ³  . Bang cách ñưa vào dãy ph ñe chuyen dãy ñã cho vê mot trong hai d ng trên. n u u = và Ví d 2.3: Xác ñnh CTTQ c a dãy 1 3 ( ) : 6 u = 24 u 3 - 2 + - ³ n n - 12 6 u 15 u 6 n 2 . 1 n - 1 n - 1 Gi.i: ðat . n n u = x v + y . Thay vào công thc truy hôi c a dãy, biên ñoi và rút gn ta ñưc x . v + y = 24 x 3 v 3 + 2 - 2 2 + 2 - + + n n - 12(6 x y 6 x ) v 3(24 xy 8 6 xy 5 x ) v 1 n - 1 n - 1 3 2 +24y - 12 6y + 15y - 6 . Ta chn   2 - 2 =  Û = 6 x y 6 x 0 1 y y 3 -  2 + - = : 24 y 12 6 y 15 y 6 y 6 . 1 1 1 1 . 24 3 . 24 3 n n n n n n x v x v - x v - v x v - v - = + Û = + . Ta chn 1 Khi ñó: 3 3 2 3 6 x = ⇒ = 3 + và v = 2 . 1 1 1 4 3 n n n v v - v - ⇒ = 1  - 1 - 1   (2 + 5) 3 + (2 - 5) 3    2 n n n v . Vay = 1  + - 3 n 1 + - 3 n - 1  1    + =  (2 5) (2 5) 1,2,... n u n 2 6 6 .

66. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô b b b b = a = a - 27 -   u =  = - ³ Ví d 2.4: Xác ñnh CTTQ c a dãy 1 2 1 3 ( ) : 2 2 2 n n n u u u - n . Gi.i: ðat 3 a a p p   - = cos , Î  ;  4 2   , khi ñó : u = -2 cosa ⇒ u = 2(1 - 2 cos 2 a ) = -2 cos2a . 1 2 Bang quy n p ta chng minh ñưc 2 cos2n 1 n u = - - a . Ví d 2.5: Tìm CTTQ c a dãy sô   u = 1  - - 2 1 1 2 ( ) : 2 2 1 2 = ³  2 n n n u u - u n . Gi.i: T công thc truy hôi c a dãy, gi ta nh

67. ñên công thc lưng giác 2 2 2 2 sin a + cos a = 1 Û 1 - sin a = cos a . Ta có: - - 2 - 1 2 2 2 1 sin 2(1 cos ) 1 6 6 sin sin 2 6 2 2 2.6 u u p p p p = = ⇒ = = = Bang quy n p ta chng minh ñưc: 1 sin n n 2 .6 u p - = . Ví d 2.6: Cho a,b là hai sô thc dương không ñoi th$a mãn a b và hai dãy ( ),( ) n n a b ñưc xác ñnh:   = + ; = . 1 2 1  1  + = 1 1 = ³ 1 ; 2 n n n n n n 2 a b a b b a a b a - - b a b n - . Tìm n a và n b . Gi.i: Ta có: 0 1 a b a b nên ta ñat cos a p   Î     = a v

68. i 0; 2 = b a + b = b + a = a a b và 2 Khi ñó: 2 1 cos (1 cos ) cos 2 2 2 1 . cos cos 2 2

69. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 28 - 2 + + a a a a cos cos a b b b 2 2 cos .cos b b = a a . = 1 1 = = 2 và 2 2 a b 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 Bang quy n p ta chng minh ñưc: = a a a cos cos ...cos 2 và n n 2 2 2 2 a b a a a b = b cos cos ...cos . n n 2 2 2 2 Ví d 2.7: Cho dãy  = 1  + -  = 1  ³ 1 3 ( ) : 2 1 2 n n 1 (1 2) n n u u u u n u - - + -  . Tính 2003 u (Trích ñê thi Olympic 30 – 4 – 2003 Khôi 11). Gi.i: Ta có 1 1 tan tan 2 1 8 8 1 tan 8 n n n u u u p p p - - + = - ⇒ = - = = ⇒ = = + Mà 1 2 + tan tan 3 tan 3 8 tan( ) 3 3 8 1 tan tan 3 8 u u p p p p p p p - p p  =  + -  Bang quy n p ta chng minh ñưc tan ( 1) 3 8 n u n   . Vay 2003 2002 tan tan ( 3 2) 3 8 3 4 u p p  p p  =  +  =  +  = - +     . Chú ý : ðe tìm CTTQ c a dãy  =  1  +  = 1 ³  - 1 ( ) : 2 n n 1 n n u a u u b - u n bu - . Ta ñat a = tana;b = tanb , khi ñó ta chng minh ñưc: tan ( 1) n u = a + n - b  Ví d 2.8: Tìm CTTQ c a dãy sô  = 1 = 1    ³ 2 1 3 ( ) : 2 n n 1 1 n n u u u u n u - - + +  .

70. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô = khi ñó ta ñưc dãy ( ) n x ñưc xác p p - - = ⇒ = = cot tan 1,2,... - 29 - Gi.i: Ta có: = + + . ðat 1 1 1 1 2 1 u u - u - 1 1 n n n n n x u 1 n n n x = x = x - + + x - . ñnh như sau: 2 và 1 1 1 1 3 Vì 2 1 2 1 cos 1 3 cot cot 1 cot cot 3 3 3 3 2.3 sin 3 x x p p p p p p + = = ⇒ = + + = = Bang quy n p ta chng minh ñưc: x u n n n n n 1 1 2 .3 2 .3

71. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô III. NG DNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CA DÃY SÔ VÀO GII MOT SÔ - 30 - BÀI TOÁN VÊ DÃY SÔ - TO HP Trong mc này chúng tôi ñưa ra mot sô ví d các bài toán vê dãy sô và to hp mà quá trình gii các bài toán ñó chúng ta van dng mot sô kêt qu trên. Ví d 3.1: Cho dãy sô (an ) : a0 = 0,a1 =1,an+1 = 2an - an-1 +1 n ³1. Chng minh rang 2 4 1 n n A a a + = + là sô chính phương. Gi.i: T công thc truy hôi c a dãy ta thay n +1 bi n ta ñưc:  a =  + 2 a - a +  n 1 n n - 1 1 ⇒ - + - = = - + 1 1 2 1 2 3 3 0 2 1 n n n n n n n a a a a a a a + - - - - . Xét phương trình ñac trưng 3 2 l - 3l + 3l - 1 = 0 Ûl = 1 a = a = a = ⇒a = b = g = . 2 ( ) n ⇒a = a + b n + g n , do 0 1 2 1 0, 1, 3 0, 2 1 2 2 2 ( ) ( 1)( 2)( 3) ( 3 1) 2 n ⇒a = n + n ⇒ A = n n + n + n + = n + n + ⇒ñpcm. Ví d 3.2: Cho dãy sô 1 2 1 1 ( ) : 7, 50; 4 5 1975 2 n n n n x x x x + x x - n = = = + - ³ . Chng minh rang x1996 ⋮1997 (HSG Quôc Gia – 1997 ) Gi.i: Vì -1975 = 22(mod1997)do ñó ta ch, cân chng minh dãy 1 1 4 5 22 1997 n n n x + x x - = + + ⋮ . ðat 1 1 1 1 (4 5 22) 4( ) 5( ) 22 8 n n n n n n y + ax + b a x x - b ax b ax - b a b = + = + + + = + + + + - 1 4 5 22 8 n n y y - a b = + + - . Ta chn a, b sao cho: 22a - 8b = 0 , ta chn a = 4 ⇒b = 11. ⇒ = + ⇒ = = = + 1 1 1 2 1 1 4 11 39, 211; 4 5 n n n n n y + x + y y y + y y - T ñây ta có ñưc: n n 1996 = 8( - 1) + 25.5 ⇒ = 8 + 25.5 . n y y 1996 3 3 1996 8 + 25.5 º -1 + 1 = 0(mod 3)⇒ y Î ℤ Vì 1996 1996 5 º 1(mod1997)⇒ y º 11(mod1997) Theo ñnh lí Fecma 1996 1996 1996 ⇒ 4x + 11 º 11(mod1997)⇒ x º 0(mod1997) .

72. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô n n ⇒a = - + ⇒ u = + - - . Vì 2( ) 1998 2.1998 n h n n h n n h n n h n a + a u + u u + u a + a - = - ⇒ - ⋮ Û - ⋮ 2 3 = 2 .3 .37 Mà ( 1) .10 125.5 - 31 - Nhan xét: T bài toán trên ta có kêt qu tong quát hơn là: p 1 x - p ⋮ v

73. i p là sô nguyên tô l.  = =  20; 100 u u Ví d 3.3: Cho dãy sô 0 1 = + + ³ 1 1  ( ) : n 4 5 20 2 n n n u u + u u - n .Tìm sô nguyên dương h bé nhât sao cho: u - u ⋮ 1998 n  Î ℕ * (HSG Quôc Gia Bng A – 1998 n + ). h n Gi.i:  a = 45; a = 205 ðat a = 2 u + 5 , ta có dãy 0 1 n n = + ³ 1 1  ( ) : n 4 5 2 n n n a a + a a - n 10 125 125 5 5 n n n n ( 1) .5 .5 ( 1) 3 3 6 3 2 - n n - =  - h -  + h -   ( 1) 1 (5 1) 3 3 n h n a + a · Nêu h chan h 5 1 4 125.5 (5 1) 4.27.37 5 1 81 3 5 1 37 n h h n h n h a + a  -  ⇒ - = - Û -  -  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (17) Gi k là sô nguyên dương nh$ nhât th$a mãn 5 1 37 k - ⋮ . Vì 36 5 - 1⋮37 ⇒ 36⋮k ⇒ k Î{1,2, 3,4,12,18, 36} th* trc tiêp ta thây ch, có k = 36 th$a mãn 5 1 37 36 (18) h ⇒ - ⋮ ⇒ h⋮ Chng minh tương t, ta cũng có: 5 1 81 (81) 54 (19) h - ⋮ ⇒ h⋮j = T (18) và (19) ta suy ra (17) Û h⋮ 36,54 = 108 ⇒ h ³ 108 . · Nêu h l: Vì (mod 1998) n h n u + u º Nên ta có: 0  º º  u u u + u º º 1 1  20(mod1998) 100(mod1998) h h ⇒ º - - º 1 1 5 4 20 0(mod1998) h h h u - u + u ⇒ ⋮ 1 0(mod1998) h u - Vì h l ⇒ h - 1 chan 125 25 h u - ⇒ u = .5 h - và 1 h 6 6 - = - 1 125 5 h .5 6 6 ⇒ º º mâu thuan v

74. i 20(mod1998) h u º . 1 5 0(mod1998) h h u u -

75. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô = ⇒ = Σ . Tìm a ñe dãy sô ( ) n y có gi

76. i h n hu h n và tìm gi

77. i n n n Σ Σ Σ ⇒ = = + - = - + - - a a - sin (1 ) (1 ) [ (1 )]sin - 32 - V

78. i h = 108 ta de dàng chng minh ñưc (mod1998) 1 n h n u + u n º ³ . Vay h = 108 là giá tr cân tìm. Ví d 3.4: Cho dãy 0 1 2 1 ( ) : 2; 2 n n n x n x x x + x + = = + 1) Tính 2000 x ? 2) Tìm phân nguyên c a 2000 = Σ (Olympic 30 – 4 – 2000 khôi 11 ). A x 1 i i = Gi.i: Ta có: 1 1 1 3 x 1 1 2 1 1 1 n n n n n x + x x x + - - = ⇒ = + + - - 1 . ðat 0 1 a a 1 n n x - và 1 = + - ⇒ = ⇒ = + + 3 1 2 3 1 1 a a a x + + 1 1 2 3 1 n n n n n n - . a) Ta có: 2001 3 1 3 1 2000 2001 x = + - b) Ta có: 2000 2000 1 2 1 Σ Σ = + ⇒ + 2000 2 2000 2000 2001 A A 1 + - 3 1 3 3 i i = = 1 1 i i Vay [A] = 2000. Ví d 3.5: Cho dãy + + a 2 a + a a 1 1 (2 cos2 ) cos ( ) : 1; n x (2 2 cos2 ) 2 cos2 n n n x x x x = = - + - . ðat = ³ y n = x 1 1 1 2 1 n n i i + h n ñó. ( HSG Quôc Gia Bng A – 2004 ). Gi.i: 2 Ta có a 2 a - 1 1 2 sin 1 1 1 1 1 (1 )sin 2 1 3 3(2 1) 2 1 3 3 n n n n n x x x + = + ⇒ = + - + + + 1 1 1 1 1 3 1 2 2 y n + n i i n n 1 2 x 1 3 3 2 3 2 3 = = = 1 1 1 i i i i Vì 1 lim 0 3n = nên dãy ( ) n y có gi

79. i h n hu h n Û sina = 0 Ûa = kp

80. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - - n - + - n - - - n - ⇒ = = ⇒ + = . - 33 - Khi ñó 1 lim 2 n y = .   x = - Ví d 3.6: Cho hai dãy 1 =  1 1 ( x ),( y ) : n n y 1 và  = - - +  2 2 x x x y y 1 y x x y y = + -  2 2 + + 1 3 2 8 2 3 2 n n n n n n n n n n n ³ 1. Tìm tât c các sô nguyên tô p sao cho x + y không chia hêt cho p . (THTT – 327 ) p p Gi.i: 2 2 n 1 Ta có: 1 1 1 1 2 ( 2 ) ... ( 2 ) 1 n n n n x y x y x y - - - + = + = = + = (20) Gi s* có mot sô t nhiên k ñe 1 2 0 k k k y x y + = ⇒ = . Khi ñó, ta có: 2  = -  x x x 2 1 2 3 1 k k k + + + =  vô lí. Vay 1 (2 )( 2 ) 0 n n n n n y + x y x y n = - + ¹ . - + - + x x y x y x y y x y x y x y + + Suy ra : 1 1 (3 4 )( 2 ) 3 4 (2 )( 2 ) 2 = - = n n n n n n n - + - n n n n n n n . - + x a + = ⇒ = - = ðat 1 n n a a a + + 1 1 1 y a 1 3 4 1; 2 1 n n + n n - 1 + + - ⇒ + = ⇒ = - ⇒ = 1 2 1 5 1 1 2( 5) 2 2 - + + + 2 1 2 2 2 3 1 n n n n n n n a a a a a a - + + 1 1 n 1 4.( 5) 1 2.( 5) n n n n x a y - - - - ⇒ = = + - (21) T (20) và (21) 1 1 1 1 4.( 5) 1 2.( 5) 2 2( 5) ; n n n n x y x y 3 3 3 * Nêu 2 2 p = 2 ⇒ x + y = 4⋮2 ⇒ p = 2 không th$a yêu câu bài toán. * Nêu 3 3 p = 3 ⇒ x + y = -16 không chia hêt cho 3 ⇒ p = 3 th$a yêu câu bài toán. * Nêu p = 5 ta thây cũng th$a yêu câu bài toán. * Nêu 1 5 ( 5) 1(mod ) 0(mod ) p p p p ⇒ - - º p ⇒ x + y º p Vay p = 3, p = 5 là hai giá tr cân tìm.

81. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô  = + +   = x x x - - n n n - 34 - Ví d 3.7: Cho dãy 1 1 1 2 3 ( ) : 2 - 2(2 1) 1 n n n n u u u u n n u -  =  = ³ - +  . Tính tong c a 2001 sô h ng ñâu tiên c a dãy ( ) n u (HSG Quôc Gia – 2001 ). Gi.i: Ta có: = + - (22). 1 1 1 4 2 n n n u u - Ta phân tích 2 2 4n - 2 = k n - (n - 1)  + l n - (n - 1) . Cho n = 0;n = 1, ta có he  - + = - 2  Û = = + = 2; 0 2 k l k l k l . 1 1 1 1 Û - = - - = = - = - Suy ra 2 2 (22) 2 n 2( n 1) ... 2 2 n n u u - u 1 1 - - + ⇒ = = 1 4 n 2 1 (2 n 1)(2 n 1) 2 2 n u 2 1 1 ⇒ = = - (2 1)(2 1) 2 1 2 1 n u - + - + n n n n 2001 2001 Σ u Σ . = 1 = 1 i i 1 1 1 4002 1 2 1 2 1 4003 4003 i i i   ⇒ =  -  = - =  - +   =  Ví d 3.8: Cho hai dãy sô ( ); n x ( ) n y xác ñnh : 1 1 3 3 x y =  và 2 1 1 1 1 1 n 1 1 n n y y y - - + +  n ³ 2 . Chng minh rang 2 3 2 n n x y n ³ . (Belarus 1999). Gi.i: = = ⇒ = + + = = Ta có: 2 1 2 + cos 1 3 cot cot 1 cot 6 cot 6 6 6 2.6 sin 6 x x p p p p p p

82. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 35 - Bang quy n p ta chng minh ñưc: 1 cot n n 2 .6 x p - = . Theo kêt qu c a ví d 2.8, ta có: 1 tan n n 2 .3 y p - = a = p ⇒ = a = a ⇒ = a a ðat cot ; tan2 . tan2 .cot n n n n n n n n n n 2 .3 x y x y ðat 2 1 2 = tan a ⇒ tan2 a .cot a = . = - - 2 2 1 1 n n n t t t t t . ³ ⇒ a p ⇒ p = ⇒ £ - Vì 1 2 2 2 0 0 tan 1 1 n n t t 6 6 3 3 ⇒ ⇒ £ ³ ⇒ 2 2 2 3 2 3 2 1 n n x y n t - ñpcm. Ví d 3.9: Cho dãy sô  | | 1 1 2 x ( ) : 3 3 x x x x + n 1 2 2 n n n n  - + -  = ³  . 1) Cân có thêm ñiêu kien gì ñôi v

83. i 1 x ñe dãy gôm toàn sô dương ? 2) Dãy sô này có tuân hoàn không ? T i sao ? (HSG Quôc Gia 1990). Gi.i: Vì 1 | x | 1 nên tôn t i 1 ; : sin 2 2 x a p p a   Î -  =   . Khi ñó: x = - a + a = p -a 2 1 3 sin cos sin( ) 2 2 3 3 1 3 sin( ) | cos( ) | 2 3 2 3 x = - p -a + p -a . -p £a p ⇒ = a · Nêu 3 sin 6 2 x -p a -p ⇒ = a - p . · Nêu 3 2 sin( ) x 2 6 3 Bang quy n p ta chng minh ñưc: i) Nêu -p £a p thì: 6 2 sin khi 2 1 sin( ) khi 2 3 n n k x n k a p a  = +  =  - = 

84. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô a a p a p p a p p a - 36 - ii) Nêu -p a -p thì: 2 6 2 sin( ) khi 2 1 3 1 sin( ) khi 2 3 n n k x k n k a p p a  - = +  = ³  - =  . 1) Dãy gôm toàn sô dương   sin 0    0 Û    Û -  2 Û 0       - £ sin 0 3 3 6 3 . x là ñiêu kien cân phi tìm. Vay 1 3 0 2 2) Da vào kêt qu trên ta có: · Nêu 1 1 a p a a p =  -  Û = Û = sin sin x   3 6 2   . Khi ñó t (1) ta có ñưc 1 2 ... ... ( ) n n x = x = = x = ⇒ x là dãy tuân hoàn.   - 1 £ x  · Nêu 1 ¹ 1  1 2 1 2 x thì dãy sô có d ng 1 2 1 2 x ,x ,x ,x ,.... - x - thì dãy sô có d ng 1 2 3 2 3 x ,x ,x ,x ,x .... · Nêu 1 1 1 2 Ví d 3.10: Tính tong 1 3 5 .. 2 1 n S = + + + + n - , v

85. i n là sô t nhiên n ³ 1. Gi.i: Ta có: 1 S = 1 và 1 2 1 n n S S - n = + - . Mà: 2 2 2 2 1 1 2 1 ( 1) ( 1) ... 1 0 n n n n n S n S - n S - = - - ⇒ - = - - = = - = n S = n . Vay 2 Ví d 3.11: Tính tong 2 2 2 2 1 2 3 ... n S = + + + + n v

86. i n là sô t nhiên n ³ 1. Gi.i: Ta có 1 S = 1 và 2 n n 1 S S - n = + (23). Ta phân tích: 2 3 3 2 2 n = k n - (n - 1)  + l n - (n - 1)  + t n - (n - 1)

87. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô     ⇒ (23) Û -  + +  = -  ( - 1) + ( - 1) + ( - 1)    + + + + ⇒ -  + +  = - = ⇒ = = 1 1 1 2 3 ( 1)(2 1) - 37 - Cho n = 0;n = 1;n = 2 , ta có he:  k - l + t = 0  k + l + t = Û k = l = t =  k +  l + t = 1 1 1 1 ; ; 3 2 6 7 3 4 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 S n n n S n n n n 3 2 6 n - 1 3 2 6     3 2 3 2 S n n n S S 1 1 0 n n n n n n 3 2 6 6 6 n n   . Ví d 3.12: Tính tong 1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2) n S = + + + n n + n + n ³ 1. Gi.i: Ta có: 1 S = 6 và 1 ( 1)( 2) n n S S - n n n - = + + n ³ 2 . Do 1 4 4 1 3 3 n ( n + 1)( n + 2) =  ( n + 1) - n  +  ( n + -  -    1) n  4 2 1 2 2 1 -  ( n + 1) - n -   ( n + 1) - n . 4 2 ðat 1 4 1 3 1 2 1 f n = n + + n + - n + - n + ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 2 4 2 ⇒ - = - - = = - = 1 1 ( ) ( 1) ... (1) 0 n n S f n S - f n S f ⇒ = = n ( n + 1)( n + 1)( n + 3) S f ( n ) . 4 n Ví d 3.13: Trong mp cho n ñư ng thang, trong ñó không có ba ñư ng nào ñông quy và ñôi mot không cat nhau. H$i n ñư ng thang trên chia mat phang thành bao nhiêu miên ? Gi.i: Gi n a là sô miên do n ñư ng thang trên t o thành. Ta có: 1 a = 2 . Ta xét ñư ng thang th n + 1 (ta gi là d ), khi ñó d cat n ñư ng thang ñã cho t i n ñiem và b n ñư ng thang chia thành n + 1phân, ñông th i moi phân thuoc mot miên c a n a . Mat khác v

88. i moi ño n nam trong miên c a n a se chia miên ñó thành 2 miên, nên sô miên có thêm là n + 1. Do vay, ta có: 1 1 n n a + a n = + + T ñây ta có: ( 1) = + n n + 1 . a 2 n

89. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô Chú ý : V

90. i gi thiêt trong ví d trên nêu thay yêu câu tính sô miên bang tính sô ña giác t o thành thì ta tìm ñưc: ( 2)( 1) + n n + miên, moi miên này nam - 38 - = n - n - . a 2 n Ví d 3.14: Trong không gian cho n mat phang, trong ñó ba mat phang nào cũng cat nhau và không có bôn mat phang nào cùng ñi qua qua mot ñiem. H$i n mat phang trên chia không gian thành bao nhiêu miên ? Gi.i: Gi n b là sô miên do n mat phang trên t o thành Xét mat phang th n + 1 (ta gi là (P) ). Khi ñó (P) chia n mat phang ban ñâu theo n giao tuyên và n giao tuyên này se chia (P) thành ( 1) 1 2 trong mot miên c a n b và chia miên ñó làm hai phân.Vay 2 = + + + . b + b 1 2 n n 2 n n T ñó, ta có: = ( n + 1)( n 2 - n + 6) b . 6 n Ví d 3.15: Trong mot cuoc thi ñâu the thao có m huy chương, ñưc phát trong n ngày thi ñâu. Ngày th nhât, ngư i ta phât mot huy chương và 1 7 sô huy chương còn l i. Ngày th hai, ngư i ta phát hai huy chương và 1 7 sô huy chương còn l i. Nhng ngày còn l i ñưc tiêp tc và tương t như vay. Ngày sau cùng còn l i n huy chương ñe phát . H$i có tât c bao nhiêu huy chương và ñã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). Gi.i: Gi k a là sô huy chương còn l i trư

91. c ngày th k 1 ⇒a = m , khi ñó ta có: 1 a a a m k 1 6 6 6 ( 36) 6 42 k 7 7 7 k k k k - +   = - ⇒ =   - - +   1 -   6 ⇒ = =   - - + ( 36) 6 42 7 n n a n m n   1 7 36 7( 6) 6 n m n -   ⇒ - = -     Vì (6,7) = 1 và 1 6 6 n - n - nên ta có n - 6 = 0 Û n = 6 ⇒ m = 36. Vay có 36 huy chương ñưc phát và phát trong 6 ngày.

92. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô Ví d 3.16: Có bao nhiêu xâu nh phân ño dài n trong ñó không có hai bit 1 ñng c nh nhau? Gi.i: Gi n c là sô xâu nh phân ño dài n th$a mãn ñiêu kien ñâu bài. Ta có c1 = 2; 2 c = 3 . Xét xâu nh phân ño dài n th$a mãn ñiêu kien ñâu bài có d ng 1 2 2 1 ...... n n n a a - a - a a . Có hai trư ng hp · 1 n a = . Khi ñó 1 0 n a - = và 2 2 1 ...... n a - a a có the chn là mot xâu bât kỳ ño dài n - 2 th$a ñiêu kien. Có n 2 c - xâu như vay, suy ra trư ng hp này có n 2 c - xâu. · 0 n a = . Khi ñó 1 2 1 ...... n a - a a có the chn là mot xâu bât kỳ ño dài n - 1 th$a ñiêu kien. Có n 1 c - xâu như vay, suy ra trư ng hp này có n 1 c - xâu. Vay tong cong xây dng ñưc 1 2 n n c - c - + xâu, hay n n 1 n 2 c c - c - = + . - 39 - - - -  -  -  +  ⇒ =   +   1 1 n n 5 2 1 5 2 5 1 5 5 2 5 2 n c         . Ví d 3.17: Cho sô nguyên dương n . Tìm tât c các tap con A c a tap X = {1,2, 3,...,2n} sao cho không tôn t i hai phân t* x,y ÎA th$a mãn: x + y = 2n + 1 (Thy Sy 2006). Gi.i: ðe gii bài toán này ta se ñi ñêm sô tap con A c a X th$a mãn luôn tôn t i hai phân t* x,y ÎA sao cho x + y = 2n + 1 (ta gi tap A có tính chât T ). Gi n a là sô tap con A c a tap {1,2,...,2n} có tính chât T Khi ñó các tap con A Ì {1,2,...,2n,2n + 1,2n + 2} xy ra hai trư ng hp. TH1: Trong tap A cha hai phân t* 1 và 2n + 2 , trong trư ng hp này sô tap A có tính chât T chình bang sô tap con c a tap gôm 2n phân t* {2, 3,4,...,2n,2n + 1} và sô tap con c a tap này bang 2 2 n . TH2: Trong tap A không cha ñây ñ hai phân t* 1 và 2n + 2 . Khi ñó A phi cha mot tap A' là tap con c a tap {2, 3,4,...,2n,2n + 1} sao cho có hai phân t* x ',y ' ÎA' : x '+ y ' = 2n + 3 . Ta thây sô tap con A' như trên chính bang sô tap con c a tap {1,2,...,2n} có tính chât T (Vì ta tr các phân t* c a {2, 3,4,...,2n,2n + 1} ñi mot ñơn v ta ñưc tap {1,2,...,2n} và x ',y ' ÎA' : x '+ y ' = 2n + 1)

93. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô Hơn na v

94. i moi tap A' ta có ñưc ba tap A (bang cách ta chn A là A' hoac {1} È A' hoac {2n + 2} È A' ) Do vay: 2 - 40 - n n n a + a a = + ⇒ = - 1 3 2 4 3 n n n n - a = . Vay sô tap con th$a mãn yêu câu bài toán là: 4 3 n n

95. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô = =  = - Î ³  - 41 - Bài tap áp d)ng Bài 1: Tìm CTTQ c a các dãy sô sau 1) 1 2 u 1; u 0, un +1 2un un -1 n 1, n 2 = = - + = + ³ 2) 1 2 1 1 0; 0, 2 3.2 , 2 n n n n u u u + u u - n = = - + = ³ n n n u u u + u u - n n = = - - = + ³ 3) 1 2 1 1 0; 0, 2 3 2 , 2 n 4) 1 2 3 1 2 3 0, 1, 3, 7 11. 5. , 4 n n n n u u u u u - u - u - n = = = = - + ³ 5) 1 1 1 3 3 2 3 2 n 1 ( 3 2) n n u u u n u - -  =  + -  = ³  - -  .  = +  Î ³ b 2. b b Bài 2: Cho dãy sô { b } xác ñnh bi : n n 1 n 2 ( ) n 1 2 3 1, 2 n N n b b - - = =    £   Î   Chng minh rang 5 , 2 n n b n N  Î + Î  u Z N u u u u u n N n Bài 3: Cho dãy sô { } n u tho mãn như sau : 0 1 - - 1 2 , 1, 9 10. , 2 n n n n Chng minh : k ÎN,k ³ 1. 1) u 2 + u 2 - 10 u . u = - 8 k k - 1 k k - 1 1 2) 5. 4 k k u u - - ⋮ và 2 3. 1 2 k u - ⋮  = =  1; 0 2 2 2 n n n x x x x - x - n Bài 4: Cho dãy sô n x xác ñnh như sau: 0 1 - + = ³ 1 2  . Xác ñnh sô t nhiên n sao cho : 1 22685 n n x + x + = .

96. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô 1 ( 8) 5 n a + có the bieu dien thành tong bình phương c a - 42 -  = =  1; 5 6 1 n n n x x x + x x - n Bài 5: Cho dãy ( ) n x ñưc xác ñnh bi 0 1 = - ³ 1 1  . Tìm lim { 2 } n n x x (THTT T7/253). 2 n a a = và Bài 6: Xét dãy 1 1 ( ) : 1  1  2  - - 2 2  =   ³       1 1 (1 ) 1 2 n n a a + n . Chng minh rang: 1 2 2005 a + a + ... + a 1,03 (THTT T10/335). Bài 7: Cho dãy 2 0 1 ( ) : 2; 4 15 60 1 n n n n a a a + a a n = = + - ³ . Hãy xác ñnh CTTQ c a n a và chng minh rang sô 2 ba sô nguyên liên tiêp v

97. i n ³ 1 (THTT T6/262). Bài 8: Cho dãy sô {p(n)} ñưc xác ñnh như sau: p(1) = 1; p(n) = p(1) + 2p(2) + ... + (n - 1)p(n - 1) n ³ 2 . Xác ñnh p(n) (THTT T7/244).   u = Bài 9: Xét dãy 1 = + 3 - 2 + - ³  1 2 ( ) : 3 2 9 9 3 2 n n n u u u - n n n n . Chng minh rang v

98. i moi sô nguyên tô p thì 1 Σ chia hêt cho p (THTT T6/286). 1 2000 p i i u - =  =  x a Bài 10: Dãy sô thc 0 = 2 - ³  1 ( ) : 2 1 0 n n n x x + x n . Tìm tât c các giá tr c a a ñe x 0 n ³ 0 (THTT T10/313). n x x Bài 11: Dãy sô 1 + 0 1 2 n x x = x = và 1 ( ) : 1, 2 . n n 2002 2001 2000 1 1 n n n n n x x x x x + + + = + + n ³ 0. Hãy tìm CTTQ c a n x (THTT T8/298). Bài 12: Cho dãy sô ( ) n a ñưc xác ñnh như sau: 1 1 1 1 2 ( ) : 1 2 1 n n n n a a a a n na - -  =  = ³ +  . Tính tong 1 2 1998 a + a + ... + a .

99. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô Σ ( Moldova 2007). - 43 - Bài 13: Cho dãy sô ( ) n a ñưc xác ñnh bi : 1 a = 1.2.3, a2 = 2.3.4, ..., ( 1)( 2) n a = n n + n + . ðat 1 2 ... n n S = a + a + + a . Chng minh rang 4 1 n S + là sô chính phương . (HSG Quôc Gia – 1991 Bng B ) Bài 14: Cho hai dãy sô ( ),( ) n n a b ñưc xác ñnh như sau: 0 0 a = 2;b = 1 và 2 a b + a b + + = = ³ n n , 0 a b a b n + 1 1 1 n n n n n n . Chng minh rang các dãy ( ) n a và ( ) n b có cùng mot gi

100. i h n chung khi n ® +¥. Tìm gi

101. i h n chung ñó. ( HSG Quôc Gia – 1993 Bng A ngày th 2) Bai 15: Cho các sô nguyên a,b . Xét dãy sô nguyên ( ) n a ñưc xác ñnh như sau 0 1 2 3 2 1 ; ; 2 2; 3 3 0 n n n n a a a b a b a a + a + a + a n = = = - + = - + ³ a) Tìm CTTQ c a dãy ( ) n a . b) Tìm các sô nguyên a,b ñe n a là sô chính phương v

102. i n ³ 1998 . (HSG Quôc Gia – 1998 Bng B). Bài 16: Cho dãy sô 0 - + = ³  1 3 ( ) :  =  n (3 )(6 ) 18 1 n n a a a a - n . Tính n 1 Σ i = 1 a i (Trung Quôc – 2004 ). Bài 17: Cho dãy sô  = 0 + 2 - - -  = 1 1 ³  1  ( ) : 7 45 36 1 2 n n n n a a a a a n . Chng minh 1) n a là sô nguyên dương v

103. i n ³ 0. 1 2) 1 n n a + a - là sô chính phương n ³ 0. ( Trung Quôc – 2005 ). Bài 18: Cho dãy sô 1 2  = =  1; 2 = - ³ 1 2  ( ) : u u n 4 3 n n n u u u - u - n . Chng minh rang n u - 2 1 3 là sô chính phương ( Chn ñoi tuyen Nghe an – 2007 ).   b = b =  + =  ³ Bài 19: Cho dãy sô 0 1 3 1 2 12; ( ) : 2 . 3 2 n n n n b b b - b - n . Tính 2007 0 i i b =

104. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô Bài 20: Có n tâm th ñưc ñánh sô t 1 ñên n . Có bao nhiêu cách chn ra mot sô th (ít nhât 1 tâm) sao cho tât c các sô viêt trên các tâm th này ñêu l

105. n hơn hoac bang sô tâm th ñưc chn. - 44 - Bài 21: Cho dãy ( ) n u ñưc xác ñnh bi:  u = u n ³ 1 1; 0 1 1 2 1 1 u n 1 2 n u n n u n - -   + - = ³  . Chng minh rang 1 1 2 1 ... 1 1 ( ) 4 2 n n u u u p  -  + + + ³ +  -    (HSG Qung Bình 2008 – 2009 ). Bài 22: Cho dãy ña thc : 3 P(x) = x - 6x + 9 và ( ) ( (...( ( )))) n P x = P P P x n lân. Tìm sô nghiem cu P(x) và ( ) n P x ? (D tuyen Olympic). Bài 23: Xác ñnh he sô 2 x trong khai trien chính quy c a ña thc 2 2 2 2 2 ( ) (...((( 2) 2) 2) ...) 2) k Q x = x - - - - - (có k dâu ngoac). Bài 24: Cho dãy 0 1 1 1 : 1, 1, 4 1 n n n n x x x x + x x - n = = = - ³ và dãy sô ( ) 0 1 1 1 : 1, 2, 4 1 n n n n y y = y = y + = y - y - n ³ . Chng minh rang: 2 2 3 1 0 n n y = x + n ³ (Canada – 1998 ). Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có ño dài các c nh là các sô t nhiên không vưt quá 2n (Macedonian – 1997 ). Bài 26: Cho dãy sô ( ) n u ñưc xác ñnh như sau: 0 1 u = u = 1 và 1 1 14 n n n u + u u - = - v

106. i n ³ 1. Chng minh rang v

107. i n ³ 0 thì 2 1 n a - là mot sô chính phương (Chn ñoi tuyen Romania 2002).

108. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 45 - KÊT LUAN – KIÊN NGH Tri qua thc tien ging d y, noi dung liên quan ñên chuyên ñê v

109. i s góp ý c a ñông nghiep van dng chuyên ñê vào ging d y ñã thu ñưc mot sô kêt qu sau 1) Hc sinh trung bình tr lên có the van dng mot sô kêt qu cơ bn trong chuyên ñê vào gii bài toán xác ñnh CTTQ c a mot sô d ng dãy sô có d ng truy hôi ñac biet. 2) Hc sinh gi$i có the van dng các kêt qu trong chuyên ñê ñe tham kho phc v trong nhng kì thi hc sinh gi$i câp T,nh và câp Quôc Gia. 3) T o ñưc s hng thú cho hc sinh khi hc vê bài toán dãy sô. 4) Là tài lieu tham kho cho hc sinh và giáo viên. 5) Qua ñê tài giáo viên có the xây dng các bài toán vê dãy sô. Bên c nh nhng kêt qu thu ñưc, chuyên ñê còn mot sô h n chê sau: 1) Trong chuyên ñê chưa xây dng ñưc phương pháp xác ñnh CTTQ c a mot sô dãy sô mà các he sô trong công thc truy hôi biên thiên. 2) Chưa ñưa vào mot sô phương pháp xác ñnh CTTQ c a dãy sô da vào mot sô kiên thc liên quan ñên Toán cao câp như phương pháp hàm sinh... Hy vng các ñông nghiep se phát trien, m rong và khac phc mot sô h n chê nói trên.

110. Mot sô phương pháp xác ñnh công thc tong quát c a dãy sô - 46 - TÀI LIEU THAM KHO [1] ð i Sô và Gii Tích l

111. p 11 Nâng Cao [2] Các bài thi Olympic Toán THPT Viet Nam, T sách THTT – NXB GD 2007 [3] Mot sô bài toán chn lc vê dãy sô , Nguyen Văn Mau, NXBGD – 2003 [4] Các phương pháp ñêm nâng cao, Trân Nam Dũng [5] T p chí Toán Hc Và Tuoi Tr [6] Các dien ñàn Toán hc như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org … [7] Tuyen tap các chuyên ñê thi Olympic 30 – 4 Khôi 11 [8] Phép quy n p trong hình hc, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khong Xuân Hien dch xuât bn năm 1987)

Phongmath day-so-nguyen tatthu

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

Viewers also liked

Viewers also liked (9)

Similar to Phongmath day-so-nguyen tatthu

Similar to Phongmath day-so-nguyen tatthu (20)

More from phongmathbmt

More from phongmathbmt (20)

Phongmath day-so-nguyen tatthu