Giá 10k/, tài liệu này đang ở dạng xem trước, vui lòng nạp thẻ cào để được xem full tài liệu www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace

1. BBỘỘ GGIIÁÁOO DDỤỤCC VVÀÀ ĐĐÀÀOO TTẠẠOO
TTRRƯƯỜỜNNGG ĐĐẠẠII HHỌỌCC SSƯƯ PPHHẠẠMM TTPP .. HHỒỒ CCHHÍÍ MMIINNHH
--------------------------------------------------------------
LLaatthhssaammiivvoonngg KKiikkeeoo
TTÂÂMM VVÀÀ NNHHÓÓMM CCOONN GGIIAAOO HHOOÁÁNN TTỬỬ
CCỦỦAA MMỘỘTT SSỐỐ LLỚỚPP NNHHÓÓMM
LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC
TThhàànnhh pphhốố HHồồ CChhíí MMiinnhh --22001111

2. BBỘỘ GGIIÁÁOO DDỤỤCC VVÀÀ ĐĐÀÀOO TTẠẠOO
TTRRƯƯỜỜNNGG ĐĐẠẠII HHỌỌCC SSƯƯ PPHHẠẠMM TTPP .. HHỒỒ CCHHÍÍ MMIINNHH
--------------------------------------------------------------
LLaatthhssaammiivvoonngg KKiikkeeoo
TTÂÂMM VVÀÀ NNHHÓÓMM CCOONN GGIIAAOO HHOOÁÁNN TTỬỬ
CCỦỦAA MMỘỘTT SSỐỐ LLỚỚPP NNHHÓÓMM
CChhuuyyêênn nnggàànnhh :: ĐĐạạii ssốố vvàà llýý tthhuuyyếếtt ssốố
MMãã ssốố :: 6600 4466 0055
LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC
NNGGƯƯỜỜII HHƯƯỚỚNNGG DDẪẪNN KKHHOOAA HHỌỌCC
PPGGSS..TTSS..MMyy VViinnhh QQuuaanngg
TThhàànnhh pphhốố HHồồ CChhíí MMiinnhh --22001111

3. LỜI CẢM ƠN
LLờờii đđầầuu ttiiêênn ttrroonngg lluuậậnn vvăănn nnààyy ttôôii ggửửii đđếếnn PPGGSS .. TTSS .. MMyy VViinnhh QQuuaanngg
NNggưườờii tthhầầyy đđãã ttậậnn ttììnnhh hhưướớnngg ddẫẫnn vvàà ggiiúúpp đđỡỡ ttôôii ttrroonngg ssuuốốtt qquuáá ttrrììnnhh hhọọcc ttậậpp vvàà llààmm
lluuậậnn vvăănn ,, llòònngg bbiiếếtt ơơnn cchhâânn tthhàànnhh ssââuu ssắắcc nnhhấấtt ..
XXiinn cchhâânn tthhàànnhh ccảảmm ơơnn đđếếnn ccáácc tthhầầyy ccôô ttrroonngg :: KKhhooaa TTooáánn TTrrưườờnngg ĐĐạạii hhọọcc
SSưư pphhạạmm TTPP .. HHồồ CChhíí MMiinnhh ,, TTrrưườờnngg ĐĐạạii hhọọcc KKhhooaa hhọọcc TTựự nnhhiiêênn TTPP .. HHồồ CChhíí MMiinnhh
vvàà ccáácc tthhầầyy ccôô kkhháácc đđãã tthhaamm ggiiaa ggiiảảnngg ddạạyy ,, gguuảảnn llỷỷ llớớpp hhọọcc ,, đđãã ttrrựựcc ttiiếếpp ttrruuyyềềnn đđạạtt
kkiiếếnn tthhứứcc cchhoo ttôôii ttrroonngg ssuuốốtt qquuáá ttrrììnnhh hhọọcc ttậậpp ..
CCuuốốii ccùùnngg ttôôii xxiinn ccảảmm ơơnn ttấấtt ccảả ccáácc đđồồnngg nngghhiiệệpp ,, bbạạnn bbèè đđãã đđộộnngg VViiêênn ggiiúúpp đđỡỡ
ttạạoo đđiiềềuu kkiiệệnn tthhuuậậnn llợợii cchhoo ttôôii ttrroonngg qquuáá ttrrììnnhh hhọọcc ttậậpp vvàà hhooàànn tthhàànnhh lluuậậnn vvăănn nnààyy ..
TTPP .. HHồồ CChhíí MMiinnhh -- 22001111
LLAATTHH SSAA MMII VVOONNGG kkiikkeeoo

4. MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN............................................................................................. 3
MỤC LỤC................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 2
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN........................................................... 3
1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN :.............................................................................3
1.2 Nhóm các phép thế : ..........................................................................................4
Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ
LỚP NHÓM................................................................................................ 9
2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM :..............................................................9
2.2 TẬP SINH CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM : ........................................................16
2.3 TÂM CỦA CÁC LỚP NHÓM :........................................................................22
2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM..............................28
2.5. Tâm và nhóm con giao hoán tủ của nhóm nhi diện D8 và nhóm Quaternion 8
Q
..................................................................................................................................36
2.5.1 Định nghĩa nhóm nhi diện D8 ...........................................................................................36
2.5.2. Định lý :..............................................................................................................................36
2.5.3 Định nghĩa nhóm Quaternion 8
Q ...................................................................................37
2.5.4 Định lý :............................................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 40

5. MỞ ĐẦU
Tâm và nhóm sinh bởi tập các giao hoán tử là một vấn đề của đại số đại cương.
Trong luận văn này chúng tôi không có tham vọng trình bày đầy đủ chi tiết về tâm và nhóm
giao hoán tử của một nhóm tổng quát mà chủ yếu là xác định tâm và nhóm giao hoán tử của
một số nhóm cơ bản như: nhóm phép thế, nhóm ma trận,... Để xác định được mục tiêu nêu
trên, luận văn chia làm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về nhóm, nhóm con
sinh bởi một tập,. Những kết quả được áp dụng nhiều trong chương 2 sẽ được chứng minh
chi tiết.
Chương 2: Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm
Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa một số lớp nhóm phép thế, ma trận
và xác định tập sinh của các lớp nhóm đó; xác định tâm của lớp nhóm phép thế, ma trận; xác
định nhóm của giao hoán tử dựa vào tập sinh của nhóm phép thế, ma trận và xác định tâm
và nhóm con giao hoán tử của các nhóm nhi diện D8 , nhóm Quaternion Q8 .
TP. Hồ Chí Minh tháng 09 năm 2011
Người thực hiện
LATH SA MI VONG KiKeo

6. Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN :
1.1.1 Định nghĩa: Nhóm X là một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp có
đơn vị e và mọi phần tử x X∈ đều có phần tử nghịch đảo.
Nếu phép toán của nhóm là giao hoán thì ta gọi nhóm là nhóm giao hoán hoặc nhóm là
nhóm abel.
1.1.2 Định nghĩa: Cho X là một nhóm, A là một tập con khác rỗng của X. Tập A gọi là
nhóm con của X nếu A ổn định với phép toán trong X và A cùng với phép toán cảm sinh là
một nhóm. Ký hiệu: A X≤ .
Giao của một họ không rỗng các nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của
X. Thật vậy, giả sử đã cho một họ không rỗng ( ) I
Aα α∈
các nhóm con của X và i
i I
A = A
∈
 .
Khi đó A ≠ ∅ vì có e A∈ . Giả sử x,y A∈ , khi đó x,y A , Iα∈ ∀α∈ do đó
1
x.y A , I−
α∈ ∀α∈ , tức là 1
x.y A−
∈ . Như vậy A là nhóm con của X.
Giả sử M là một tập con khác rỗng của X. Ta xét họ tất cả các nhóm con của X chứa
M. Họ này không rỗng vì X là một phần tử của họ. Giao của họ đó là một nhóm con của X .
Nhóm con này gọi là nhóm con của X sinh bởi tập M, ký hiệu M . Ta có :
{ }1 m
1 m i iM a a / a M ; 1 ; M=1,2, ,nε ε
= ∈ ε =±  . Thật vậy, ký hiệu vế phải là A. Vì
nhóm con M chứa tất cả các ia của M nên M A⊃ . Mặt khác, nếu a.b A∈ thì hiển
nhiên a.b A∈ và 1
a A−
∈ nên A là một nhóm con chứa M do đó A M⊃ . Bởi vậy
A = M .

7. 1.2 Nhóm các phép thế :
Phép thế trên một tập X là một song ánh từ X lên chính nó. Khi X là tập hợp có n
phần tử thì một phép thế trên X gọi là phép bậc n. Ta thường lấy tập { }X = 1,2, ,n . Khi
đó mỗi phép thế f bậc n thường được viết dưới dạng :
( ) ( ) ( )
1 2 n
f =
f 1 f 2 f n
 
 
 


Vì f là song ánh nên các phần tử f(1),f(2),…,f(n) ở dòng dưới điều khác nhau do đó
chúng là hoán vị của n phần tử 1,2,…, n . Như vậy một hoán vị xác định một phép thế bậc n
bằng số các hoán vị của tập có n phần tử và bằng n!
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n ký hiệu là nS .
Cho f là một phép thế bậc n. Nếu f viết được dưới dạng :
1 2 m m+1 n
2 3 1 m+1 n
i i i i i
f =
i i i i i
 
 
 
 
 
thì f được gọi là vòng xích độ dài m và ta viết đơn giản là:
( ) ( )1 2 m 2 m 1f = i i i i i i= =  
Vòng xích độ dài 1 chính là phép thế đồng nhất ( ) ( ) ( )x1 1 2 n= = = = .
Vòng xích độ dài 2 gọi là phép chuyển trí .
Hai vòng xích ( )1 mf = i i và ( )1 kg = j j gọi là độc lập nếu
{ } { }1 m 1 ki , , i j , , j∩ =∅ 
Phép nhân các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán .
1.2.1 Định lý :Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy nhất
(không kể thứ tự) thành tích các vòng xích độc lập độ dài lớn hơn hoặc bằng 2 .
CHỨNG MINH

8. Giả sử f là phép thế khác phép thế đồng nhất, khi đó có i1 sao cho ( )1 2 1f i i i= ≠ do f là
song ánh nên ( ) ( )2 3 2 3 4 2 3f i i i ; f i i i ,i ,=≠ =≠  và cuối cùng ( )m1 1f i i= . Đặt
( )1 1 2 m1f i i i=  , đầu là vòng xích có độ dài 1m 2≥ và ( ) ( )k 1 kf i f i= với 1k 1,2, ,m=  .
Nếu trong tập { } { }1 2 m1,2, ,n i i i  có 1j sao cho ( )1 2 1f j j j= ≠ thì lặp lại quá
trình trên ta sẽ có vòng xích ( )2 1 2 m2f j j j=  với độ dài 2m 2≥ và ( ) ( )k 2 kf j f j= với
2k = 1,2, ,m .
Tiếp tục, nếu trong tập { } { }1 2 m 1 2 m21,2, ,n i ,i , ,i , j , j , , j   có l1 sao cho
( )1 2 1f l l l= ≠ thì tương tự như trên ta có vòng xích ( )3 1 2 m3f l l l=  với độ dài 3m 2≥ và
( ) ( )k 3 kf l f l= với 3k 1,2, ,m=  .
Cứ tiếp tục quá trình trên, cuối cùng ta được các vòng xích độc lập 1 2f ,f , ,fr và
1 2f f f fr=  
Bây giờ ta giả sử f còn có sự phân tích thành tích các vòng xích độc lập khác:
1 2 sf g g g=   khi đó có kg sao cho :
( ) ( ) ( )k 1 1 1 1 2g i f i f i i= = =
( ) ( ) ( )k 2 2 1 2 3g i f i f i i= = =
( ) ( ) ( )k m1 m1 1 m1 1kg i f i f i i= = =
Do đó k 1g f= , không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 1g f= . Khi đó ta sẽ có:
2 r 2 sf f g g= 
Tiếp tục lặp lại quá trình trên, cuối cùng ta sẽ có r s= và i if g= với mọi i 1,2, ,r= 
và định lý được chứng minh.
1.2.2 Hệ quả: Mọi phép thế đều phân tích được thành tích các chuyển trí.
CHỨNG MINH

9. Do định lý trên ta chỉ cần chứng minh đối với phép thế đồng nhất x1 và các vòng xích. Thật
vậy ta có ( )( )x1 i j i j= , còn nếu f là vòng xích thì kiểm tra trực tiếp ta có
( ) ( )( ) ( )( )1 2 m 1 m 1 m-1 1 3 1 2f i i i i i i i i i i i= =  .
Hàm dấu là ánh xạ sign: nS R→ xác định như sau:
( )
( ) ( ){ }i,j X
i j
i-j
sign f
f i f j∈
≠
=
−
∏
1.2.3 Định lý : Dấu của một chuyển trí bằng -1
CHỨNG MINH
Giả sử ( )f kl= , khi đó
( )
( ) ( ){ }i,j X
i j
i-j
sign f
f i f j∈
≠
=
−
∏
( ) ( ){ } { } ( ) ( ){ } { } ( ) ( ){ } { } { }
( ) ( ){ } { } { } { } { }
i j i j
i j i j
i,j k,l i,j k,l i,j k,l k
i,j k,l l i,j k,l i k,l i k,l
i-j i-j i-j
f i f j f i f j f i f j
i-j k-l i-j i-k i-l
l
f i f j l-k i-j i-l i-k
≠ ≠
≠ ≠
= ∩ =φ ∩ =
∩ = ∩ =φ ≠ ≠
= × × ×
− − −
× =× × × =−
−
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
1.2.4 Định lý : Ta có các khẳng định sau:
1) ( ) { }sign f 1,1∈ − với mọi nf S∈
2) Hàm sign có tính chất nhân tức là sign(f.g) = sign(f).sign(g)
CHỨNG MINH
1) Vì mọi phép thế đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí nên giả sử
( ) ( )( ) ( )( )1 2 m 1 m 1 m-1 1 3 1 2f i i i i i i i i i i i= =  (tích của m-1 chuyển trí) suy ra
sign(f) 1 m 1 m-1 1 3 1 2sign((i i )(i i ) (i i )(i i ))= 
( ) ( ) ( )1 m 1 m-1 1 3 1 2sign i i .sign(i i ) sign i i .sign i i= 

10. 1.( 1).....( 1)( 1).=− − − −
Nếu m chẵn thì m-1 lẻ do đó Sign(f) -1=
Nếu m lẻ thì m-1 chẵn do đó Sign(f) 1=
2) Giả sử f có thể biểu diễn dưới dạng :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
g 1 g 2 g n
f =
f g 1 f g 2 f g n
 
 
 

   
do đó ( )
( ) ( )
( ){ }
i j
i,j X
g i g j
sign f
f g f g(j)
≠
∈
−
=
−
∏  i
nên
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ){ } { }
i j i j
i,j X i,j X
g i g j i-j
sign f .sign g
f g i f g j g(i)-g(j)
≠ ≠
∈ ∈
−
= ×
−
∏ ∏ 
{ }
i j
i,j X
i-j
sign(f g)
f g(i)-f g(j)
≠
∈
= =∏ 
 
1.3 Nhóm Ma trận : Cho F là một trường
Cho m,n là hai số nguyên dương A được gọi là một ma trận m.n trên F nếu A là một
bảng hình chử nhật gồm n.m phần tử thuộc F được viết thành m dòng (mỗi dòng có n phần
tử ) và thành n cột (mỗi cột có m phần tử ) như sau :
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A =
a a a
 
 
 
 
 
 


 

Kí hiệu M(m.n,F) là tập hợp tất cả các ma trận m.n trên F. Đặc biệt khi m n= , kí
hiệu M(n,F) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên F.
1.3.1 Định lý : Cho A là ma trận vuông cấp n không suy biến khi đó bằng hữu hạn các phép
biến đổi sơ cấp trên dòng (hoặc cột) ta có thể đưa A về dạng đường chéo có các phần tử trên
chéo chính 11 n-1n-1a a 1= = = , nna det(A)= .