Đề thi HSG Toán 9 Thanh Hóa năm 2011 - 2012

Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi
HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN: TOÁN
Lớp 9 thcs
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Câu I (4đ)
Cho biểu thức P =
1 8 3 1 1 1
:
10
3 1 3 1 1 1
x x x
x
x x x x
æ ö æ ö
- + - +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
-
+ - - - - -
è ø è ø
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị của P khi x = 4
4
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3





Câu II (4đ)
Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2
. Gọi A
và B là giao điểm của d và (P).
1) Tính độ dài AB.
2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho
CD = AB.
Câu III (4đ)
1) Giải hệ phương trình











.
2
1
2
2
2
y
x
y
x
y
x
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6
+ y2
–2 x3
y = 320
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD,
BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn
ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng:
1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
2) KH  AM.
Câu V (2đ)
Với 1
;
;
0 
 z
y
x . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
z
y
x
yz
x
z
xy
z
y
zx
y
x











3
1
1
1
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh
..........................................................................
SDB .........................
§Ò CHÝNH THøC

2

3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Ngày thi :18/02/2012
Câu I:
1,
C1,
a,
1 8 3 1 1 1
:
10
3 1 3 1 1 1
x x x
P
x
x x x x
æ ö æ ö
- + - +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= + -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
-
+ - - - - -
è ø è ø
(ĐK: 1; 10
x x
> ¹ ; x ≠ 5)
Đặt x 1 a
  ( a ≥ 0)
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
3 3 3
3 9 1 2 4 3
: . .
3 3 3 3 3 2 2 2 2
a a a
a a a
P
a a a a a a a a
é ù + -
+ +
ê ú
Þ = = = -
ê ú
+ - - + - + +
ë û
( )
( )
( )
3 1 1 2
3 1
2 5
2 1 2
x x
x
P
x
x
- - -
-
= - = -
-
- +
b,
2 2
4 4
4 4
3 2 2 3 2 2
(3 2 2) (3 2 2) 3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
1 2 ( 2 1) 2 (T/M)
x
+ -
= - = + - - = + - -
- +
= + - - =
a x 1 2 1 1 (T/m)
     
( ) ( )
3 3.1 1
2 2 2 1 2 2
a
P
a
Þ = - = - = -
+ +
C2,
a,
3 1 9 1 2 1 4
: .
10 1 1 3
x x
P
x x x
é ù
- + - +
ê ú
= ê ú
- - - -
ê ú
ë û
(ĐK: 1; 10
x x
> ¹ )
( )
1. 1 3
3( 1 3)
.
10 2 1 4
x x
x
P
x x
- - -
- +
=
- - +
( )
( )
( )
3 1 1 2
3 1( 10)( 1 2) 3 1
2(10 )( 1 4) 2 5
2 1 2
x x
x x x x
P
x x x
x
- - -
- - - - -
= = - = -
- - - -
- +
b) 2 2
4 4
4 4
3 2 2 3 2 2
(3 2 2) (3 2 2) 3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
x
+ -
= - = + - - = + - -
- +
=> x=1 2 ( 2 1) 2
+ - - = vì x>1 P = ... 
1
P
2
 
Câu II:
1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình
x2
+ x -2=0
=> x = 1 hoặc x = 2
Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1)  AB2
= (x2 –x1)2
+ (y2 - y1)2
= 18
 AB = 3 2
2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2
-x+m=0 (1)

4
có hai nghiệm phân biệt <=> 0
D > <=>
1
4
m <
Ta có CD2
= (x1-x2)2
+(y1-y2)2
mà    
2 1 2 1 1 2
y y x m x m x x
        
nên:        
2
2 2
2 1 2 1 1 2
y y x m x m x x
        
 
 
Ta có AB2
=18
nên CD = AB  CD2
= AB2
 (x2-x1)2
+(y2-y1)2
=18 (*)
 2(x1-x2)2
= 18  (x1-x2)2
= 9
 (x1+x2)2
- 4x1x2 = 9
 1-4m-9 = 0 (Theo Viet)
 m = - 2 (TM)
Câu III
1,ĐK x¹ 0, y¹ 0
C1,
Dùng phương pháp thế rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt:
 
3 2
2
2
1 1
2 2
3x 4x 4x 0
x 0 (0 t / m)
x 3x 4x 4 0
3x 4x 4 0 (*)
x 2 y 1
(*) 2 1
x y
3 3
  


     
  

   


   

C2,
Nhân vế của hai PT được: (x+y)2
= 1  x+y = ± 1 (1)
Chia vế của hai PT được:
2
x
4 x 2y
y
 
   
 
 
(2)
Từ 4 PT trên giải được (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1)
Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) và (1/3;2/3)
2, GPT: 2x6
+ y2
– x3
y = 320
C1,
 
 
 
 
         
2 3 6
6 6 6 6
3
6
y 2x y 2x 320 0
' x 2x 320 320 x 0 x 320 x 2 vì x Z
x 0; 1; 2
* x 0 y I y Z
* x 1 y I y Z
2 16
* x 2 ' 320 2 256 0 ' 16 y ...
1
KL: x;y 2; 24 ; 2;8 ; 2; 8 ; 2;24
   
           
   
    
     
 
              
    
Câu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đánh máy và vẽ hình)
1) Ta có 90o
E F
= =
R R nên tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm chính là
(C1) là trung điểm AH

5
1 1
AEC' B A BEM
AEC' BEM
ME C'E
ME là tt cua (C')
  





MEC CEK = MCE DEC
MEK MDE
MED MKE
ME là tt cua (C'')
 





1
1
3
1
I
C''
K
C'
H
E
F
D
M
B C
A
2, gọi giao điểm AM với (C’) là I. ta có:
ME là tt của (C’’) ME2
= MI. MA
ME là tt của (C’’)  ME2
= MD. MK
 MI. MA = MD. MK  ...   AIDK nt  AIK = ADK = 1v  KI  AM (1)
Ta lại có: AIH = 1v (góc nt chắn nửa (C’)  HI  AM (2)
Từ (1) và (2)  I; H; K thẳng hàng  KH  AM (Đpcm)
Câu V: GPT
x y z 3
1 y zx 1 z xy 1 x yz x y z
  
       
(1)
Do vai trò x,y,z như nhau nên 0 1
x y z
£ £ £ £
* TH1: Nếu x= 0 =>

6
2
3
1 1
1 1 1
( ) ( )
1 1
( 1)( 1 ) 1 1
(1 )( ) (1 )( )
y z
z zy y z
y z
z y z zy y z y z
y y z z
z y z yz y z y z
+ =
+ + +
= > - + - =
+ + + + +
- + + -
= > + =
+ + + + +
Ta có VT < 0 mà VP³ 0 nên trong trường hợp này không có nghiệm
* TH2: Nếu x khác 0 mà 0 1
x y z
£ £ £ £   
z 1 1 x 0 xz x z 1 0
        
<=> 1 zx x z
   Dấu “=” xảy ra khi: x=1 hoặc z=1.
+ Ta lại có: 1 zx x z
   z
y
x
zx
y 




 1
z
y
x
x
zx
y
x






1
+ Tương tự:
z
y
x
y
xy
z
y





1
z
y
x
z
yz
x
z





1
1
1
1
1
















z
y
x
z
y
x
yz
x
z
xy
z
y
zx
y
x
VT . (2)
+ Mặt khác, vì: 3
1
;
;
0 




 z
y
x
z
y
x . Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1
1
3
3
3






z
y
x
VP Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 (3)
+ Từ (2) và (3) VT VP
  chỉ đúng khi: 1

VP
VT .Khí đó x = y = z =1.
* Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:    
x; y; z 1;1;1
 .

Đề thi HSG Toán 9 Thanh Hóa năm 2011 - 2012

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Đề thi HSG Toán 9 Thanh Hóa năm 2011 - 2012

Similar to Đề thi HSG Toán 9 Thanh Hóa năm 2011 - 2012 (20)

More from Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3

More from Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Đề thi HSG Toán 9 Thanh Hóa năm 2011 - 2012