Β Γυμνασίου Μάθηση και διδασκαλία Μαθηματικών με χρήση ΤΠΕ

1. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ
(λογισμικό Geogebra)
ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ :
ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ : Με την βοήθεια του λογισμικού Sketchpad θα γίνει προσπάθεια οι μαθητές να
ανακαλύψουν τη σχέση υπολογισμού του μήκους και του εμβαδού ενός κύκλου.
Με κατάλληλες καθοδηγούμενες κατασκευές και με την βοήθεια των δυνατοτήτων του
λογισμικού να αναδειχθεί και να κατανοήσουν τη σχέση αναλογίας μεταξύ του μήκους και της
διαμέτρου του κύκλου.
3.ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ :
 Σύμφωνα με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας , ο εκπαιδευτικός ορίζει στον πίνακα
την το τύπο υπολογισμού του μήκους και εμβαδού ενός κύκλου. Οι μαθητές καλούνται να
τους εφαρμόσουν σε υπολογισμούς και σε προβλήματα μηχανικά. Η νέα γνώση
αφομοιώνεται απο τους μαθητές με παθητικό τρόπο
 Όμως η διδακτική αξιοποίηση τεχνολογικών εργαλείων , όπως το λογισμικό Geogebra
δίνει νέες ευκαιρίες για δημιουργία μαθησιακών περιβαλλόντων τα οποία βελτιώνουν τις
παραδοσιακές διδακτικές προσεγγίσεις, αλλά κυρίως εισάγουν νέες μορφές και ευκαιρίες
μάθησης, μετασχηματίζοντας ακόμη και τα ίδια τα μαθηματικά!
 Το σενάριο αποτελείται απο καθοδηγούμενες κατασκευές και αναπαραστάσεις, μέσα απο
τις οποίες οι ίδιοι οι μαθητές θα ανακαλύψουν τη νέα γνώση, καθώς θα αυτενεργούν για
την διεγαγωγή τους.
 Δίνεται η δυνατότητα σύνδεσης της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας, καθώς με την βοήθεια
των δύο παραθύρων, που διαθέτει το λογισμικό οι μαθητές ανακαλύπτουν τη σχέση
αναλογίας που συνδέει τη μεταβολή του ενός ποσού (μήκους κύκλου) με τη μεταβολή του
άλλου (δίαμετρος) .
ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΗ ΑΞΙΑ :
 Ο κατακερματισμός της ύλης σε βιβλία, κεφάλαια και παραγράφους δημιουργεί την
αντίληψη ότι τα μαθηματικά αποτελούν ένα σύνολο διακριτών και πολλές φορές
ασύνδετων εννοιών και προτάσεων οι οποίες εφαρμόζονται σε πολύ συγκεκριμένα και
εστιασμένα προβλήματα και ασκήσεις. Από την άλλη η κατανόηση μιας έννοιας είναι
ανάλογη προς το πλήθος των συνδέσεων που διαθέτει με άλλες έννοιες μέσα στον χώρο
των μαθηματικών. Η προστιθέμενη αξία του συγκεκριμένου σεναρίου στηρίζεται στο
γεγονός ότι μέσω του σεναρίου δύο φαινομενικά ξένες περιοχές των μαθηματικών, τη
γραμμική συνάρτηση και το μηκος του κύκλου, θα αλληλοεμπλακούν και θα συνδεθούν
μέσα από τις δυνατότητες που παρέχει η τεχνολογία. Συγκεκριμένα, μέσω του σεναρίου
θα δοθεί η δυνατότητα στους μαθητές:
 Να δημιουργήσουν οι ίδιοι σταδιακά μία διαδικασία ελέγχου του λόγου τιμών του μήκους
και της διαμέτρου του κύκλου. Η διαδικασία αυτή μπορεί να επαναλαμβάνεται ταχύτατα
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

2. ενώ, συγχρόνως, θα μπορούν να δημιουργούν μεγάλο πλήθος από σημεία που βρίσκονται
πάνω σε μία ευθεία που διέρχεται απο την αρχή των αξόνων.
 Οι μαθητές θα συνδέσουν περιοχές των μαθηματικών οι οποίες όχι μόνο βρίσκονται σε
διαφορετικές παραγράφους αλλά και σε βιβλία διαφορετικών γνωστικών αντικειμένων
(Άλγεβρα – Γεωμετρία)
 Η δυναμικότητα του λογισμικού Geogebra ( με τις δυνατότητες της κίνησης ενός
οποιουδήποτε σημείου ,τους ταχύτατους υπολογισμούς , της πινακοποίησης για την
παρατήρηση της μεταβολής ενός οποιουδήποτε ζεύγους τιμών κλπ) δημιουργεί ένα
''ανοιχτό περιβάλλον'' στη διδασκαλία που οδηγεί στην διερευνητική μάθηση των
σχέσεων του μήκους και του εμβαδού του κύκλου με τη διάμετρο του κύκλου.
 Η εμπλοκή των μαθητών με ένα ανοικτό πρόβλημα που απαιτεί διερεύνηση και
πειραματισμό είναι διαπιστωμένο ότι ενισχύει από τη μεριά τους την δημιουργία
εικασιών και τον έλεγχό τους, την διατύπωση κανόνων και γενικεύσεων, την αξιοποίηση
ενός μεγάλου εύρους και ποικιλίας γνώσεων και εμπειριών μέσω των οποίων
αναπτύσσουν στρατηγικές επίλυσης του προβλήματος.
 Η χρήση του διερευνητικού λογισμικού Geogebra προσφέρει στους μαθητές απεριόριστο
αριθμό δοκιμών και αρκετό χρόνο πειραματισμού για την γενίκευση των συμπερασμάτων
τους. Επιπλέον μπορούν να κάνουν πολλές υποθέσεις και να ελέγχουν ταυτόχρονα την
ορθότητα τους.
 Επίσης διευρύνεται η φαντασία τους και καλλιεργείται η δημιουργικότητα και η κριτική
τους σκέψη κατά την την μετάβαση από το ειδικό στο γενικό.
 Τέλος η δημιουργία πολλαπλών αναπαραστάσεων και την σύνδεση τους με εικονικό ,
ενεργητικό και συμβολικό τρόπο (Bruner) , δημιουργεί κίνητρα για μάθηση.
 Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι η διδασκαλία μετατρέπεται σε ένα παιχνίδι με
τις μαθηματικές έννοιες , κατά το οποίο ενεργοποιούνται όλοι οι μαθητές (ακόμα και οι
αδύνατοι ) , καθώς τους δίνεται η δυνατότητα να ασχοληθούν με διαισθητικό και
δυναμικό τρόπο για την ανακάλυψη της νέας γνώσης , που αφορά την ανακάλυψη του
τύπου για το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.
 Το προτεινόμενο εκπαιδευτικό σενάριο δεν αποτελεί μόνο μια καινοτομία στο
παραδοσιακό πλαίσιο της διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας των Μαθηματικών
αλλά φιλοδοξεί να
έχει και ευρύτερες επιρροές, αλλάζοντας τη στάση των μαθητών για τα μαθηματικά και
την
και τη μάθηση τους.
ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΔΙΔΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ :
Κάποιοι μαθητές δυσκολεύονται να διακρίνουν πως μεταβάλλεται το μήκος και το εμβαδόν του
κύκλου, όταν μεταβάλλεται η διάμετρος ή η ακτίνα. Για παράδεγμα δεν μπορούν να
κατανοήσουν τη σχέση αναλογίας μήκους-διαμέτρου και τη σχέση αναλογίας με το τετράγωνο
της ακτίνας και του εμβαδού του κύκλου. Στην ερώτηση όταν διπλασίαζεται η ακτίνα ποια είναι η
μεταβολή του μήκους και του εμβαδού, δυσκολεύονται να απαντήσουν οτι διπλασιάζεται το
μήκος και τετραπλασιάζεται το εμβαδόν.
Επίσης μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι και δεν έχουν μεγάλη ευχέρεια να διαχειρίζονται τις
δυνατότητες του λογισμικού. Έτσι χρειάζονται περισσότερο χρόνο για την ολοκλήρωση των
δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας.
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

3. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ :
Με την βοήθεια του λογισμικού και των δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας η νέα γνώση
ανακαλύπτεται από όλους τους μαθητές με ενεργητικό τρόπο, οι οποίοι συνεργάζονται και
μεταξύ τους , αλλά και με τον διδάσκοντα για την οργάνωση των πληροφοριών που προκύπτουν
και την διατύπωση των γενικών συμπερασμάτων.
Στο πλαίσιο της κοινωνικής μάθησης που κατά κανόνα συντελείται σε μια σχολική τάξη στην
οποία κυριαρχεί η κονστρουκτιβιστική προσέγγιση στη μάθηση, η διδασκαλία δίνει ευκαιρίες σε
κάθε μαθητή να αναπτύσσει εικασίες, να διατυπώνει υποθέσεις και να τις εκθέτει στην τάξη.
Ακόμα, η διδασκαλία «φέρνει όλη την τάξη μαζί», να προσφέρει πλούσιες σε μαθηματικά
νοήματα συζητήσεις, να δημιουργεί συνθήκες για κατάλληλα δομημένη αλληλεπίδραση μεταξύ
των μαθητών, μεταξύ μαθητών και εκπαιδευτικού και να δίνει αρκετές ευκαιρίες για
αλληλεπίδραση μεταξύ μαθητών και του υπολογιστικού μικρόκοσμου που χρησιμοποιείται στο
σενάριο.
Καθώς η κοινωνική μάθηση είναι άμεσα συνδεδεμένη με την ατομική μάθηση, η εξασφάλιση
ευκαιριών για ενεργό συμμετοχή κάθε μαθητή ατομικά στα δρώμενα της τάξης, κάτω από την
καθοδήγηση του εκπαιδευτικού και την ύπαρξη κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού, μπορεί
να εξασφαλίσει πλούσιες συζητήσεις μεταξύ των μαθητών. Αυτέες μπορούν να βασίζονται στις
προωπικές εμπειρίες των μαθητών αλλά και στην ανάλυση, σύνθεση και δόμηση των
πληροφοριών που αντλούν από τους πόρους της όλης ρύθμισης με αποτέλεσμα κάθε μαθητής να
αναπτύσσει νοήματα σχετικά με το θέμα διδασκαλίας.
4. ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ
Σε ποιους απευθύνεται. Σε μαθητές της Β΄ Γυμνασίου .
Χρόνος υλοποίησης. (3) διδακτικές ώρες.
Χώρος υλοποίησης. Η υλοποίηση του σεναρίου θα πραγματοποιηθεί στο εργαστήριο
υπολογιστών.
Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών.
Ως προς το γνωστικό επίπεδο
• Η έννοια του κύκλου και των στοιχείων του : ακτίνα, διάμετρος και η έννοια της
περιμέτρου.
• Η έννοια των αναλόγων ποσών και οι ιδιότητες τους.
Ως προς την τεχνολογία
• Επίσης είναι πολύ σημαντικό οι μαθητές να είναι εξοικειωμένοι με τις βασικές εντολές του
λογισμικού Geogebra. Αν κάτι τέτοιο δεν είναι ισχύει θα προηγηθεί η διδασκαλία τους
μέσα σε μία διδακτική με την βοήθεια του διδάσκοντα ή εναλλακτικά κατά τη διάρκεια
του μαθήματος ο εκπαιδευτικός θα δόσει φύλλο οδηγιών.
Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία.
• Η εγκατάσταση του προγράμματος Geogebra στο δίκτυο υπολογιστών του εργαστηρίου.
• Το φύλλο εργασίας με τις δραστηριότητες που θα υλοποίησουν οι μαθητές.
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

4. • Το τετράδιο εργασιών για οτιδήποτε θελήσουν οι μαθητες να σημειώσουν.
• Η εγκατάσταση του προγράμματος 'Teacher nettop' , όπου έχει την δυνατότητα να
προβάλει ταυτόχρονα στις οθόνες των υπολογιστών των μαθητών όλες τις απαραίτητες
κατασκευές που υλοποιεί ο εκπαιδευτικός, αλλά και το αντίστροφο ο εκπαιδευτικός
παρακολουθεί τις δραστηριότητες όλων των μαθητών και μπορεί να παρεμβαίνει και να
βοηθά κάθε στιγμή.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης .
Οι μαθητές θα εργαστούν σε ομάδες των 3 ατόμων , όπου θα συνεργαστούν για την διαξαγωγή
των δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας , θα επικοινωνήσουν και θα ανταλλάξουν τις απόψεις
τους για την οργάνωση και γενίκευση των ζητούμενων συμπερασμάτων
Ο διδάσκων θα είναι ο συντονιστής αυτής της προσπάθειας, μέσω των οδηγιών που παρέχει το
φύλλο εργασίας. Θα παρακαλουθεί την διεγαγωγή των κατασκευών των μαθητών στον
υπολογιστή και θα είναι ο βοηθός, ο καθοδηγητής και ο διαμεσολαβιτής για την οικοδόμηση της
νέας γνώσης σε κάθε ομάδα μαθητών .Δεν είναι ο μεταφορέας της νέας γνώσης, όπου οι μαθητές
θα λαμβάνουν μηχανικά και παθητικά. . Σε καμία περίπτωση δεν συμπεριφέρεται ως αυθεντία
στη γνώση, δεν επιχειρεί να διδάξει με μακρόσυρτους μονολόγους, αγνοώντας τις δυνατότητες
που προσφέρουν τα σύγχρονα μέσα, κάνοντας π.χ. χρήση του πίνακα ως κλασικός μαυροπίνακα.
Οφείλει και να ενθαρύνει την προσπάθεια κάθε ομάδας.
Ο ρόλος του εκπαιδευτικού είναι σημαντικός υπό την έννοια ότι πρέπει να εξασφαλίζει
διαδικασίες και κίνητρα για τη συμμετοχή όλων των μαθητών, να θέτει τον τόνο και την εστίαση
των συζητήσεων και να δομεί το περιεχόμενό των αλληλεπιδράσεων της τάξης.
Ακόμα, φροντίζει να εκμεταλλεύεται όλες τις δυνατότητες που προσφέρουν τα συγκεκριμένα
τεχνολογικά εργαλεία και μέσα προκειμένου όλοι οι μαθητές να έχουν πρόσβαση στις
πληροφορίες και στις διαπραγματεύσεις. Μπορεί, ακόμα να αποθηκεύει, να τυπώνει και να
μοιράζει σε όλους τους μαθητές όσα διατυπώθηκαν σε κάθε φάση ώστε να μπορούν να τα
ανακαλέσουν ανά πάσα στιγμή οι μαθητές.
Τέλος, ο εκπαιδευτικός που θα διδάξει με τη βοήθεια της συγκεκριμένης ρύθμισης πρέπει να
λάβει υπόψη του ότι τα νοήματα που αναμένεται να αναπτύξει ατομικά κάθε μαθητής
προέρχονται από τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των εικόνων ή των αναπαραστάσεων που
εμφανίζονται στην τάξη.
Στοχοι της δραστηριότητας :
Διδακτικοι στόχοι :
1. Να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές ότι όταν σ’ έναν κύκλο μεταβάλλεται η διάμετρός του
τότε μεταβάλλεται και η περίμετρος του ,δηλαδή οτι η περίμετρος του εξαρτάται από την
διάμετρο του και κατ' επέκταση από την ακτίνα του.
2. Να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές ότι όταν σ’ έναν κύκλο μεταβάλλεται η ακτίνα του
τότε μεταβάλλεται και το εμβαδόν του ,δηλαδή ότι το εμβαδόν του εξαρτάται από την
ακτίνα του και κατ' επέκταση από τη διάμετρο του.
3. Να σκεφτούν ότι υπάρχει τρόπος να ανακαλύψουμε τη σχέση που συνδέει τη μεταβολή
του ενός ποσού με τη μεταβολή του άλλου. Για την ανακάλυψη της σχέσης αυτής,
χρησιμοποιούμε πίνακα τιμών και γραφική παράσταση.
4. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι στα ανάλογα ποσά ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους
είναι σταθερός , να καταλήξουν οι μαθητές στο συμπέρασμα ότι τα ποσά διάμετρος ( δ )
και περίμετρος ( Π ) είναι ανάλογα.
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

5. 5. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι όταν μια γραφική παράσταση που συνδέει δυο ποσά
είναι ευθεία και περνά απ’ την αρχή των αξόνων τότε τα αντίστοιχα δυο ποσά είναι
ανάλογα, να επιβεβαιώσουν και γραφικά οι μαθητές το συμπέρασμα ότι τα ποσά
διάμετρος ( δ ) και περίμετρος ( Π ) είναι ανάλογα.
6. Από τη σχέση Γ / δ ≈3,14 που προκύπτει καταλήγουν στις ισοδύναμες σχέσεις
Γ ≈ 3,14· δ ή
Γ ≈ 3,14 ·2·ρ ή
Γ ≈ 6,28· ρ
(Εξηγούμε βέβαια ότι ο λόγος Γ / δ είναι περίπου 3,14. Στην πραγματικότητα είναι ένας άρρητος
αριθμός ( με άπειρα μη περιοδικά ψηφία ) και συμβολίζεται διεθνώς με το π. Άρα Γ / δ = π. Μια
προσέγγιση εκατοστού του π είναι το 3,14.)
7. Γίνονται εφαρμογές του τύπων που προέκυψαν.
Ως προς την χρήση του λογισμικού
 Επιδιώκεται οι μαθητες με την δυνατότητα των υπολογισμών του λόγου τιμών μήκος προς
διάμετρος του κύκλου και εμβαδόν προς τετράγωνο της ακτίνας να μπορούν να
παρατηρούν τις μεταβολές των ζητούμενων και να τις διατυπώνουν με μαθητικό τρόπο-
μαθηματικό τύπο. Με άλλα λόγια μέσα απο την εικονική αναπαράσταση επιδιώκεται να
αναπτυχθεί η ικανότητα μαθηματικού συλλογισμού.
 Καθώς οι μαθητές θα πειραματίζονται και θα διερευνούν για να καταλήξουν στα
συμπεράσματά τους , επιδιώκεται να βελτιωθεί και η στάση τους απέναντι στα
μαθηματικά και τη μαθηση τους.
Κοινωνικοί στόχοι :
Επιδιώκεται οι μαθητές :
 να συνεργαστούν, να ανταλλάξουν τις απόψεις τους, που θα προσπαθήσουν να
τεκμιριώσουν με επιχειρήματα.
 Να μάθουν να αναπτύσσουν εικασίες και υποθέσεις σχετικές με τις έννοιες και τις
διαδικασίες του σεναρίου.
 Να μάθουν να ελέγχουν τις υποθέσεις τους ατομικά είτε μπροστά σε όλη την τάξη, με
την βοήθεια του αλληλεπιδραστικού πίνακα.
 Να μάθουν να υπερασπίζονται τα συμπεράσματά τους σε όλη την τάξη.
 Να μάθουν να συμμετέχουν στον διάλογο όλης της τάξης και να συνεισφέρουν με τις
ιδέες και τις εκτιμήσεις τους.
 Να οικοδομούν κώδικες επικοινωνίας ώστε να γίνονται αντιληπτοί από τους συμμαθητές
τους και τον καθηγητή τους.
 Επιδιώκεται η ανατροφοδότηση των επιχειρημάτων τους μέσα απο τον διάλογο με τα
μέλη της ομάδας τους.
5.ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ :
Φάση 1η
Ο στόχος της φάσης αυτής είναι αρχικά οι μαθητές να παρατηρήσουν οτι όταν μεταβάλλεται η
ακτίνα ή διάμετρος του κύκλου, τότε μεταβάλλεται και το μήκος του.
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

6. Στην συνέχεια πειραματίζομενοι με υπολογισμούς να παρατηρήσουν το σταθερό λόγο των
αντίστοιχων τιμών του μήκους προς την ακτίνα του κύκλου. Για την καλύτερη οργάνωση και
ταξινόμηση των δεδομένων και των πληροφοριών προτεινέται να κατασκευάστει πίνακας τιμών
με τιμές της διαμέτρου , του μήκους του κύκλου και του πηλίκου μήκος προς διάμετρος του
κύκλου.
Κατόπιν των παρατηρήσεων των μαθητών επί του πίνακα τιμών θα εξαχθεί ως βασικό
συμπέρασμα η αναλογία του μήκους του κύκλου και της διαμέτρου του.
O εκπαιδευτικός δίνει οδηγίες στους μαθητές μέσω του φύλλου εργασίας. Τους ζητά να
θεωρήσουν δρομέα με τιμές από 0-10 που θα ονομάσετε ρ, στην συνέχεια να κατασκευάσουν
κύκλο με κέντρο Κ και να θεωρήσετε ως ακτίνα το δρομέα ρ, που κατασκευάσατε. Περαιτέρω
τους ζητείται να υπολογίσουν τη διάμετρο και την περίμετρο του κύκλου.
Η δυνατότητα του λογισμικού με την εισαγωγή του δρομέα παρέχει πλήθος πειραματισμών
στους μαθητές για την εξαγωγή των συμπερασμάτων τους. Ο στόχος του σεναρίου είναι να
κατανοήσουν οι μαθητές τη μεταβολή μήκους και εμβαδού του κύκλου, όταν μεταβάλλεται η
ακτίνα. Η μεταβολή της ακτίνας επιτυγχάνεται με την εισάγωγη του δρομέα.
Τα μέλη της κάθε ομάδας αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, και κατά την μετακίνηση του δρομέα
παρατηρούν ποια στοιχεία μεταβάλλονται στο παράθυρο της άλγεβρας.
Οι μαθητές ανταλλάσουν απόψεις και μετά απο σύντομους διαλόγους και συζητήσεις
παρατηρούν οτι μεταβάλλεται το μήκος του κύκλου, όταν μεταβάλλεται η ακτίνα.
Μετά απο αυτή την παρατήρηση ο εκπαιδευτικός καθοδηγεί τους μαθητές μέσω του φύλλου
εργασίας να ανακαλύψουν την σχέση του μήκους του κύκλου και της ακτίνας, για αυτό τους
καλεί,
να υπολογίσουν το πηλίκο Π/ δ (περίμετρος προς διάμετρος του κύκλου). Στην συνέχεια οι
ομάδες των μαθητών έχουν τη δυνατότητα να πειραματιστούν για τις τιμές του πηλίκου Π/δ και
παροτρύνονονται απο τον εκπαιδευτικό μέσω του φύλλου εργασίας να παρατηρήσουν το
αποτέλεσμα του Π/δ στο παράθυρο της άλγεβρας,
Έτσι μετά απο τις αλληλεπιδράσεις των μελών της ομάδας και την αλληλεπίδραση που
συντελείται απο τον εκπαιδευτικό με την κάθε ομάδα εξάγεται η βασική παρατήρηση οτι : ‘ Ο
λόγος τιμών του μήκους του κύκλου προς τη διάμετρο του κύκλου είναι σταθερός και ίσος με π’.
Στο σημείο αυτό ο εκπαιδευτικός εξηγεί ότι ο λόγος Π / δ είναι περίπου 3,14. Στην
πραγματικότητα είναι ένας άρρητος αριθμός ( με άπειρα μη περιοδικά ψηφία ) και συμβολίζεται
διεθνώς με το π. Άρα Π / δ = π. Μια προσέγγιση εκατοστού του π είναι το 3,14.)
Για την οργάνωση και καλύτερη παρατήρηση των πληροφοριών που προκύπτουν παραπάνω
κατά την μετακίνηση του δρομέα οι μαθητές μέσω του φύλλου εργασίας καλόυνται να
αλληλεπιδράσουν και να συπληρώσουν τον ακόλουθο πίνακα τιμών, με τη βοήθεια των
υπολογισμών που προσφέρει το λογισμικό στο παράθυρο της άλγεβρας :
ρ 0,8 1,9
δ
Π
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

7. Π/δ
Μετά απο αυτές τις ενέργειες των μαθητών η διδασκαλία συντελείται με διερεύνηση,
πειραματισμό, συνεχή αλληλεπιδραση μεταξύ των μαθητών ,οι μαθητές αυνενεργούν και
προσπαθούν με ενθουσιαμό και περιέργεια, που μετατρέπεται σε ευχάριστη διάθεση για
μάθηση, Τέλος καλούνται να διατυπώσουν λεκτικά και με μαθηματικό τρόπο τα συμπεράσματα
τους στο φύλλο εργασίας και τελικά να διατυπώσουν οτι το ο λόγος τιμών Π/δ παραμένει
σταθερός και ίσος με π, για αυτό τα ποσά μήκος κύκλου και ακτίνα είναι ανάλογα.
Η οπτική απεικόνιση των παραπάνω αποτελεσμάτων θα δόσει την δυνατότητα στους μαθητές να
εμβαθύνουν τις γνώσεις τους για τη συναρτησιακή σχέση της αναλογίας του μήκους του κύκλου
και της διαμέτρου του.
Για αυτό καθοδηγούμενοι απο τον εκπαιδευτικό :
Εισάγουν τα ζεύγη σημείων ( δ, Π) του παραπάνω πίνακα τιμών ως σημεία στο σύστημα
συντεταγμένων (π.χ να εισάγετε (1.6,5.03). Ο εκπαιδευτικός καλεί τις ομάδες των μαθητών να
παρατηρήσουν που βρίσκονται αυτά τα σημεία. Οι μαθητές παρατηρούν οτι είναι συνεθειακά.
Για την επιβεβαίωση της παρατηρησής τους ο εκπαιδευτικός μέσω οδηγίας στο φύλλο εργασίας
τους ζητά να επιλέξουν δύο από αυτά τα σημεία και να σχεδιάσουν την ευθεία που διέρχεται από
αυτά. Στην συνέχεια ρωτούνται ποιο χαρακτηριστίκο έχει η ευθεία που σχεδίασαν και τους ζητά
μέσω της δυνατότητας που διαθέτει το λογισμικό να υπολογίσουν την κλίση της. Στα πλαίσια της
κοινωνικής μάθησης που επιτελείται οι μαθητές συνεργάζονται και διατυπώνουν στο φύλλο
εργασίας οτι τα ζεύγη τιμών (δ , Π ) βρίσκονται σε ευθεία που διέρχεται απο την αρχή των
αξόνων με κλίση ίση με π = σταθερό λόγο τιμών Π /δ.
Μετά τις παραπάνω ενέργειες τελικά οι μαθητές διατυπώνουν την μαθηματική σχέση
υπολογισμού του μήκους του κύκλου (Π=π*δ ή Π=2*π*ρ)
Φάση 2η
Ο στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι αρχικά οι μαθητές να παρατηρήσουν οτι όταν
μεταβάλλεται η ακτίνα ή διάμετρος του κύκλου, τότε μεταβάλλεται και το εμβαδόν του.
Στην συνέχεια πειραματίζομενοι με υπολογισμούς να παρατηρήσουν το σταθερό λόγο των
αντίστοιχων τιμών του εμβαδού προς το τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου. Για την καλύτερη
οργάνωση και ταξινόμηση των δεδομένων και των πληροφοριών προτεινέται να κατασκευάστει
πίνακας τιμών με τιμές του ρ^2 , του εμβαδού του κύκλου και του πηλίκου Ε/ρ^2
Κατόπιν των παρατηρήσεων των μαθητών επί του πίνακα τιμών θα εξαχθεί ως βασικό
συμπέρασμα η αναλογία του εμβαδού του κύκλου και του τετραγώνου της ακτίνας.
Ο εκπαιδευτικός ζητά απο τους μαθητές με την βοήθεια του λογισμικού να υπολογίσουν το
εμβαδόν του κύκλου. Τα μέλη της κάθε ομάδας αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, και κατά την
μετακίνηση του δρομέα, ο εκπαιδευτικός ρωτά τους μαθητές να παρατηρήσουν τις μεταβολές
στο παράθυρο της άλγεβρας.
Οι μαθητές ανταλλάσουν απόψεις και μετά απο σύντομους διαλόγους και συζητήσεις
παρατηρούν οτι μεταβάλλεται το εμβαδόν του κύκλου, όταν μεταβάλλεται η ακτίνα. Μετά απο
αυτή την παρατήρηση ο εκπαιδευτικός καθοδηγεί τους μαθητές μέσω του φύλλου εργασίας να
ανακαλύψουν την σχέση του εμβαδού του κύκλου και της ακτίνας. Τους καλεί, να υπολογίσουν
το ρ^2 και μετά να υπολογίσουν το πηλίκο Ε/ ρ^2 (εμβαδόν προς τετράγωνο της ακτίνας του
κύκλου).
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

8. Στην συνέχεια οι ομάδες των μαθητών έχουν τη δυνατότητα να πειραματιστούν για τις τιμές του
πηλίκου Ε/ ρ^2 , καθώς παροτρύνονονται απο τον εκπαιδευτικό μέσω του φύλλου εργασίας
Ο εκπαιδευτικός ρωτά τους μαθητές αν μεταβάλλεται το πηλίκο Ε/ ρ^2 κατά την μετακίνηση του
δρομέα. Μετά απο τις αλληλεπιδράσεις των μελών της ομάδας και την αλληλεπίδραση που
συντελείται απο τον εκπαιδευτικό με την κάθε ομάδα εξάγεται η βασική παρατήρηση οτι : ‘ Ο
λόγος τιμών του εμβαδού του κύκλου προς το τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου είναι σταθερός
και ίσος με π.
Για την οργάνωση και καλύτερη παρατήρηση των πληροφοριών που προκύπτουν παραπάνω
κατά την μετακίνηση του δρομέα οι μαθητές μέσω του φύλλου εργασίας καλόυνται να
αλληλεπιδράσουν και να συπληρώσουν τον ακόλουθο πίνακα τιμών, με τη βοήθεια των
υπολογισμών που προσφέρει το λογισμικό στο παράθυρο της άλγεβρας :
ρ
Ε
Ε/ρ^2
Μετά απο αυτές τις ενέργειες των μαθητών η διδασκαλία συντελείται με διερεύνηση,
πειραματισμό, συνεχή αλληλεπιδραση μεταξύ των μαθητών ,οι μαθητές αυνενεργούν και
προσπαθούν με ενθουσιαμό και περιέργεια, που μετατρέπεται σε ευχάριστη διάθεση για
μάθηση, καλούνται να διατυπώσουν λεκτικά και με μαθηματικό τρόπο τα συμπεράσματα τους
στο φύλλο εργασίας και τελικά να διατυπώσουν το τύπο υπολογισμού του εμβαδού του κύκλου
σε σχέση με την ακτίνα του.
6. Επέκταση της δραστηρίοτητας
Για την μέτρηση τόξου και την μέτρηση εμβαδόν κυκλικού τομέα.
7. Βιβλιογραφία
Σχολικό βιβλίο της β ΄γυμνασίου.
8. Αξιολόγηση
Αξιολόγηση
Ως προς τις επιδιώξεις του σεναρίου:
Ο εκπαιδευτικός ελέγχει κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι του σεναρίου και εξετάζει του
λόγους για τους οποίους κάποιοι δεν επιτεύχθηκαν ώστε να παρέμβει ανάλογα στο σενάριο.
Ως προς τα εργαλεία:
Ο εκπαιδευτικός ελέγχει την ευκολία με την οποία οι μαθητές αξιοποίησαν στις δράσεις τους
και στις συζητήσεις τους τα δρώμενα στον διαδραστικό πίνακα. Ελέγχει αν και πως τα
εργαλεία του προτεινόμενου λογισμικού σε συνδυασμό με τη σαφήνεια των οδηγιών του και
των περιγραφών των φύλλων εργασίας διευκόλυναν στην ανάπτυξη των νοημάτων των
μαθητών. Αφού αξιολογήσει τα δεδομένα του επεμβαίνει ανάλογα στο σενάριο για την
επόμενη εφαρμογή.
Ως προς την διαδικασία υλοποίησης:
Ο εκπαιδευτικός αξιολογεί την διαδικασία υλοποίησης του σεναρίου αξιολογώντας τα
στοιχεία που δεν δούλεψαν καλά και προσαρμόζει το σενάριο. Ιδιαίτερη έμφαση δίνει στις
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

9. δικές του παρεμβάσεις και αξιολογεί κατά πόσο αυτές διευκόλυναν τον διάλογο και την
αλληλεπίδραση στην τάξη.
Ως προς την προσαρμογή και επεκτασιμότητα:
Η δυνατότητα επέκτασης του σεναρίου και η ευκολία προσαρμογής σε ένα σχολικό
περιβάλλον ή στην διδακτική ατζέντα ενός εκπαιδευτικού ή στην κουλτούρα μιας σχολικής
τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σημαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να
λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραμέτρους και να προσαρμόσει το σενάριο ανάλογα
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1
ΤΑΞΗ : B΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ : ΚΕΦ. 3 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ – 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ
Mε χρήση του λογισμικού Geogebra.
ΑΡΓΥΡΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ
ΟΝΟΜΑ : ...................................................................................
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : .......................................................................
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

10. 1η
Δραστηριότητα
• Να θεωρήσετε δρομέα με τιμές από 0-10 που θα ονομάσετε ρ.
• Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντρο Κ και να θεωρήσετε ως ακτίνα το δρομέα ρ, που
κατασκευάσατε.
• Να υπολογίσετε τη διάμετρο του κύκλου (εισαγωγή : 2*ρ) ,που θα ονομάσετε δ.
• Από την εντολή περίμετρος να υπολογίσετε την περίμετρο του κύκλου c, που έχετε
κατασκευάσει.
• Να μεταβάλλεται την τιμή του δρομέα.
Ερώτηση
Τι παρατηρείτε στο παράθυρο της άλγεβρας; Τι μεταβάλλεται ;
................................................................................................................................................................
Συμπέρασμα : H περίμετρος του κύκλου εξαρτάται από .....................................................................
• Να υπολογίσετε το πηλίκο Π/ δ (περίμετρος προς διάμετρος του κύκλου)
Ερώτηση
Τι παρατηρείτε στο αποτέλεσμα στο παράθυρο της άλγεβρας;
................................................................................................................................................................
• Να μετακινήσετε το δρομέα.
Ερώτηση
Τι παρατηρείτε στο αποτέλεσμα στο παράθυρο της άλγεβρας, μεταβάλλεται το πηλίκο Π/δ;
..............................................................................................................................................................
• .Να μετακινήσετε το δρομέα και για διάφορες τιμές του ρ να συμπληρώσετε το ακόλουθο
πίνακα τιμών (με την βοήθεια των υπολογισμών που προκύπτουν στο παράθυρο της
άλγεβρας)
ρ 0,8 1,9
δ
Π
Π/δ
Συμπέρασμα 1 Τι παρατηρείτε ;
Ο λόγος τιμών της περιμέτρου Π προς την διάμετρο δ παραμένει .....................................και ίσος με
........................., άρα τα ποσά Περίμετρος και διάμετρος είναι ............................................................
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

11. Π/ δ=.........................
• Να εισάγετε τα ζεύγη σημείων ( δ, Π) του παραπάνω πίνακα τιμών ως σημεία στο σύστημα
συντεταγμένων (π.χ να εισάγετε (1.6,5.03)
Ερώτηση
Που βρίσκονται τα σημεία Β, C ,D κλπ που τοποθετήσατε ;
................................................................................................................................................................
1. Να επιλέξετε δύο από αυτά τα σημεία και να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από αυτά.
Ερώτηση
Τι παρατηρείτε ;
................................................................................................................................................................
Ερώτηση
Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας ε. Σχολιάστε και δικαιολογήστε το αποτέλεσμα.
................................................................................................................................................................
Συμπέρασμα 2 :
Τα ζεύγη τιμών (δ , Π ) βρίσκονται σε ευθεία που διέρχεται.................................................................
………………………………………..με κλίση ίση με τον................................................................=
..................................................
Ερώτηση
Προσπαθήστε να βρείτε τον τύπο για την περίμετρο του κύκλου σε σχέση με την διάμετρο του και
την ακτίνα
Π=............δ..........................ή Π=.........ρ........................
Προσοχή Να αποθηκεύσετε το αρχείο των δραστηριοτήτων με το όνομα κύκλος.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2
ΤΑΞΗ : B΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ : ΚΕΦ. 3 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ – 3.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

12. ΔΙΣΚΟΥ
Mε χρήση του λογισμικού Geogebra.
ΑΡΓΥΡΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ
ΟΝΟΜΑ : ...................................................................................
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : .......................................................................
Θυμηθείτε : Ο κύκλος μαζί με το εσωτερικό του ονομάζεται κυκλικός δίσκος .
1η
Δραστηριότητα
1. Να ανοίξετε το αρχείο κύκλος.ggb
2. Από την εντολή εμβαδόν να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου c και να το
ονομάσετε Ε
3. Να μεταβάλλεται την τιμή του δρομέα.
Ερώτηση
Τι παρατηρείτε στο παράθυρο της άλγεβρας; Τι μεταβάλλεται ;
................................................................................................................................................................
Eρώτηση
Τι παρατηρείτε στο παράθυρο της άλγεβρας; Τι μεταβάλλεται ;
................................................................................................................................................................
Συμπέρασμα : Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου εξαρτάται από .........................................................
• Να υπολογίσετε το πηλίκο Ε/ ρ^2 (εμβαδόν προς τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου)
Ερώτηση
Τι παρατηρείτε στο αποτέλεσμα στο παράθυρο της άλγεβρας;
................................................................................................................................................................
• Να μετακινήσετε το δρομέα.
Ερώτηση
Τι παρατηρείτε στο αποτέλεσμα στο παράθυρο της άλγεβρας, μεταβάλλεται το πηλίκο Ε/ ρ^2 ;
..............................................................................................................................................................
• .Να μετακινήσετε το δρομέα και για διάφορες τιμές του ρ να συμπληρώσετε το ακόλουθο
πίνακα τιμών (με την βοήθεια των υπολογισμών που προκύπτουν στο παράθυρο της
άλγεβρας)
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

13. ρ
Ε
Ε/ρ^2
Ερώτηση
Προσπαθήστε να βρείτε τον τύπο για το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου σε σχέση με την ακτίνα του.
Ε=...................................
Εφαρμογή
Χωρίς την χρήση του λογισμικού , να υπολογίσετε την ακτίνα , την διάμετρο και το εμβαδόν ενός
κυκλικού δίσκου με μήκος 6,28cm.
Απάντηση
Αργύρη Παναγιώτα, MSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης