ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Δραστηριότητα 1η
Έστω ευθεία b: χ=ε (Στο λογισμικό geogebra έχει γίνει εισαγωγή δρομέα ε και άρα η
ευθεία μετατοπίζεται παράλληλα στον άξονα ψψ΄μέσω της μεταβολής του ε)
Έστω κύκλος C1 (K,R) .(Στο λογισμικό έχει γίνει εισαγωγή δρομέων α και R και άρα
το σημείο του κέντρου Κ του C1 μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα χχ΄- η ακτίνα
R1μεταβάλλεται)
Έστω το σημείο Β(ε,h).( Στο λογισμικό έχει γίνει εισαγωγή δρομέα h και άρα το
σημείο Β(ε,h) μπορεί να μετατοπίζεται κατακόρυφα κατα μήκος της ευθείας, λόγω
της μεταβολής του δρομέα h).
Ο κύκλος C (Μ , r) εφάπτεται του κύκλου C1 και της ευθείας ε.
Α είναι το σημείο επαφής του κύκλου C1 και του κύκλου C
Β είναι σημείο επαφής της ευθείας b και του κύκλου C.
Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των
κέντρων των κύκλων , οι οποίοι εφάπτονται στην ευθεία b και στο κύκλο C1.
Στο λογισμικό σταθεροποιούνται οι μεταβολείς α, R, ε, h (π.χ. R=2, K(2,0), ευθεία b:
x=-4 και σημείο Β( -4, 2) .
Στην επιφάνεια εργασίας εμφανίζονται οι μετρήσεις των αποστάσεων του Μ απο το
κέντρο του κύκλου (ΜΚ) και η απόσταση του Μ απο την ευθεία b.
1.Οι αποστάσεις (MK) και d(M,d) σε συνάρτηση με τις ακτίνες R και r των κύκλων C1
και C αντίστοιχα είναι :
(MK)=……………………………. και d(M,d)=.........................................
2. Μπορείτε να διατυπώσετε μία εικασία-υπόθεση για τον γεωμετρικό τόπο των
σημείων Μ;
3. Το ίχνος του σημείου Μ ενεργοποιείται και ο δρομέας h μεταβάλλεται , ώστε το
σημείο Β να μετατοπίζεται κατακόρυφα κατά μήκος της ευθείας b. Τι παρατηρείτε ;
1
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

2. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
4. Ποιο απο τα χαρακτηριστικά της κωνικής τομής λείπει ; Πως θα συμπληρωθεί η
κατασκευή.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
.
5. Να διατυπωθεί το συμπέρασμα σας για τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των
κύκλων που εφάπτονται σε κύκλο και ευθεία και να αναφερθούν τα χαρακτηριστικά
στοιχεία της κωνικής τομής.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
...
Να γράψετε την εξίσωση της κωνικής τομής για τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων
των κύκλων που εφάπτονται στον κύκλο C1 και την ευθεία b (με βάση τις τιμές των
δρομέων που έχουν δοθεί στην περιγραφή της γεωμ.κατασκευής).
........................................................................................................................................
.
Ερωτήσεις προς διερεύνηση και πειραματισμό i) Αν μετατοπιστεί το σημείο Κ κατά
μήκος του άξονα χχ΄(με την μεταβολή του δρομέα α) , ποιο απο τα χαρακτηριστικά
της κωνικής τομής μεταβάλλεται ;
……………………………………………………………………………………………………………………………………
ii) Αν μεταβληθούν οι δρομείς ε, R ποιο απο τα χαρακτηριστικά της κωνικής τομής
μεταβάλλεται;
........................................................................................................................................
.
2
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

3. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
Δραστηριότητα 2η
Έστω κύκλος C1 (K1,R1) , όπου Κ1(α,0) σημείο του άξονα χχ΄.( Στο λογισμικό
geogebra έχει γίνει εισαγωγή δρομέα α, άρα το κέντρο Κ1 μπορεί να μετατοπίζεται
κατά μήκος του άξονα χχ΄, μέσω της μεταβολής του α. H ακτίνα R1 του C1
μεταβάλλεται με τον δρομέα R1).
Έστω κύκλος C2 (K2,R2) , που βρίσκεται στο εσωτερικό του C1 , με Κ2(b,0) σημείο
του άξονα χχ΄.( Στο λογισμικό geogebra έχει γίνει εισαγωγή δρομέα b, άρα το κέντρο
Κ2 μπορεί να μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα χχ΄, μέσω της μεταβολής του b.
Μεταβάλλεται και η ακτίνα R2 του C2, λόγω της εισαγωγής του δρομέα R2).
Ο κύκλος C με κέντρο (Μ , r) εφάπτεται του κύκλου C1 και του κύκλου C2.
M1 είναι το σημείο επαφής του κύκλου C1 και του κύκλου C
M2 είναι σημείο επαφής της ευθείας C2 και του κύκλου C.
Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των
κέντρων των κύκλων , οι οποίοι εφάπτονται στον κύκλο C1 και στον κύκλο C2.
(Υπενθύμιση Η ικανή και αναγκαία συνθήκη που αρκεί να ικανοποιούν οι
απόσταση των κέντρων (Κ1Κ2) των δύο κύκλων C1 και C2 με τις αντίστοιχες ακτίνες
τους R1 και R2, ώστε ο ένας κυκλος να είναι εσωτερικός του άλλου.
(K1K2)< R1-R2)
1.Όταν μεταβάλλονται οι τιμές των R1,R2, a , b , ποια ικανή και αναγκαία συνθήκη
πρέπει να ικανοποιείται ,ώστε ένας κύκλος να βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου ;
........................................................................................................................................
.
2.Με βάση τα δεδομένα της παραπάνω κατασκευής, να συμπληρώσετε τις
μετρήσεις των παρακάτω μηκών, σε συνάρτηση με τις ακτίνες των τριών κύκλων R1,
R2 , r και τις συντεταγμένες των κέντρων των δύο κύκλων:
(K1M1)=………………………. (MM1)=………………………….. (K1M)=………………………………
3
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

4. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
(K2M2)=…………………………. (MM2)=………………………….. (K2M)=……………………………….
(K1M)+(K2M)=…………………………………..
(Κ1Κ2)=...............................................
2. Να συγκρίνεται το άθροισμα των αποστάσεων M (κέντρο του C) απο τα Κ1, Κ2 με
την απόσταση (K1K2) (αποστάσεις των κέντρων των C1, C2 αντίστοιχα)
(K1M)+(K2M) …………………(K1K2)
3. Μπορείτε να διατυπώσετε μία εικασία-υπόθεση για τον γεωμετρικό τόπο των
σημείων Μ; Να αιτιολογήσετε.
4. Ενεργοποιώντας το ίχνος του σημείου Μ , να μετακινήσετε το σημείο Μ2 . Τι
παρατηρείτε ;
4. Να διατυπωθεί το συμπέρασμα σας και να αναφέρεται τα χαρακτηριστικά
στοιχεία της κωνικής τομής :
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
....
Ερωτήσεις προς Διερεύνηση : i)Αν μεταβάλλουμε την ακτίνα R1 ή την ακτίνα R2 ,
τότε ποιο απο τα χαρακτηριστικά της κωνικής τομής μεταβάλλεται.
........................................................................................................................................
.
ii)Αν μετατοπίσουμε τα σημεία Κ1 ή Κ2 κατα μήκος του άξονα χχ τότε ποιο απο τα
χαρακτηριστικά της κωνικής τομής μεταβάλλεται ;
……………………………………………………………………………………………………………………………………
Εφαρμογή
Έστω οτι ο κύκλος C1 έχει κέντρο ένα σταθερό σημείο Κ1 του άξονα χχ΄ : K1(-4,0) και
ακτίνα R1=12
Έστω κύκλος C2 ,ο οποίος είναι εσωτερικός του C1, με κέντρο ένα σταθερό σημείο
Κ2 του άξονα χχ΄ : K2(4,0) και ακτίνα R2=2.
4
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

5. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
Ο κύκλος C με κέντρο (Μ , r) εφάπτεται του κύκλου C1 και του κύκλου C2.
Να γράψετε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του κέντρου του κύκλου C , ο
οποίος εφάπτεται στον κύκλο C1 και στον κύκλο C2.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
..
Ποια τα χαρακτηριστικά στοιχεία του γεωμετρικού τόπου;
……………………………………………………………………………………………………………………………………
Nα αναφέρεται τις ιδιότητες των σημείων του παραπάνω γεωμετρικού τόπου :
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
5
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

6. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
Δραστηριότητα 3η
Έστω κύκλος C1 (K1,R1) , όπου Κ1(α,0) σημείο του άξονα χχ΄.( Στο λογισμικό
geogebra έχει γίνει εισαγωγή δρομέα α, άρα το κέντρο Κ1 μπορεί να μετατοπίζεται
κατά μήκος του άξονα χχ΄, μέσω της μεταβολής του α. Μεταβάλλεται και η ακτίνα
R1 του C1, λόγω της εισαγωγής του δρομέα R1).
Έστω κύκλος C2 (K2,R2) , που βρίσκεται στο εξωτερικό του C1 , με Κ2(b,0) σημείο
του άξονα χχ΄.( Στο λογισμικό geogebra έχει γίνει εισαγωγή δρομέα b, άρα το κέντρο
Κ2 μπορεί να μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα χχ΄, μέσω της μεταβολής του b.
Μεταβάλλεται και η ακτίνα R2 του C2, λόγω της εισαγωγής του δρομέα R2).
Ο κύκλος C με κέντρο (Μ , r) εφάπτεται του κύκλου C1 και του κύκλου C2.
Μ1 είναι το σημείο επαφής του κύκλου C1 και του κύκλου C
Μ2 είναι σημείο επαφής της ευθείας C2 και του κύκλου C.
Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των
κέντρων των κύκλων , οι οποίοι εφάπτονται στον κύκλο C1 και στον κύκλο C2.
(Υπενθύμιση Η ικανή και αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί η απόσταση
των κέντρων (Κ1Κ2) των δύο κύκλων C1 και C2 σε εχέση με τις αντίστοιχες ακτίνες
τους R1 και R2,ώστε οι κύκλοι να βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου.
(K1K2)> R1+R2)
1.Όταν μεταβάλλονται οι τιμές των R1,R2, a , b , ποια ικανή και αναγκαία συνθήκη
πρέπει να ικανοποιείται ,ώστε ένας κύκλος να βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου ;
........................................................................................................................................
.
6
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

7. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
2.Με βάση τα δεδομένα της παραπάνω κατασκευής, να συμπληρώσετε τις
μετρήσεις των παρακάτω μηκών, σε συνάρτηση με τις ακτίνες R1, R2 , r των τριών
κύκλων C1, C2, C και τις τετμημένες a, b των σημείων των κέντρων των δύο κύκλων:
(K1Μ1)=………………………. (MΜ1)=………………………….. (K1M)=………………………………
(K2Μ2)=…………………………. (MΜ2)=………………………….. (K2M)=……………………………….
(K1M)-(K2M) = …………………………………..
(Κ1Κ2)=...............................................
3. Να συγκρίνεται την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων M (κέντρο του
C) απο τα Κ1, Κ2 με την απόσταση (K1K2) (αποστάσεις των κέντρων των C1, C2
αντίστοιχα)
(K1M)-(K2M) ........................(Κ1Κ2)
4. Μπορείτε να διατυπώσετε μία εικασία-υπόθεση για τον γεωμετρικό τόπο των
σημείων Μ; Αιτιολογήστε.
3. Ενεργοποιώντας το ίχνος του σημείου Μ , να μετακινήσετε το σημείο Μ2. Τι
παρατηρείτε ;
4. Να διατυπωθεί το συμπέρασμα σας, αναφέροντας τα χαρακτηριστικά στοιχεία
της κωνικής τομής :
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
..
5. Ερωτήσεις προς Διερεύνηση : i)Αν μεταβάλλουμε την ακτίνα R1 ή την ακτίνα R2 ,
τότε ποιο απο τα χαρακτηριστικά της κωνικής τομής μεταβάλλεται.
........................................................................................................................................
.
ii)Αν μετατοπίσουμε τα σημεία Κ1 ή Κ2 κατα μήκος του άξονα χχ τότε ποιο απο τα
χαρακτηριστικά της κωνικής τομής μεταβάλλεται ;
……………………………………………………………………………………………………………………………………
Εφαρμογή
7
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

8. Επανάληψη των γεωμετρικών τόπων των κωνικών τομών
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου
Έστω οτι ο κύκλος C1 έχει κέντρο ένα σταθερό σημείο Κ1 του άξονα χχ΄ : K1(-4,0) και
ακτίνα R1=4
Έστω κύκλος C2 ,ο οποίος είναι εξωτερικός του C1, με κέντρο ένα σταθερό σημείο
Κ2 του άξονα χχ΄ : K2(4,0) και ακτίνα R2=1
Ο κύκλος C (Μ , r) εφάπτεται του κύκλου C1 και του κύκλου C2
Να γράψετε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του κέντρου M του κύκλου , ο
οποίος εφάπτεται στον κύκλο C1 και στον κύκλο C2.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
..
Ποια τα χαρακτηριστικά στοιχεία του γεωμετρικού τόπου;
……………………………………………………………………………………………………………………………………
Nα αναφέρεται τις ιδιότητες των σημείων του παραπάνω γεωμετρικού τόπου :
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
8
Αργύρη Παναγιώτα, ΜSc Διδακτικής των Μαθηματικών και Οικονομικών Μαθηματικών
Πρότυπο Πειρματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης