Il documento esplora il concetto del numero aureo (φ) e la sezione aurea, evidenziando la loro presenza storica nelle arti, nell'architettura e persino nelle proporzioni del corpo umano. Viene dimostrato come queste proporzioni siano state utilizzate dai greci, dai pitagorici e da artisti come Leonardo da Vinci per creare armonia visiva e simmetria. La relazione tra la sequenza di Fibonacci e il numero aureo è anche discussa, mostrando come queste proporzioni emergano in natura e nel design umano.

1. ISISSISISS
“ETTORE MAJORANA”“ETTORE MAJORANA”
S. MARIA A VICOS. MARIA A VICO
(CE)(CE)
a.s.2014/2015a.s.2014/2015
Pro.ssa Angela PellegrinoPro.ssa Angela Pellegrino
Il numero d’oroIl numero d’oro ΦΦ

2. Un po’ di storiaUn po’ di storia
Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzioneSin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzione
divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere unadivina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una
dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura alladimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura alla
musica, fino alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazionemusica, fino alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazione
corrisponda ad un rapporto che è stato definito numero pari a 1,618corrisponda ad un rapporto che è stato definito numero pari a 1,618
La piramide egizia di Cheope ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapportoLa piramide egizia di Cheope ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapporto
base/altezza corrisponde a 1,58 molto vicino a 1,6.base/altezza corrisponde a 1,58 molto vicino a 1,6.
Nei megaliti di Stonehenge, le superfici teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e diNei megaliti di Stonehenge, le superfici teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e di
Sarsen, stanno tra loro nel rapporto di 1,6.Sarsen, stanno tra loro nel rapporto di 1,6.
La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che laLa pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la
lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciatalunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata
il rettangolo aureo è ripetuto più volte.il rettangolo aureo è ripetuto più volte.
Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del PalazzoAnche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo
dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.
Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca,Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca,
Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (lala divinadivina
proportione),proportione), considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelleconsiderata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle
scienze.scienze.

3. Dalla sezione aurea al numero aureoDalla sezione aurea al numero aureo
Il numero aureoIl numero aureo φφ è un numero irrazionale compreso fra 1 e 2. Vediamo come sia legato allaè un numero irrazionale compreso fra 1 e 2. Vediamo come sia legato alla
sezione aurea di un segmento.sezione aurea di un segmento.
Dato un segmento AB se ne esegue la sezione aurea ('il taglio dorato') individuando un suo puntoDato un segmento AB se ne esegue la sezione aurea ('il taglio dorato') individuando un suo punto
interno S tale che il quadrato di lato AS sia equivalente al rettangolo di lati AB e SB.interno S tale che il quadrato di lato AS sia equivalente al rettangolo di lati AB e SB.
In modo del tutto equivalente si può dire che il segmento AS deve essere medio proporzionaleIn modo del tutto equivalente si può dire che il segmento AS deve essere medio proporzionale
tra AB e SB.tra AB e SB.
A S BA S B
AB: AS = AS: SBAB: AS = AS: SB
Dette la misura del segmento AB e la misura del segmento AS si ha:λ σDette la misura del segmento AB e la misura del segmento AS si ha:λ σ
: = : ( - )λ σ σ λ σ: = : ( - )λ σ σ λ σ
Risolvendo la proporzione rispetto a si ottieneσRisolvendo la proporzione rispetto a si ottieneσ
σσ 22
= λ= λ 22
- λ σ- λ σ
Da cui σDa cui σ 22
+ -λ σ λ+ -λ σ λ 22
= 0 che risolta rispetto a= 0 che risolta rispetto a σ ha per risultato cioè: σ =σ ha per risultato cioè: σ = √5 -1√5 -1 λ non considerando la radiceλ non considerando la radice
negativanegativa
22
Il segmento AS è dettoIl segmento AS è detto parte aureaparte aurea del segmento AB mentre il rapportodel segmento AB mentre il rapporto ABAB è detto numero aureoè detto numero aureo
ASAS
e si indica cone si indica con φφ == λλ == λλ == √5 +1√5 +1 ≈ 1,61803398874989484≈ 1,61803398874989484
σσ √5 -1√5 -1 λ 2λ 2
22

4. PhiPhi
uno strano numerouno strano numeroIl numero aureo è uno dei pochissimi numeri conosciuti il cui reciproco e quadratoIl numero aureo è uno dei pochissimi numeri conosciuti il cui reciproco e quadrato
mantengono le medesime cifre decimali:mantengono le medesime cifre decimali:
QuindiQuindi φφ22
== φφ ++ 1 e1 e φφ-1-1
== φφ --11

5. Il numeroIl numero aureoaureo
I primi utilizzatori di questo rapporto furono sicuraI primi utilizzatori di questo rapporto furono sicura
mente i Greci. mente i Greci.
In un'anfora greca (IV-III secolo a.C.) il diametroIn un'anfora greca (IV-III secolo a.C.) il diametro
maggiore sta al diametro del collo come 1:0,618; ilmaggiore sta al diametro del collo come 1:0,618; il
listello all'altezza dei manici divide l'altezza totale inlistello all'altezza dei manici divide l'altezza totale in
una proporzione aurea, che si riduce anche neluna proporzione aurea, che si riduce anche nel
rapporto tra la fascia decorata a figure e la parterapporto tra la fascia decorata a figure e la parte
superiore del vaso. superiore del vaso.
Anche nell'architettura la sezione aurea è stataAnche nell'architettura la sezione aurea è stata
applicata sin dai tempi più antichi. Il rapporto traapplicata sin dai tempi più antichi. Il rapporto tra
lunghezza e larghezza nei templi greci era dilunghezza e larghezza nei templi greci era di
preferenza 1:0,618 e il timpano era costruito come unpreferenza 1:0,618 e il timpano era costruito come un
triangolo isoscele avente un angolo al vertice di 108triangolo isoscele avente un angolo al vertice di 108°.°.

6. I Pitagorici e il pentagonoI Pitagorici e il pentagono
aureoaureo
LaLa sezione aureasezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagonofu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono
regolare inscritto in una circonferenza di raggioregolare inscritto in una circonferenza di raggio rr è la sezione aurea del raggio eè la sezione aurea del raggio e
costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, ocostruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 puntestella a 5 punte che iche i
Pitagorici chiamaronoPitagorici chiamarono pentagrammapentagramma e considerarono simbolo dell’armonia ede considerarono simbolo dell’armonia ed
assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolareassunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare
congiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni àcongiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni à
un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezioneun’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione
aurea , da cui è nata . Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezioneaurea , da cui è nata . Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione
aureaaurea
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisceAll’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce
due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°. Ogni latodue punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°. Ogni lato
forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoliforma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli
36°, 36°, 108°. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua36°, 36°, 108°. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua
diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in duediagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due
segmenti che stanno nel rapporto aureo.segmenti che stanno nel rapporto aureo.

7. Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordatoIl matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato
soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormaisoprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai
celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risaleceleberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale
all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeriall’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri
(0,1,1,2,3,5,8,13,21…).(0,1,1,2,3,5,8,13,21…).
Tra i numeri di questa successione esiste una relazioneTra i numeri di questa successione esiste una relazione
per cui ogni termine successivo è uguale alla sommaper cui ogni termine successivo è uguale alla somma
dei due immediatamente precedenti. Più importantedei due immediatamente precedenti. Più importante
dal nostro punto di vista è però il fatto che il rapportodal nostro punto di vista è però il fatto che il rapporto
tra due termini successivi si avvicini moltotra due termini successivi si avvicini molto
rapidamente a 0,61, la parte decimale del numerorapidamente a 0,61, la parte decimale del numero
aureo:aureo:
1:2=0,500 8:13=0,6151:2=0,500 8:13=0,615
2:3=0,667 13:21=0,6192:3=0,667 13:21=0,619
3:5=0,600 21:34=0,6183:5=0,600 21:34=0,618
5:8=0,625 34:55=0,6185:8=0,625 34:55=0,618

8. In natura diversi tipi diIn natura diversi tipi di
conchiglie (ad esempio quella delconchiglie (ad esempio quella del
Nautilus) hanno una forma aNautilus) hanno una forma a
spirale fatta secondo i numerispirale fatta secondo i numeri
di Fibonacci.di Fibonacci.

9. numero aureo e corpo umanonumero aureo e corpo umano
In natura il rapporto aureo è riscontrabile in molteIn natura il rapporto aureo è riscontrabile in molte
dimensioni del corpo umano. Se moltiplichiamo per 1,618dimensioni del corpo umano. Se moltiplichiamo per 1,618
la distanza che in una persona adulta e proporzionata, vala distanza che in una persona adulta e proporzionata, va
dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così ladai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così la
distanza dal gomito alla mano (con le dita tese),distanza dal gomito alla mano (con le dita tese),
moltiplicata per 1,618, dà la lunghezza totale del braccio.moltiplicata per 1,618, dà la lunghezza totale del braccio.
La distanza che va dal ginocchio all'anca, moltiplicata perLa distanza che va dal ginocchio all'anca, moltiplicata per
il numero d'oro, dà la lunghezza della gamba, dall'anca alil numero d'oro, dà la lunghezza della gamba, dall'anca al
malleolo. Anche nella mano i rapporti tra le falangi dellemalleolo. Anche nella mano i rapporti tra le falangi delle
dita medio e anulare sono aurei, così il volto umano è tuttodita medio e anulare sono aurei, così il volto umano è tutto
scomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati inscomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati in
rapporto aureo. rapporto aureo.

10. "" Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano.Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano.
Leonardo disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura osseaLeonardo disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura ossea
umana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito diumana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito di
elementi che stanno tra di loro in rapporto di phi."elementi che stanno tra di loro in rapporto di phi."
Tutti l'avevano guardato con aria dubbiosa.Tutti l'avevano guardato con aria dubbiosa. "Non mi credete?""Non mi credete?" li aveva sfidatili aveva sfidati
Langdon ,Langdon , "la prossima volta che fate la doccia, portatevi un metro.""la prossima volta che fate la doccia, portatevi un metro."
Un paio di giocatori di football avevano riso di lui.Un paio di giocatori di football avevano riso di lui. "Non soltanto voi scimmioni"Non soltanto voi scimmioni
insicuri"insicuri" aveva continuato Langdonaveva continuato Langdon. "Tutti , maschi e femmine. Fate la prova.. "Tutti , maschi e femmine. Fate la prova.
Misurate la vostra altezza poi dividetela per la distanza da terra del vostro ombelico.Misurate la vostra altezza poi dividetela per la distanza da terra del vostro ombelico.
Indovinate che numero si ottiene."Indovinate che numero si ottiene."
"non phi!"aveva detto uno degli "scimmioni". "Proprio phi, invece"-aveva risposto"non phi!"aveva detto uno degli "scimmioni". "Proprio phi, invece"-aveva risposto
Langdon. "uno virgola seicentodiciotto. Volete un altro esempio? Misurate laLangdon. "uno virgola seicentodiciotto. Volete un altro esempio? Misurate la
distanza dalla spalla alla punta delle dita e dividetela per la distanza dal gomito alladistanza dalla spalla alla punta delle dita e dividetela per la distanza dal gomito alla
punta delle dita. Di nuovo phi. Altro esempio? Dal fianco al pavimento diviso per lapunta delle dita. Di nuovo phi. Altro esempio? Dal fianco al pavimento diviso per la
distanza dal ginocchio al pavimento. di nuovo phi. Le articolazioni delle dita, le sezionidistanza dal ginocchio al pavimento. di nuovo phi. Le articolazioni delle dita, le sezioni
della colonna vertebrale, Ancora phi. Amici miei ciascuno di voi è il tributo ambulantedella colonna vertebrale, Ancora phi. Amici miei ciascuno di voi è il tributo ambulante
alla proporzione divina." (...)alla proporzione divina." (...)
Tratto da “Il codice da Vinci di Dan BrownTratto da “Il codice da Vinci di Dan Brown
L’uomo di VitruvioL’uomo di Vitruvio

11. L'uso della S.A. nelle opere del compositore francese Debussy èL'uso della S.A. nelle opere del compositore francese Debussy è
stato indagato a fondo, Vale la pena però soffermarsi sulstato indagato a fondo, Vale la pena però soffermarsi sul
famoso preludio pianistico, perché, fra le altre cose, è unofamoso preludio pianistico, perché, fra le altre cose, è uno
splendido esempio di numerologia applicata alle «proporzionisplendido esempio di numerologia applicata alle «proporzioni
auree».auree».
Il branoIl brano La Cathédrale EngloutieLa Cathédrale Engloutie consta di 89 misure organizzateconsta di 89 misure organizzate
su una segnatura di tempo dall'aspetto sottilmente ambiguo:su una segnatura di tempo dall'aspetto sottilmente ambiguo:
6/4 = 3/2. L'interpretazione dell'autore (conservata su rullo di6/4 = 3/2. L'interpretazione dell'autore (conservata su rullo di
pianola) risulta in contrasto con le indicazioni dell'edizione apianola) risulta in contrasto con le indicazioni dell'edizione a
stampa (Durand 1910), Debussy suona infatti le 68 btt.stampa (Durand 1910), Debussy suona infatti le 68 btt.
“identificabili” con la segnatura 3/2 (btt. 7÷12 e 22÷83) al“identificabili” con la segnatura 3/2 (btt. 7÷12 e 22÷83) al
doppio del tempo iniziale, da cui: 89-68=21; 68:2=34;doppio del tempo iniziale, da cui: 89-68=21; 68:2=34;
34+21=55. Inutile ogni commento, purché si rammentino i34+21=55. Inutile ogni commento, purché si rammentino i
termini (8.13.21.34.55.89) della serie di Fibonacci.termini (8.13.21.34.55.89) della serie di Fibonacci.
Debussy è affascinato dalla S.A. e dai suoi aspetti esoterici; tantoDebussy è affascinato dalla S.A. e dai suoi aspetti esoterici; tanto
da utilizzarla molto frequentemente nelle sue composizioni; eda utilizzarla molto frequentemente nelle sue composizioni; e
senza perdere l'occasione per “giocare” con i numeri osenza perdere l'occasione per “giocare” con i numeri o
lanciare messaggi criptici: come la copertina della partituralanciare messaggi criptici: come la copertina della partitura
dede La MerLa Mer (Durand 1905)(Durand 1905)

12. MusicaMusica,, artearte,, naturanatura,, tuttotutto
porta al numero aureo Phiporta al numero aureo Phi
A noi non resta che godere diA noi non resta che godere di
questa armonia che ci portaquesta armonia che ci porta
ancora una volta nel mondoancora una volta nel mondo
magico della Matematicamagico della Matematica