2. Contoh
Tentukan dan sketsalah domain dari z
x2
y 2 1,
dan sketsalah grafik dari z.
y
Solusi
Domain
Karena x 2
y2 1 0
x, y
R 2 , maka
x
domain dari z adalah semua titik (x, y ) di
bidang-xy
z
Gambar z
Misalkan x
Maka z 2
y2
0.
1
1.
z2
z
1 y 2 karena z
1
1 y2
y
0
2
3. Misalkan y
Maka z 2
z
0.
x2
1.
1
z2
1 x2
z
1 x 2 karena z
1
x
0
y
Misalkan z
Maka 0
0.
1 x2
y2 .
Ini tidak mungkin, sehingga
x
tidak ada gambar z di bidang-xy.
3
4. Kita gabungkan ketiganya di bidang-xyz menjadi :
z
z
z 2 x2 1
z2
y2
1
1
y
0
0
x
Sketsa dari z
y
x
x
2
y
2
1
Benda padat z
x2
y2 1
4
5. Kurva ketinggian dari z = f(x,y)
Cara lain untuk memahami sebuah kurva pada bidang berdimensi 3 adalah dengan
menggambar kurva ketinggiannya. Ini dilakukan dengan memisalkan z = f( x ,y ) = k,
dimana k adalah konstanta sembarang. Kurva ketinggian adalah kurva di bidang-xy
yang menggambarkan trace dari z pada suatu “ketinggian” k.
Bidang z = k merupakan bidang horizontal yang memotong z-axis di k.
Contoh : Gambar kurva ketinggian dari z
x2
y 2 1 di z
5.
y
z
2
5
k
5
x
2
1
Benda padat z
x2
dipotong oleh bidang z
y2 1
x2
z
x2
y2 1
y2
5
4
5
5
6. Limit dari z = f ( x, y )
f ( x0 , y0 )
Jika f ( x, y ) memiliki limit yang
berbeda saat x, y
( x0 , y0 )
sepanjang dua path yang berbeda,maka
limit dari f tidak ada saat
x, y
Path 2
( x0 , y0 ).
x0 , y0
Path 1
Catatan :
[1] Kita harus memilih dua path tersebut.
[2] Bahkan jika 2 atau lebih path menghasilkan nilai limit
yang sama, kita TIDAK DAPAT menyimpulkan limit f
ada. Jadi, biasanya kita hanya akan menunjukkan f
TIDAK mempunyai limit.
6
7. x3 y
Contoh : Tunjukkan jika lim
ada!
6
2
( x , y ) ( 1,2) 2 x
y
Solusi :
Limit tersebut ada karena dengan dengan substitusi didapat :
lim
( x, y )
( 1,2)
x3 y
2 x6
y2
( 1)3 2
2( 1)6 22
2
6
1
3
7
8. x3 y
ada?
Contoh : Tentukan apakah lim
6
2
( x , y ) (0,0) 2 x
y
Solusi :
Misalkan path 1 adalah y-axis, yaitu, x = 0.
Maka :
y
lim
x, y
0, 0
x3 y
2x6
y2
3
0 y
lim
y 0 2 0 6
y2
0
(0,0)
x
8
9. Misalkan path 2 kurva y = x3.
lim
x, y
0, 0
lim
x
0
lim
2x6
y2
0
y = x3
x3 x3
2x
6
x
3 2
x6
2x6 x6
1 1
lim
x 0 3
3
x
y
x3 y
x6
lim 6
x 0 3x
(0,0)
x
Karena path 1 dan path 2 memberikan nilai limit yang
berbeda, maka saat (x, y) mendekati (0,0) limit f tidak ada.
9
10. Catatan :
Jika kita langsung mensubstitusi (x0, y0) ke f (x, y) dan menemukan
bahwa penyebutnya 0, maka kita TIDAK DAPAT menyimpulkan bahwa
limit f saat (x, y) mendekati (0,0) tidak ada.
Sebagai contoh, untuk contoh terakhir, kita tidak dapat
menulis :
3
3
lim
( x, y )
(0,0)
x y
2 x6
y2
0 0
2(0) 6 (0) 2
0
0
Wrong
conclusion
dan mengatakan limitnya tidak ada karena penyebutnya adalah 0
sin( x 2 y 2 )
Contoh : Tunjukkan bahwa lim
ada!
2
2
( x , y ) (0,0)
x y
Solusi :
Misalkan u
x2
y 2 . Maka u
sin( x 2 y 2 )
lim
( x , y ) (0,0)
x2 y 2
sin u
lim
u 0
u
0 jika ( x, y)
(0, 0). Jadi
1
10
