Tiga kalimat ringkasan dokumen tersebut adalah: 1. Ekspansi multipole merupakan rangkaian matematika yang mewakili fungsi potensial yang tergantung pada sudut dan dipengaruhi oleh distribusi muatan. 2. Kontribusi terbesar pada potensial berasal dari suku dipole apabila muatan total sama dengan nol, sedangkan bila muatan total tidak nol maka dominan adalah suku monopole. 3. Potensial dipole pada jarak jau

2.  HENDRI (H211 09 011)
 AIDA (H211 09 012)
 NETHA SHELLA SABONO (H211 09 013)
 NUR HARMILA SARI (H211 09 015)
 DJUNNAIDIN (H211 09 016)
 ARIFAH SARAHAN (H211 09 101)

4. Ekspansi multipole merupakan rangkaian
matematik yang mewakili fungsi yang
tergantung pada sudut.

5. y V(P) = ….. ?
P Jika r’ >> r
Titik observasi sangat
jauh dari lokasi distribusi
r’ r muatan.
0 x
potensial yang dihasilkan tampak seperti
yang diberikan oleh muatan titik dengan
muatan total Q
1 Q
V(P) =
4 0
r

6. Bagaimana jika muatan total Q = 0 ?
Tentu V 0
Persoalan bagaimana V menjadi nol ?
Tinjau dipole muatan.
Gambar muatan dipole

7. 1 q q
V(p)
4 0
r r
2 2
S S
=
2 2 S r
2
1 Cos
r  rS Cos 2
2 r 4r
Untuk r >> s suku ketiga dapat diabaikan
1
1 1 S
1 Cos 2
r r
Uraian binomial
1 1 S
1 1 S Cos
1 Cos r
2
r 2r

8. dengan demikian diperoleh pendekatan dari
potensial di titik P, yaitu
V(P) = 1 q .S Cos 2
4 0 r
Jadi potensial oleh suatu dipole pada jarak yang
jauh besarnya berbanding lurus dengan 1 . 2
r

9. Tinjau distribusi muatan sembarang :
P Potensial di titik P dapat
dinyatakan sebagai
berikut
r' r 1 1
V( p ) .dt
0 4 0
2 2 ' 2 '
r r 2 r r Cos
2
' '
= 2 r r
r 1 2 Cos
r r

10. Atau dimana
' '
r r
r 1 2 Cos
r r
Selama P terletak jauh dari distribusi muatan,
1 sehingga dapat dilakukan ekspansi
binomial sebagai berikut:
= 1 1 3 5
1
1 1 2 2
1 2 1 ....
r r 2 8 16
atau dinyatakan dalam r, , dan r’
2 2 3 2
' ' ' '
1 1 r r 3 r r 5 r' r'
1 2 Cos 2 Cos Cos ...
r 2 r r 8 r r 16 r r
Koefisien dari deret di atas adalah Polinomial
Legendre.

11. Polinomial Legendre, yaitu
~ n
1 1 r'
Pn ( Cos )
r n 0 r
~
Jadi Vp
1 1 n
n 1
r' Pn Cos dt
4 0 n 0 r
atau secara eksplisit
1 1 1 1 2 3 2 1
Vp d 2
r ' Cos d 3
r' Cos d ...
4 0
r r r 2 2

12. Uraian kutub ganda potensial V dalam deret
1
pangkat r
.
 Suku pertama (n = 0)
1
suku monopole V ~
r
 Suku kedua (n =1)
1
suku dipole V ~ 2
r
 Suku ketiga (n = 2)
1
suku quadrupole V ~ 3
r
 Suku keempat (n = 3)
1
suku oktopole V ~ 4
r

13. Hasil integrasi suku pertama dalam
penjabaran menghasilkan muatan pertama
terhadap potensial dapat dituliskan :
1 Q
V mono ( P )
4 0
r

14. Bila muatan total sama dengan nol, maka
kontribusi pada medan di titik yang jauh
paling menonjol berasal dari suku kedua
yang dikenal sebagai suku dipole, yaitu
1 1
V dip ( P ) 2
r ' Cos dt
4 0 r

15. Suku kuadrupole sebanding dengan 1
3
.
r
Dalam penjabaran multipole kontribusi suku
ini diberikan oleh :
1 1 2 3 1
V Kuad ( P ) . 3
(r' ) Cos dt
4 0 r 2 2

16.  Jika muatan total (Q 0)
Potensial didominasi oleh suku monopole
(untuk r yang besar).
1 Q
=
1 1
V mono ( P ) dt
4 0
r 4 0
r

17.  Jika muatan total Q = 0
Potensial didominasi oleh suku dipole (jika
momen dipole ).
1 1
V dip ( P ) 2
r ' Cos dt
4 0 r
: sudut antara r ' dan r r ' Cos ˆ
r .r '
1 1
V dip ( P ) . ˆ
r . r ' . dt
4 r
2 
0
atau dapat ditulis
ˆ
P .r
V dip ( P ) 2
dimana P r' dt
4 0
r

18. 
Momen dipole P ditentukan oleh ukuran,
bentuk dan kerapatan dari distribusi muatan.

- Muatan volume : P r' dt
- Muatan permukaan : P r ' .d A
 ~
- Muatan titik : P q i ri
n 1

19. Dipole Dipole fisis
Dipole murni

20. q

-q P q r' qr '
S 
r' q( r' r ') q .s
+q
r'
S : Vektor dari (-) ke (+)
Untuk Dipole Fisis : subtitusi P qs
1 q s Cos ˆ
Vdip = 2
ke V ( dip ) ( P )
P. r
2
4 0 r 4 0
r
ˆ
q s .r 1 q s Cos
V dip ( P ) 2 2
4 0
r 4 0
r

21. Tentukan aproksimasi paling sederhana yang
berlaku untuk potensial ditempat yang jauh
dari 0. -q
Q tot 2q 2q 3q q 0
3q
d P ( 3 qd ˆ
qd ) k ( 2 qd 2q d )ˆ
j
d d
Y
ˆ
2 qd k
- -2q
2q d
q Jadi V
1 ˆ
P .r
2
; P .r
ˆ P Cos
4 r
;
0
X
1 2 qd Cos
V 2
4 0
r