Dokumen ini membahas distribusi probabilitas, khususnya distribusi binomial, poisson, dan normal, serta aplikasi probabilitas dalam statistik. Distribusi binomial menggambarkan peristiwa dengan dua hasil yang bersifat independen, sedangkan distribusi poisson digunakan untuk menghitung probabilitas kejadian langka dalam populasi besar. Distribusi normal diterapkan untuk sampel besar dengan memberikan pendekatan probabilitas menggunakan transformasi z.

1. DEWI INDRAYANI
DISTRIBUSI
PROBABILITAS

2. Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah
memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas
yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa
tersebut dalam beberapa keadaan.
Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari
kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh
probabilitas kejadian tersebut akan membentuk
suatu distribusi probabilitas.
DISTRIBUSI PROBABILITAS

3. MACAM DISTRIBUSI PROBABILITAS
Distribusi Binomial (Bernaulli)
Distribusi Poisson
Distribusi Normal (Gauss)

4. DISTRIBUSI BINOMIAL (BERNAULLI)
Penemu Distribusi Binomial adalah James
Bernaulli sehingga dikenal sebagai
Distribusi Bernaulli.
Menggambarkan fenomena dengan dua
hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses
dan gagal,sehat dan sakit, dsb.

5. 1. Jumlah trial merupakan bilangan bulat.
Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak
mungkin 2 ½ kali.
2. Setiap eksperiman mempunyai dua
outcome (hasil). Contoh: sukses/gagal,
laki/perempuan, sehat/sakit, setuju/tidak
setuju .
SYARAT DISTRIBUSI BINOMIAL

6. 3. Peluang sukses sama setiap eksperimen.
Contoh:
• Jika pada lambungan koin, peluang keluar Gambar (G) sukses
adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½.
• Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka
dikatakan peluang (probabilitas) sukses adalah 1/6, sedangkan
peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan
p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga
dilambangkan q, di mana q = 1-p.
SYARAT DISTRIBUSI BINOMIAL

7. 4. Setiap eksperimen adalah independen satu sama
lain.
Adalah setiap trial atau peristiwa bebas satu sama lain, misalnya trialnya
melemparkan (melambungkan)satu koin sebanyak 5 kali. Antara lambungan
oertama, kedua sampai kelima adalah kejadian independen.
SYARAT DISTRIBUSI BINOMIAL

8. Simbol peristiwa Binomial
 b=binomial
 x=banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random)
 n= Jumlah trial
 p= peluang sukses dalam satu kali trial.
Contoh :
Dadu dilemparkan 5 kali, diharapkan keluar mata 6 dua kali, maka kejadian ini
dapat ditulis
SIMBOL DALAM DISTRIBUSI BINOMIAL
b (x, n, p)
b(2, 5, 1/6)

9. Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah
0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas "X" ada 4 orang
bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2 orang belum
imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini
dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2) b (2, 4, 0,2)
CONTOH SOAL

10. Katakanlah 4 bayi tersebut adalah A, B, C, D, dua orang tidak diimunisasi
mungkin adalah : C (4,2)
1. A & B
2. A & C
3. A & D
4. B & C ATAU
5. B & D
6. C & D
PENYELESAIAN
n C x =
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
4 C 2 =
4!
2! 4−2 !
4 C 2 =
4!
2! 2!
4 C 2 =
4x3x2x1
2x1 2x1
4 C 2 = 6

11. Dua orang tidak diimunisasi dan dua orang yang diimunisasi, peluangnya
adalah:
=
=
=
= = 0,0256
NEXT
px (1-p)n-x
0,22 (1-0,2)4-2
0,22 (0,8)2
0,04 x 0,64

12. JADI PELUANG DUA DIANTARA EMPAT BAYI YANG BELUM IMUNISASI
POLIO ADALAH:
b(x, n, p) = P(X=x)=
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
px (1-p)n-x
b(2, 4, 0,2) = P(X=x)=6 x 0,0256
b(2, 4, 0,2) = P(X=x)= 0,1536 = 0,154

13. DENGAN CARA MELIHAT TABEL

14. Seorang ahli gizi di Rumah Sakit “RSCM” sudah
berpengalaman bahwa jeruk impor selalu rusak (busuk)
sebanyak 20%. Pada suatu hari dia membuka sebanyak
10 jeruk. Hitunglah peluang yang rusak (busuk)!
1. Paling banyak 3 jeruk
2. Paling kurang 5
3. Antara 2 sampai 4
LATIHAN

15. Diketahui :
 n = 10
 p = 20% = 20/100 = 0.2  binomial (peluang besar, sampel kecil)
Ditanya :
1. Paling banyak 3 x=0, 1, 2, 3
2. Paling kurang 5 x=5, 6, 7, 8,9, 10 atau 1 – (p=4, 2, 3, 1)
3. Antara 2 sampai 4 x=2,3,4
JAWAB

16. PALING BANYAK 3 JERUK
b(x, n, p) = P(X=x)=
𝒏!
𝒙! 𝒏−𝒙 !
px (1-p)n-x
x=0, 1, 2, 3, n=10, p=0.2
P(X=3) =
10!
3! 10−3 !
0.23 (1-0.2)10-3
= 120 x 0.008 x 0.2097 = 0.2013
P(X=2) =
10!
2! 10−2 !
0.22 (1-0.2)10-2 = 0.3019
P(X=1) =
10!
1! 10−1 !
0.21 (1-0.2)10-1 = 0.2684
P(X=0) =
10!
0! 10−0 !
0.20 (1-0.2)10-0 = 0.1073
P = p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) + p(x=3) =0.8789
Jadi peluang paling banyak 3 jeruk yang busuk adalah 87.89%

17. DENGAN LIHAT TABEL
x=3, 2, 1 n=10, p=0.2

18. PALING KURANG 5 JERUK
x=5,6,7,8,9,10 atau 1- p(x=4,2,3,1) n=10, p=0.2
P(x=4,3,2,1)
= p (x=5,6,7,8,9,10) atau
= 1 – p(x=4,3,2,1)
= 1 – 0,967
= 0,033
Jadi peluang jeruk busuk paling
kurang 5 jeruk adalah 3.3%

19. ANTARA 2 – 4 JERUK YANG BUSUK
x=2,3,4 n=10, p=0.2
Kalau mau p(x=2,3,4)
Maka = 0.967 – 0.376
= 0.591
Jadi, peluang jeruk yang busuk
antara 2 – 4 adalah 59,1%

20. Dalam mempelajari distribusi Binomial kita dihadapkan pada
probabilitas variabel random diskrit (bilangan bulat) yang
jumlah trial nya kecil (daftar binomial), sedangkan jika
dihadapkan pada suatu kejadian dengan p <<< dan
menyangkut kejadian yang luas n >>> maka digunakan
distribusi Poisson.
Distribusi Poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu
kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas
atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.
DISTRIBUSI POISSON

21. Disuatu gerbang tol yang dilewati ribuan mobil dalam
suatu hari akan terjadi kecelakaan dari sekian banyak
mobil yang lewat.
Dikatakan bahwa kejad ian seseorang akan meninggal
karena shock pada waktu disuntik dengan vaksin
meningitis 0,0005. Padahal, vaksinasi tersebut selalu
diberikan kalau seseorang ingin pergi haji.
CONTOH DISTRIBUSI POISSON

22. RUMUS
P (x)=
µ𝑥
𝑒−µ
𝑥!
=
λ 𝑥
𝑒−λ
𝑥!
µ = λ = np =E(x) nilai rata – rata
e = konstanta = 2,71828
x = variabel random diskrit (1,2,3……x)

23. Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan
vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumla h orang yang
dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglah peluang tepat tiga orang akan
terjadi shock!
Penyelesaian:
CONTOH SOAL
P (x)=
µ𝑥
𝑒−µ
𝑥!
=
λ 𝑥
𝑒−λ
𝑥!
P (3) =
23
x 2,71828−2
3 x 2 x 1
= 0.1804 = 18.04%
Diketahui :
µ = λ = np =4000 x 0.0005
=2
Ditanya :
Peluang tepat 3 orang akan
terjadi syok ??
Jawab :
x = 3

24. DENGAN CARA MELIHAT TABEL PROBABILITAS POISSON
KUMULATIF
P (x=3,2,1,0) = 0,8571
Jika hanya ingin mendapatkan p(x=3)
=0,8571 – 0.6767
= 0.1804
= 18.04%

25. Pada kasus di mana n cukup besar dan p tidak
terlalu kecil (tidak mendekati 0,....,1 dilakukan
pendekatan memakai distribusi Normal (Gauss)
Ditemukan pertama kali oleh matematikawan asal
Prancis, Abraham D (1733) , diaplikasikan lebih
baik lagi oleh astronom asal 7 Distribusi Normal
= Distribusi Jerman, Friedrich Gauss Gauss
DISTRIBUSI NORMAL ATAU GAUSS

26. Agar lebih praktis, telah
ada tabel kurva normal di
mana tabel ini
menunjukkan luas kurva
normal dari suatu nilai
yang dibatasi nilai tertentu.
RUMUS
∫ 𝑥 =
1
√2𝜋𝜎
e-
1
2𝜎
𝑥_ 𝜇 2
- ≈ < 𝑥 > ≈
- ≈ < 𝜇 > ≈
- 𝜎2 = 0
- 𝜋 = 3.14
- e = 2,71828

27. Simetris
Seperti lonceng
Titik belok µ + a
Luas di bawah kurva = probability = 1
CIRI KHAS DISTRIBUSI NORMAL

28. Untuk dapat menentukan probabilitas di dalam kurva normal
umum (untuk suatu sampel yang cukup besar, terutama untuk
gejala alam seperti berat badan dan tinggi badan), nilai yang akan
dicari ditransformasikan dulu ke nilai kurva normal standar
melalui transformasi Z
(deviasi relatif). -
KURVA NORMAL UMUM
Z =
𝑥 −𝜇
𝜎
Z =
𝑥−ẍ
𝑆
Kurva normal standar ==== (µ = 0, a = 1)
Kurva normal umum ==== N (µ, a)

29. Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur
40 - 60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol mereka
215 mg % dan simpangan baku sd = 45 mg %. Hitunglah
peluang kita mendapatkan seorang yang kadar
kolesterolnya:
a. > 250 mg %
b. < 200 mg %
c. antara 200 - 275 mg %
CONTOH

30. Diketahui :
S = 45 mg %
x = 250 mg %
ẍ = 215 mg %
Ditanya :
a. > 250 mg %
b. < 200 mg %
c. antara 200 - 275 mg %
PENYELESAIAN

31. Nilai x ditransformasikan ke nilai z. Di dalam tabel nilai z berada pada kolom
paling kiri dan baris paling atas. Ambillah nilai 2 ini tiga digit saja. Nanti 2 digit
ada di kolom dan digit ketiga ada di baris.
NEXT
z
∴ 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 > 250 mg % adalah
0.5 – 0.2764 = 0.2236
Atau sebanyak 22.36 %
a. P (x > 250 mg%)
Z =
250−215
45
= 0.76
Z =
𝑥−ẍ
𝑆

32. NEXT

33. NEXT b. P (x < 200 mg%)
Z =
200 −215
45
= 0,33 ------- Tabel 0,1297
jadi P (x < 200 mg%) = 0,5 - 0,1297 =
0,3703 = 37.03%

34. NEXT c. P (200< x < 275 mg%)
• p (200 mg% < X < 275 mg%)
• pada soal b. sudah didapatkan area antara 215 mg0/o s.d
200 mg0/o = 0,1297
• Z =
275 −215
45
= 1,33 ------ Tabel 0,4082
Jadi P (200 mg%< X < 275 mg%) = 0,1297 + 0,4082
=0,5379 = 53,79%

35. PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMINAL KE DISTRIBUSI NORMAL