1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Soluţie
1. Fie z numărul din enunţ. Avem
6 6
 = 6 ⋅ 3 1  z 2 + i 6
 π π   2 2  = 2 ⋅  cos + i
sin
    6 6

. Folosind formula lui Moivre,
obţinem: z = 26 ⋅ (cosπ + i sinπ ) = −26 ⇒ Re(z ) = −64 .
2. ( )( ) ( ( ))
1
D 512 = 512 = = 512 = 2 = 2
.
( )
9 9 9
3
512
f f f f
f
3. Utilizând formula cos 2x =1− 2sin2 x , ecuaţia devine 2sin2 x − sin x −1= 0 . Notăm y = sin x şi
obţinem ecuaţia 2y2 − y −1= 0 cu soluţiile
1
2
− şi 1.
x x k k
= ⇔ = π + π ∈] , iar ( ) 1 1
sin 1 2 ,
2
k x x k k
= − ⇔ = − + π + π ∈] .
sin 1 ,
2 6
4. Fiecare submulţime cu trei elemente a lui M poate fi ordonată strict crescător într-un singur mod.
Numărul tripletelor (a,b,c) cu proprietatea că a,b,c∈M şi a < b < c este egal cu numărul submulţimilor cu
trei elemente ale mulţimii M, adică 3
6 C = 20 .
5. Punctul A(0, 3) se află pe dreapta d . Atunci distanţa cerută este
1 ( ) ( 2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3 −
11 1 5
d , = d ,
) = = =
1 2 2 2 2
2 4 20 10
d d A d
+
.
6. Avem
JJJG JJJG
2 2
AD = AD = 4
, iar AB ⋅ AD = AB ⋅ AD ⋅ cos 60D =1 JJJG JJJG JJJG JJJG
.
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Atunci ( ) 2
AC ⋅ AD = AB + AD ⋅ AD = AB ⋅ AD + AD ⇒ AC ⋅ AD = 5
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1