Materi Fungsi Distribusi Peuabah Acak Diskrit

1. TRANSFORMASI
PEUBAH ACAK
DISKRIT
Ade Irfan Ritonga 8216172005
Eliana Jenifer Marbun 8216172011
Mar I Muhammad 8216172008
Rizkiyan Hadi 8216172007

2. Content:
Metode Fungsi Distribusi
Metode Transformasi untuk Kasus Unvariat
Metode Transformasi untuk Kasus Bivariat
Metode Fungsi Pembangkit Momen

3. Pendahuluan
3
Dalam banyak aplikasi statistik, jika diberikan suatu distribusi peluang peubah
acak univariat X, maka akan diperlakukan distribusi peluang dari peubah acak univariat
yang lain Y= , dimna φ adalah suatu fungsi yang diketahui. Misalanya, jika kita mengetahui
distribusi peluang peubah acak X, kita bisa mengetahui distribusi Y = ln(X). Berikut ini
beberapa bentuk peubah acak lain yang memerlukan transformasi untuk mendapatkan
fungsi sebaran peluangnya ketika yang diketahui adalah fkp peubah acak X.
Y = , Y = , Y = , Y = ln(X), Y = , dan Y =
Demikian pula untuk peubah acak bivariat (X,Y), beberapa transformasi yang paling umum
dari X dan Y adalah X + Y, XY, min {X,Y}, max {X,Y} atau .

4. Dalam bab ini, kita akan mengkaji bebragai metode untuk
menentukan hasil transformasi distribusi peubah acak univariat atau
bivariat, ketika bentuk trasnformasi dan distribusi dari peubah-
peubah diketahui. Pertama, kita bahas untuk peubah acak univariat,
selanjunya kita bahas berkaitan dengan peubah acak bivariat. Kita
mulai dengan suatu soal untuk peubah acak univariat diskrit berikut
ini.

5. Soal 7.1
Fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada tabel dibawah ini. Tentukan fungsi
kepadatan peluang dari peubah acak Y =

7. 𝐆𝐚𝐦𝐛𝐚𝐫 𝟕. 𝟏 𝐅𝐮𝐧𝐠𝐬𝐢 𝐤𝐞𝐩𝐚𝐝𝐚𝐭𝐚𝐧 𝐩𝐞𝐥𝐮𝐚𝐧𝐠 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐗 & 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐘 = 𝒙𝟐

8. Soal 7.2
Fungsi kepdatan peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada tabel dibawah ini:

10. Distribusi X dan 2X + 1 dituliskan dibawah ini,
Gambar. Fungsi kepadatan peluang dari X & fkp dari Y = 2X + 1
Pada soal diatas, kita telah menghitung fungsi kepadatan peluang dari
peubah acak Y = φ(x) yang ditransformasikan dimana φ(x) =
transformasi ini tidak naik tidak turun. Oleh karena itu, distribusi Y
berubah menjadi sangat berbeda dari X. Pada soal berikutnya, bentuk distribusi
dari transformasi peubah acak Y = φ(x) dimana φ(x) = 2x + 1, pada dasarnya
sama. Hal ini terutama disebabkan φ(x) = 2x + 1 adalah monoton di Rx.

11. Dalam bab ini kita akan memeriksa fungsi kepadatan peluang dari peubah
acak yang di transformasikan dengan mengetahui fungsi kepadatan peluang
peubah acak yang asli. Ada beberapa metode untuk menemukan fungsi
kepadatan peluang dari peubah acak yang di transformasikan antara lain:
1) Metode fungsi ditribusi
2) Metode transformasi
3) Metode konvolusi dan
4) Metode fungsi pembangkit momen
Di antara empat metode tersebut, metode transformasi adalah yang paling
berguna. Metode konvolusi merupakan kasus khusus dari metode ini. Metode
transformasi diturunkan dengan menggunakan metode fungsi distribusi.

12. Metode Fungsi Dsitribusi
Kita telah melihat di BAB sebelumnya dalam buku Statistika Matematika suatu
metode yang mudah untuk menentukan fungsi kepadatan peluang dari
transformasi peubah acak kontinu adalah dengan menentukan fungsi distribusi
komulatifnya dan kemudian fungsi kepadatan peluang tersebut diperoleh
melalui diferensial.
Sebuah kotak akan dibuat sehingga tingginya 4 inci dan alasannya adalah X inci.
Jika X berdistribusi Normal Standar, tentukan distribusi peluang volume kotak
tersebut.
Soal 7.3

13. Solusi:
Volume kotak adalah suatu peubah acak, karena X adalah suatu peubah acak.
Peubah acak V diberikan oleh V = 4X2. Untuk menemukan fungsi kepadatan
peluang V, pertama- tama kita tentukan bentuk fungsi distribusi G(v) dari V dan
kemudian kita turunkan G(v). Fungsi distribusi V diberikan oleh.

14. Oleh karena itu, dengan memanfaatkanTteorema Dasar Kalkulus, kita peroleh,

15. Gambar. Fkp peubah acak X & fkp peubah acak Y
Soal 7.4
Jika fungsi kepadatan peluang X didefenisikan oleh,
Tentukan kepadatan peluang Y = X2

16. Solusi:
Pertama kita tentukan funsgi distribusi komulatif Y lalu diferensialkan untuk memperoleh fkp Y. Fungsi distribusi
komulatif G(y) adalah,
Dengan demikian , fkp (fungsi kepadatan peluang) Y diberikan oleh,

17. Gambar Fkp peubah acak X & Fkp peubah Acak Y

18. Metode Transformasi untuk Kasus Univariat
Teorema 7.1
Misalkan X merupakan suatu peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f(x). misalkan pula y = T(x)
merupakan fungsi naik atau fungsi turun,, maka fungsi kepadatan peluang dari peubah acak Y = T(x) diberikan
oleh,
Dimana x= W(y) adalah fungsi dari invers dari T(x).
Bukti:
Misalkan y = T (x) merupakan suatu fungsi naik. Fungsi distribusi kumulatif G(y) diberikan oleh,

19. Maka dengan mendeferensialkannya kita peroleh fungsi kepadatan peluang Y, yaitu :
Dalam hal yang lain, jika y = T(x) adalah fungsi turun,maka fungsi distribusi Y diberikan oleh,

20. Dengan mendiferensialkan persamaan tersebut, kita peroleh fungsi kepadatan peluang Y,
Maka, dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, kita peroleh:

21. Oleh karena itu, fkp Z adalah :

22. Dengan demikian, fkp dari Y diberikan oleh:

23. Meskipun semua soal yang telah dibahas diatas terkait dengan peubah acak kontinu, metode
transformasi juga berlaku untuk peubah acak diskrit.

24. Metode transformasi untuk Kasus Bivariat

26. Dari peubah acak baru itu, diperoleh Jacobian sebagai berikut,

28. Oleh karena itu, Jacobian dari transformasi ini adalah.
Fungsi kepadatan peluang gabungan dari U dan V adalah,

29. Oleh karena itu, fkp gabungan g(u,v) dari peubah acak U dan V diberikan oleh,
Dengan demikian, U~CAU(1).

38. Metode Fungsi Pembangkit Momen

39. Solusi :

41. Thank You For Attention