mtk

1. MATEMATIKA RADIOLOGI
WENI PURWANTI, M.Si

2. EKSPONENSIAL

3. 3
EKSPONEN
Sifat-sifat eksponen:
1. Bilangan berpangkat:
2. Bilangan berpangkat dalam pembagian:
3. Bilangan berpangkat dalam perkalian:
4. Dua bilangan didalam Kurung berpangkat:
5. Bilangan berpangkat dalam Kurung pangkat:

4. 4
Sifat – Sifat Eksponen
Tentukan nilai X dan Y
1. 227
𝑥218
= 2𝑦
2. 𝑏5
: 𝑏2
= 𝑏𝑦
3. 27
𝑥2𝑥
= 24
4. (2𝑥
)7
= 221
5. (24
)𝑥
= 22
6. (2.4)2
= 2𝑦

5. 5
Fungsi Eksponensial
Suatu fungsi eksponensial dengan basis 𝑎 dan eksponen 𝑥
maka:
Dimana sifat fungsi eksponensial:
1. Domain (-∞, ∞)
2. Melewati titik (0.1)
3. Kontinue diseluruh domain, dll.

6. 6
Hukum eksponensial sering digunakan dalam radiologi
yaitu eksponensial Growth atau pertumbuhan dan
eksponensial Decay atau peluruhan.
Persamaan yang digunakan yaitu:

7. 7
Persamaan Umum:
Dimana:
𝑁𝑜 : Aktifitas atau Intensitas mula-mula
N : Aktifitas atau Intensitas baru
y : Parameter yang mempengaruhi

8. 8
Jika persamaan umum tersebut diaplikasikan pada
perisitiwa perubahan intensitas radiasi disebabkan
penyerapan radiasi oleh suatu material maka, perubahan
intensitas radiasi akan dipengaruhi oleh:
1. Efisiensi penyerapan dalam suatu material
2. Ketebalan material

9. 9
Formula Intensitas Radiasi:
Dimana:
N atau 𝐼 : Intensitas Baru
𝑁𝑜 atau 𝐼𝑜 : Intensitas mula-mula
𝜇 : Koefisien serap
𝑥 : Ketebalan Bahan

10. 1 0
Jika persamaan umum diaplikasikan pada perisitiwa
peluruhan radioaktif maka :
Dimana:
A : Nilai aktifitas radioaktif baru
𝐴𝑜: Nilai aktifitas radioaktif mula-mula
𝜆 : Konstanta peluruhan
t : Waktu tertentu yang diukur

11. 1 1
Diketahui nilai 𝜆 berbanding terbalik dengan nilai waktu
paruh atau T1/2. Waktu paruh merupakan waktu yang
diperlukan oleh suatu radioisotope (partikel yang
memancarkan radiasi) untuk meluruh menjadi
setengahnya. Sehingga:

12. 1 2
Prinsip ekponensial pada intensitas penyerapan radiasi
oleh suatu material dan proses peluruhan adalah SAMA.
Nilai waktu paruh pada proses peluruhan sama dengan
nilai Half Value Layer (HVL) pada proses penyerapan
radiasi, sehingga:
Proses Perluruhan Proses Penyerapan radiasi

13. Transformasi
Radon

14. 1 4
Transformasi Radon dalam radiologi diaplikasikan pada
modalitas citra seperti:
1. CT Scan:
a. Sinar-X bergerak mengitari tubuh
b. f(x,y) adalah densitas jaringan
2. MRI
a. f(x,y) adalah densitas spin molekul jaringan

15. 1 5
Jumlah integral dari suatu kuantitas atau wilayah objek
disebut dengan Proyeksi. Jumlah dari proyeksi dapat
dinyatakan sebagai f(x,y).
contoh pada gambar
kita asumsikan bahwa
𝑃𝜃 𝑡 untuk semua 𝜃
dan t.

16. 1 6
Maka persamaan transformasi
radon dalam koordinat polar
untuk garis t :
𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃= t
Jadi garis ini hanya ada jika memenuhi persamaan:
𝑃𝜃 t = ‫׬‬𝜃,𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑒
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠
= ‫׬‬
−∞
∞
‫׬‬
−∞
∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝛿(𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃)𝑑𝑥𝑑𝑦
= 𝛿 (𝑥0 cos 𝜃 + 𝑦0 sin 𝜃 − 𝑡)

17. 1 7
Interpretasi:
Sebuah fungsi dalam ruang (t,𝜃) bernilai 1 di sepanjang
kurva sinusoidal dan 0 di ruang lain. (1 Titik pada 2D)
Jika 𝑦0 = 0 dan 𝑥0 = 1 maka citra yang terbentuk pada
saat 𝑡 = cos 𝜃.

18. 1 8
y
x
Respon Impuls 2D (PSF)
t
𝜽
Citra 𝑷𝜽(𝒕)
𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐬𝐢 𝐑𝐚𝐝𝐨𝐧
(Sinogram)

19. 1 9
y
x
Contoh Lain
t
𝜽
y
x
t
𝜽
by: Prof. Eric Miller

20. LATIHAN

21. 2 1
1. Diketahui:
Paparan radiasi sebelum melewati penahan adalah
100%.
Ditanya:
Berapa paparan radiasi tersisa setelah melewati
dinding aluminium setebal 4 cm? (diketahui HVL
aluminium 2 cm) ?

22. 2 2
2. Diketahui:
Suatu apron mampu menyerap intensitas radiasi
sebesar 95%.
Ditanya:
Jika dua buah apron tersebut ditumpuk/digunakan
untuk menahan radiasi yang sama, maka intensitas
radiasi yang mampu melewati menjadi sebesar?

23. 2 3
3. Diketahui:
Suatu unsur radioaktif memiliki massa 20 gram dan
waktu paruh 25 menit.
Ditanya:
Hitunglah zat radioaktif yang meluruh sesudah 2
jam?

24. 2 4
4. Diketahui:
Suatu unsur radioaktif memiliki aktivitas awal 2.5 kBq
yang diukur pada tangga 1 Juni 1992.
Ditanya:
Hitunglah aktivitas saat ini dari radioaktif tersebut
jika waktu paruh yang dimiliki adalah 14 tahun?

25. THANKS