1. Variable Random dan
Distribusi Peluang
1 Konsep Variable Random
Dari eksperimen pengambilan sample baik dan defektif diperoleh ruang sample:
S = {N N N, N N D, N DN, DN N, N DD, DN D, DDN, DDD}
Misalkan kita tertarik pada sample yang rusak (defektif). Dari tiap elemen
sample tersebut dapat kita berikan nilai (dipadankan) 0,1,2,3 yang menyatakan
banyaknya sample yang rusak.
Definisi:
Sebuah variable random X pada ruang sample S adalah fungsi X : S →
yang memadankan sebuah bilangan real X(s) dengan setiap titik sample s ∈ S.
Variable random dinotasikan dengan huruf besar X dan huruf kecil x yang
menyatakan nilai dari variable random tersebut.
Contoh:
Dua buah bola diambil secara berturutan tanpa penggantian dari sebuat pot
yang berisi 4 warna merah dan 3 warna hitam. Misalkan Y adalah variable
random yang menyatakan warna merah maka y dituliskan pada Tabel 1
Contoh:
Ruang sample y
RR 2
RB 1
BR 1
BB 0
Table 1: Pengambilan bola
Seorang penjaga penitipan helm, mengembalikan 3 helm kepada orang yang
1

2. JS/IF-STEI/2007 2
Ruang sample m
SJB 3
SBJ 1
JSB 1
JBS 0
BSJ 0
BJS 1
Table 2: Pencocokan helm
m 0 1 3
1 1 1
P (M = m) 3 2 6
Table 3: Distribusi peluang
punya sesuai dengan urutan. Misalkan M adalah variable random yang meny-
atakan kesesuaian dengan pemiliknya, maka M dapat ditabelkan pada Tabel 2.
Dua contoh diatas menyatakan ruang sample yang berhingga. Sebaliknya,
sebuah dadu dilempar sampai angka 5 muncul, maka ruang sample S dapat
dituliskan:
S = {F, N F, N N F, N N N F, ..., }
dimana simbol F menyatakan 5.
Definisi:
Jika sebuah ruang sample berisi sejumlah hingga kemungkinan atau barisan tak
hingga sebanyak dari elemennya disebut dengan ruang sample diskrit.
Definisi:
Jika sebuah ruang sample berisi sejumlah tak hingga kemungkinan sama dengan
sejumlah titik pada sebuah segmen garis maka disebut dengan ruang sample
kontinu.
2 Distribusi Peluang Diskrit
Setiap variable random diskrit mempunyai nilai yang menyatakan peluang dari
variabel tersebut. Misalkan contoh dari sebelumnya (penjaga helm) nilai yang
menyatakan peluang dituliskan pada Tabel 3. Untuk kemudahan biasanya untuk
menyatakan semua nilai peluang dari variable random X dengan sebuah rumus/
fungsi, f (x), g(x), r(x) dan seterusnya. Misalkan f (x) = P (X = x), kumpulan
pasangan terurut (x, f (x) disebut dengan fungsi peluang atau distribusi peluang
dari variable random X.

3. JS/IF-STEI/2007 3
Definisi:
Kumpulan pasangan terurut (x, f (x) disebut dengan fungsi peluang, atau
fungsi massa peluang dari variable random diskrit X, jika setiap kejadian x
dipenuhi:
1. f (x) ≥ 0
2. x f (x) = 1
3. P (X = x) = f (x)
Contoh:
Pengiriman 8 buah komputer serupa ke penjual berisi 3 defektif. Jika sekolah
akan membeli 2 buah tentukan distribusi peluang komputer tersebut defektif.
Jawab:
Misalkan X menyatakan variable random yang bernilai x jumlah yang rusak/defektif,
maka
3 5
0 2 10
f (0) = P (X = 0) = 8 =
2
28
3 5
1 1 15
f (1) = P (X = 1) = 8 =
2
28
3 5
2 0 3
f (2) = P (X = 2) = 8 =
2
28
Sehingga distribusi peluang X adalah:
x 0 1 2
f (x) 10/26 15/28 3/28
Table 4: Tabel distribusi
Definisi:
Distribusi kumulatif F (x) dari variable random diskrit X dengan distribusi pelu-
ang f (x) adalah:
F (x) = P (X ≤ x) = f (t) untuk − ∞ < x < ∞
t≤x
Contoh:
Dari contoh penjaga helm dapat dihitung:
1 1 5
F (2.4) = P (M ≤ 2.4) = f (0) + f (1) = + =
3 2 6

4. JS/IF-STEI/2007 4
Distribusi peluang dari M adalah:

 0
 1 untuk m < 0

3 untuk 0 ≤ m < 1
F (m) = 5
 6
 untuk 1 ≤ m < 3

1 untuk m ≥ 3
F(x)
1
5/6
2/6
x
0 1 2 3
Figure 1: Distribusi kumulatif diskrit
3 Distribusi Peluang Kontinu
Variable random kontinu ada peluang yang bernilai nol, oleh karena itu dis-
tribusi peluang tidak dapat dituliskan dalam bentuk tabel. Jika X kontinu
maka :
P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) + P (X = b) = P (a < X < b)
Dan dihitung sbb:
b
P (a < X < b) = f (x)dx
a
Definisi:
Fungsi f (x) adalah fungsi densitas peluang untuk variable random kontinu
X, didefinisikan pada bilangan real , jika:
1. f (x) ≥ 0, ∀ x ∈
∞
2. −∞ f (x)dx = 1,
b
3. P (a < X < b) = a
f (x)dx

5. JS/IF-STEI/2007 5
f(x)
x
a b
Figure 2: P (a < X < b)
Contoh:
Kesalahan pengukuran temperatur dinyatakan dengan variable random X den-
gan fungsi densitas yang didefinisikan sbb:

 x2
f (x) = −1 < x < 2
 03 untuk x yang lain
a). Periksa syarat 2 dari difinisi diatas.
b). Hitunglah P (0 < X ≤ 1)
Jawab:
∞ 2
x2 8 1
a). f (x)dx = = + =1
−∞ −1 3 9 9
1
x2 1
b). P (0 < X ≤ 1) = dx =
0 3 9
Definisi:
Distribusi kumulatif F (x) dari variable random kontinu X dengan fdp f (x)
adalah:
x
F (x) = P (X ≤ x) = f (t)dt untuk − ∞ < x < ∞.
−∞
Akibat dari definisi diatas dapat dituliskan:
dF (x)
P (a < x < b) = F (b) − F (a) dan f (x) =
dx

6. JS/IF-STEI/2007 6
Contoh:
Dari fdp soal sebelumnya tentukan F (x) kemudian gunakan untuk menghitung
P (0 < X ≤ 1)
Jawab:
Untuk −1 < x < 2
x x
t2 x3 + 1
F (x) = f (t)dt = dt =
−∞ −∞ 3 9
Sehingga: 
 0
 x ≤ −1
 3
x +1
F (x) = −1 ≤ x < 2

 1 9

x≥2
Untuk menghitung P (0 < X ≤ 1):
2 1 1
P (0 < X ≤ 1) = F (1) − F (0) = − =
9 9 9
4 Distribusi Empirik
Pasal sebelumnya membahas tentang distrisbusi diskrit dan kontinu. Jika data
tidak dapat dikarakteristikan ke dalam kedua bentuk tersebut, misalkan infor-
masi tidak cukup, maka direpresentasikan dengan distribusi empirik. Distribusi
empirik mengelompokkan data ke dalam suatu interval, dimana frekuensi data
dalam setiap interval dapat digunakan untuk menentukan frekuensi relatifnya.
Frekuensi relatif dapat digambarkan/diplot dalam bentuk histogram. Misalkan
diberikan sekolompok data yang sudah dihitung frekuensi dan frekuensi relat-
ifnya seperti Tabel 5. Dari tabel tersebut dapat diplot dalam histogram seperti
Gambar 4.
Interval ttk tengah Frekuensi Frek. relatif
1.5-1.9 1.7 2 0.050
2.0-2.4 2.2 1 0.025
2.5-2.9 2.7 4 0.100
3.0-3.4 3.2 15 0.375
3.5-3.9 3.7 10 0.250
4.0-4.4 4.2 5 0.125
4.5-4.9 4.7 3 0.075
Table 5: Distribusi frekuensi relatif dari umur battery
5 Distribusi Peluang Gabungan
Jika X dan Y dua variabel random diskrit, maka distribusi peluang untuk
kejadian simultan dapat direpresentasikan dengan fungsi f (x, y) untuk setiap

7. JS/IF-STEI/2007 7
0.375
frekuensi relatif
0.250
0.125
0
1.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.2 4.7
umur battery
Figure 3: Histogram frekuensi relatif
pasangan (x, y). Fungsi ini disebut dengan distribusi peluang gabungan
dari variabel random X dan Y . Untuk kasus diskrit dituliskan:
f (x, y) = P (X = x, Y = y)
Definition:
Fungsi f (x, y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi masa pelu-
ang dari variabel random diskrit X dan Y jika:
1.f (x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y)
2. f (x, y) = 1
x y
3.P (X = x, Y = y) = f (x, y)
Untuk daerah sebarang A dalam bidang xy, P [(x, y) ∈ A] = f (x, y).
A
Contoh:
Dua isi ulang dari ballpoint diambil dari box yang berisi 3 warna biru, 2 warna
merah dan 3 warna hijau. Jika X menyatakan jumlah warna biru dan Y meny-
atakan jumlah warna warna merah, tentukan:
a). fungsi peluang gabungan f (x, y) dan
b). P [(X, Y ) ∈ A] dimana A adalah daerah {(x, y)|x + y ≤ 1}
Jawab:
a). Nilai pasangan yang mungkin dari (x, y) adalah (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (0, 2).
8
Jumlah semua kemungkinan pengambilan adalah = 28. Dalam bentuk
2
tabel dapat dituliskan:

8. JS/IF-STEI/2007 8
f(x,y) x=0 x=1 x=2 total baris
3 9 3 15
y=0 28 28 28 28
3 3 3
y=1 14 14 7
1 1
y=2 28 28
5 15 3
total kolom 14 28 28 1
Table 6: Distribusi peluang gabungan
Dituliskan dalam bentuk rumus adalah:
3 2 3
x y 2−x−y
f (x, y) =
8
2
Untuk x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2; 0 ≤ x + y ≤ 2
b).
P [(X, Y ) ∈ A] = P (X + Y ≤ 1)
= f (0, 0) + f (0, 1) + f (1, 0)
3 3 9
= + +
28 14 28
9
=
14
Definisi:
Fungsi f (x, y) adalah fungsi densitas gabungan dari variabel random kontinu
X dan Y jika:
1.f (x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y)
∞ ∞
2. f (x, y)dxdy = 1
−∞ −∞
3.P [(X, Y ) ∈ A] = f (x, y)dxdy
A
untuk sebarang daerah A dalam bidang xy
Contoh:
Diberikan fungsi densitas gabungan dari variabel random kontinu X dan Y sbb:

 2
f (x, y) = (2x + 3y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
 05
untuk x yang lain

9. JS/IF-STEI/2007 9
a). Periksa kondisi 2). dari definisi diatas
b). Tentukan P [(X, Y ) ∈ A], A adalah daerah {(x, y)|0 < x < 1 , 1 < y < 2 }
2 4
1
Jawab:
a).
∞ ∞ 1 1
2
f (x, y)dxdy = (2x + 3y)dxdy
−∞ −∞ 0 0 5
2 3
= + =1
5 5
b).
1 1 1
P [(X, Y ) ∈ A] = P (0 < x < , <y< )
2 4 2
1 1
2 2 2
= (2x + 3y)dxdy
1
4 0 5
13
=
160
Definisi:
Distribusi marginal dari X dan Y adalah:
g(x) = f (x, y) dan h(y) = f (x, y)
y x
untuk kasus diskrit, dan
∞ ∞
g(x) = f (x, y)dy dan h(y) = f (x, y)dx
−∞ −∞
untuk kasus kontinu.
Contoh:
Dari Tabel 6, tentukan distribusi marginal dari X dan Y
Jawab:

10. JS/IF-STEI/2007 10
Untuk variabel random X dapat dihitung sbb: (satunya sebagai latihan)
2
P (X = 0) = g(0) = f (0, y) = f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2)
y=0
3 3 1 5
= + + =
28 14 28 14
2
P (X = 1) = g(1) = f (1, y) = f (1, 0) + f (1, 1) + f (1, 2)
y=0
9 3 15
= + +0=
28 14 28
2
P (X = 2) = g(2) = f (2, y) = f (2, 0) + f (2, 1) + f (2, 2)
y=0
3 3
= +0+0=
28 28
Dalam bentuk tabel sebagai berikut:
x 0 1 2
g(x) 5/14 15/28 3/28
Contoh:
Tentukan g(x) dan h(y) dari contoh sebelumnya.
∞ 1
2 4x + 3
g(x) = f (x, y)dy = (2x + 3y)dy =
−∞ 0 5 5
untuk 0 ≤ x ≤ 1 dan g(x) = 0 untuk x yang lain. Dengan cara yang sama,
∞ 1
2 2(1 + 3y)
h(y) = f (x, y)dx = (2x + 3y)dx =
−∞ 0 5 5
untuk 0 ≤ y ≤ 1 dan h(y) = 0 untuk y yang lain.
Definisi:
Misalkan X dan Y dua variabel random, diskrit atau kontinu. Distribusi
bersyarat dari variabel random Y , diberikan X = x adalah:
f (x, y)
f (y|x) = , g(x) > 0
g(x)
Distribusi bersyarat dari variabel random X, diberikan Y = y adalah:
f (x, y)
f (x|y) = , h(y) > 0
h(y)

11. JS/IF-STEI/2007 11
Contoh:
Dari contoh sebelumnya, tentukan distribusi bersyarat dari X diberikan Y = 1.
Jawab:
Akan dihitung f (x|y), dimana y = 1.
2
3 3 3
h(1) = f (x, 1) = + +0=
x=0
14 14 7
Kemudian dihitung:
f (x, 1) 7
f (x|1) = = f (x, 1), x = 0, 1, 2.
h(1) 3
Sehingga diperoleh:
7 1
f (0|1) = f (0, 1) =
3 2
7 1
f (1|1) = f (1, 1) =
3 2
7
f (2|1) = f (2, 1) = 0
3
Dalam bentuk tabel:
x 0 1 2
f (x|1) 1/2 1/2 0
Contoh:
Diberikan fungsi densitas gabungan:

 x(1 + 3y 2 )
f (x, y) = , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
 0 4
untuk x yang lain
Tentukan g(x), h(y), f (x|y), kemudian hitung P ( 1 < X < 1 |Y = 1 )
4 2 3
Jawab:
Dari definisi:
∞ 1
x(1 + 3y 2 ) x
g(x) = f (x, y)dy = dy = , 0 ≤ x ≤ 2
−∞ 0 4 2
Dengan cara yang sama:
∞ 2
x(1 + 3y 2 ) 1 + 3y 2
h(y) = f (x, y)dx = dx = , 0≤y≤1
−∞ 0 4 2
Kemudian dihitung:
f (x, y) x
f (x|y) = =
h(y) 2

12. JS/IF-STEI/2007 12
dan 1
1 1 1 2 x
P ( < X < |Y = ) = dx = 3/64
4 2 3 1
4
2