2. Pengertian Matriks
Susunan atau daftar dari suatu angka-angka yang
mempunyai ikatan berdasar baris atau kolom yang
mempunyai kegunaan tertentu
Susunan baris : angka-angka diurutkan secara
horizontal (ke arah kanan – kiri)
Susunan kolom : angka-angka diurutkan secara
vertikal (ke atas bawah)
Ikatan : hubungan secara berturut-turut, misalkan
karena matriks merupakan nilai
parameter/variabel/angka dari suatu persamaan
Kegunaan matriks : untuk menyerdehanakan,
memudahkan ataupun mempercepat perhitungan
suatu persamaan
3. Bentuk Matriks
Suatu matriks B ditulis B = ( bij )
dimana i = menunjukkan baris ( i = 1,2,3 )
j = menunjukkan kolom ( j = 1,2,3,4 )
B = ( bij ) ini mempunyai arti bahwa matriks B adalah
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
Matriks B tersebut mempunyai jumlah baris = 3 dan
jumlah kolom = 4 dikatakan matriks B berdimensi 3 x 4
atau 3 by 4 atau sering juga ditulis B3x4.
4. Analog, kalau ditulis Amxn, menunjukkan bahwa matriks A
berdimensi/berorder mxn.
Catatan :
m menunjukkan nilai i tertinggi/terbesar
n menunjukkan nilai j tertinggi/terbesar
A3x3 sering juga dituliskan A3, demikian pula An
maksudnya adalah Anxn, matriks demikian sering
disebut matriks bujursangkar / square matrix.
Bentuk Matriks
5. Contoh/macam-macam Matriks
Matriks Baris
contoh ; A = ( 1 2 3 ) A1x3
A = ( 2 6 1 5 ) A1x4
Matriks Kolom
contoh ;
1
4
1
3
2
3
5
4
1
4
2
B
B
B
B
catatan ; - matriks satu baris merupakan vektor baris
- matriks satu kolom merupakan vektor kolom
6. Contoh/macam-macam Matriks
Matriks berorder/berdimensi banyak ; Amxn
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
2
1
2
22
21
1
12
11
7. Operasi Matriks
Equality
Matriks A dikatakan sama (equal) dengan matriks B
apabila A dan B mempunyai kesamaan dalam :
Dimensi atau order artinya bahwa apabila A
berdimensi mxn, maka B juga berdimensi mxn.
Nilai unsur yang berindeks sama harus sama atau
nilai unsur yang berada pada nomor baris dan kolom
yang sama (corresponding location) harus bernilai
sama. Jadi a12 = b12 ; a23 = b23 ; …….. dst.
Contoh;
C
B
A
C
B
A
4
1
2
0
2
0
4
1
2
0
4
1
8. Operasi Matriks
Addition of matrix (penjumlahan dalam matriks)
Matriks A dapat dijumlahkan dengan matriks B apabila
memenuhi syarat : mempunyai dimensi yang sama.
Contoh :
7
7
9
5
5
7
6
4
2
0
3
1
5
7
6
4
2
0
3
1
B
A
C
B
A
11. Operasi Matriks
Scalar multiplication and multiplication of matrix
Multiplikasi atau perkalian dalam matriks akan dapat
dilakukan apabila kedua matriks tersebut mempunyai
kesamaan dalam jumlah kolom matriks yang dikalikan
dengan jumlah baris matriks yang digunakan sebagai
pengali atau jumlah kolom multiplicant sama dengan
jumlah baris multiplier.
16. Operasi Matriks
Catatan :
Dimensi hasil-kali (multiplication sum) merupakan jumlah
baris matriks yang dikalikan (multiplicant) kali jumlah kolom
matriks pengali (multiplier)
A3x2 · B2x4 = C3x4
A4x3 · B3x6 = C4x6
A sebagai multiplicant/lead matrix
B sebagai multiplier/lag matrix
C sebagai multiplication sum/product matrix
17. Transpose Suatu Matriks
Transpose suatu matriks A yakni AT atau A’ dapat
ditentukan dengan merubah tiap baris matriks A menjadi
kolom matriks A’ begitu juga sebaliknya tiap kolom matriks
A menjadi baris matriks A’.
Contoh :
44
34
24
14
43
33
23
13
42
32
22
12
41
31
21
11
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
'
;
8
5
6
9
7
4
'
;
8
9
5
7
6
4
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
D
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
D
A
ya
transposen
A
18. Determinant Suatu Matriks
Determinant suatu matriks dapat ditentukan dengan cara:
12
21
33
11
23
32
13
22
31
32
21
13
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
21
12
22
11
22
21
12
11
22
21
12
11
2
3
0
2
1
2
0
3
1
;
2
0
3
1
;
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
A
A
a
a
a
a
a
a
a
a
A
A
Det
a
a
a
a
A
19. Determinant Suatu Matriks
Determinant suatu matriks dapat ditentukan dengan lebih
dahulu menentukan determinan matriks minor tiap elemen
dan kofaktor.
Menentukan minor elemen bij dan minor elemen akan
mempunyai determinan.
33
31
23
21
12
12
23
22
13
12
31
31
33
31
13
11
22
22
32
31
22
21
13
13
22
21
12
11
33
33
33
32
23
22
11
11
b
b
b
b
M
b
b
b
b
b
M
b
b
b
b
b
M
b
b
b
b
b
M
b
b
b
b
b
M
b
b
b
b
b
M
b
20. Determinant Suatu Matriks
Selanjutnya |M21|, |M23|, |M32| dapat ditentukan dengan cara:
M21 ditentukan dengan menghapus peranan baris II dan kolom I
M23 ditentukan dengan menghapus peranan baris II dan kolom III
M32 ditentukan dengan menghapus peranan baris III dan kolom II
Kofaktor, kij = (-1)i+j |Mij|
22
31
32
21
32
31
22
21
13
3
1
13
23
31
33
21
33
31
23
21
12
2
1
12
23
32
33
22
33
32
23
22
11
1
1
11
1
1
1
b
b
b
b
b
b
b
b
M
k
b
b
b
b
b
b
b
b
M
k
b
b
b
b
b
b
b
b
M
k
22. Contoh :
Determinant Suatu Matriks
6
3
1
3
2
3
1
3
4
1
1
2
2
1
1
1
3
6
3
3
2
3
1
1
1
3
3
6
3
1
3
2
1
1
3
1
2
3
2
1
1
2
1
13
3
1
13
12
2
1
12
11
1
1
11
13
13
12
12
11
11
B
M
k
M
k
M
k
k
b
k
b
k
b
B
B
23. Determinant Suatu Matriks
Atau juga dapat dicari dengan rumus :
6
2
1
1
2
3
2
2
1
3
3
1
1
1
1
1
1
2
3
3
2
1
1
1
1
3
6
3
3
2
3
1
1
1
32
2
3
32
22
2
2
22
12
2
1
12
32
32
22
22
12
12
B
M
k
M
k
M
k
k
b
k
b
k
b
B
24. Determinant Suatu Matriks
Cara yang paling mudah adalah, perhatikan !
3
1
2
3
2
1
1
2
1
B
Tanda (+) dan (-) menunjukkan (-1)i+j yang genap akan (+)
dan sebaliknya bila bernilai ganjil akan (-).
25. Determinant Suatu Matriks
Perhatikan Kolom I :
6
8
5
3
2
6
2
1
6
1
3
6
1
3
2
1
2
2
3
1
1
2
1
3
1
3
2
1
B
Atau Perhatikan Kolom II :
6
2
2
6
1
3
1
2
3
2
6
3
2
3
1
1
1
1
3
2
1
1
2
3
2
3
1
2
B
Seterusnya dapat dengan melihat masing-masing baris atau
kolom.
26. Invers matriks dapat dicari dengan : cara substitusi, cara
adjoint, cara kaunter dan cara partisi matriks. Dibawah ini
hanya akan dibicarakan cara adjoint.
Suatu matriks A mempunyai inverse A-1.
'
;
1
1
K
A
adj
A
adj
A
A
Dan K’ adalah transpose dari matriks kofaktor kij dari
elemen aij , sehingga K’ = KT adalah
nn
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
K
..........
.....
..........
.....
.....
.....
..........
..........
3
2
1
2
23
22
21
1
13
12
11
Invers Suatu Matriks
27. Untuk matriks A3x3 misalnya, akan mempunyai matriks
kofaktor K3x3. Contoh :
3
1
2
4
1
2
3
2
1
A
Tahap I : mencari determinan A
3
14
4
6
6
16
3
2
2
3
1
4
1
3
1
2
1
2
3
2
4
2
3
1
1
A
Tahap II : mencari adjoint A
33
23
13
32
22
12
31
21
11
k
k
k
k
k
k
k
k
k
KT
Invers Suatu Matriks
29. Beberapa Jenis Matriks
1. Null (zero) Matrix : matriks yang semua elemennya = 0.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
: B
A
Contoh
2. Identity Matrix : square matrix yang elemen diagonal
pokoknya = 1, sedangkan elemen lainnya = 0 atau,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
:
0
1
3
2 I
I
Contoh
j
i
apabila
a
j
i
apabila
a
ij
ij
Beberapa Jenis Matriks
30. 3. Diagonal Matrix : square matrix yang setiap elemennya
sama dengan 0; kecuali elemen pokoknya, minimum
salah satu elemennya tidak sama dengan 0.
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
1
0
0
10
: B
A
Contoh
Dengan demikian identity matrix termasuk diagonal matrix.
4. Scalar Matrix : square matrix yang nilai setiap elemen
diagonal sebesar k (k bilangan skalar) dan elemen
lainnya = 0.
k
k
k
I
k
S
S
Contoh
j
i
apabila
a
j
i
apabila
a
ij
ij
0
0
0
0
0
0
3
1
0
0
3
1
:
0
1
3
Beberapa Jenis Matriks
31. 5. Symetric Matrix : square matrix dimana aij = aji.
4
8
9
7
8
3
2
6
9
2
1
4
7
6
4
2
3
4
4
2
B
A
6. Scalar : square matrix yang hanya mempunyai satu baris dan satu
kolom.
7. Vector : matriks yang terdiri dari satu baris atau satu kolom.
8. Matrix Diagonal : matriks yang bila dikalikan dengan transpose
matriksnya menghasilkan identity matrix.
9. Matrix Non-Singular : square matrix yang mempunyai inverse dan
determinannya ≠ 0.
10. Matrix Singular : square matrix yang tidak mempunyai invers dan
determinannya = 0.
11. Commute Matrix : bila AB = BA maka kedua matriks adalah
commute.
Beberapa Jenis Matriks
33. Secara sederhana dapat ditulis Ax = d, dimana ;
16
31
;
;
2
8
4
5
2
1
d
dan
x
x
X
A
Menurut kaidah Cramer :
A
A
x i
i
Dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti
dengan matriks d
Kegunaan Determinan
34. Didapatkan nilai x1 = 3 dan x2 = 4; ternyata hasilnya sama
dengan cara substitusi. Cara substitusi sulit dipecahkan
apabila persamaan dan jumlah bilangan yang belum
diketahui x banyak jumlahnya.
3
42
126
32
10
64
62
2
8
4
5
2
16
4
31
1
x
4
42
168
32
10
248
80
2
8
4
5
16
8
31
5
2
x
Kegunaan Determinan
