Dokumen ini membahas konsep bilangan berpangkat, akar, dan logaritma, serta sifat-sifat dan operasi terkait. Terdapat contoh dan tugas untuk menguji pemahaman mengenai bentuk pangkat dan akar. Juga dijelaskan tentang notasi ilmiah dan logaritma serta cara mengkonversi dan menyederhanakannya.

1.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  1
Bab I
BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
A. Bilangan Berpangkat Bulat
1. Pengertian Bilangan Berpangkat Bulat
Jika n bilangan asli, n > 1 dan a bilangan real bukan nol, maka :
a n
= a x a x a x . . . x a  sebanyak n faktor
di mana : a : bilangan pokok/ basis
n : pangkat/ eksponen
a0
= 1
a n
= n
a
1
 n
a = n
a
1

a1
= 1
Contoh :
a. Hitunglah nilai berikut ini :
1. 42
22  4. 2
)42( 
2. 3
5
3
3
5.
2
5
2






3. 32
)2( 6. 3
3
Jawab :
1. 22222222 42

= 64
2. 93
333
33333
3
3 2
3
5




3. 332
4)2( 
= 4 x 4 x 4
= 64
4. (2 x 4) 22
8
= 64

2.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  2
5.
25
4
5
2
5
2
5
2
2






6.
81
1
3
1
3 3
3

b. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif !
1. 5
2
2. 23
mn
Jawab :
1. 5
5
2
1
2 
2. 3
2
2
3
23 1
n
m
m
n
mn 
c. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat negatif
1. 2
3
1
2. 2
7
Jawab :
1. 2
2
3
3
1 
 2. 2
2
7
1
7 

2. Sifat – Sifat Bilangan Berpangkat Bulat
Jika a dan b adalah bilangan real, sedangkan m dan n adalah bilangan bulat, maka
berlaku :
a. nmnm
aaa 

b. ,nm
n
m
a
a
a 
 untuk 0a
c.   nmnm
aa 

d.   nnn
baba  , untuk 0a
e. n
nn
b
a
b
a






, untuk 0b

3.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  3
Contoh :
a. Sederhanakan dan hitung nilainya
1. 42
22 
2. 3
5
2
2
3.  32
2
Jawab :
1. 642222 64242
 
2. 422
2
2 235
3
5
 
3.   63232
222  
b. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam pangkat bulat positif
1. 245
222  
2. 45
23


yx
yx
Jawab :
1. 3245245
22222  
2.
2
2
2
22)4(253
45
23






 


x
y
x
y
yxyx
yx
yx
Tugas Kompetensi 1
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat !
1. Nyatakan dalam pangkat !
a. 5 x 5 x 5 = . . .
b. a x a x a x a = . . .
2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut ini
a.
..............43
5555  

4.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  4
b.   .....
..............23
b
1
bbb  
3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut
a. 164
x
b.
 
4
1
2 43
x
4. Sederhanakan dan nyatakanlah hasilnya dengan pangkat positif
a. 22
3
ba
ba
b.  2xx
ee 

c.
 
 ab
ba
234 
5. a. Diketahui T = 312
4 rqp 
. Hitunglah T jika p = 2, q = 3, dan r = -1
b. Terdapat 





 3
2
2
r
qp
A . Hitung A jika p = -8, q = 27, dan r = -24
B. Bentuk Akar
1. Pengertian Bentuk Akar
a. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
b
a
dengan
a. b bilangan bulat dan b 0
Contoh :
1. Bilangan bulat, asli, dan pecahan
2. Bilangan desimal berulang
0.33333. . .=
3
1
9
3

0,121212. . . .=
33
4
99
12

3. Bilangan desimal terbatas
0.5 =
2
1
2,75 =
4
11

5.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  5
b. Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
b
a
dengan a,b bilangan bulat dan b 0
Contoh :
1. 2 =1,41423562…
2. 7 =1,64575131…
c. Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya bukan
merupakan bilangan rasional.
Contoh :
1. ,...25,64,16 3
( bukan bentuk akar )
2. ,...8,15,3 3
( bentuk akar )
d. Menyederhanakan bentuk akar
qpqp 
Contoh :
1. 232.92.918 
2. 555.1255.25125 
2. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
  cbacbca 
  cbacbca 
Contoh :
1.   252234222324 
2. 373534367548108 

6.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  6
b. Perkalian bentuk akar
cdabdbca 
Contoh :
1. 15105.35.25532 
2.     3540108356663352165475 
c. Menarik akar kuadrat
  baabba  2
  ba,baab2ba 
Contoh :
1.   353.52351528 
2. 575.72)57(352123541214012 
3. Merasionalkan Penyebut
a. Bentuk Sekawan
  
   3322
22
yxyxyxyx
yxyxyx


b. Jika terdapat
2223
25
,
32
4
,
52
3
,
3
2



dengan penyebut bentuk akar maka
bentuk penyebut pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional. Proses
mengubah penyebut bentuk akar menjadi bilangan rasional disebut merasionalkan
penyebut.
Contoh :
 
 
348
34
348
32
324
32
32
32
4
32
4
22














7.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  7
Tugas kompetensi 2
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat !
1. Ubahlah bilangan desimal berikut menjadi bilangan rasional
b
a
a. 3,12 b. 0,55555….
2. Sederhanakanlah !
a. 98 d. 3
27
b. 50 e. 3
36
c. 121
3. Tentukan hasil operasi aljabar berikut !
a.  2
23 
b.   235253 
4. Sederhanakanlah !
a. 33
273 xyyx
b.
2
2
15







 
5. Rasionalkanlah !
a.
32
3

b.
3223
3223


C. Pangkat Rasional
1. Pengertian Pangkat Rasional
Untuk Ra ,m dan Rn dan 2n maka :
n mn
m
nn
aa
aa


1
2. Sifat-Sifat Bilangan dan Pangkat Rasional
Jika a dan b  0,0  baR , p dan q bilangan rasional maka berlaku berikut ini

8.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  8
 
 
p
pp
ppp
qpqp
qpqp
qpqp
b
a
b
a
*
baba*
aa*
aa:a*
aaa*













Contoh :
Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi bentuk akar
1. 4
3
2 2. 3
1
16

Jawab :
1. 44 34
3
822  2.
3
3
1
3
1
16
1
16
1
16 

Tugas kompetensi 3
Kerjakan soal-soal da bawah ini dengan tepat !
1. Ubahlah ke dalam bentuk akar
a. 3
2
3 b. 5
2
4
2. Ubah ke bentuk bilangan berpangkat
a. 5 b.
4 3
3
3
3. Diketahui
3
1
2
1
6
1
2
3
)(





xx
xx
xf . Carilah harga f(64)
4. Sederhanakanlah !































































11
11
22
1
2
2
1
2
1
2
x
y
y
x
x
y
y
x
5. Tentukan nilai x yang memenuhi hubungan
25
1
25
1
5
6
1
62
2
















x

9.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  9
D. Notasi Baku atau Notasi Ilmiah
Bilangan-bilangan yang besar sekali atau kecil sekali lebih praktis jika disajikan
dengan menggunakan notasi baku atau notasi ilmiah (scientific notation). Notasi baku
suatu bilangan ditulis dalam bentuk eksponen
n
10α
dengan a bilangan rasional )101(  α dan n bilangan bulat (positif atau negatif)
Langkah-langkah penulisan suatu bilangan dalam notasi baku atau notasi ilmiah :
1. Geser tanda desimal (tanda koma) ke kiri atau ke kanan sehingga tersisa satu angka.
Pergeseran tanda desimal ini menghasilkan bilangan rasional a dengan
101  α
2. * Jika arah pergeseran tanda desimal ke kiri, maka nilai n bulat positif.
* Jika arah pergeseran tanda desimal ke kanan, maka nilai n bulat negatif.
3. Nilai n ditentukan oleh banyak angka yang dilalui ketika menggeser tanda koma
pada langkah1 di atas.
Contoh :
Tulislah bilangan-bilangan berikut dalam notasi ilmiah !
1. 3.200.000.000 2. 0,000000035
Jawab :
1. 3,2 x 109
2. 3,5 x 10-8
E. Logaritma
1. Pengertian Logaritma
Untuk a > 0 dan a 0 maka berlaku berikut
Dimana : a = bilangan pokok
b = bilangan yang ditarik logaritma (numerus)
x = hasil logaritma (nilai pangkat)
Syarat loga
b ada atau terdefinisi bila :
a > 0 dan a  1 dan b > 0
Jika ax = b maka a
log b = x , a > 0, a ≠ 1, b > 0

10.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  10
Contoh :
Ubahlah menjadi bentuk logaritma
1. 6426

2.
3
1
3 1

Jawab :
1. 664log642 26

2. 1
3
1
log
3
1
3 31

2. Sifat – Sifat Logaritma
Untuk a > 0, a  0, dan x,y > 0 maka berlaku berikut ini
xh.a
clogcloglogb.g.
alog
xlog
xlogf.
xlog
n
m
xloge.
xlognxlogd.
ylogxlog
y
x
logc.
ylogxlogxylogb.
1aloga.
logx
aba
p
p
a
ama
ana
aaa
aaa
a
a
n








Contoh:
a. Hitunglah nilai berikut ini.
1) log 2 + log 5
2) log2
3 . 64log9
Jawab:
1) log 2 + log 5 = log(2 )5 =log 10=1
2) 32log.3log.32log..3log2log.3log64log.3log 323
2
6263292 2


11.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  11
Tugas Kompetensi 4
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat!
1. Nyatakan tiap bentuk pangkat berikut dalam bentuk logaritma.
a.53
= 125 c.4 2
3
b.30
= 1 d.
3
3
1
)( 
= 27
2. Isilah titik-titik berikut ini !
Jika nXa
log maka X= an
. Dengan sifat tersebut maka,
a. n9log3 n
39  b. n
n 2log 8
1
8
12

3 n
3...
 2…
=2 n
n = … n = …
Jadi, ...3log9log ..33
 Jadi, ...2loglog 2
8
12

c log n
n 101010  d. na
an  11log
10 n
10...
 a ...
an

n =… n =…
Jadi,log .....
10log10  =… Jadi, ....1log a
3. Ubahlah ke dalam bentuk pangkat.
a. 416log2

b. log 1 = 0
c. 3log 8
12
1

Jawab…
4 Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menentukaan nilai berikut.
a. log 25 + log 4
b. 3log12log 22

c. 2. 5log.22log10log 442

Jawab …

12.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  12
5 Jika a = 0,666…dan b= 0.444 … , maka tentukan berikut ini :
a. ba
log
b. ab
log
Jawab …
Do You Know ?!
Salah satu ilmuwan Muslim yang memberikan sumbangan besar
dalam pengembangan matematika adalah Muhammad bin Musa
al-Khawarizmi. Pakar matematika yang lebih dikenal dengan
sebutan Al-Khawarizmi ini hidup pada tahun 780 hingga 850
Masehi. Di kalangan masyarakat Barat, Al-Khawarizmi lebih
dikenal dengan nama Algorisme atau Algoritme. Ia telah banyak
menemukan teori-teori dalam matematika.
Al-Khawarizmi juga populer dengan sebutan Bapak Aljabar. Aljabar diambil dari
namanya. Teori-teori Aljabar ia tulis dalam kitabnya yang bertajuk “Hisab Al-Jabr
wal Muqabalah” atau buku tentang penghitungan, restorasi dan pengurangan. Teori
'algoritme' dalam matematika modern diambil dari namanya, karena dialah yang
pertama kali mengembangkannya.
Selain Aljabar dan algoritma, karya Al-Khawarizmi lainnya misalnya persamaan
kuadrat dan fungsi sinus.
UJI KOMPETENSI
I. Berilah tanda silang (X) pada huruf a,b.c,d,atau e pada jawaban yang tepat!
1. Pernyataan yang benar pada kalimat matematika berikut adalah…
a. 734
777  d. 2 423
63 
b. 5 632
255  e. 448
202020 
c. (5 1553
5) 

13.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  13
2. Diketahui a = 4 dan b = 9 maka 24
1
1
.
4
1
.
.



ba
ba
…
a. 12 b. 18 c. 24 d. 36 e. 42
3. Bentuk sederhana dari  32
2
35
q
qp3
qp15 
adalah …
a. 5p3
q b. 5p3
q2
c. 5p7
q d. 5p7
q2
e. 5p7
q5
4. Hasil dari    ...327273 
a. 30 b. 302 c. 48 d. 60 e. 900
5. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari
23
7

adalah …
a. 23  b. 229  c. 23 d. 27  e. 239 
6. Nilai X dari ( X
)3
1
= 27 adalah….
a. -9 b -3 c.3 d. 4 e. 9
7. Hasil dari    5
2
3
1
3227  = …
a.
3
1 b. 3 c. 12 d. 25 e. 30
8. Jika 2
log 3 = p dan 2
log 5 = q maka 2
log 45 = …
a. p2
+ q b. 2p + q c. 2(p + q) d.p2
+ q2
e. p + 2q
9. 3
log 81 + 3
log 243 - 3
log27 adalah…
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 12
10. Nilai dari 16log25log 54
 adalah . . .
a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8
II. Isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang tepat !
1. Bentuk sederhana dari 23
222
24
)(5
.
15
36
yx
abb
ab
yx
adalah …

14.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  14
2. Nilai x yang memenuhi pada 3x – 1
=
10x
9
1







…
3. Bentuk sederhana dari
23
3

adalah …
4. Nilai dari 3
log 15 -
log3
1
50
+ ...
log3
1
30
5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2
log 4x12  = 3 adalah …
III. Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut ini dengan benar !
1. Sedarhanakan bentuk berikut.
a. 11
11




ba
abba
b. ( 22
)632()232 
Jawab …
2. Sederhanakan bentuk logaritma berikut !
a
log
b
1
. b
log 2
c
1
. c
log 3
d
1
. d
log 4
e
1
. e
log 5
a
1
!
Jawab : …
3. Jika 4 74 xx
 
maka tentukan nilai 8 xx 
8
Jawab : …
4. Jika 3
log 5 = p. Tentukan nilai 25
log 81 !
Jawab : …

15.  ~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang
untuk naik~  15
5. Tentukan hasil dari
12log
)4log()36log 232
3
3
( 
!
Jawab : …