Dokumen tersebut membahas tentang perhitungan pada segitiga siku-siku dan identitas trigonometri, termasuk contoh soal dan jawaban, serta aturan sinus dan kosinus untuk menyelesaikan masalah geometri.

1. A. Perhitungan pada Segitiga Siku-Siku
Perhitungan pada segitiga siku-siku berarti menentukan unsur-unsur
(sudut,sisi) yang tidak diketahui pada segitiga siku-siku tersebut. Agar
perhitungan tersebut dapat dilakukan, maka haruslah diketahui dua sisinya atau
salah satu sisi dan sudutnya.
Contoh Soal:
1. Seorang anggota Pramuka berdiri 15 m dari kaki
sebuah pohon besar yang tumbuh tegak lurus,
seperti ditunjukkan pada gambar. Jika sudut
elevasi ke puncak pohon adalah 60o, berapakah 60o
tinggi pohon tersebut?
Jawab:
Tinggi pohon dapat Anda hitung dengan menggunakan perbandingan
tangen
Tan 60o =
Sehingga
Jadi, tinggi pohon itu m.
2. Seseorang berjalan lurus dijalan yang datar kearah cerobong asap. Dari
lokasi A, ujung cerobong itu terlihat dengan sudut elevasi 30o. kemudian, ia
berjalan lurus lagi sejauh 20 m ke lokasi B. Dari lokasi B, cerobong asap
terlihat dengan sudut elevasi 60o. Jjika tinggi orang itu 1,6 m, tentukan
tinggi cerobong asap tersebut?
T
?
A1 30o B1 60o
E
1,6
A 20 B D

2. Jawab:
i) Sebelumnya, Anda harus dapat menjelaskan karakteristik masalah
tersebut.
Karena data yang diketahui adalah sisi di depan dan sisi di dekat sudut
sehingga masalah yang dihadapi berkaitan dengan tangen tersebut.
ii) Selanjutnya, tentukan besaran-besaran yang akan dirancang sebagai
variabel. Dapat ditentukan variabel-variabel antara lain sudut A1, sudut
B1, jarak TE, jarak A1E, jarak B1E, dan jarak ED.
iii) Rumuskanlah model matematika untuk masalah tersebut.
Perhatikan B1ET (siku-siku di E)
(*)
Perhatikan
(**)
Langkah selanjutnya adalah menentukan penyelesaian dari model
matematika tersebut.
Samakan TE pada (*) dan (**) sehingga diperoleh
Substitusikan ke dalam (**) sehingga diperoleh
iv) Tafsirkan solusi yang anda peroleh. Tinggi cerobong adalah jarak TE
ditambah jarak ED, yang merupakan tinggi orang tersebut. Sehingga,
tinggi cerobong

3. TD = TE
TD = 10 + 1,6
TD = 17,3 + 1,6 = 18,9 m
3. Sebuah bidang miring dengan panjang 1,6 m digunakan untuk
memasukkan barang ke dalam pesawat terbang. Jika bidang miringnya
membentuk sudut 23o terhadap tanah, berapa panjang dasar bidang
miring?
Jawab:
i. Diketahui sudut A, hipotenusa, dan sisi di dekat A. Oleh Karena itu,
Anda dapat menggunakan perbandingan kosinus.
ii. A = 23o, hipotenusa = 1,6 m dan .
iii.
iv.
v. Jadi, panjang dasar bidang miring adalah 1,4728 m.
B. Membuktikan Identitas Trigonometri
Pada bagian terdahulu, Anda telah mengenal persamaan trigonometri
berikut.
Persaman-persamaan ini berlaku bagi semua nilai peubah (variabel) A.
Oleh karena itu, persamaan ini disebut identitas trigonometri. Dalam bagian ini,
akan dibuktikan beberapa identitas trigonometri dengan menggunakan kedelapan
identitas dasar.
Untuk memudahkan dalam membuktikan identitas trigonometri, perlu
diberikan penuntunnya, seperti berikut.
1. Identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan dua cara.
a. Cara 1
Jika ruas kiri persamaan lebih kompleks, persamaan ruas kiri tersebut
yang diselesaikan sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas

4. kanan. Sebaliknya, jika ruas kanan persamaan lebih kompleks,
persamaan tersebut yang diselesaikan sehingga diperoleh bentuk yang
sama dengan ruas kiri.
b. Cara 2
Penyelesaian ruas kiri dan kanan persamaan dilakukan secara terpisah
sehingga diperoleh suatu bentuk yang sama.
2. Penyederhanaan persamaan dicari peluangnya dengan cara memfaktorkan,
menggabungkan pecahan, memisahkan pecahan, faktor kuadrat suatu
binomial, atau menciptakan suatu faktor yang sama pada pembilang dan
penyebut suatu pecahan.
3. Carilah peluang untuk menggunakan kedelapan identitas dasar. Lalu,
catatlah perbandingan trigonometri yang ada dalam pernyataan akhir yang
diinginkan.
4. Jika petunjuk tidak menolong, ubahlah semua pernyatan ke dalam bentuk
sinus dan kosinus.
Contoh Soal
Jawab:
Persamaan ruas kiri diubah menjadi bentuk ruas kanan.

5. Latihan Soal
1. Seorang sopir telah mengendarai mobil sepanjang 200 m pada suatu jalan
raya mendaki. Jalan tersebut membentuk sudut 30o terhadap horizontal.
Berapakah ketinggian sopir pada jarak tersebut?
2. Dua jalan lurus berpotongan, membentuk sudut 75o. Sebuah mobil yang
menempuh salah satu jalan berada 1.000 m dari titik persimpangan.
Tentukan jarak terpendek yang harus ditempuh mobil itu jika ingin menuju
ke jalan lainnya?
3. Heti mengamati puncak pohon dari dua tempat yang berbeda. Ketika Heti
berada di A, ia mengamati puncak pohon dengan sudut elevasi 60o. Ketika
berada di B, ia mengamati puncak pohon tersebut dengan sudut elavasi 30o.
Jika tinggi Heti = 1,5 m, berapakah tinggi pohon tesebut?
4. Sudut elevasi dari kaki ke puncak gunung memiliki ukuran 60o. Diketahui
sebuah lift ski dari kaki ke puncak unung memiliki panjang 600 meter.
a. Berapa tinggi gunung tersebut?
b. Jika pemandangan ini muncul pada sebuah televisi, dan panjang lift ski
pada layar adalah 15 cm, tentukan sudut elevasi yang akan muncul pada
layar televisi?
c. Tentukan tinggi gunung pada layar?
5.
h
P S
Seorang pengintai pada suatu balon yang tingginya h (dari permukaan datar)
melihat parit pertahanan P dengan sudut terhadap garis mendatar dan
melihat senapan S dengan sudut terhadap garis mendatar. Tentukan jarak

6. senapan mesin S dengan parit pertahanan P (nyatakan dalam h dan
perbandingan trigonometri untuk sudut dan )!
6. Buktikan identitas trigonometri berikut!
a.
b.
c.
d.
7. Jika , buktikan bahwa , kemudian tentukan nilai sec A,
tan A, dan sin A dalam k!
C. Fungsi dan Persamaan Trigonometri
 Grafik fungsi Trigonometri
Grafik y = sin x untuk
Fungsi y = sin x
Mempunyai harga maksimum, yaitu
M
Mempunyai harga m inimum, yaitu
y = -1 atau
Memotong sumbu X di x = k.180o, k
Merupakan fungsi periodik dengan periode 360o
Grafik y = cos x untuk
Fungsi y = cos x
Mempunyai harga maksimum, yaitu
y = 1 atau
Mempunyai harga minimum, yaitu
y = -1 atau
Memotong sumbu X di x = 90o k.180o, k
Merupakan fungsi periodik dengan periode 360o

7. Grafik y = tan x untuk
Fungsi y = tan x
Mempunyai range (jelajah) yaitu
Memotong sumbu X di x = k.180o, k
Merupakan fungsi yang periodik dengan periode 180o
Contoh Soal
Jika F(x) = 5 sin + 2 mempunyai maksimum dan minimum maka nilai ab ?
Jawab:
Maka
 Penyelesaian Persamaan Trigonometri
a. Menyelesaikan persamaan sin x = sin α, untuk atau
Dengan mengingat rumus sin (180° - α) = sin α dan sin (α + k. 360°) =
sin α, maka diperoleh:
Jika sin x = sin α atau sin x = sin A , maka
atau
atau
(x dan A satuannya rad)
b. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α, untuk atau

8. Dengan mengingat rumus cos (− α) = cos α dan cos (α + k. 360°) = cos α,
diperoleh:
Jika cos x = cos α atau cos x = cos A, maka
atau
atau
(x dan A satuannya rad)
c. Menyelesaikan persamaan tan x = tan α, untuk atau
Dengan mengingat rumus tan (180° + α) = tan α dan tan (α + k. 360°) =
tan α, maka diperoleh:
Jika tan x = tan α atau tan x = tan A, maka
(x dan A satuannya rad)
Contoh Soal
1. Jika x memenuhi 2 sin2x – 7 sin x + 3 = 0 dan , maka cos x =
Jawab:
2 sin2x – 7 sin x + 3 = 0 dan
(2 sin x – 1)(sin x – 3) = 0
2 sin x – 1 = 0 (tidak memenuhi)
2 sin x = 1
sin x =
x=
2. Tentukan HP dari
Jawab:

9. Jadi, HP = {
Latihan soal
1. Jika f(x) = 2 sin2x, maka fungsi f memenuhi selang?
2. Jika
, maka a + b?
3. Fungsi , mempunyai nilai maksimum a
dititik a + b?
4. Tentukan semua peubah x dalam selang atau
yang memenuhi persamaan berikut
a. 2 sin x cos x = cos x
b. 3 tan2x – 2 tan x = 0
c. 2 sin3x = sin 2x
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
untuk

10. D. Aturan Sinus
Untuk segitiga sebarang ABC yang sisi-sisinya a, b, san c serta panjang
jari-jari lingkaran luarnya r, s berlaku hubungan berikut.
Atau
A
r O
C
B
r
A
Contoh Soal
1. Masalah disini persis sama seperti Contoh soal 2 hanya dalam contoh ini
tinggi cerobong asap ditentukan menggunakan aturan sinus.
T
?
A1 30o B1 60o
E
1,6
A 20 B D
Jawab:
(i) Masalah dapat dikategorikan dalam dua tahap, yaitu penentuan panjang
BT, kemudian menggunakan panjang BT untuk mencari panjang TE dan
TD. Penentuan panjang BT dapat digunakan aturan sinus. Menghitung
TE dapat menggunakan perbandingan sinus dalam .
(ii) Variabel-variabel yang akan digunakan antara lain
dan TD.
T

11. (iii)Rumuskan model matematika untuk masalah tersebut
…………………(1)
………(2)
………………………(3)
………………………….(4)
………………………(5)
(iv)Tentukan solusi dari model matematika tersebut
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
meter
(6) Jadi, tinggi cerobong asap itu adalah 18,9 meter
danau
2. B
125,4o d C
135
42,5o
Sebuah danau akan diukur panjangnya (lihat gambar). Untuk itu,
ditetapkan suatu garis acuan AB yang sebidang dengan permukaan danau
dan panjangnya 135 m. diperoleh besar sudut A dan B adalah 42,5o dan
125,4o. Berapa panjang danau tersebut?
Jawab:

12. Terlebih dahulu dicari besar sudut C dalam
C
sebagai berikut. utara
12
A 8
B
A 96
A
km
Selanjutnya, panjang danau dapat dihitung dengan menggunakan aturan
sinus.
Jadi, panjang danau itu adalah 435,1 meter.
E. Aturan Kosinus
Misalkan ABC suatu segitiga sebarang maka berlaku hubungan berikut
B
c a
A C
Contoh soal b
1. Sebuah kapal berlayar ke timur sejauh 96 km, kemudian berbelok dengan
arah 075o. setelah menempuh 128 km pada arah ini, berapa jauh kapal
tersebut dari titik berangkatnya semula?
Jawab:
Sketsa perjalanan kapal tersebut diilustrasikan seperti pada gambar.
Sebelum menentukan panjang AC dengan aturan kosinus, terlebih dahulu
harus dicari besar sudut B dengan cara berikut.
h

13. Dengan menggunakan aturan kosinus pada diperoleh
= 222,12 km
Jadi, jarak kapal dari titik berangkatnya semula adalah 222,12 km.
2. Diketahui lingkaran dengan jari-jari masing-masing 2, 5, dan 8 satuan
panjang bersinggungan satu sama lain (lihat gambar). Tentukan besar
ketiga sudut yang dibentuk oleh garis-garis yang menghubungkan pusat-
pusat lingkaran tersebut?
C
Jawab:
Perhatikan pada gambar tersebut.
A B
Panjang tiap sisi ABC adalah
Besar salah satu sudut, misalnya sudut A dapat ditentukan dengan aturan
kosinus sebagai berikut.

14. Selanjutnya, sudut B dan C dapat dihitung dengan aturan sinus
0,989
F. Luas Segitiga
Luas suatu segitiga sebarang sama dengan setengah dari hasil kali dua sisi
dengan sinus sudut apitnya. Untuk sebarang, rumus umum segitiga ini
dapat dinyatakan oleh persamaan berikut.
B
c
r a
A
b
C

15. Contoh soal
1. Pada bidang empat beraturan ABCD dengan panjang sisi a, jika M adalah
A
tentukan nilai luas
a
titik tengah BC dan
a
D
a
B
M C
a
Jawab:

16. 2. Tentukan luas segienam beraturan jika jari-jari lingkaran luarnya adalah 4
cm.
Jawab:
Segienam beraturan identik dengan 6 buah segitiga beraturan (segitiga
samasisi). Luar segitiga dapat dihitung dengan rumus umum luas segitiga
karena dua segitiga dan sudut apitnya diketahui.
cm3.
cm3.
Latihan soal
1. Poros engkol sebuah mesin memiliki panjang 5 cm dan batang penghubung
AB memiliki panjang 21 cm. tentukan ukuran jika ukuran
adala 5o?
A 21 m
5 cm o
5
C B

17. 2. Untuk mengukur sebuah gunung, seorang pengamat menggunakan skema,
seperti pada gambar berikut.
Kaki gunung
600 m
B A
Dia mula-mula berada di A dan mengamati gunung dengan sudut elevasi
45o. dia berjalan menjauhi gunung dan berhenti di B yang berjarak 600
meter dari A. di B, dia sekali lagi mengamati gunung dengan sudut elevasi
37o. jika kaki gunung berada 1.800 m di atas permukaan laut, berapa tinggi
gunung diatas permukaan laut?
3. Sebuah perahu sedang berlayar ke timur (sejajar dengan garis pantai) dengan
kelajuan 21 km/jam. Pada suatu saat tertentu, arah perahu ke menara
mercusuar adalah 118o dan 20 menit, kemudian arahnya adalah 124o
(perhatikan gambar)
U
118o 124o
B T
B
d
S
Menara
mercusuar
Garis pantai
260 m
Tentukan jarak perahu, d, dari garis pantai, jika
69,2o 65,2o
menara mercusuar terletak pada garis pantai?
h
4. Sebuah jembatan panjangnya 260 m. Suatu titik
pada permukaan air tepat berada di bawah jembatan.
Jika titik itu dipandang dari ujung jembatan,

18. memberikan sudut depresi seperti ditunjukan pada gambar. Berapakah tinggi
jembatan dari permukaa air?
5. Garis bagi sudut A dalam segitiga ABC memotong sisi si seberangnya di
titik D, seperti ditunjukana pada gambar. Jika BD = x dan CD = y,
gunakanlah atura sinusdalam kedua segitiga untuk menunjukkan bahwa
A
!
c b
x y
B D C
6. Sebuah segitiga samasisi terdapat dalam sebuah lingkaran dengan jari-jari 10
cm. Tentukan keliling segitiga tersebut?
7. Sebuah Derek ditunjukkan pada gambar berikut.
C
10 m
A B
1,5 m
Hitunglah panjang BC?
8. Di dalam lingkaran yang berjari-jari 15 cm, digambar tiga lingkaran yang
berjari-jari 10 cm, 5 cm, dan x cm. Tentukan x!
9. Dalam
a. Tunjukkan bahwa !
b. AD adalah salah satu garis tinggi, yaitu garis yang ditarik A tegak lurus
terhadap BC. Jika AD= , tentukan x!
10. Nilai
1
1
2

19. 11. Tentukan luas sebuah heptagon yang titik-titik sudutnya terletak pada suatu
lingkaran yang berjari-jari 20 cm!
12. Diketahui jari-jari lingkaran luar segitiga PQR adalah . Jika
, tentukan panjang PQ!
13. Di dalam suatu lingkaran dibuat suatu segitiga samasisi, seperti ditunjukkan
pada gambar.
a. Tentukan nilai perbandingan antara luas yang diarsir dan luas lingkaran!
b. Jika luas lingkaran = 600 dm2, tentukan luas segitiga!
14. Dua sisi sebuah segitiga adalah 8 m dan 7 m dan luasnya m2. Dengan
menggunakan Rumus Heron, tentukanlah panjang sisi yang ketiga!
15. adalah suatu segitiga samakaki dengan AB = AC = 1, dan sudut BAC
= a. dengan menentukan luas segitiga dalam dua cara tunjukkan bahwa sin 2
a = 2 sin a cos a. untuk nilai a berapakah pertanyaan tersebut berlaku!