Dokumen tersebut membahas tentang logika matematika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan tentang pengertian pernyataan, lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan, pernyataan majemuk seperti disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi, serta kuantor universal dan eksistensial.

1. LOGIKA MATEMATIKA
Oleh : Hidayati Rusnedy
SMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA

2. Pengertian Pernyataan
Adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja,
tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.
Contoh:
- Menara itu tinggi.
- Jumlah hari ada 7.
- Tangkaplah orang itu!
- Berapa Umurmu sekarang?
(Pernyataan)
(Pernyataan)
(Bukan Pernyataan)
(Bukan Pernyataan)

3. Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu
Pernyataan
Lambang
Suatu pernyataan dilambangkan dengan memakai
huruf kecil, seperti a, b, c,…,p,q,r,…dan seterusnya.
Contoh:
Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan
dengan memakai huruf p.
Ditulis:
P : 4 adalah bilangan genap.

4. Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan
Nilai benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan
memakai:
Dasar Empiris:
Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang
ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari
Contoh:
1. “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar.
2. “Air adalah benda padat”, merupkana pernyataan salah.
Dasar Tak Empiris:
Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti
atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.
Contoh:
1. “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.
2. “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

5. Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran
B (benar),
Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan
mempunyai nilai kebenaran s (salah).
Contoh:
Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf
Yunani τ (dibaca: tau)
1. τ(p) = B dibaca “niali kebenaran pernyataan p adalah B” atau
“pernyataan p mempunyai nilai kebenran B”.
2. q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

6.  Ingkaran Atau Negasi Suatu Pernyataan
Adalah pernyataan yang menyangkal atau mengingkari
pernyataan awal
Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi p”,
dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat “tidak benar
bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan
perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p.
Ingkaran suatu pernyatan menyatakan kebalikan dari
pernyataan itu sendiri berari nilai kebenarannya
adalah terbalik
Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah
Jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
Tabel Kebenaran
p ~p
B S
S B

7. Contoh:
p : 2 + 3 = 5 (τ (p) = B)
~p : 2 + 3 ≠ 5 (τ (~p) = S)
q : Semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~q) = S)
~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil
(τ (~p) = B)
atau
~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil (τ (~q) = B)

8. Kalimat Terbuka
Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum
dapat ditentukan nilai kebenarannya ( benar atau salah ).
Tetapi apabila variabel diganti nilai tertentu akan menjadi
suatu pernyataan.
Contoh: 2x + 3 = 11 (kalimat terbuka)
Y – 3 < 4 (kalimat terbuka)
Perhatikan contoh!!
Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah.
Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.
Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11” menjadi
pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat
terbuka itu.

9. Kesimpulan:
1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara
mengganti peubah pada himpunan semestanya.
2. Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan
semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang
benar.
3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan
anggota-anggota merupakan penyelesaian dari terbuka itu.
Contoh:
1. Himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 8 (x peubah pada
himpunan bilangan real R) adalah HP = {5}.
2. Himpunan penyelesaian persamaan x2 – 5x + 6 = 0 (x peubah pada
himpunan bilangan real R) adalah HP = {2,3}.

10. Pernyataan Majemuk
- Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk
- Negasi Suatu Pernyataan majemuk

11. Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk
- Disjungsi
- Konjungsi
- Implikasi
- Biimplikasi

12. Disjungsi
Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan
q dengan kata hubung “atau”.
Notasinya:
p v q
Dibaca: p atau q
Tabel Kebenaran disjungsi
p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S

13. Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari:
6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima.
Jawab:
Misal: p : 6 adalah bilangan genap
q : 13 adalah bilanagn prima
p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 6
adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima bernilai
benar

14. Konjungsi
Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p
dan q dengan kata hubung “dan”.
Dibaca: p dan q
Tabel kebenaran konjungsi:
Notasinya:
p q 

p q p q
B B B
B S S
S B S
S S S

15. Contoh:
13 bilangan prima dan 132 = 169
Jawab:
Misal: p : 13 bilangan prima
Q : 132 = 169
p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga
pernyataan 13 bilangan prima dan 132 = 169 berniai
benar.

16. Implikasi
Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan
p dan q dalam bentuk “jika p, maka q”.
Notasinya:
p  q
Dibaca: Jika p, maka q
Tabel kebenaran implikasi:
p q p  q
B B B
B S S
S B B
S S B
Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab
dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan
atau akibat.

17. Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:
Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima
Jawab:
Misal: P : 3 + 2 = 5
Q : 5 adalah bilangan prima
Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima
B B
Implikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan
kesimpulan benar

18. Biimplikasi
Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua
pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”.
Notasinya:
p  q
Dibaca: p jika dan hanya jika q
Tabel kebenaran biimplikasi:
p q p  q
B B B
B S S
S B S
S S B

19. Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:
161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2
Jawab:
Misal: p :161/2 = 4
Q : 16log 4 = 1/2
161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2
B B
Merupakan biimplikasi yang benar

20. Negasi Suatu Pernyataan Majemuk
- Negasi Konjungsi
- Negasi Disjungsi
- Negasi Implikasi
- Negasi Biimplikasi

21. Negasi Konjungsi
Negasi dari pernyataan p q adalah ~p v ~q
Perhatikan contoh konjungsi berikut.
p : saya suka apel.
q : saya tidak suka wortel.
p q : saya suka apel dan tidak suka wortel.
~( p q) : saya tidak suka apel atau saya suka wortel. 
p ~p q ~q p 
q ~(p q ) ~p v ~q
B S B S B S S
B S S B S B B
S B B S S B B
S B S B S B B




22. Negasi Disjungsi
Negasi disjungsi dari pernyataan p v q adalah ~p ~q
Perhatikan contoh berikut:
p : Andi pergi ke supermarket.
q : Andi menonton di bioskop.
p v q : Andi pergi ke supermarket atau menonton di bioskop.
~(p v q) : Andi tidak pergi ke supermarket dan tidak menonton di bioskop.
p ~p q ~q ~p v ~q ~(p v q) ~q
B S B S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S B S B S B B


23. Negasi Implikasi
Negasi pernyataan “p  q” adalah “p 
~q”
Perhatikan contoh berikut:
p : Nico belajar dengan giat.
q : Nico naik kelas.
p  q : Jika nico belajar dengan giat maka nico naik kelas.
~(p  q) : Jika Nico belajar dengan giat dan ternyata nico tidak
naik kelas.

p ~p q ~q p  q ~( p  q) p ~q
B S B S B S S
B S S B S B B
S B B S S S S
S B S B S S S

24. Negasi Biimplikasi
Negasi pernyataan “p  q” adalah (p ~q) v (q ~p)
Perhatikan contoh berikut:
P : Ulangan dibatalkan
Q : Diadakan kerja bakti
p  q : Ulangan dibatalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti
~(p  q ) : Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau
diadakan kerja bakti dan ulangan tidak dibatalkan.
   
p ~p q ~q p  q ~(p  q) p ~q q ~p (p ~q) v (q ~p)
B S B S B S S S S
B S S B S B B S B
S B B S S B B B B
S B S B B S S S S

25. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari suatu implikasi p  q dapat dibentuk implikasi lain:
q  p, yang disebut konvers dari p  q.
~p  ~q, yang disebut invers dari p  q.
~q  ~p, yang disebut kontraposisi dari p  q.
p  q q  p
konvers
invers Kontraposisi invers
~p  ~q ~q  ~p
konvers

26. p ~p q ~q p  q q  p ~p  ~q ~q  ~p
B S B S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S B S B B B B B
Contoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi:
Jika harga minyak naik, maka harga barang naik.
Konversnya (q  p) : jika haga barang naik maka harga minyak naik.
Invernya (~p  ~q) : jika harga minyak tidak naik mak harga barang tidak naik.
Kontraposisi (~q  ~p) : jika harga barang tidak naik maka harga minyak tidak naik.

27. Kuantor Universal dan Kuantor
Eksistensial
- Kuantor Universal
- Kuantor Eksistensial

28. Kuantor Universal
Sebuah pernyataan dikatakan menggunakan kuantor
universal jika menggunakan kata setiap atau semua atau
yang ekuivalen dengan itu.
Contoh:
1. Semua siswa kelas XA senang olahraga.
2. Setiap peserta ujian wajib membawa kartu tanda
peserta ujian.

29. Kuantor Eksistensial
Pernyataan dikatakan menggunakan kuantor
eksistensial jika menggunakan kata beberapa atau ada
atau yang ekuivalen dengan itu.
Contoh:
1. Beberapa siswa kelas XB senang olahraga.
2. Ada siswa yang senang matematika.

30. Inkaran dari Pernyataan Berkuantor
- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal
- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial

31. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor
Universal
Ingkaran dari semua p adalah q yaitu beberapa p
bukan q.
Contoh: p : ”Semua bilangan prima adalah bilngan asli”.
Bernilai benar
Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya.
~ p : ”Tidak semua bilangan prima adalah bilangan asli”, atau
~ p : ”Beberapa bilangan prima bukan bilangan asli”.
Jadi, jelas bahwa ~ p bernilai salah.
ingkaran dari pernyataan berkuantor universial adalah
sebuah pernyataan berkuantor eksistensial

32. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor
Eksistensial
Ingkaran dari beberapa p adalah q yaitu semua p
bukan q.
Contoh:p : ”Beberapa bilangan prima adalah bilangan
genap”
Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya
~ p : ”Semua bilangan prima bukan bilangan genap”, atau
~ p : ”Tidak ada bilangan prima yang bilangan genap”, atau
~ p : ”Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan
genap”.
ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah
sebuah pernyataan berkuantor universal

33. Penarikan Kesimpulan
- Prinsip Modus Ponens
- Prinsip Modus Tolens
- Prinsip Silogisme

34. Prinsip Modus Ponens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : p
Konklusi : q
Contoh:
Premis 1 : Jika Afra kehujanan, maka Afra
akan masuk angin.
Premis 2 : Afra kehujanan.
Konklusi : Afra masuk angin.
Misal: p: Afra kehujanan
q: Afra masuk angin
Penarikan kesimpulannya:
p  q
p
q
Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus ponens, berarti
kesimpulan yang ditarik adalah sah.

35. Prinsip Modus Tolens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q
Konklusi : p
Contoh:
Premis 1 : Jika saya berolahraga
teratur, maka saya akan sehat.
Premis 2 : Saya tidak sehat
Konklusi : Saya tidak berolahraga
teratur
Misal: p: saya berolahraga teratur
q: saya akan sehat
Penarikan kesimpulannya:
p  q
~q
~p
Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus tolens,
berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah

36. Prinsip Silogisme
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q r
Konklusi : p r
Premis 1 : jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap.
Premis 2 : jika 2x bilangan genap, amka 2x + 1 bilangan ganjil.
Konklusi : jika x bilangan ganjil, maka 2x + 1 bilangan ganjil.
Misal:
p: x bilangan ganjil
q: 2x bilangan genap
r: 2x + 1 bilangan ganjil
Penarikan kesimpulannya:
p  q
q  r
p  r
Penarikan kesimpulan ini menggunakan
prinsip silogisme, berarti penarikan
kesimpulan ini sah.