BACA

1. TEOREMA HOMOMORFISME
DASAR
KELAS 5 C
NUR CHOLID M
AMIR ARSAD
AHMAD TRIHRYANTO
TETRIKLADITRA
RIFMAWATI MAISAROH
ADHINDA ADYHANING D
ATIK SUKAWATI
SEPTIARI AYU L
1

2. Pengertian Homomorfisme
• Definisi 8.1
Misalkan (G,) dan (G’,) masing masing adalah
grup. Pemetaan  : GG’ disebut homomorfisme
dari G ke G’ jika dan hanya jika untuk setiap a,b G
berlaku  (a b) =  (a)   (b). Homomorfisme
disebut pula pemetaan yang mempertahankan
atau mengawetkan operasi, dan dapat disajikan
dengan skema sebagai berikut :
2

3. Pengertian Homomorfisme
Operasi pada G kadang kadang tidak ditulis, sehingga  (ab) ditulis  (ab).
Ada beberapa nama khusus untuk pemetaan :
a. Pemetaan onto atau surjektif jika dan hanya jika range atau himpunan
bayangan G adalah G’.
b. Pemetaan injektif jika dan hanya jika…
c. Pemetaan bijektif jika dan hanya jika…
d. Pemetaan pada G yaitu pemetaan dari G ke dalam G itu sendiri.
e. Pemetaan identitas dari G ke G dengan  (x) = x.
3
(G,) (G’,) (G,) (G’,)
a  a’ a   (a)
b  b’ atau b   (b)
ab  a’  b’ ab   (ab) =  (a)   (b)

4. Pengertian Homomorfisme
• Sehubungan dengan pemetaan tersebut, ada
beberapa homomorfisme khusus pula :
• Definisi 8.2
1) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang
injektif disebut monomorfisme.
2) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang
surjektif disebut epimorfisme.
3) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang
bijektif disebut isomorfisme.
4

5. Pengertian Homomorfisme
• Defini 8.3
1) Suatu homomorfisme dari suatu grup
kedalam grup itu sendiri disebut
endomorfisme.
2) Suatu endomorfisme yang bijektif disebut
automorfisme.
3) Apabila antar grup (G,) dan grup (G’,)
terdapat homomorfisme, maka dikatakan
bahwa (G,) dan (G’,) homomorfik.
5

6. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.1
Misalakan (G; ) dan (G’;) adalah grup,
sedangkan pemetaan  : G G’
merupakan homomorfisme, maka :
i) (i) = i’, I elemen identitas dalam G dan i’
adalah elemen identitas dalam G’
ii)(x-1) = (x)-1 untuk setiap x ∊ G
(x)-1 ialah ((x))-1 yaitu invers dari  (x)
dalam G’
6

7. Sifat sifat Homomorfisme
• Bukti,
Akan dibuktikan (i) = i’ dengan i elemen identitas G dan i’ elemen
identitas G’
i) i’ adalah elemen identitas dalam G’ maka  (x)  i’ =  (x).
Untuk x ∊ G, x ∊ G, dan i ∊ G maka x  i = x, sehingga  (x  i) =  (x).
Jadi  (x)  i’ =  (x  i)
=  (x)   (i) karena  homomorfisme
i’ =  (i).
ii) Akan dibuktikan bahwa  (x-1) =  (x)-1
i’ =  (i) = (x  x-1) untuk setiap x ∊ G.
Maka i’ =  (x)   (x-1) karena  suatu homomorfisme
 (x)-1  i’ =  (x)-1   (x)   (x-1)
 (x)-1 = i’   (x-1)
 (x)-1 =  (x-1) untuk setiap x ∊ G.

8. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema tersebut dapat dikatakan bahwa (i)
peta (bayangan) elemen identitas dalam G
adalah elemen identitas dalam G’ dan (ii)
bayangan invers x dalam G adalah invers
bayangan x dalam G’.
• Jadi apabila  : GG’ merupakan
homomorfisme dan G merupakan suatu grup,
maka G’ adalah grup. Tetapi apabila G’ suatu
grup maka G belum tentu merupakan grup.
8

9. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.2
Jika  : GG’ homomorfisme dan G merupakan grup
komutatif, maka G’ merupakan grup komutatif.
• Bukti,
Ambil a,b ∊ G dan a’,b’ ∊ G’ dengan  (a) = a’ dan  (b) = b’,
serta (G,) dan (G’,)
 (ab) =  (a)   (b) = a’  b’
G grup komutatif,  a,b ∊ G ; ab =ba
 (ab) =  (ba) =  (b)   (a) = b’  a’
Jadi  a’,b’ ∊ G’ memenuhi a’  b’ = b’  a’
Yang berarti G’ grup komutatif
9

10. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.3
Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup.
Jika pemetaan  : GG’ merupakan homomorfisme yang
surjektif, maka -1 (i’) adalah subgrup normal dari G.
Dengan perkataan lain, himpunan semua x ∊ G yang
memenuhi  (x) = i’ ∊ G’, merupakan subgrup normal N dari
G.
Jadi N = x ∊ G  x = -1 (i’), i’ ∊ G’ merupakan subgrup
normal dari G.
10

11. Sifat sifat Homomorfisme
• Bukti,
1) akan dibuktikan bahwa N subgrup, yaitu jika ab
∊ N maka ab-1 ∊ N.
Ambil a,b ∊ N maka  (a) = i’ dan  (b) = i’.
 (ab) =  (a)   (b)
 (ab-1) =  (a)   (b-1)
=  (a)  ((b))-1
= i’  (i’)-1 = i’’  i’ = i’
Jadi ab-1 ∊ N dan N merupakan subgrup.
11

12. Sifat sifat Homomorfisme
2) Akan dibuktikan bahwa N subgrup normal,
yaitu jika g ∊ G dan n ∊ N maka (g . n . g-1) ∊ N
 (g . n . g-1) =  (g)   (n)   (g-1)
=  (g)  i’ ((g))-1 = i’
Jadi (g . n . g-1) ∊ N dan N subgrup normal.
Himpunan N = x ∊ G x = -1 (i’), i’ ∊ G
disebut inti (kernel) dari pemetaan tersebut
dan dinyatakan dengan ker ().
12

13. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.4
Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup,
sedangkan  adalah homomorfisme dari G ke
G’. Himpunan semua peta (bayangan) anggota
dari G dalam G’ oleh homomorfisme 
merupakan subgrup dari G’.
13

14. Sifat sifat Homomorfisme
• Teorema 8.5
Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal
dari G. Sedangkan G/N grup faktor.
Jika pemetaan  : GG/N didefinisikan oleh 
(x) = Nx untuk setiap x ∊ G, maka  suatu
homomorfisme.
14

15. Contoh 1
Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal
dari G. Pemetaan  : GG/N didefinisikan
oleh  (x) = Nx untuk setiap x ∊ G. Tunjukkan
bahwa  suatu homomorfisme dari G onto
G/N !
15

16. Penyelesaian
 : GG/N didefinisikan oleh  (x) = Nx untuk x ∊ G. Ambil
sebarang x,y ∊ G , maka  (x) = Nx dan  (y) = Ny.
 (x,y)= Nxy
= Nnxy karena N subgrup normal dari G
= Nx Ny
 (x,y)=  (x) .  (y)
Jadi  suatu homomorfisme.
Ambil sebarang T ∊ G/N, dan misalkan T = Nt untuk t ∊ G.
Maka T = Nt =  (t). Ini berarti bahwa setiap elemen dari
G/N merupakan peta elemen dari G oleh homomorfisme .
Jadi  suatu homomorfisme dari G onto G/N.
16

17. Contoh 2
Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup,
sedangkan  adalah homomorfisme dari G ke
G’. Buktikan bahwa himpunan semua peta
(bayangan) anggota dari G dalam G’ oleh
homomorfisme  merupakan subgrup dari G’ !
17

18. Penyelesaian
Misalkan  : (G,)(G’,) suatu homomorfisme,
sedangkan H adalah himpunan semua peta
elemen-elemen dari G dalam G’ oleh
homomorfisme , atau H = x ∊ G’ x =  (a) untuk
a ∊ G.
Maka H  G’. Untuk membuktikan bahwa H
subgrup dari G’, ditunjukkan bahwa (H,) suatu
grup.
H bukan himpunan kosong, sebab untuk i ∊ G
maka  (i) = i’ ∊ H.
18

19. Penyelesaian
a) Ambil x,y ∊ H maka ada a,b ∊ G sedemikian hingga  (a)
= x dan  (b) = y.
(ab) ∊ G maka  (ab) ∊ H
 Suatu homomorfisme
Maka  (ab) =  (a)   (b)
= x  y
Karena  (ab) ∊ H maka (x  y) ∊ H. Ini berarti H
tertutup terhadap operasi , atau operasi  merupakan
operasi biner dalam H.
b) G’ suatu grup, sehingga operasi  dalam G’ bersifat
asosiatif. Karena H  G’ maka operasi  dalam H
bersifat asosiatif pula.
19

20. Penyelesaian
c) Ambil x ∊ H, maka ada a ∊ G sehingga  (a) =
x. Karena  suatu homomorfisme, maka :
 (ai) =  (a)  (i)  (i a) =  (i)   (a)
 (a) =  (a)  i’ dan  (a) = i’   (a)
x = x  i’ x = i’  x
Jadi x  i’ = i’  x untuk setiap x ∊ H. Ini berarti
elemen identitas dalam H adalah i’ yaitu
elemen identitas dalam G’
20

21. Penyelesaian
d) Menurut teorema, jika a ∊ G maka  (a-1) =  (a)-1
Karena  adalah homomorfisme, maka untuk a ∊ G berlaku:
 (aa-1) =  (a)   (a-1)
 (i) =  (a)   (a)-1
i’ =  (a)   (a)-1 , dan
 (a-1 a) =  (a-1)   (a)
 (i) =  (a)-1   (a)
i’ =  (a)-1   (a)
Jadi  (a)   (a)-1 =  (a)-1   (a) = i’
Ini berarti  (a)-1 adalah invers dari  (a) dalam H
Dari (a), (b), (c), dan (d) disimpulkan bahwa H suatu grup.
Karena H  G’ dan G’ suatu grup maka H subgrup dari G’.
21

22. Contoh 3
Misalkan G adalah himpunn bilangan bulat
dengan operasi penjumlahan dan G’ adalh
himpunan bilangan bulat selain nol dengan
operasi perkalian. Pemetaan  : GG’
didefinisikan oleh  (x) = 2x untuk setiap x G.
Tunjukkan bahwa  adalah homomorfisme !
22

23. Penyelesaian
Misalkan  adalah pemetaan dari G ke G’
dengan  (x) = 2x untuk setiap x ∊ G.
Ambil sebarang a,b ∊ G maka  (a) = 2a dan 
(b) = 2b
 (a+b) = 2a+b = 2a . 2b =  (a) .  (b)
Jadi  suatu homomorfisme
23

24. Sekian Terima Kasih