Dokumen ini membahas konsep lingkaran, termasuk definisi, persamaan, luas, dan kedudukan titik serta garis terhadap lingkaran. Contoh diberikan untuk berbagai situasi, seperti menentukan persamaan lingkaran dan garis singgung dari titik yang berbeda. Selain itu, terdapat metode untuk menentukan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran berdasarkan diskriminan.

1. Bab 4
Lingkaran
18 November 2014

2. Peta Konsep
Memotong Dua Titik
Melalui Titik Di luar
Lingkaran
Persamaan Garis
Singgung
Kedudukan Titik
terhadap Lingkaran
Melalui Titik Bergradien m
Singgung
Di Satu Titik=
Menyinggung
Bentuk
Umum
Pada Di Dalam Di Luar
Persamaan
Lingkaran
Tidak
Memotong
Pusat P
(a,b)
Pusat O
(0,0)
Kedudukan Garis
Terhadap Lingkaran
Lingkaran
18 November 2014

3. Prasyarat
1. Gambarlah sebuah lingkaran. Dari gambar yang kalian
buat, jelaskan apa yang dimaksud dengan busur
lingkaran, titik pusat, jari-jari, tali busur, diameter, sudut
pusat, sudut keliling, tembereng, dan garis singgung
lingkaran. Tunjukkan dengan gambar.
2. Tentukan luas dan keliling lingkaran yang mempunyai
panjang jari-jari 21 cm.
3. Buatlah garis dan persamaan x + y = 5 pada bidang
Cartesius. Berbentuk apakah garis itu?
18 November 2014

4. A. Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang
datar) yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.
 Titik tertentu itu disebut titik
pusat lingkaran.
 Jarak yang sama disebut jari-jari
lingkaran.
 Titik C adalah titik pusat.
 Jarak titik-titik itu ke pusat
lingkaran dinamakan jari-jari
lingkaran.
C
P
Q
R
S
18 November 2014

5. 1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0)
dan Berjari-jari r
Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r
adalah
Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di O dan
berjari-jari r maka:
L = {(x, y) | x2 + y2 = r2}
18 November 2014
x2 + y2 = r2

6. Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
melalui titik P(6, 8).
Jawab:
Lingkaran berpusat di O(0, 0).
Titik P(6, 8), berarti x = 6 dan y = 8.
Akibatnya, r2 = 62 + 82 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.
18 November 2014

7. 2. Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a, b)
dan Berjari-jari r
Persamaan lingkaran berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r
adalah
Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di P dan
berjari-jari r maka:
18 November 2014
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
{(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}

8. Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran
yang berpusat di P(4, 6) dan
menyinggung garis x = 2.
Jawab:
Pusat P(4, 6) dan menyinggung
garis x = 2. Jadi, jari-jari
lingkaran adalah 4 – 2 = 2.
(x – 4)2 + (y – 6)2 = 22
(x – 4)2 + (y – 6)2 = 4
18 November 2014


9. 3. Bentuk Umum Persamaan
Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax+ 2By + C = 0
Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
mempunyai pusat P(–A, –B) dan jari-jari
18 November 2014

10. Contoh:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0.
Jawab:
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0.

2A = –6 A = –3
2B = –4 B = –2
C = –3
P(–A, –B) = P(–(–3), –(–2)) = P(3, 2)
18 November 2014


11. B. Kedudukan Titik dan Garis
Terhadap Lingkaran
1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
a. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran Berpusat di O(0, 0)
Titik A dan P di dalam lingkaran.
Titik C dan R di luar lingkaran.
Titik B dan Q pada lingkaran.
Kedudukan tersebut ditentukan
berdasar ketentuan berikut.
18 November 2014

12. 1) Titik A(p, q) terletak di dalam lingkaran berpusat
O(0, 0) jika x2 + y2 < r2.
2) Titik A(p, q) terletak pada lingkaran berpusat
O(0, 0) jika x2 + y2 = r2.
3) Titik A(p, q) terletak di luar lingkaran berpusat
O(0, 0) jika x2 + y2 > r2.
18 November 2014

13. b. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Berpusat di P(a, b)
1) Titik A(p, q) terletak di
dalam lingkaran yang
berpusat di P(a, b) jika
(x – a)2 + (y – b)2 < r2.
2) Titik A(p, q) terletak pada
lingkaran yang berpusat di
P(a, b) jika
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
3) Titik A(p, q) terletak di luar
lingkaran yang berpusat di
P(a, b) jika
(x – a)2 + (y – b)2 > r2.
X
Y
b
a
L’
0
P(a, b)
L
18 November 2014

14. Contoh:
Tentukan kedudukan titik
a. K(2, 3) terhadap lingkaran L : x2 + y2 = 25;
b. K(4, 5) terhadap lingkaran L : (x – 1)2 + (x – 3)2 = 9.
Jawab:
a.Titik K(2, 3); Lingkaran L berpusat di O(0, 0).
22 + 32 = 13 < 25
Titik K terletak di dalam lingkaran L.
b.Titik K(4, 5); Lingkaran L berpusat di P(1, 3).
(4 – 1)2 + (5 – 3)2 = 13 > 9
Titik K di luar lingkaran L.
18 November 2014

15. Misal persamaan lingkaran L = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
dan garis g : y = mx + n.
Substitusi persamaan g ke L memperoleh bentuk
ax2 + bx + c = 0, dengan diskriminan.
D = b2 – 4ac
Kedudukan garis ditentukan nilai D.
 Jika D < 0, garis g tidak memotong dan tidak menyinggung
lingkaran L.
 Jika D = 0, garis g menyinggung lingkaran L.
 Jika D > 0, garis g memotong di dua titik pada lingkaran L.
18 November 2014
2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

16. Contoh:
Tentukan kedudukan garis y = 2x terhadap lingkaran x2 + y2 = 25.
Jawab:
Substitusi y = 2x ke persamaan x2 + y2 = 25 sehingga diperoleh
x2 + (2x)2 = 25
5x2 – 25 = 0

D = 02 – 4(5)(–25) = 500 > 0.
5x2 – 25 = 0
5(x - )(x + ) = 0
x1 = − dan x2 = .
Substitusikan x1 dan x2 ke y = 2x sehingga diperoleh titik
potongnya, yaitu (− , −2 ) dan ( , 2 ).
18 November 2014

5 5
5 5 5 5
5 5

17. C. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran
1. Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik
R(x1, y1) seperti pada gambar adalah
18 November 2014
x1x + y1y = r2

18. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 di
titik Q(x1, y1) seperti pada gambar di atas adalah
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
18 November 2014

19. Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 di
titik A(1, ).
Jawab:
Titik A(1, ) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 4 (tunjukkan).
3
Dengan menggunakan rumus x1x + y1y = r2, diperoleh
1(x) + y = 4
x + y – 4 = 0
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
x + y – 4 = 0.
18 November 2014
3
3
3
3


20. Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 di titik B(–1, 2).
Jawab:
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
(–1 – 1)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4
(–2)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4
–2(x – 1) = 4
–2x = 2
x = –1



Jadi, garis singgung yang dimaksud adalah x = –1.
18 November 2014


21. 1) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada
lingkaran x2 + y2 = r2.
x1x + y1y = r2
2) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada
lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
3) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada
lingkaran x2 + y2+ 2Ax + 2By + C = 0.
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0
18 November 2014
Agar mudah diingat!

22. 2. Garis Singgung Lingkaran jika diketahui Gradiennya
Nilai n ditentukan dengan
langkah-langkah berikut.
Langkah 1:
Substitusikan y = mx + n ke persamaan x2 + y2 = r2
Persamaan kuadrat hasil substitusi variabel x, yaitu
(1 + m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0.
18 November 2014
Misal persamaan ling-karan
L : x2 + y2 = r2
dan garis singgungnya
y = mx + n.

23. Langkah 2:
Tentukan nilai diskriminan D.
D = 0 (karena garis menyinggung lingkarannya).
D = –4(n2 – r2 – m 2r2) = 0 sehingga diperoleh
Langkah 3:
Dengan menyubstitusikan nilai n1 dan n2 diperoleh
persamaan garis singgung .
Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
dengan gradien m adalah sebagai berikut.
18 November 2014

24. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10
dengan gradien 3.
Jawab:
r =
m = 3.
Jadi, persamaan garis singgungnya ada 2, yaitu
1.
2.
18 November 2014
10





25. 3. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Persamaan garis singgung yang melalui titik C di luar lingkaran seperti
pada gambar adalah
y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1.
18 November 2014

26. Langkah-langkahnya:
Langkah 1:
Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran
sehingga diperoleh persamaan kuadrat.
Langkah 2:
Tentukan nilai diskriminan D dari persamaan yang
diperoleh pada Langkah 1.
Karena persamaan garis singgung, syaratnya D = 0.
Dengan demikian, akan diperoleh nilai m.
Langkah 3:
Substitusikan kedua nilai m ke persamaan y= mx – mx1 + y1
sehingga diperoleh dua persamaan garis singgung yang
dimaksud.
18 November 2014

27. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25
yang ditarik dari titik (10, 0) di luar lingkaran.
Jawab:
Gradien m melalui titik (10, 0) di luar lingkaran.
y = mx – mx1 + y1 y = mx – m(10) + 0 y = mx – 10m.
Langkah 1:
Substitusikan y = mx – 10m ke persamaan lingkaran
x2 + y2 = 25
x2 + (mx – 10m)2 = 25
x2 + (m2x2 – 20m2x + 100m2) – 25 = 0
(1 + m2)x2 – 20m2x + (100m2 – 25) = 0
18 November 2014
 



28. Langkah 2:
Nilai diskriminan D = b2 – 4ac
= (–20m2)2 – 4(1 + m2)(100m2 – 25)
= 400m4 – 400m2+ 100 – 400m4 + 100m2
= –300m2 + 100

D = 0 –300m2 + 100 = 0
300m2 = 100
18 November 2014


29. Langkah 3:
Substitusikan m1 dan m2 ke y = mx – 10m.
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

dan
18 November 2014


30. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b),
jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah
y – y1 = m(x – x1), dengan
Persamaan garis singgung lingkaran berpusat
O(0, 0), jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah
y – y1 = m(x – x1), dengan
18 November 2014

31. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 yang melalui titik (8, 0).
Jawab:
Diketahui a = 1, b = 2, r = 2, x1 = 8, dan y1 = 0.
Kita tentukan gradien (m) terlebih dahulu.
18 November 2014

32. Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 0(x – 8)
y = 0
dan
18 November 2014


