2. RAPPORTO INCREMENTALEDEFINIZIONE
Sia f: D R R , x0 , x0 + h D, h R 0
Il quoziente
RAPPORTO INCREMENTALE di f relativo al punto iniziale x0 e
all’incremento h
h
)f(xh)f(x
xhx
)f(xh)f(x
x
f 00
00
00
)()(
O
x
y
f (x0)
f (x0+h)
x = h
f .
x0
.
x0+h
Geometricamente rappresenta il coefficiente angolare della retta SECANTE
passante per i punti del grafico di coordinate (x0 , f(x0)) e (x0+h , f(x0+h))
h0 RI+ destro
h0 RI- sinistro
P1
P2
3. RAPPORTO INCREMENTALE
Intuitivamente:
quanto più RI è elevato in modulo
tanto più la f risulta sensibile a una variazione pari ad “h” in x0
ossia la pendenza della retta aumenta
O
y
x = h
.
x1
.
x2+h
x1+h
x = h
f (x1)
f2
f (x2+h)
f (x2)
f (x1+h)
f1
h
)f(xh)f(x
x
f
m 00
x2
4. Per determinare la “reattività” in un punto x0 della funzione f
rispetto ad una variazione arbitrariamente piccola di h
(spostamento INFINITESIMO da x0 )
DERIVATA DI UNA FUNZIONE
IN UN PUNTO
DEFINIZIONE
Una funzione f: D R R , si dice DERIVABILE IN UN PUNTO, x0 D, se in
tale punto esistono finiti e sono uguali le derivate sinistra e destra:
h
xfhxf
xf
h
xfhxf
xf
conxfxf
00
h
0
'
00
h
0
'
-
0
'
0
'
-
)()(
lim)(
)()(
lim)(
)()(
0
0
Il valore comune dei 2 limiti si dice DERIVATA della funzione f nel punto x0:
h
xfhxf
xfxfDx
dx
df oo
h
o
'
xxo o
)()(
lim)()()(
0
7. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
PROPRIETÀ
f è derivabile in x0 se esistono finite ed uguali la derivata destra e sinistra in x0
Se non x0 è un punto di non derivabilità
Un punto di non derivabilità per f è NON APPARTENENTE al dom(f ′)
OSSERVAZIONE
Se x0 D è un punto estremo del dominio D della funzione f
ad esempio D è del tipo [x0, b) o (a, x0],
in x0, che non è un punto all’interno del dominio,
si può calcolare solo il limite destro o sinistro
per convenzione si dirà in ogni caso che f è derivabile in x0 se
il esiste o
e si porrà:
oppure
)( 0
'
- xf)( 0
'
xf
xfxf 0
'
0
'
)()( xfxf 0
'
0
'
)()(
[x0, b) (a, x0]
8. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
xxxfxfy 00
'
0 )()()( RETTA TANGENTE
O x
y
f(x0)
x0
.
h
.
h
.
h
f(x0+h)
x0+h
.
h
retta
tangente
.
0 h
Al tendere di h a 0, i due punti si avvicinano e la retta secante tende ad assumere una
posizione limite, che prende il nome di retta tangente al grafico nel punto (x0, f(x0))
9. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
PROPRIETÀ GEOMETRICHE
la derivabilità da destra e da sinistra di f in x0
equivalgono all’esistenza di rette tangenti
rispettivamente al ramo destro e al ramo sinistro del grafico di f in P(x0 , f(x0))
xxxfxfy 00
'
0 )()()( xxxfxfy 00
'
0 )()()(
xo
10. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
PROPRIETÀ GEOMETRICHE
geometricamente, una funzione f è derivabile in x0 se:
esiste la retta tangente ad f nel punto x0
è unica
non è una retta verticale
11. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
una funzione f è derivabile in x0 se esiste la retta tangente ad f in x0
e questa non è una retta verticale
1xf(x) 3
derivabile in:
- x0 = 0 e
- x0 = 1
1xf(x) 3
non derivabile in:
- x0 = 1
12. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
PROPRIETÀ GEOMETRICHE
A. f ′ (x0) = 0 tangente ORIZZONTALE
B. f ′ (x0) = 1 tangente parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante ( =45°)
C. f ′ (x0) = (NON ESISTE) tangente VERTICALE
14. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
OSSERVAZIONE
la funzione f(x) è pari
la funzione f (x) è dispari
f(x)=x2
15. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
OSSERVAZIONE
la funzione f(x) è dispari
la funzione f (x) è pari
f(x)= x3
16. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
OSSERVAZIONE
dove la funzione f(x) è crescente dove la funzione f(x) è decrescente
la funzione f (x) è positiva la funzione f (x) è negativa
y=0
17. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
f(x)= sin(x)+tan(x)
OSSERVAZIONE
dove la funzione f(x) è crescente
la funzione f (x) è positiva
y=0
18. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
f(x)= [ sin(x)+tan(x) ]
OSSERVAZIONE
dove la funzione f(x) è decrescente
la funzione f (x) è negativa
y=0
19. DERIVATA DI UNA FUNZIONE
f(x)=(sin(x))2+cos(x)
OSSERVAZIONE
la funzione f(x) ha un estremo (max o min)
la funzione f (x) si annulla
y=0
20. OSSERVAZIONE
la funzione f(x) è lineare f(x) non è derivabile in x=0
la funzione f (x) è costante
DERIVATA DI UNA FUNZIONE
f(x)= |x|
y=0
21. ARCO A SESTO ACUTO
Esiste
una tangente
nel vertice
dell’arco?
22. DERIVABILITÀ
In x0 = 2
esiste una tangente (rossa) se analizzo il comportamento di f a sinistra di x0 = 2
e un’altra tangente (blu) se analizzo il comportamento di f a destra di x0 = 2
in x0 = 2 non esiste una sola tangente f non è derivabile
In tutti gli altri punti x 2 esiste unica retta tangente alla funzione,
cioè f è derivabile in tutti gli x 2
24. x0 x
y
O
f(x0)
f (x0)=0
x0 x
y
O
f(x0)
f (x0)=0
ANDAMENTO GRAFICO DELLA FUNZIONE IN x0 e f (x0)
RETTA TANGENTE ORIZZONTALE
x0 è un punto di massimo
x I(x0) x x0 f(x) f(x0)
x0 è un punto di minimo
x I(x0) x x0 f(x) f(x0)
f (x0) = 0
25. x0 x
y
O
f(x0) f (x0)=1
ANDAMENTO GRAFICO DELLA FUNZIONE IN x0 e f (x0)
RETTA TANGENTE y=x
la retta tangente alla curva in x0 è parallela
alla bisettrice del 1° e 3° quadrante
f (x0)=1
4
26. TEOREMA
Sia f una funzione f: D R R
se f è derivabile in x0 f è CONTINUA in x0
DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ
27. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ
ATTENZIONE
Mentre la derivabilità implica la continuità non vale il contrario:
la derivabilità è più forte della continuità
la continuità è necessaria alla derivabilità ma non sufficiente
può succedere che una funzione sia continua in un punto
ma non derivabile
FUNZIONI
DERIVABILI
FUNZIONI
CONTINUE
28. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ
MA NON VICEVERSA
FUNZIONI CONTINUE MA NON DERIVABILI IN UN PUNTO
30. PUNTI DI NON DERIVABILITÀ
un punto di non derivabilità per f è un punto che
NON appartiene al dom(f ′)
i punti in cui questo accade possono essere:
punti di flesso a tangente verticale
punti angolosi
punti cuspidali
31. x0 dom(f) e in x0 f è continua
è PUNTO ANGOLOSO per f se
esisitono derivata destra e sinistra di f in x0 diverse
almeno una delle due è finita
PUNTO ANGOLOSO
le tangenti a destra e a sinistra formano un angolo
in un punto angoloso la funzione è continua ma non derivabile
xfxf 0
'
0
'
- )()(
unoalmenooL,L
LL
Lxf
Lxf
0
'
0
'
-
11
21
2
1
)(
)(
32. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ
ESEMPIO:
considerando i rapporti incrementali destro e sinistro in x0=0
0
0
||)(
xsex
xsex
xxf
1
00)()0(
lim)(
1
00)()0(
lim)(
0
0
h
h
h
h
h
0fhf
xf
h
h
h
h
h
0fhf
xf
h
0
'
h
0
'
-
La funzione f=|x| è continua
in x0=0 ma non è derivabile
PUNTO ANGOLOSO
33. x0 x
y
O
f(x0)
f (x0)=+
PUNTO A TANGENTE VERTICALE
in x0 c’è un flesso verticale
discendente
)()( 0
'
0
'
- xfxf
x0 x
y
O
f(x0)
f (x0)=
in x0 c’è un flesso verticale
ascendente
x0 ∈ dom(f) è punto a tangente verticale per f se
esistono derivata destra e sinistra di f in x0
entrambe infinite
e di segno concorde
in un punto a tangenza verticale la funzione è continua ma non derivabile
35. ESEMPIO:
considerando i rapporti incrementali destro e sinistroin x0=0
0
0
||)(
xsex
xsex
xxf
h
h
h
h
h
0fhf
0f
h
h
h
h
h
0fhf
0f
h
'
h
'
-
|||0||0|)()0(
lim)(
|||0||0|)()0(
lim)(
0
0
CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ
CUSPIDE
38. Il procedinmento da seguire per determinare la derivata di una funzione
1. si scrive il rapporto incrementale
2. si semplifica o si manipola fino a portare il RI ad una forma “utile”
2. si calcola il limite del rapporto incrementale per h 0
DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI
39. DERIVATA DI FUNZIONI COSTANTI
f(x) = k
RI: 0
0)()(
hh
kk
h
xfhxf
Il RI di una funzione costante è sempre nullo
il limite del RI per h 0 vale 0
la derivata prima di una funzione costante è sempre nulla
Graficamente una funzione costante ha per grafico una retta orizzontale tutte le
rette tangenti coincidono con questa retta orizzontale (coefficiente angolare m=0)
0)()( '
xfkxfse
Vale anche il viceversa:
una funzione derivabile con derivata identicamente nulla su di un intervallo
è necessariamente costante su quell’intervallo
se f : R R : f (x)=0 x I R f(x)=k xI
41. DERIVATA DI FUNZIONI LINEARI
f(x) = mx + q
RI: m
h
hm
h
qmxqhxm
h
xfhxf
][])([)()(
il RI di una funzione lineare non dipende né da h né da x : è sempre nullo
il limite del RI per h 0 vale m
le funzioni lineari sono derivabili e
la loro derivata prima è pari al coefficiente angolare m
Tutte le rette secanti e quindi anche le rette tangenti ad una qualsiasi retta nel piano
coincidono con la retta stessa
devono avere lo stesso coefficiente angolare m
mxfqmxxfse )()( '
43. DERIVATA DI FUNZIONI QUADRATICHE
Una funzione quadratica può essere interpretata come la somma di una
funzione potenza ax2 e di una funzione lineare bx+c
applicando la definizione di derivata si ottiene:
baxcbxax 2)( 2
cbxaxxf 2
)(
)()()( 22 cbxaxcbxax
44. DERIVATA DI FUNZIONI QUADRATICHE
OSSERVAZIONI
la derivata della funzione quadratica ha
le seguenti proprietà:
1. si annulla nel vertice nel vertice
ha tangente orizzontale f (xV)=0
2. f<0 per x<xV dove f decresce
f>0 per x>xV dove f cresce
3. f è crescente sse il grafico di f è
convesso
f decresce sse il grafico di f è
concavo
cbxaxxf 2
)(
baxcbxax 2)( 2
46. DERIVATA DELLA FUNZIONE POTENZA
1
)(
nn
naxax
si applica il limite notevole
n
axxf )(
t
t1
t
]1)[(
lim
0
1
0
1
00
]1)[(
lim
]1)[(
lim
)(
lim
n
x
h
n
x
h
h
n
n
x
h
n
h
nn
h
nax
1
ax
h
1
ax
h
axhxa
32
3
3
2
3
2
2)12(21
3
2)1(
3
23 2
2)(
)(
1
xx
x
xx
xxx
x
ESEMPI
48. DERIVATA DEL LOGARITMO
x
f
1
'
xxf ln)(
x
e
x
hx
x
hx
x
hx
h
xhx
x
t
z
z
h
h
etz
h
hhhh
1
lnlimln
lnlimlnlim
ln)ln(
lim
1
1
0
1
1
1lim
0
0
1
00
ax
fxf a
ln
1
log
51. VELOCITÀ MEDIA vs ISTANTANEA
P1
P2
t (s)
x (m)
dt
dx
t
x
tv
t
0
lim
t2
P’2
t3
P’’2
t4
P’’’2
t1
P2
P1
tangente alla curva x=x(t) per t0
tn0
P’’’’2
12
12
tt
xx
t
x
v
53. Se f e g sono funzioni derivabili in x0 anche la loro SOMMA /
DIFFERENZA è una funzione derivabile in x0 e risulta:
DIMOSTRAZIONE
DERIVATA DELLA SOMMA ALGEBRICA DI FUNZIONI
'''
)( gfgf
)()(
)()(
lim
)()(
lim
)()()()(
lim
)]()([)]()([
lim
00
0
0
0
'
0
'
00
h
00
h
0000
h
0000
h
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxgxfhxf
h
xgxfhxghxf
IL LIMITE DI UNA SOMMA è
UGUALE ALLA SOMMA DEI LIMITI
54. DERIVATA DELLA FUNZIONE POLINOMIALE
1
1
1
1
)1(' axnanaxf n
n
n
Nnaxaxaxaxf n
n
n
n
01
1
1)(
(Esempio di derivata della somma algebrica di funzioni)
55. Se f e g sono funzioni derivabili in x0 anche il loro PRODOTTO è una
funzione derivabile in x0 e risulta:
DIMOSTRAZIONE
DERIVATA DEL PRODOTTO DI FUNZIONI
'''
)( gfgfgf
)()()()(
)()(
)(lim
)()(
)(lim
)()()()()()()()(
lim
)]()([)]()([
lim
00
0
0
0
'
00
'
0
00
h
00
0
h
0000000
h
0000
h
xgxfxfxg
h
xghxg
xf
h
xfhxf
hxg
h
xgxfhxgxfhxgxfhxghxf
h
xgxfhxghxf
SI AGGIUNGE E SI TOGLIE UNO
STESSO TERMINE
57. Se f e g sono funzioni derivabili in x0 e g(x)0 in x0 anche il loro
RAPPORTO è una funzione derivabile in x0 e risulta:
DIMOSTRAZIONE
si dimostra mediante il rapporto incrementale
DERIVATA DEL RAPORTO DI FUNZIONI
2
''
)()(
)(
xg
gfgf
xg
xf
60. DERIVABILITÀ
I teoremi della derivata della SOMMA, del PRODOTTO e del QUOZIENTE
esprimo delle condizioni sufficienti ma non necessarie :
se f e g sono derivabili sono derivabili
la loro somma, prodotto, rapporto...
Tuttavia potrebbe essere che la funzione che si ottiene dalla somma,
prodotto, rapporto... di funzioni risulti derivabile
ma non lo siano le funzioni prese singolarmente
3 2
)( xxf non è derivabile in x0 = 0:
h
h
h
3 2
0
lim
mentre la funzione g= f f è derivabile in x0 = 0
||1)( xxg in x0 = 0 ha un punto angoloso non è derivabile :
mentre la funzione s = g /g è derivabile in x0 = 0
ESEMPI
61. Se f (x) è una funzione derivabile in x0
g(x) una funzione derivabile nel punto f(x0)
la funzione composta f g è definita in un intorno di x0
f g è derivabile in x0 e si ha:
DERIVATA DI FUNZIONI COMPOSTE
)())(()( 0
'
0
''
xfxfgfg
ESEMPIO
f e g sono derivabili in tutti i punti del loro dominio
x
t
x
tconetg
xf
exfgxh x
1
1
)(
)(
))(()(
1
t
etge
x
xf )(
1
)( '
2
'
xe
x
xfxfgxh
1
20
'
0
'' 1
)())(()(
62. DERIVATA DI FUNZIONI COMPOSTE
fnff n'n 1
)(
DERIVATA DEL LOGARITMO DI FUNZIONE
f
f
gxfxg
)](ln[)(
POTENZA DI UNA FUNZIONE
63. Sia f : I R R una funzione continua e strettamente monotona (invertibile)
Se f è derivabile in x0 I e f(x0) 0 (senza punti a tangente orizzontale)
esiste la derivata della funzione inversa
DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA
)(
1
))(((
0
'
'
0
1
xf
xff
I grafici di f ed f−1 sono simmetrici
rispetto a y = x
Le rette tangenti hanno coefficienti
angolari che sono uno il reciproco
dell’altro
64. Siano f e g due funzioni derivabili in un intervallo aperto (a, b) R* escluso
al più il punto x0. Se
1.
2.
esiste e
TEOREMA DI DE L’HOPITAL
L
g
f
g
f
xxxx
00
limlim
)0(0)(lim)(lim
00
ooxgxf
xxxx
*
)(
)(
lim
0
RLconL
xg
xf
xx
Il teorema continua a valere anche per x
)(
)(
lim
0 xg
xf
xx
