LIMITE FINITO di FUNZIONE CON x TENDENTE a VALORE FINITO: TERZA DEFINIZIONE, CON DOPPIE DISEQUAZIONI, IMPLICAZIONI ed EQUIVALENZE - METODO EPSILON DELTA - CALCOLI PASSO PASSO

3. PREMESSA

4. SIA DATA
la FUNZIONE ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA:
y = x2 - 1
x - 1
CON x ≠ 1

5. SIA, INOLTRE,
ε R
(EPSILON È un ELEMENTO di R,
DOVE R ė l’INSIEME dei NUMERI REALI)
ε È MAGGIORE DI ZERO
e PROSSIMO ALLO ZERO

6. CONSIDERIAMO, ORA, la 1^ DOPPIA DISEQUAZIONE
2 - ε < x2 - 1 < 2 + ε CON x ≠ 1
x - 1
OPPURE, POICHÉ
y = x2 - 1
x - 1
PIÙ SEMPLICEMENTE,
2 - ε < y < 2 + ε
NOTARE CHE l'ESPRESSIONE RAPPRESENTA
un INTORNO di y = 2

7. SIA, ANCHE,
δ R
(DELTA È un ELEMENTO di R)
δ È MAGGIORE DI ZERO
e PROSSIMO ALLO ZERO

8. CONSIDERIAMO la 2^ DOPPIA DISEQUAZIONE
1 - δ < x < 1 + δ
L'ESPRESSIONE RAPPRESENTA
un INTORNO di x = 1

9. ESEMPIO
-
1^ PARTE

10. RIPRENDIAMO la 1^ DOPPIA DISEQUAZIONE:
2 - ε < x2 - 1 < 2 + ε
x - 1
CON x ≠ 1
SEMPLIFICHIAMO la FUNZIONE CHE È al SUO CENTRO:
x2 - 1 = x2 - 12 = (x + 1) (x - 1) = x + 1
x - 1 x - 1 x - 1
CON x ≠ 1

11. PONIAMO ε = 0,1
(POTREBBE ANCHE ESSERE ε = 0,01 o ε = 0,001 o ...)
e SOSTITUIAMO SIA il VALORE della FUNZIONE CON x + 1
SIA il VALORE di ε CON 0,1
LA 1^ DOPPIA DISEQUAZIONE DIVENTA:
2 - 0,1 < x + 1 < 2 + 0,1
POI, SOTTRAENDO 1 AI TRE MEMBRI, SI HA:
2 - 0,1 - 1 < x + 1 - 1 < 2 + 0,1 - 1
1 - 0,1 < x < 1 + 0,1

12. PONENDO δ = 0,1 SI OTTIENE:
1 - δ < x < 1 + δ
CHE È la 2^ DOPPIA DISEQUAZIONE

13. ABBIAMO, COSÌ, DIMOSTRATO CHE
la 1^ DOPPIA DISEQUAZIONE IMPLICA la 2^:
2 - ε < x2 - 1 < 2 + ε ➡ 1 - δ < x < 1 + δ
x - 1
SN ➡ DS
(implica che)
CON x ≠ 1
ε R, MAGGIORE di ZERO e PROSSIMO allo ZERO
δ R, MAGGIORE di ZERO e PROSSIMO allo ZERO

14. NOTARE CHE ABBIAMO POSTO ε = 0,1
e ABBIAMO AVUTO δ = 0,1
SE AVESSIMO POSTO ε = 0,01
OPPURE ε = 0,001
OPPURE ε = …
AVREMMO AVUTO ALTRI VALORI di δ

15. ESEMPIO
-
2^ PARTE

16. PARTIAMO dalla 2^ DOPPIA DISEQUAZIONE,
CIOÈ dall'ESPRESSIONE APPENA RICAVATA,
e FACCIAMO il PERCORSO INVERSO:
1 - δ < x < 1 + δ
PONENDO δ = 0,1 SI OTTIENE:
1 - 0,1 < x < 1 + 0,1
POI, ADDIZIONANDO 1 AI 3 MEMBRI, SI HA:
1 - 0,1 + 1 < x + 1 < 1 + 0,1 + 1
2 - 0,1 < x + 1 < 2 + 0,1

17. MODIFICHIAMO, ORA, la FUNZIONE al CENTRO
della DOPPIA DISEQUAZIONE APPENA OTTENUTA:
x + 1 = x + 1 * x - 1 = x2 - 12 = x2 - 1
x - 1 x - 1 x - 1
CON x ≠ 1
SOSTITUENDO la FUNZIONE
nell'ULTIMA DOPPIA DISEQUAZIONE, SI HA:
2 - 0,1 < x2 - 1 < 2 + 0,1
x - 1

18. PONENDO ε = 0,1 e SOSTITUENDO, SI OTTIENE:
2 - ε < x2 - 1 < 2 + ε
x - 1
CON x ≠ 1
CHE, in REALTÀ, è la 1^ DOPPIA DISEQUAZIONE
CONSIDERATA

19. ABBIAMO, COSÌ, DIMOSTRATO CHE
la 2^ DOPPIA DISEQUAZIONE IMPLICA la 1^:
2 - ε < x2 - 1 < 2 + ε ⬅ 1 - δ < x < 1 + δ
x - 1
SN ⬅ DS
(implica che)
CON x ≠ 1
ε R, MAGGIORE di ZERO e PROSSIMO allo ZERO
δ R, MAGGIORE di ZERO e PROSSIMO allo ZERO

20. NOTARE CHE ABBIAMO POSTO δ = 0,1
e ABBIAMO AVUTO ε = 0,1
SE AVESSIMO POSTO δ = 0,01
OPPURE δ = 0,001
OPPURE δ = …
AVREMMO AVUTO ALTRI VALORI di ε

21. ESEMPIO
-
3^ PARTE

22. POICHÉ il VERSO delle FRECCE delle IMPLICAZIONI VA
da SINISTRA a DESTRA (1^ PARTE)
E
da DESTRA a SINISTRA (2^ PARTE)
ABBIAMO, in SINTESI, DIMOSTRATO CHE
È VERA l'EQUIVALENZA (SIMBOLO ↔):
2 - ε < x2 - 1 < 2 + ε ↔ 1 - δ < x < 1 + δ
x - 1
CON x ≠ 1
ε R, MAGGIORE di ZERO e PROSSIMO allo ZERO
δ R, MAGGIORE di ZERO e PROSSIMO allo ZERO

23. 3^ Definizione
di
Limite

24. CONSIDERATA la FUNZIONE
y = x2 - 1
x - 1
CON x ≠ 1
il LIMITE di TALE FUNZIONE, PER x CHE TENDE a 1, È 2
e SCRIVEREMO
lim x2 - 1 = 2
x->1 x - 1

25. SE E SOLTANTO SE
PER OGNI
ε R
(EPSILON È ELEMENTO di R,
DOVE R È l'INSIEME dei NUMERI REALI)
ESISTE
δ R
(DELTA È ELEMENTO di R),
ENTRAMBI MAGGIORI di ZERO e PROSSIMI allo ZERO

26. TALI DA
RENDERE VERA
LA SEGUENTE EQUIVALENZA
(SIMBOLO ↔):
2 - ε < x2 - 1 < 2 + ε ↔ 1 - δ < x < 1 + δ
x - 1
CON x ≠ 1
OPPURE, SOSTITUENDO CON y a SINISTRA:
2 - ε < y < 2 + ε ↔ 1 - δ < x < 1 + δ

27. NOTARE CHE IN
2 - ε < y < 2 + ε ↔ 1 - δ < x < 1 + δ
a SINISTRA del SEGNO di EQUIVALENZA,
VI È un INTORNO di y = 2
a DESTRA dello STESSO SEGNO,
VI È un INTORNO di x = 1

28. QUESTO SIGNIFICA, ALLORA, CHE
l’EQUIVALENZA PUÒ ESSERE LETTA in QUESTO MODO:
ESISTE un INTORNO di y = 2 ➡ ESISTE un INTORNO di x = 1
SN ➡ DS
(implica che)
ESISTE un INTORNO di y = 2 ⬅ ESISTE un INTORNO di x = 1
SN ⬅ DS
(implica che)

29. In ALTRI TERMINI,
da SN a DS:
SE ESISTE un INTORNO di y = 2
ALLORA ESISTE un INTORNO di x = 1
da DS a SN:
SE ESISTE un INTORNO di x = 1
ALLORA ESISTE un INTORNO di y = 2

30. OPPURE:
l'ESISTENZA di un INTORNO di y = 2
EQUIVALE
all'ESISTENZA di un INTORNO di x = 1
O, ANCHE:
l'ESISTENZA di un INTORNO di x = 1
EQUIVALE
all'ESISTENZA di un INTORNO di y = 2

31. QUINDI, CONSIDERATA la FUNZIONE
y = x2 - 1 CON x ≠ 1
x - 1
il LIMITE di TALE FUNZIONE, PER x CHE TENDE a 1, È 2
e SCRIVEREMO
lim x2 - 1 = 2
x->1 x - 1
SE e SOLTANTO SE, PER OGNI INTORNO di y = 2
ESISTE un INTORNO di x = 1

32. OPPURE …

33. CONSIDERATA la FUNZIONE
y = x2 - 1 CON x ≠ 1
x - 1
il LIMITE di TALE FUNZIONE, PER x CHE TENDE a 1, È 2
e SCRIVEREMO
lim x2 - 1 = 2
x->1 x - 1
SE e SOLTANTO SE, PER OGNI INTORNO di x = 1
ESISTE un INTORNO di y = 2

34. È EVIDENTE CHE, COSÌ,
la 3^ DEFINIZIONE di LIMITE
SI COLLEGA
alla 2^ DEFINIZIONE INTUITIVA di LIMITE