1. PROBLEMA 1 - PNI - 2013-Punto 1
f : [0, +∞) → R, f ∈ C2
([0, +∞))
y = 2x tangente a Γ in (2, 4)
Poich f′′
(2) = 0 e inoltre si ha
f′′
(x) > 0 per x ∈ (2 − ϵ, 2)
f′′
(x) < 0 per x ∈ (2, 2 + ϵ)
con ϵ > 0, ne segue che x0 = 2 punto di massimo per f′
(x) .
Inoltre essendo f′
(2) = 2 (coefficiente angolare della retta tangente)
si ha che il massimo di f′
ha coordinate A (2, 2) .
Poich f′′
≤ f′
≤ f ∀x ∈ [0, +∞) e si ha
limx→+∞f (x) = 0 ⇒ limx→+∞
f(x)
x
= 0
e per Hopital limx→+∞f′
(x) = 0 e quindi y = 0 asintoto orizzontale di f′
Inoltre poich
f′
cresce su [0, 2)
f′
decresce su (2, +∞) il grafico Ξ, probabile, il seguente:
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Punto 2
La presenza dell’asintoto orizzontale indica che, dopo un certo intervallo
di tempo, la popolazione tende ad assestarsi attorno ad un valore costante.
Essendo Γ strettamente crescente, la popolazione in crescita, tuttavia la
presenza del flesso implica che, su (0, 2) tale crescita sia accelerata (f′′
> 0)
1

2. mentre risulta decelerata per x > 2 (f′′
< 0)
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Punto 3 Poich limx→+∞f (x) = 8 si ha
8 = a · limx→+∞
1
1+eb−x = a · 1
⇒ a = 8
Inoltre, essendo f′
(2) = 2 si ha
f′
(x) = −a ·
(
1 + eb−x
)−
2 ·
(
−eb−2
)
⇒ 2 = −8
(
1 + eb−2
)−2
·
(
−eb−2
)
posto t = eb−2
si ha
1 = 4et
(1+et)2 ⇒ 1 + e2t
+ 2et
= 4et
e2t
− 2et
+ 1 = 0
(et
− 1)
2
= 0
et
= 1 ⇒ f = 0 ⇒ b − 2 = 0 ⇒ b = 2
————————————————–
Punto 4 A =
∫ 2
0
f′′
(t) dt = [f′
(t)]2
0 = f′
(2) − f′
(0) =
2 − 8e2
(1+e2)2 essendo f′
(x) = 8e2−x
(1+e2−x)2
2