AnsPAT-1-2.pdf

เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com
1) ตอบ 2
จาก p q q p
→ ≡ →
∼ ∼
[ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]
x P x x Q x x Q x x P x
∀ → ∃ ≡ ∃ → ∀
∼ ∼ ∼ ∼
[ ( )] [ ( )]
x Q x x P x
≡ ∀ → ∃ ∼
-------------------------------------------------------------------------
2) ตอบ 4,
กําหนด { / 10}
U n I n
+
= ∈ ≤
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
=
พิจารณาขอ 4 2 2
( ) 9
x y y xy
− ≥ +
2 2 2
2 9
x xy y y xy
− + ≥ +
2
2 9
x xy xy
− ≥ +
2
11
x xy
≥
. (11 )
x x x y
≥
11
x y
≥ เปนเท็จ ทุก ,
x y U
∈
x ≥ 11y
-------------------------------------------------------------------------
3) ตอบ 2
นักเรียนทั้งหมด ( ) 880
n U =
ตองการศึกษาตอ ( ) 725
n A =
ตองการทํางาน ( ) 160
n B =
ตองการศึกษาตอหรือทํางาน ( ) 813
n A B
∪ =
x
7
2
5
x
−
1
6
0
x
−
813 725 160
72
x
x
= + −
=
( ) ( ) ( ) ( )
813 = 725 + 160 ( )
n A B n A n B n A B
n A B
∪ = + − ∩
− ∩
( ) 72
n A B
∩ =
-------------------------------------------------------------------------
4) ตอบ 4
{1,2,{1,2},{1,2,3}}
A =
พิจารณาตัวเลือก 4 {1,2,3} A
⊂ แลว
1 , 2
A A
∈ ∈ แต 3∈A
-------------------------------------------------------------------------
5) ตอบ 1
(2 1)( 1)
0
2
x x
x
+ −
≥
−
1
− คูณตลอด (2 1)( 1)
0
2
x x
x
+ −
≤
−
1
2
1
( , ] [1,2)
2
A = −∞ − ∪
2
2 7 3 0
x x
− + <
(2 1)( 3) 0
x x
− − <
1
2
1
( ,3)
2
B =
1
2
[1,2)
A B
∩ = =[ , )
c d
ดังนั้น 6 6(1) 2 4
c d
− = − =
-------------------------------------------------------------------------
6) ตอบ 1
2 2
( 1)( 3) 15
x x
− − ≤
4 2
4 3 15
x x
− + ≤
4 2
4 12 0
x x
− − ≤
2 2
( 6)( 2) 0
x x
− + ≤
2
( 6) 0
x − ≤
( 6)( 6) 0
x x
− + ≤

6
− 6
[ 6, 6]
A = −
ดังนั้น 6, 6
a b
= − =
2 2
( ) ( 6 ( 6)) 24
b a
− = − − =
-------------------------------------------------------------------------
7) ตอบ 3
4 2
2
13 36
0
5 6
x x
x x
− +
≥
+ +
2 2
( 4)( 9)
0
( 2)( 3)
x x
x x
− −
≥
+ +
( 2) ( 2)
x x
− + ( 3) ( 3)
x x
− +
( 2)
x + ( 3)
x +
0
≥
( 2)( 3) 0
x x
− − ≥ , 2, 3
x ≠ − −
(2, )
∞
( , 3) ( 3, 2) ( 2,2] [3, )
S = −∞ − ∪ − − ∪ − ∪ ∞
a เปนจํานวนที่นอยที่สุด ของ (2, ) [3, )
S ∩ ∞ = ∞
จะได 3
a =
b เปนจํานวนลบที่มีคามากที่สุด ที่ b∈S
จะได 2
b = −
ดังนั้น 2 2 2 2
3 ( 2) 9
a b
− = − − =
-------------------------------------------------------------------------
8) ตอบ 2
โจทยกําหนด 2
( ) 5, ( )
f x x g x x
= − =
( ) ( ( ))
gof x g f x
= ( ) ( ( ))
fog x f g x
=
2
( 5)
x
= − 2
5
x
= −
และ ( ) ( )
gof a fog a
=
2 2
( 5) 5
a a
− = −
2 2
10 25 5
a a a
− + = −
2 2
10 25 5
a a a
− + = −
3
a =
( )( ) ( ) ( )
fg x f x g x
= +
2
( 5)
x x
= −
2
( )(3) (3 5).3 18
fg = − = −
-------------------------------------------------------------------------
9) ตอบ 1
กําหนด 2
( ) 1
f x x x
= + +
( ) ( )
f a b f a b
+ = −
2 2
( ) ( ) 1 ( $) ( ) 1
a b a b a b a b
+ + + + = − + − +
2 2 2 2
2 1 2 1
a ab b a b a ab b a b
+ + + + + = − + + − +
2 2
ab b ab b
+ = − −
4 2
ab b
= −
1
2
a = −
ดังนั้น 2 1
4
a =
-------------------------------------------------------------------------
10) ตอบ 1
{( , ) / [ 1,1]
r x y x
= ∈ − และ 2
}
y x
=
พิจารณา ก
จากความสัมพันธ r ; [ 1,1]
r
D = −
; [0,1]
r
R =
หา 1
r−
; 2
x y
= , [0,1]
x∈
y x
= ± , [0,1]
x∈
1
{( , ) / [0,1]
r x y x
−
= ∈ และ }
y x
= ±
พิจารณา ข

r
1
r−
(1,1)
(0,0)
กราฟตัดกันที่จุด (0,0) และ (1,1)
-------------------------------------------------------------------------
11) ตอบ 3
sin30 cos30
sin10 sin10
o o
o o
= −
sin30 cos10 cos30 sin10
sin10 cos10
o o o o
o o
−
=
= 2 sin(30 10 )
.
2 sin10 cos10
o o
o o
−
= sin 20
2.
sin 20
o
o
2
=
-------------------------------------------------------------------------
12) ตอบ 3
A
B
C
D
3
4
5
2
x
x
θ
180 o
θ
−
จากกฏของ cosine
จะได 2 2 2
2 . cos
AB AD BD AD BD θ
= + −
2
2 2
5 5
4 2 cos
2 2
x x θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1)
− −
และ 2 2 2
2 . cos(180 )
O
AC AD CD AD CD θ
= + − −
2
2 2
5 5
3 2 cos(180 )
2 2
o
x x θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2)
− −
จาก cos(180 ) cos
o
θ θ
− = −
(1) (2)
+ ;
2
2 2 2
5
3 4 2 2
2
x
⎛ ⎞
+ = +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
25
25 2
2
x
= +
5
2
x =
ดังนั้น 5
2 2( ) 5
2
BC x
= = =
-------------------------------------------------------------------------
13) ตอบ 1
arcsin(5 ) arcsin( )
2
x x
π
+ =
arcsin(5 ) arcsin( )
2
x x
π
= −
sin(arcsin(5 )) sin( arcsin( ))
2
x x
π
= −
5 cos(arcsin( ))
x x
=
กําหนด
arcsin
A x
=
sin A x
=
x
1
2
1 x
−
5 cos
x A
=
2
5 1
x x
= −
2 2
25 1
x x
= −
2 1
26
x =
1
26
x = ± ใชคาบวกเพราะอยูใน Q-1
1
tan(arcsin ) tan(arcsin )
26
x =

กําหนด
1
arcsin( )
26
B =
1
sin
26
B =
1
26
5
tan(arcsin ) tan( )
x B
=
1
5
=
-------------------------------------------------------------------------
14) ตอบ 4
P
Q
(5,0)
1 : 2 5 0
l x y
− + =
2
l
2 5 0
x y
− − =
2
; 2 0
x y c
− − =
จากโจทยจะได เสนตรง 1
l ขนานกับเสนตรง 2
l
จะไดวา 1 2
m m
=
2 2
( 5) 20
x y
− + =
2 2 2
( 5) (2 5)
x y
− + =
ดังนั้น PQ ยาว 4 5
1 2
2 2
| |
1 2
c c
PQ
−
=
+
2
2 2
| 5 |
4 5
1 2
c
−
=
+
2
20 | 5 |
c
= −
20 5 2
c
± = −
2 5 20
c = ±
2 15,25
c = −
สรางเสนตรงที่ขนานทั้ง 1
l และ 2
l และผานจุด
(5,0) ซี่งเปนจุดศูนยกลางของวงกลม
จะไดวา 2 0
x y c
− + =
แทน ( , ) (5,0)
x y = ; 5 2(0) 0
c
− + =
5
c = −
จากรูปจะไดเลือก 2 15
c = − มาแทนในสมการเสนตรง 2
l
ดังนั้นจะไดสมการ 2 : 2 15 0
l x y
− − =
แทนคาในตัวเลือก 4 2 15 0
x y
− − =
15 2(0) 15 0
− − =
0 0
= เปนจริง
(ขอนี้หาคําตอบไดหลายวิธีขี้นอยูกับมุมมอง)
-------------------------------------------------------------------------
15) ตอบ 1
2 2
{( , ) / 1}
S x y x y
= + ≤
2 2
{( , ) / 1}
A x y x y
= − =
2 2
{( , ) / 1}
A x y y x
= − =
p S A
∈ ∩ และ q S B
∈ ∩

( 17,0)
( 17,0)
−
(0, 17)
(0, 17)
−
2 2
1
x y
− =
2 2
1
y x
− =
p
q
แกสมการ 2 2
17
x y
+ = ---- (1)
2 2
1
x y
− = ---- (2)
(1)+(2) 2
2 18
x =
3
x = ±
แทน 3
x = จะได 2 2
y = ±
แทน 3
x = − จะได 2 2
y = ±
แกสมการ 2 2
17
x y
+ = ---- (3)
2 2
1
y x
− = ---- (4)
(1) - (2) 2
2 16
x =
2 2
x = ±
แทน 2 2
x = จะได 3
y = ±
แทน 2 2
x = − จะได 3
y = ±
ดังนั้นหาระยะหางระหวาง (3,2 3)
p และ (2 2,3)
q
2 2
(3 2 2) (2 2 3)
pq = − + −
2(3 2 2)
= −
3 2 4
= −
-------------------------------------------------------------------------
16) ตอบ 1
( 2,0)
F −
2 6 0
x y
+ − =
2
8
y x
= −
พาราโบลา 2
8
y x
= −
2
4( 2)
y x
= −
โฟกัสของพาราโบลา คือ (0,-2)
เสนตรงคือ 2 6 0
x y
+ − =
ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรงคือ
1 1
2 2
| |
Ax By C
d
A B
+ +
=
+
2 2
| 2( 2) (0) 6 |
2 1
− + −
=
+
=
10
5
= 2 5
-------------------------------------------------------------------------
17) ตอบ 4
ตองการสรางสมการวงรี ตองรู 2 อยาง
1) จุดศูนยกลาง (0,0)
2) คา a และ b
จากรูปคา 1
b = จะไดคา 2 2
1 1 2
a = + =

(1,0)
( 1,0)
−
(0,1)
(0, 1)
−
X
Y
b=1
F
F
a
รูปมาตรฐาน
2 2
2 2
( ) ( )
1
x h y k
b a
− −
+ = (วงรี รีตามแกน Y )
2 2
2 2
1
1 ( 2)
x y
+ =
2
2
1
2
y
x + =
จุดที่อยูบนวงรี คือจุดที่ไปแทนในสมการวงรีแลวทําใหสมการเปนจริง
พิจารณาตัวเลือก 4
2
2
4
1 3
1
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠
+ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 8
1
9 9
+ =
1 1
= เปนจริง
-------------------------------------------------------------------------
18) ตอบ 3
2
2
log (4 ) log (9 4 ) 1
x x
− = − +
1
2
2 2
2
log (4 ) log (9 4 ) log 2
x x
− = − +
2 2
2log (4 ) log (9 4 )(2)
x x
− = −
2
2 2
log (4 ) log (18 8 )
x x
− = −
2
(4 ) (18 8 )
x x
− = −
2
16 8 18 8
x x x
− + = −
2
2
x =
2
x = ± [ 2,2)
∈ −
-------------------------------------------------------------------------
19) ตอบ 2
, 0
x y > ถา y x
x y
= และ 5
y x
=
จะได (5 )
(5 )
x x
x x
=
Take log; (5 )
log log(5 )
x x
x x
=
(5 )log ( )log5
x x x x
=
5(log ) log5
x x
=
5(log ) log(5) log
x x
= +
4(log ) log5
x =
1
log log5
4
x =
1
4
log log5
x =
1
4
5
x =
1.5
x ≈
-------------------------------------------------------------------------
20) ตอบ 1
, , 1
a b c >
log 30, log 50, log 15
a b abc
d d d
= = =
1 1 1
log , log , log
30 50 15
d d d
a b abc
= = =
log log log log
d d d d
a b c abc
+ + =
1 1 1
log
30 50 15
d c
+ + =
1 1 1
log
15 30 50
d c = − −
1
log
75
d c =
log 75
c d =
-------------------------------------------------------------------------
21) ตอบ 4
2 2
[ ]
ij x
A a
= det 4
A =
3
A I
− เปนเมตริกซเอกฐานแสดงวาdet( 3 ) 0
A I
− =
กําหนด
a b
A
c d
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦

จาก det 4
A = จะได 4
ad bc
− = ---- (1)
3
A I
−
1 0
3
0 1
a b
c d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3
3
a b
c d
−
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
det( 3 ) ( 3)( 3) 0
A I a d bc
− = − − − =
3 3 9 0
ad a d bc
= − − + − =
( ) 3 3 9 0
ad bc a d
= − + − + = ---- (2)
แทน 4
ad bc
− = ใน (2) จะได
4 3 3 9 0
a d
− − + =
4 9 3 3
a d
+ = +
3 3 13
a d
+ = ---- (2)
3
A I
+
1 0
3
0 1
a b
c d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3
3
a b
c d
+
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
+
⎣ ⎦
ตองการหา det( 3 )
A I
+
det( 3 ) ( 3)( 3)
A I a d bc
+ = + + −
3 3 9
ad a d bc
= + + + −
( ) (3 3 ) 9
ad bc a d
= − + + +
แทนคา 4
ad bc
− = และ 3 3 13
a d
+ =
4 13 9
= + +
26
=
-------------------------------------------------------------------------
22) ตอบ 1
, ,
x y z ∈
2 2 1
x y z
− − = (1)
− − −
3 7
x y z
− + = (2)
− − −
5
x y z
− + − = − (3)
− − −
(2) (3)
+ 2 2
y
− = ; 1
y = −
(3) 2
x 2 2 2 10
x y z
− + − = − (4)
− − −
(1) (4)
+ 3 9
z
− = − ; 3
z =
y = − และ 3
z = ใน (1)
2 2( 1) (3) 1
x − − − =
1
x =
ดังนั้น 1 2 3
x y z
+ + =
1 2 3
1 1 3
+ + =
−
0
-------------------------------------------------------------------------
23) ตอบ 4
3 4
2
3 6
A B
⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
(1)
− − −
1 2
2
4 2
A B
−
⎡ ⎤
+ = ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
(2)
− − −
(1) 2
x
6 8
4 2
6 12
A B
⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
(3)
− − −
(2) (3)
+
5 10
5
10 10
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 2
;
2 2
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
แทน
1 2
;
2 2
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
ใน (1)
1 2 3 4
2
2 2 3 6
B
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2 3 4
2
2 2 3 6
B
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 0
1 2
B
−
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
ดังนั้น
1 2 1 0
2 2 1 2
AB
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
1 4
0 4
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
1 4 4
1
( )
0 1
1( 4) ( 4)(0)
AB − −
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− − − ⎣ ⎦
1
1 1
4 4
1
( ) 1
0 1
4 0
4
AB −
−
⎡ ⎤
−
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
⎣ ⎦
-------------------------------------------------------------------------
24) ตอบ 4

กําหนด u และ v เปนเวคเตอร 1 หนวย จะได | | | | 1
u v
= =
และ 3u v
+ ตั้งฉากกับ 3
u v
+
จะไดวา (3 ).( 3 ) 0
u v u v
+ + =
2 2
3| | 9 . . 3| | 0
u u v u v v
+ + + =
3(1) 10 . 3(1) 0
u v
+ + =
10 . 6
u v = −
และ 2 2 2
| 5 | 25| | 10 . | |
u v u u v v
− = − +
2
| 5 | 25(1) ( 6) (1)
u v
− = − − +
2
| 5 | 32
u v
− =
| 5 | 4 2
u v
− =
-------------------------------------------------------------------------
25) ตอบ 2
กําหนด | . | | || |
u v u v
≠
จาก . | || | cos
u v u v θ
= แสดงวา cos 1
θ ≠
จะไดวา u ไมขนานกับเวคเตอร v
( 2 ) 3 (2 )
a v u u b u v
− + = +
2 3 2
av au u bu bv
− + = +
( 2 3 2 ) ( )
a b u b a v
− + − = −
จะไดวา 2 3 2 0
a b
− + − = (1)
− − −
0
b a
− = (2)
− − −
จาก (2) จะได b a
= และ แทน b a
= ใน (1)
2 3 2 0
a a
− + − =
4 3
a
− = −
3
4
a =
-------------------------------------------------------------------------
26) ตอบ 2
จาก 4
1 0
z + =
2 2
( )( ) 0
z i z i
− + =
2
z i
= ±
2
1
| |
z
z
+ = 2
2
1
| 2 |
z
z
+ +
กรณีที่ 1 แทน 2
z i
=
1
|( ) 2 |
( )
i
i
= + +
| 2 |
i i
= + −
2
=
กรณีแทน 2
z i
= −
1
|( ) 2 |
( )
i
i
= − + +
−
| 2 |
i i
= − + +
2
=
-------------------------------------------------------------------------
27) ตอบ 1
z a bi
= + 2
, z c di
= +
จาก 1 2
| | 3
z z
+ = จะได | ( ) ( ) | 3
a bi c di
+ + + =
| ( ) ( ) | 3
a c b d i
+ + + =
2 2
( ) ( ) 9
a c b d
+ + + =
2 2 2 2
2 2 9
a ac c b bd d
+ + + + + = (1)
− − −
จาก 1 2 3 4
z z i
= + จะได ( )( ) 3 4
a bi c di i
+ − = +
2
3 4
ac adi bci bdi i
− + − = +
( 1) 3 4
ac adi bci bd i
− + − − = +
( ) ( ) ) 3 4
ac bd bc ad i i
+ + − = +
ac bd
+ = (2)
− − −
และ 4
bc ad
− = (3)
− − −
จาก (1) จะได 2 2 2 2
9 2( )
a c b d ac bd
+ + + = − +
แทน 3
ac bd
+ = ; 2 2 2 2
9 2(3)
a c b d
+ + + = −
2 2 2 2
3
a c b d
+ + + =
ตองการหา 2 2
1 2
| | | |
z z
+ = 2 2
| ( ) | | ( ) |
a bi c di
+ + +
2 2 2 2
( ) ( )
a b c d
= + + +
3
=
-------------------------------------------------------------------------
28) ตอบ 3
สมการวัตถุประสงค 5 4
P x y
= +
สมการเงื่อนไข 40
x y
+ ≤

3 2 60
x y
+ ≤
0, 0
x y
≥ ≥
หาจุดตัดแกน X (แทนคา 0
y = )
หาจุดตัดแกน Y (แทนคา 0
x = )
หาจุดตัดของเสนตรง 2 เสน คือการแกสมการเชิงเสนสองตัว
แปร
2 40
x y
+ =
3 2 60
x y
+ =
(0,20)
(0,30)
(20,0) (40,0)
(10,15)
X
Y
5 4
P x y
= +
(0,20) 5(0) 4(20) 80
P = + =
(10,15) 5(10) 4(15) 110
P = + =
(20,0) 5(20) 4(0) 100
P = + =
คาสูงสุดของ P คือ 110
-------------------------------------------------------------------------
29) ตอบ 2
n
a เปนลําดับเลขคณิต
9 5 100
a a
+ =
7 7
( 2 ) ( 2 ) 100
a d a d
+ + − =
7
2 100
a =
7 50
a =
และ 1
lim( ) 5
n
n
a a
n
→∞
−
=
1
lim( ) lim( ) 5
n
n n
a a
n n
→∞ →∞
− =
lim( ) 5
n
n
a
n
→∞
=
แสดงวา n
a ตองอยูในรูป 5n k
+
จาก 5
n
a n k
= +
7 5(7)
a k
= +
50 5(7) k
= +
15
k =
ดังนั้น 5 15
n
a n
= +
100 5(100) 15 515
a = + =
-------------------------------------------------------------------------
30) ตอบ 4
3
2
lim
1 8 27 ..
k
n
n
A
n
→∞
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+ + + +
⎝ ⎠
เปนจํานวนจริงบวก
2
2
lim
( 1)
2
k
n
n
A
n n
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
+
⎡ ⎤
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎝ ⎠
2 2
8
lim
( 1)
k
n
n
A
n n
→∞
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
4 3 2
8
lim
2
k
n
n
A
n n n
→∞
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠
จะได 4
k =
8
A =
-------------------------------------------------------------------------
31) ตอบ 3
4 2
2
1
n
A
n n
∞
=
=
−
∑
2 2
2
1
( 1)
n
A
n n
∞
=
=
−
∑
2 2
2
1 1
( 1)
n
A
n n
∞
=
⎡ ⎤
− =
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
∑
2 2
2 2
1 1
( 1)
n n
A
n n
∞ ∞
= =
− =
−
∑ ∑
2
2 2
1 1
( 1)( 1)
n n
A
n n n
∞ ∞
= =
− =
− +
∑ ∑
2
2 2
1 1
( 1)( 1)
n n
A
n n n
∞ ∞
= =
= −
− +
∑ ∑
พิจารณา
2
1
( 1)( 1)
n n n
∞
=
=
− +
∑

1 1 1 1 1 1
...
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8
= + + + + + +
1 1 1 1 1 1
... ...
1.3 3.5 5.7 2.4 4.6 6.8
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + + + + + + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1 1 1
(3 1) 1 (4 2) 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1 3
(1 )
2 2 4
= + =
จาก 2
2 2
1 1
( 1)( 1)
n n
A
n n n
∞ ∞
= =
= −
− +
∑ ∑
2
2
1 3
4
n
A
n
∞
=
= −
∑
-------------------------------------------------------------------------
32) ตอบ 2
'( ) 3 5
f x x x
= + − , (0) 1
f =
จาก 2
'( ) (3 5)
f x dx x x dx
= + −
∫ ∫
2
3
( ) 5
2
x
f x x x c
= + − +
แทน 0
x = ;
2
3 (0)
(0) (0) 5(0)
2
f c
= + − +
1 c
=
ดังนั้น
2
3
( ) 5 1
2
x
f x x x
= + − +
1 1 2
3
1 1
( ) ( 5 1)
2
x
f x dx x x dx
− −
= + − +
∫ ∫
4 3 2
1
5
1
4 6 2
x x x
x
= + − +
−
4 3 2
(1) (1) 5(1)
(1)
4 6 2
⎡ ⎤
= + − +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4 3 2
( 1) ( 1) 5( 1)
( 1)
4 6 2
⎡ ⎤
− − −
− + − + −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1 1 1 5 5
( ) ( ) 1 ( 1)
4 4 6 6 2 2
⎡ ⎤
= − + − − − − − + − −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
7
3
=
-------------------------------------------------------------------------
33) ตอบ 4
(1) (1) (1)
f g h
= = =1 และ '(1) '(1) '(1) 2
f g h
= = =
( )'( ) ( )'( ) '( )
fg h x fg x h x
+ = +
[ ( ) '( ) ( ) '( )] '( )
f x g x g x f x h x
= + +
( )'(1)
fg h
+ = ( (1) '(1) (1) '(1)) '(1)
f g g f h
+ +
[(1)(2) (1)(2)] (2)
= + +
6
=
-------------------------------------------------------------------------
34) ตอบ 4
3 1
2
y x
x
= −
แทน 1;
x = ได 3 1
2(1) 1
1
y = − =
1
3 2
( ) 2
f x x x
−
= −
3
2 2
1
'( ) 6 ( )
2
f x x x
−
= − −
3
2 2
1
'( ) 6
2
f x x x
−
= +
แทน 1;
x =
3
2 2
1 13
'(1) 6(1) (1)
2 2
f
−
= + =
ดังนั้นเสนสัมผัสเสนโคงมีความชัน 13
2
=
เสนตรงที่ตองการซึ่งตั้งฉากจะมีความชัน 2
13
= −
และผานจุด (1,1)
สรางสมการเสนตรง 1 1
( )
y y m x x
− = −
2
1 ( 1)
13
y x
− = − −
13 13 2 2
y x
− = − +
2 13 15 0
x y
+ − =
-------------------------------------------------------------------------
35) ตอบ 2
ตองการสรางเลขคู 4 หลัก จากเลขโดด 0,1,2,3,7,8

กรณีที่ 1 เปนเลขคูลงทายดวย 0
0
≠ 0
1
5 4 3 60
=
กรณีที่ 2 เปนเลขคูลงทายดวย 2 หรือ 8
0
≠ 2,8
2
3
4
4 96
=
จํานวนวิธีทั้งหมด 60 96 156
+ =
-------------------------------------------------------------------------
36) ตอบ 3
จํานวนตั้งแต 100-999 ที่หาร 2 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัว
2
÷ 3
÷
6
÷
= (
n หารดวย 2 ตัว) − (
n หารดวย 2 และ 3 ตัว)
= (
n หารดวย 2 ตัว) − (
n หารดวย 6 ตัว)
999 100 999 100
1
2 2 6 6
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − + − −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
หมายเหตุ: เศษปดทิ้ง
[ ] [ ]
499 50 1 166 16
= − + − −
450 150
= −
300
=
-------------------------------------------------------------------------
37) ตอบ 2
ลูกกวาด รสสตรอเบอรี่ 5 ลูก( )
S รสชอคโกแลต 4 ลูก( )
C
รสกาแฟ 2 ลูก( )
K รสมินท 2 ลูก( )
M
หยิบมา 3 ลูกรสแตกตางกันหมดเกิดได 4 กรณี
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
S C K S C M S K M C K M
= + + +
5 4 2 5 4 2 5 2 2 4 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13
3
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
+ + +
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
40 40 20 16
13.12.11
3.2.1
+ + +
=
58
143
=
-------------------------------------------------------------------------
38) ตอบ 1
{(0, ) / 1,2,3,...,10}
{(1, ) / 1,2,3,...,10}
A n n
B n n
= ∈
= ∈
2
4
6
8
10
2
X
Y
จากรูปตองการสรางสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย
มี 2 ขั้นตอนคือ
1 เลือก 2 จุดที่ทําใหฐานมีความยาว 2 หนวย เลือกได 8 แบบ
2 เลือก 1 จุดที่มาทําเปนจุดยอด เลือกได 10 จุด

(
p สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 1 หนวย)
8.10
10 10
2 1
=
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
8
45
=
-------------------------------------------------------------------------
39) ตอบ 4
ถุงเทาสี ขาว( )
W 4 คู สีดํา( )
B 3 คู สีน้ําเงิน( )
S 2 คู
หยิบมา 2 ขาง ความนาจะเปนที่ไดถุงเทาสีเดียวกัน
(
p ไดสีเดียวกัน) ( , ) ( , ) ( , )
p W W p B B P S S
= + +
8 6 4
2 2 2
18
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
49
153
=
-------------------------------------------------------------------------
40) ตอบ 3
วงกลม 10 วงมีคาเฉลี่ยเลขคณิต
10
1
3
10
i
i
r
r =
= =
∑
และมีความแปรปรวน
2
2 2
1
( )
N
i
i
r
s r
N
=
= −
∑
10
2
2
1
5 (3)
10
i
i
r
=
= −
∑
10
2
1
140
i
i
r
=
=
∑
ผลรวมของพื้นที่วงกลม
10 10
2 2
1 1
140( )
i i
i i
r r
π π π
= =
= =
∑ ∑
-------------------------------------------------------------------------
41) ตอบ 3
ความสูง(cm) จํานวนนักเรียน ความถี่สะสม
120-129 10 10
130-139 20 30
140-149 30 70
150-159 50 120
160-169 30 150
ตําแหนงมัธยฐาน 150
75
2
= =
เลือกชั้น 150 159
−
2
L
m
N
f
Med L I
f
⎡ ⎤
− ∑
⎢ ⎥
= + ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
75 70
149.5 10
50
−
⎡ ⎤
= + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
149.5 1
= +
150.5
Med =
เลือกชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 150 159
−
Mode = จุดกึ่งกลางชั้น = 150 159
154.5
2
+
=
ตําแหนง 3
Q =
3(150)
112.5
4
=
4
r
L
r
Q
rN
f
Q L I
f
⎡ ⎤
− ∑
⎢ ⎥
= + ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
3
112.5 70
149.5 10
50
Q
−
⎡ ⎤
= + ⎢ ⎥
⎣ ⎦

158
=
ตําแหนง 20
20 20(150)
30
100 100
N
P = = =
ซึ่งตรงกับความถี่สะสมในชั้น 130 139
−
P = ขอบบนของชั้น =139.5
-------------------------------------------------------------------------
42) ตอบ 2
20,000 25,000
15,000
0.3
0.3
เอก ยศ
จํานวนพนักงานที่นอยกวาเอก 30%
43) ตอบ 3
0.1314
0.3
x
y
0.3686
1.12
x
z =
0.5 0.8643 0.8643
+ =
y นอยกวา z อยู 0.2SD
ดั้งนั้น 1.12 0.02 1.10
y
z = − =
จํานวนขอมูลที่นอยกวา y คือ = 86.43%
-------------------------------------------------------------------------
44) ตอบ 1
โจทยกําหนด 1 2 0
z z
+ =
แสดงวา 2 1
z z
= −
1
z 2
z
1
x 2
x
โจทยกําหนด 1 2 4
x x SD
+ =
1 2
2
2
x x
SD
+
=
2
x SD
=
1
2
SD
x
=
0.5
SD
x
=
-------------------------------------------------------------------------
45) ตอบ 4
ความสัมพันธเชิงฟงกชัน
สารปนเปอนชนิดที่ 1 (X)
สารปนเปอนชนิดที่ 2 (Y)
1.75,
X
S = 0.5,
y =
100
1
100,
i i
i
x y
=
=
∑
100
2
1
200
i
i
x
=
=
∑
จากสูตร
2
2 2
1
( )
N
i
i
X
x
S x
N
=
= −
∑
2
200
1.75 ( )
100
x
= −
2
0.25
x =
0.5
x =
จากสูตร 1
N
i
i
x
x
N
=
=
∑
1
N
i
i
x Nx
=
=
∑
100
1
100(0.5) 50
i
i
x
=
= =
∑
จากสูตร 1
N
i
i
y
y
N
=
=
∑

1
N
i
i
y Ny
=
=
∑
100
1
100(0.5) 50
i
i
y
=
= =
∑
จากสมการ Y a bX
= +
100 100 100
1 1 1
i i
i i i
y a b x
= = =
= +
∑ ∑ ∑
50 100 50
a b
= + (1)
− −
100 100 100
2
1 1 1
i i i i
i i i
x y a x b x
= = =
= +
∑ ∑ ∑
100 50 200
a b
= + (2)
− −
(2) 2
x 200 100 400
a b
= + (3)
− −
(3) (1)
− 150 350b
=
3
7
b =
แทน
3
7
b = ใน (1) ;
3
50 100 50( )
7
a
= +
2
7
a =
จะไดความสัมพันธเชิงฟงกัชันคือ 2 3
7 7
Y X
= +
4
X =
2 3
; (4) 2
7 7
Y = + =
-------------------------------------------------------------------------
46) ตอบ 1
:{1,2,..., } {1,2,..., }
f n n
→ สอดคลองกับเงื่อนไข
(1) (2) ... ( ) (1) (2)... ( )
f f f n f f f n
+ + + =
แทนคา (1) (2) (3) (1) (2) (3)
f f f f f f
+ + =
3 2 1 3.2.1
+ + =
คามากสุดของ (1) ( ) (1) (3)
f f n f f
− = −
3 1
2
= −
=
( ขอนี้ถาพิสูจนตรงจะยาว เอาเปนแทนคาละกัน )
------------------------------------------------------------------------
47) ตอบ 3
จากโจทย
1
1 1
1
n n
a a +
+ =
1
1 1
1
n n
a a
+
= −
1
1
1 n
n n
a
a a
+
−
=
1
1
n
n
n
a
a
a
+ =
−
กําหนด
1
1 1
1
n n
a a +
+ = (1)
− −
(แทน n ดวย 1
n + ) จะได
1 2
1 1
1
n n
a a
+ +
+ = (2)
− −
(1) (2)
−
2
1 1
0
n n
a a +
− =
2
1 1
n n
a a +
=
2
n n
a a +
=
เพราะฉะนั้น 1 3 5 99
...
a a a a
= = = =
และ 2 4 6 100
...
a a a a
= = = =
จาก 1 2 3 4 99 100
( ) ( ) ... ( ) 250
a a a a a a
+ + + + + + =
1 2
50( ) 250
a a
+ =
1 2
( ) 5
a a
+ = (3)
− −
a x
= จาก 1
1
n
n
n
a
a
a
+ =
−
จะได 2
1
x
a
x
=
−
a และ 2
a ลงในสมการ (3)
5
1
x
x
x
+ =
−
( 1)
5
1
x x x
x
− +
=
−
( 1) 5( 1)
x x x x
− + = − , 5
x ≠
2
5 5
x x x x
− + = − , 5
x ≠
2
5 5 0
x x
− + = , 5
x ≠
2
( 5) ( 5) 4(1)(5)
2(1)
x
− − ± − −
=
5 5
2
x
±
=
1
5 5
2
a
±
=
จากสมการ (3) 1 2 5
a a
+ =

2
5 5
5
2
a
±
+ =
2
5 5
5
2
a
±
= −
2552 2
5 5
2
a a
= =
∓
โจทยตองการหา 2552
5 5 5
| 2.5| | |
2 2
a − = −
∓
2552
5 5 5
| 2.5| | |
2 2 2
a − = −
∓
2552
5
| 2.5| | |
2
a − = ∓
2552
5
| 2.5|
2
a − =
------------------------------------------------------------------------
48) ตอบ 1
, , 100
A B C ≤
A B C
+ = (1)
− − −
2
B C A
+ =
จัดรูป 2A B C
− = (2)
− − −
(1) (2)
− 2 0
A B
− + =
2
A B
= และ 100
A ≤
2 100
B ≤
50
B ≤
(1) 2
x 2 2 2
A B C
+ = (3)
− − −
(3) (2)
− 3B C
=
3
C B
= และ 100
C ≤
3 100
B ≤
100
33
3
B ≤ ≤
B ≤ และ 33
B ≤ สรุป 33
B ≤
------------------------------------------------------------------------
49) ตอบ 2
คําตอบเปนไปได 2 กรณี
ลําดับที่ 1 2 3 4 5
กรณีที่ 1 : ก ข ง ค จ
กรณีที่ 2 : จ ข ง ก ค
------------------------------------------------------------------------
50) ตอบ 3
คําตอบเปนไปได 2 กรณี
กรณีที่ ง เขาเปนอันดับ 2
ลําดับที่ 1 2 3 4 5
ครั้งที่ 1 : ก ง ข ค จ ; ข ได 6 คะแนน
ครั้งที่ 2 : จ ง ข ค ก ; ข ได 6 คะแนน
กรณีทั่วไป
ครั้งที่ 3 ข ; ข ได 8 คะแนน
รวมได 6(2) 8(4) 44
+ = คะแนน
------------------------------------------------------------------------

AnsPAT-1-2.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to AnsPAT-1-2.pdf

Similar to AnsPAT-1-2.pdf (20)

AnsPAT-1-2.pdf