η άσκηση της ημερας 4

1. ___________________________________________________________________________
4η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
1
1η
προτεινόμενη λύση (Ανδρέας Πάτσης)
Α) Για τον υπολογισμό του ορίου  x 0
f xlim

θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της
σύνθεσης:
Βήμα 1: κάνουμε την αντικατάσταση
1
u
x

Βήμα 2: υπολογίζουμε το
x
ou 0 ulim

 
Βήμα 3: υπολογίζουμε το  u 0
f ulim

, αν υπάρχει!
Στην περίπτωσή μας όμως δε γνωρίζουμε αν υπάρχει το παραπάνω όριο, οπότε
δεν ισχύει πάντα  x 0
f x 0lim

 .
Ας το δούμε με συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα:
Για τη συνάρτηση f :R R με τύπο
 
x
e 1 , x 0
f x
2016 , x 0

   
 
 
εύκολα διαπιστώνουμε ότι
x
1
f 0
x
lim

 
 
 
και ότι δεν υπάρχει το  x 0
f xlim

Β) Για x 0 , θέτουμε
1
u
x
 .
Τότε
x 0 x 0
o
1
u u
x
lim lim 
 
   
και δίνεται ότι
u
1
f 0
u
lim

 
 
 
άρα από τον κανόνα της σύνθεσης
 x 0
f x 0 (1)lim


Παρόμοια, για x 0 , θέτουμε
1
u
x
 .

2. ___________________________________________________________________________
4η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
2
Τότε
x 0 x 0
o
1
u u
x
lim lim 
 
   
και δίνεται ότι
u
1
f 0
u
lim

 
 
 
άρα από τον κανόνα της σύνθεσης
 x 0
f x 0 (2)lim


Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι
 x 0
f x 0.lim


Γ) Για x κοντά στο 0 θέτουμε
 
2 4
2 4
1 1 1
x x x
1 1 1
x x xf x
e
 
 

Τότε
2 4
2 4
x x x
1 x x x
f
x e  
  
 
 
Για τον υπολογισμό του ορίου 2 4
x
2 4
x x x
x x x
e
lim
  
 
έχουμε ότι:
 είναι της μορφής



 
 2 4
2 4
x x x
x x x
e  
 

= 2 4
x x x
1
e  
Άρα
 
 
2 4
2 4
2 4x x u
ά
2 4
u x x x
ux x x u
x x x ώ x
x x x 1 1
0
ee
e
lim lim lim
  
 
  
  
    
 
  

Ικανοποιούνται οι δύο υποθέσεις του θεωρήματος DLH, άρα

3. ___________________________________________________________________________
4η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
3
 
 
2 4
2 4x x
2 42 4
x x x
x x x
x x xx x x
0
e
e
lim lim
  
 
  
 

άρα
x
1
f 0
x
lim

 
 
 
έτσι, από το προηγούμενο ερώτημα Β) προκύπτει ότι
 x 0
f x 0.lim


2η
προτεινόμενη λύση (Παύλος Τρύφων)
(εναλλακτική λύση υποερωτήματος)
Γ) Το ζητούμενο όριο μπορεί να υπολογιστεί και με τον «κλασικό» τρόπο, ως εξής.
Όταν το x τείνει στο 0 γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει το όριο του
1
x
.
Θα αποφύγουμε τη χρήση πλευρικών ορίων κάνοντας την παρακάτω
παραγοντοποίηση:
 3 2
2 4 4
1 1 1 1
x x 1 ,
x x x x
     για x κοντά στο 0
Όμως
 x 0
3 2
4
1
x x 1 ,
x
lim

   
(διότι
x 0
4
4
1
(x 0
x
lim

   για x κοντά στο 0) )
Άρα
2 4
2 4 2 4
2 4
x 0 x 0 x 0 u
ά
1 1 1
u
2 4 x x x2 4
1 1 1 1 1 1 uu1 1 1
x x ώ x 0x x x x
x x x
1 1 11 1 1
1 1x x xx x x 0
e
e e
e
lim lim lim lim
   
 
 
   
 
   
   
 
    
    
 
  
 
.