งานนำเสนอผลบวกอนุกรมอนันต์

2. ถ้า เป็นลาดับจากัด
เรียก ว่าอนุกรมจากัด
ถ้า เป็นลาดับอนันต์
เรียก ว่าอนุกรมอนันต์

3. หรือ
เมื่อ แทน ผลบวก n พจน์ของอนุกรมเลขคณิต
แทน พจน์แรก
แทน จานวนพจน์
แทน ผลต่างร่วม
แทน พจน์ทั่วไป

4. หรือ
เมื่อ แทน ผลบวก n พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต
แทน พจน์แรก
แทน จานวนพจน์
แทน อัตราส่วนร่วม
หรือเมื่อ r < 1 เมื่อ r > 1
แทน พจน์ทั่วไป

5. บทนิยาม ผลบวกของอนุกรมอนันต์ใดๆ คือ
ลิมิตของลาดับผลบวกย่อยของ
อนุกรม นั้น เมื่อลาดับนั้นมีลิมิต

6. กาหนด เป็นอนุกรมอนันต์
ให้
เรียก ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม
เมื่อ n เป็น จานวนเต็มบวก
เรียกลาดับอนันต์ ว่า
บทนิยาม
ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม

7. ถ้าลาดับ
บทนิยาม กาหนดอนุกรมอนันต์
ให้ เป็นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมนี้
เป็นลาดับลู่เข้า โดย
แล้วจะกล่าวว่าอนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้าลาดับ เป็นลาดับลู่ออก จะกล่าวว่าอนุกรม
เป็นอนุกรมลู่ออก(divergent series)
ไม่สามารถหาผลบวกได้

8. สรุป อนุกรมอนันต์ใดจะเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกทาได้ดังนี้
1. พิจารณาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม และหาสูตรทั่วไป
ของผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม
2. พิจารณาลิมิตของลาดับ ถ้า
อนุกรมนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก หาผลบวกไม่ได้

9. ตัวอย่างที่ 1 อนุกรม เป็นอนุกรม
ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา อนุกรมที่กาหนดเป็นอนุกรมเลขคณิต ซึ่งมี และ
หาผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมจากสูตร
นั่นคือ หาค่าไม่ได้
ดังนั้นอนุกรมอนันต์ที่กาหนดให้เป็นอนุกรมลู่ออก หาผลบวกไม่ได้

10. ตัวอย่างที่ 2 อนุกรม เป็นอนุกรม
ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา อนุกรมที่กาหนดเป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมี และ
หาผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมจากสูตร
นั่นคือ

11. กาหนดให้อนุกรมเรขาคณิตมี เป็นพจน์แรก และ
แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี
ถ้า แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก
r เป็นอัตราส่วนร่วม
ผลบวกของอนุกรมเท่ากับ

12. ตัวอย่างที่ 3 อนุกรม เป็นอนุกรม
ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา อนุกรมที่กาหนดเป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมี และ
เนื่องจาก และ
จาก
จะได้ว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า
S =
=
= 64
นั่นคือ ผลบวกของอนุกรมนี้คือ 64

13. ตัวอย่างที่ 4 อนุกรม เป็นอนุกรม
ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา อนุกรมที่กาหนดเป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมี และ
เนื่องจาก และ
จาก
จะได้ว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า
S =
=

14. ตัวอย่างที่ 5 อนุกรม เป็นอนุกรม
ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา อนุกรมที่กาหนดเป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมี และ
เนื่องจาก และ จะได้ว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก
นั่นคือ ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้

15. ภาระงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 2
ข้อ 1.1 – 1.7

16. อนุกรมบางอนุกรมไม่ใช่ทั้งอนุกรมเลขคณิต
และอนุกรมเรขาคณิต ต้องใช้ความรู้และ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ช่วย
ดังตัวอย่างต่อไปนี้

17. เนื่องจากอนุกรมที่กาหนดไม่เป็นทั้งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
เรขาคณิต
ตัวอย่างที่ 6 อนุกรม เป็นอนุกรม
ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา
หาผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมจาก

18. นั่นคือ
หาค่าไม่ได้
ดังนั้นอนุกรมอนันต์ที่กาหนดให้เป็นอนุกรมลู่ออก
ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้

19. เนื่องจากอนุกรมที่กาหนดไม่เป็นทั้งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
เรขาคณิต
ตัวอย่างที่ 7 อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา
หาผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมจาก
พิจารณา

20. เขียนผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมได้ใหม่ ดังนี้
ดังนั้นอนุกรมที่กาหนดให้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 1

21. เป็นอนุกรมลู่เข้าที่มีผลบวก
......
)nk)(1nk(
1
)3k)(2k(
1
)2k)(1k(
1
)1k(k
1 

อนุกรม

22. เนื่องจากอนุกรมที่กาหนดไม่เป็นทั้งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
เรขาคณิต
ตัวอย่างที่ 8 อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา
หาผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมจาก
พิจารณา

23. เขียนผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมได้ใหม่ ดังนี้
หาค่าไม่ได้
ดังนั้นอนุกรมอนันต์ที่กาหนดให้เป็นอนุกรมลู่ออก
ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้

24. ภาระงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 2
ข้อ 1.8 – 1.9

25. พิจารณา อนุกรมเลขคณิต 1 + 2 + 3 + ... + n +...
และอนุกรมเลขคณิต 2 + 3 + 4 + ... + ( n+1 ) +...
เป็นอนุกรมลู่ออก(divergent series) ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้
ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series)
ตัวอย่างที่ 9 อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา
ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้

26. พิจารณา อนุกรมเลขคณิต 1 + 2 + 3 + ... + n +...
และอนุกรมเลขคณิต 2 + 3 + 4 + ... + ( n+1 ) +...
ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series)
ตัวอย่างที่ 10 อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา
และอนุกรมเลขคณิต 3 + 4 + 5 + ... + ( n+2 ) +...
ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้

27. อนุกรมผสมระหว่างอนุกรมเลขคณิตกับอนุกรมเรขาคณิต จะเป็น
อนุกรมลู่เข้า (convergent series) เมื่อ เมื่อ r คือ
อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต
แต่ถ้า อนุกรมเป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series)
ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้

28. ......1 1n
3
n
27
4
9
3
3
2  
อนุกรมเลขคณิต 1 + 2 + 3 + ... + n +...
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตมีค่า ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า1r
3
1 
ตัวอย่างที่ 11 อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา พิจารณา อนุกรมนี้ประกอบด้วยอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต
สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้ดังนี้

29. ให้
)2.........(
3
n
81
4
27
3
9
2
3
1
3
1 ......S n

นา จะได้)1(x
3
1
)1........(
3
n
27
4
9
3
3
2 ......1S 1n
 
นา (1) - (2) จะได้
...1SS
8 1
1
2 7
1
9
1
3
1
3
1  
3
1
-1
1
3
2 S 
2
3
3
2 S 
4
9
2
3
2
3 xS 
ดังนั้นผลบวกของอนุกรมมีค่าเท่ากับ เป็นอนุกรมลู่เข้า4
9

30. อนุกรมเลขคณิต 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตมีค่า ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า
ตัวอย่างที่ 12 อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา พิจารณา อนุกรมนี้ประกอบด้วยอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต
สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้ดังนี้
...1
6 2 5
9
1 2 5
7
2 5
5
5
3 
1r
5
1 

31. ให้
)2.........(
6 2 5
7
1 2 5
5
2 5
3
5
1-
5
1- ...S 
นา จะได้)1(x
5
1
.......(1 )...1S
6 2 5
9
1 2 5
7
2 5
5
5
3 
นา (1) - (2) จะได้
...)-(1SS
6 2 5
2
1 2 5
2
2 5
2
5
2
5
1  
1S
)(-15
6
5
1-
5
2-









)(-1S
3
1
5
6 
9
5
6
5
3
2 xS 
ดังนั้นผลบวกของอนุกรมมีค่าเท่ากับ เป็นอนุกรมลู่เข้า9
5

32. ตัวอย่างที่ 13 อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าให้หาผลบวกของอนุกรม
วิธีทา
อนุกรมเลขคณิต 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + …
อนุกรมเรขาคณิต
พิจารณา อนุกรมนี้ประกอบด้วยอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตมีค่า ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก
ไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้
13r 

33. ภาระงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 2
ข้อ 1.10 – 1.15

34. ภาระงาน
ชั่วโมงที่ 13
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 2
ข้อ 2 – 6

35. ตัวอย่างที่ 14 จงเขียนทศนิยมซ้า ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทา จาก
เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี
6.0 
10
6
1a 
0.666...6.0 
...0.00060.0060.060.6 
...432
10
6
10
6
10
6
10
6 
10
1r 
เนื่องจาก อนุกรมนี้จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ1r
10
1 
3
2
9
10
10
6
-1r1
a
xs
10
1
10
6
1


ดังนั้น 3
26.0 
และ

36. ตัวอย่างที่ 15 จงเขียนทศนิยมซ้า ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทา จาก
เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี
32.0 
2
10
23
1a 
...0.23232332.0 
...0.0000230.00230.23 
2
10
1r 
เนื่องจาก อนุกรมนี้จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ1r 2
10
1 
99
23
99
10
10
23
-1r1
a
xs
2
2
210
1
210
23
1


ดังนั้น 99
2332.0 
...642
10
23
10
23
10
23 
และ

37. ตัวอย่างที่ 16 จงเขียนทศนิยมซ้า ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทา จาก
เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี
312.0 
3
10
3
1a 
...0.12333312.0 
...0.000030.00030.0030.12 
10
1r 
เนื่องจาก อนุกรมนี้จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ1r 
900
3
9
10
10
3
-1r1
a
xs 3
10
1
310
3
1


ดังนั้น 900
111
900
3108
900
3
10
12321.0 2
 
...5432
10
3
10
3
10
3
10
12 
และ

38. ภาระงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกที่ 2
ข้อ 7.1 – 7.3

39. ภาระงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัดที่ 2
(ระดับท้าทาย) ข้อ 8 – 12
เป็นการบ้าน