การนำความรู้เรื่อง ลำดับและอนุกรมไปใช้

2. 50
ดอกเบี้ยทบต้น
คือ การนาดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นไปรวมกับเงินต้นเพื่อนามาเป็นเงินต้นของงวดถัดไป ซึ่งจะเรียกว่า
เงินรวม
(Compound Interest)
รูปแบบของเงินรวม เมื่อเงินต้น P บาท คิดอัตราดอกเบี้ยแบบทบต้นต่องวด i % คิดทั้งหมด n งวด
ดังนี้
เงินรวมสิ้นงวดที่ 1 คือ A1 = P + Pi = P(1 + i)
เงินรวมสิ้นงวดที่ 2 คือ A2 = P(1 + i) + P(1 + i)i = P(1 + i) 𝟐
เงินรวมสิ้นงวดที่ 3 คือ A3 = P(1 + i) 𝟐
+ P(1 + i) 𝟐
i = P(1 + i)3
เงินรวมสิ้นงวดที่ n คือ An = P(1 + i)n−1
+ P(1 + i)n−1
i = P(1 + i)n
สูตรการหาเงินรวมแบบดอกเบี้ยทบต้น คือ A = P(1 + i)n
⋮
เมื่อ A แทน เงินรวมทั้งหมด
P แทน เงินต้น
i แทน อัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทน จานวนงวดที่คิดดอกเบี้ยทบต้น

3. 51
ตัวอย่างที่ 1 ชะเอมฝากเงินกับธนาคารเป็นจานวนเงิน 50,000 บาท ซึ่งธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย
2.5 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อเวลาผ่านไป 2 ปี ชะเอมจะได้รับดอกเบี้ย
ทั้งหมดเท่าไร
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 50,000 , i =
2.5%
4
= 0.625% , n = 8 งวด
A = P(1 + i)nจากสูตร
= 50,000 (1 +
0.625
100
)
8
= 50,000 (1 + 0.00625)8
≈ 52,555.38
ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 2 ปี ชะเอมจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดประมาณ
52,555.38 − 50,000 = 2,555.38 บาท
ตัวอย่างที่ 2 แอมฝากเงินกับธนาคารเป็นจานวนเงิน 100,000 บาท เมื่อเวลาผ่านไป 2 ปี แอมได้
ตรวจสอบเงินในบัญชีแล้วพบว่า ในบัญชีมีเงินประมาณ 106,152.02 บาท ถ้าธนาคารคิดอัตรา
ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน อยากทราบว่าธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยเท่าไรต่อปี
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 100,000 , A = 106,152.02 , n = 6 งวด
A = P(1 + i)n
จากสูตร
106,152.02 = 100,000 (1 + i)6
(1 + i)6
= 1.0615
(1 + i) ≈ 1.0100
ดังนั้น ธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยประมาณ 0.0100 x 3 x 100% = 3%
i ≈ 0.0100
มอบหมายงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 3
ดอกเบี้ยทบต้น

4. 52
มูลค่าของเงิน
เมื่อเวลาเปลี่ยน ค่าของเงินจะมีการเปลี่ยนแปลง
(Value of Money)
แบ่งเป็น – มูลค่าปัจจุบัน (present value)
– มูลค่าอนาคต (future value)
เช่น นักเรียนซื้อเครื่องคิดเลขราคา 1,000 บาท ถ้านักเรียนจ่ายตอนสิ้นเดือน จะต้องจ่ายเงิน
1,100 บาท ซึ่งเงิน 1,000 บาท จะเรียกว่า มูลค่าปัจจุบัน และเงิน 1,100 บาท จะเรียกว่า
มูลค่าอนาคต
แสดงมูลค่าของเงิน ณ เวลาใด ๆ ด้วย เส้นเวลา
100 100 100 100 100 . . .
เวลา
0 1 2 3 4 . . .
สิ้นปีที่ 0 หรือต้นปีที่ 1
สิ้นปีที่ 1 หรือต้นปีที่ 2
สิ้นปีที่ 2 หรือต้นปีที่ 3
ตัวเลขด้านบนแสดงถึงจุดสิ้นสุดของเวลา(งวด)ที่เกี่ยวข้อง
ตัวเลขด้านล่างแสดงถึงมูลค่าของเงินที่เกิดขึ้น ณ เวลานั้น
หมายเหตุ งวดเวลาจะเป็นปี เดือน หรือวัน ก็ได้
n
สิ้นปีที่ n
100

5. 53
พิจารณาข้อความดังนี้ ทรายฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งจานวน 15,000 บาท ซึ่งธนาคารให้อัตรา
ดอกเบี้ย 1.8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกปี เป็นระยะเวลา 4 ปี
เมื่อฝากเงินครบ 1 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1 + 0.018) = 15,270 บาท
เมื่อฝากเงินครบ 2 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1 + 0.018) 𝟐
= 15,544.86 บาท
เมื่อฝากเงินครบ 3 ปี จะมีเงินรวมเท่ากับ 15,000(1 + 0.018)3
= 15,824.67 บาท
เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมูลค่าปัจจุบันกับมูลค่าอนาคตได้ ดังนี้
FV = PV(1 + i)n
เมื่อ FV แทนมูลค่าอนาคต
PV แทนมูลค่าปัจจุบัน
i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทนจานวนงวดเวลา
หรือ PV = FV(1 + i)−n
ตัวอย่างที่ 1 ป่านฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งซึ่งให้อัตราดอกเบี้ย 2.5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ย
แบบทบต้นทุก 6 เดือน ถ้าป่านต้องการให้มีเงินในบัญชี 250,000 บาท ในอีก 4 ปีข้างหน้า
ป่านต้องฝากเงินต้นเท่าไร
วิธีทา จากโจทย์กาหนด FV = 250,000 , i =
𝟐.𝟓%
𝟐
= 1.25% , n = 8 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินฝาก ดังนี้
250,000(1 + 0.0125)−8
. . .0 1 2 3
PV = FV(1 + i)−nจากสูตร
= 250,000 (1 + 0.0125)−8
≈ 226,349.61
จะได้
ดังนั้น ป่านต้องฝากเงินต้นประมาณ 226,349.61 บาท
8
250,000

6. 54
ตัวอย่างที่ 2 เอกเป็นสมาชิกของสหกรณ์ออมทรัพย์และได้กู้เงินจากสหกรณ์ออมทรัพย์จานวน 2 ยอด
ซึ่งยอดแรกต้องชาระคืน 28,654.56 บาท ในอีก 2 ปีข้างหน้า และยอดที่สองต้องชาระคืน 39,267.27
บาท ในอีก 3 ปีข้างหน้า ถ้าสหกรณ์ออมทรัพย์คิดอัตราดอกเบี้ย 6.9 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบ
ทบต้นทุก 4 เดือน ให้หาจานวนเงินทั้งหมดที่เอกกู้จากสหกรณ์ออมทรัพย์
วิธีทา
28,654.56(1 + 0.023)−6
39,267.27
0 1 2 3
28,654.56
39,267.27(1 + 0.023)−9
ยอดที่ 1 เนื่องจาก FV = 28,654.56 , i =
6.9%
3
= 2.3% = 0.023 , n = 6 งวด
PV = FV(1 + i)−n
จากสูตร
= 28,654.56 (1 + 0.023)−6
≈ 25,000
จะได้
ดังนั้น เอกกู้เงินจากสหกรณ์ออมทรัพย์ทั้งหมดประมาณ 25,000 + 32,000 = 57,000 บาท
ยอดที่ 2 เนื่องจาก FV = 39,267.27 , i =
6.9%
3
= 2.3% = 0.023 , n = 9 งวด
PV = FV(1 + i)−nจากสูตร
= 39,267.27 (1 + 0.023)−9
≈ 32,000
จะได้
จากโจทย์กาหนด เวลา 2 ปี : FV = 28,654.56 , I = 6.9% , n = 6 งวด
เวลา 3 ปี : FV = 39,267.27 , I = 6.9% , n = 9 งวด
มอบหมายงาน
ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะที่ 3
มูลค่าของเงิน

7. 55
ค่ารายงวด
หมายถึง การจ่ายเงินหรือฝากเงินเป็นงวด ๆ ติดต่อกันหลายงวด แต่ละงวดมีระยะเวลาห่างเท่า ๆ กัน
(Annuity)
เช่น การซื้อสินค้าเงินผ่อน การออมเงินแบบฝากประจากับธนาคาร เป็นต้น
มูลค่าในอนาคตของค่ารายงวดสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ
1. ค่ารายงวด ณ ตอนปลายงวด หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตของค่ารายงวด ซึ่งเท่ากับผลรวม
ของค่ารายงวดแต่ละงวด ทบต้นด้วยดอกเบี้ยตามระยะเวลา
เขียนเส้นเวลาแสดงค่ารายงวด ณ ตอนปลายงวดได้ ดังนี้
AA
0 1 2 n. . .
A
A(1 + i)n−2
A(1+i)
...
A(1 + i)n−1
เงินปลายงวดที่ 1 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ A(1 + i)n−1
เงินปลายงวดที่ 2 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-2 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ A(1 + i)n−2
เงินปลายงวดที่ 3 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-3 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ A(1 + i)n−3
เงินปลายงวดที่ n คิดดอกเบี้ยทบต้น 0 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ A
เงินรวมทั้งหมด A + A(1+i) + + + . . . +A(1 + i)2
A(1 + i)3 A(1 + i)n−1
สรุป สูตรเงินรวมทั้งหมด =FVAn =
A[1−(1+i)n]
1−(1+i)
A [
(1+i)n−1
i
]
...
เมื่อ FVAn แทนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดที่ n
A แทนจานวนเงินที่ได้รับหรือจ่ายแต่ละงวด
i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทนจานวนงวดเวลา
n-1
A

8. 56
ตัวอย่างที่ 1 เปาวลีฝากเงิน 3,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่งทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา 2 ปี ซึ่งธนาคารให้อัตรา
ดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อสิ้นปีที่ 2 เปาวลีจะได้รับเงินทั้งหมดเท่าไร
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 3,000 , i =
3
12 x 100
= 0.0025 , n = 24 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นปีที่ 2 ได้ ดังนี้
3,000
0 1 2 24. . . 23
3,000(1.0025)22
3,000(1.0025)
...
3,000 3,000 3,000
จะได้
ดังนั้น
นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 2 เปาวลีจะได้รับเงินทั้งหมดประมาณ 74,108.45 บาท
3,000(1.0025)23
FVA24 = 3,000 + 3,000(1.0025) + + … +3,000(1.0025)2 3,000(1.0025)23
FVAn = ≈ 74,108.453,000 [
(1.0025)24
− 1
0.0025
]
2. ค่ารายงวด ณ ตอนต้นงวด หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตที่เกิดขึ้น ณ ตอนต้นงวด โดยจะเกิดขึ้น
เร็วกว่ากรณีที่เกิด ณ ตอนปลายงวด มีผลทาให้ค่ารายงวดมีการทบต้นดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอีก 1 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงค่ารายงวด ณ ตอนต้นงวดได้ ดังนี้
AA
0 1 2 n. . .
A
A(1 + i)n−2
A(1+i)
...
A(1 + i)n−1
n-1
A
A(1 + i)n
เงินต้นงวดที่ 1 คิดดอกเบี้ยทบต้น n ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ A(1 + i)n
เงินต้นงวดที่ 2 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ A(1 + i)n−1
A(1 + i)n−2
เงินต้นงวดที่ 3 คิดดอกเบี้ยทบต้น n-2 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ
A(1 + i)2
A(1 + i)3
A(1 + i)n
เงินปลายงวดที่ n คิดดอกเบี้ยทบต้น 1 ครั้ง จะได้เงินรวมเท่ากับ
เงินรวมทั้งหมด A(1+i) + + + . . . +
...
A(1 + i)

9. 57
สรุป สูตรเงินรวมทั้งหมด FVAn =
เมื่อ FVAn แทนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นงวดที่ n
A แทนจานวนเงินที่ได้รับหรือจ่ายแต่ละงวด
i แทนอัตราดอกเบี้ยต่องวด
n แทนจานวนงวดเวลา
A(1+i)[1−(1+i)n]
1−(1+i)
A(1+i)[
(1+i)n−1
i
]=
ตัวอย่างที่ 2 คีตาฝากเงิน 10,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่งทุกต้นปี ซึ่งธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 3%
ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี ให้หาเงินรวมทั้งหมดของคีตาเมื่อสิ้นปีที่ 4
วิธีทา จากโจทย์กาหนด P = 10,000 , i =
3
100
= 0.03 , n = 4 งวด
เขียนเส้นเวลาแสดงจานวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสิ้นปีที่ 2 ได้ ดังนี้
0 1 2
10,000(1.03)2
10,000(1.03)
จะได้ FVA4 = 10,000(1.03) + + +
ดังนั้น FVA4 = ≈ 43,091.3610,000(1.03) [
(1.03)4
− 1
0.03
]
นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 4 คีตาจะได้เงินรวมทั้งหมดประมาณ 43,091.36 บาท
10,000
3 4
10,000 10,000 10,000
10,000(1.03)3
10,000(1.03)4
10,000(1.03)2
10,000(1.03)3
10,000(1.03)4