6. นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์ R ( หรือ R - อักษร R ในแบบอักษร blackboard bold) แทนเซตของจำนวนจริง สัญกรณ์ R n แทนปริภูมิ n มิติของจำนวนจริง เช่น สมาชิกตัวหนึ่งจาก R 3 ประกอบด้วยจำนวนจริงสามจำนวนและระบุตำแหน่งบนปริภูมิสามมิติ
9. คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นตัวแบ่งแยกจำนวนจริงออกจากจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 มีขอบเขตบน ( เช่น 1.5 ) แต่ไม่มีขอบเขตบนน้อยสุดที่เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่ารากที่สองของ 2 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนจริงนั้นมีคุณสมบัติข้างต้นเป็นเอกลักษณ์ พูดอย่างถูกต้องได้ว่า ถ้ามีฟีลด์อันดับที่มีความบริบูรณ์เดเดคินท์ 2 ฟีลด์ R 1 และ R 2 จะมีสมสัณฐานฟีลด์ที่เป็นเอกลักษณ์จาก R 1 ไปยัง R 2 ทำให้เราสามารถมองว่าทั้งคู่เป็นวัตถุเดียวกัน
10. คุณสมบัติ ความบริบูรณ์ เหตุผลหลักในการแนะนำจำนวนจริงก็เพราะว่าจำนวนจริงมีลิมิต พูดอย่างเป็นหลักการแล้ว จำนวนจริงมีความบริบูรณ์ ( โดยนัยของ ปริภูมิอิงระยะทาง หรือ ปริภูมิเอกรูป ซึ่งต่างจากความบริบูรณ์เดเดคินท์เกี่ยวกับอันดับในส่วนที่แล้ว ) มีความหมายดังต่อไปนี้ ลำดับ ( x n ) ของจำนวนจริงจะเรียกว่า ลำดับโคชี ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆ มีจำนวนเต็ม N ( อาจขึ้นอยู่กับ ε ) ซึ่งระยะทาง | x n − x m | น้อยกว่า ε โดยที่ n และ m มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับเป็นลำดับโคชีโคชีถ้าสมาชิก x n ของมันในที่สุดเข้าใกล้กันเพียงพอ
11. ลำดับ ( x n ) ลู่เข้าสู่ลิมิต x ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆมีจำนวนเต็ม N ( อาจขึ้นอยู่กับ ε ) ซึ่งระยะทาง | x n − x | น้อยกว่า ε โดยที่ n มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับมีลิมิต x ถ้าสมาชิกของมันในที่สุดเข้าใกล้ x เพียงพอเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทุกลำดับลู่เข้าเป็นลำดับโคชี ข้อเท็จจริงที่สำคัญหนึ่งเกี่ยวกับจำนวนจริงคือบทกลับของมันก็เป็นจริงเช่นกัน :
