1. Вписані чотирикутники. Метод допоміжного кола.
(Розв’язування задач підвищеної складності).
Розв’язування задач - практичне мистецтво , подібне до
плавання, катання на лижах чи грі на фортепіано;
навчитись його можна , тільки беручи приклад з кращих
зразків та постійно практикуючись… То пам’ятайте: якщо
ви хочете навчитись плавати, то сміло входьте в воду, а
якщо хочете навчитись розв’язувати задачі, то розв’язуйте
їх». Д. Пойа
Засвоєння методів розв’язування олімпіадних задач та задач підвищеної складності потребує
від учня наполегливої, кропіткої роботи. Метод допоміжного кола є красивим і ефективним
прийомом для розв’язування цілої низки задач і в багатьох випадках використання цього методу
робить розв’язок задачі досить простим і наочним.
Коли ж доцільно розглядати кола, яких не дано в умові? На малюнку до задачі спочатку
відшукуємо чотирикутник, навколо якого можна описати коло. Для цього користуємось такими
теоремами:
1. Якщо в чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180  , то навколо нього можна
описати коло.
2. Якщо точки А, М, N, B такі, що ∠AMB = ∠ANB , причому точки M і N лежать в одній
півплощині відносно прямої АВ, то точки А, М, N, В лежать на одному колі, тобто
чотирикутник AMNB є вписаним.
Якщо нам вдалося довести, що деякі чотири точки лежать на одному колі, то цим ми отримуємо
можливість використання властивостей кола і його елементів:
1. Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він
спирається.
2. Вписані кути, що спираються на одну і ту саму дугу, рівні.
3. Вписаний кут, який спирається на діаметр (півколо) – прямий.
4. Рівні дуги стягуються рівними хордами.
5. Кут між дотичною до кола і хордою, проведеною через точку дотику, вимірюється
половиною градусної міри дуги, що знаходиться усередині цього кута.
6. Кут з вершиною всередині кола вимірюється пів сумою двох дуг, з яких одна міститься між
сторонами цього кута, а друга – між продовженням сторін.
7. Кут між двома січними , які перетинаються зовні кола, вимірюється піврізницею більшої і
меншої дуг, які містяться між його сторонами.
8. Якщо хорди АВ і CD кола перетинаються в точці М, то AM ⋅ MB = DM ⋅ MC .

2. Пропоную розглянути клас олімпіадних задач і задач підвищеної складності з підручника для 8
класу з поглибленим вивченням математики (Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.), до яких
можна застосувати цей метод.
Задача 1. (№13.25) Рівносторонні трикутники АВС і MNP розміщено так, що вершина В лежить на
стороні MN, а вершина Р- на стороні АС. Доведіть, що
.
Розв’язання. Оскільки ∠BMP = ∠PAB = 60  , то навколо
чотирикутника AMBP можна описати
N
B
AM NC
коло. Отже, ∠MAP + ∠MBP = 180  . Аналогічно навколо
чотирикутника CNBP теж можна описати коло. Отже,
∠
PBN + ∠
NCP = 180  . Маємо, що
м
∠MAP + ∠NCP = 180  . Оскільки сума внутрішніх
A
P
односторонніх кутів при прямих МА і NC та січній АС
дорівнює 180  , то AM NC , що і треба було довести.
C
Задача 2. (№13.32) Бісектриси ВК і СМ трикутника АВС перетинаються в точці О, ∠ = 60  .
A
Доведіть, що OK == OM .
1
( ∠B + ∠C ) = 120 = ∠MOK . В
2
чотирикутнику АМОК ∠A + ∠MOK = 180 . Отже, навколо нього
можна описати коло. Кути МАО і КАО є вписаними і рівними (АОбісектриса ). Тому хорди ОМ і ОК, на які спираються ці кути, рівні,
що і треба було довести.
Розв’язання. ∠BOC = 180 −
В
М
О
А
К
С
Задача 3. (№13.34) Поза прямокутним трикутником АВС на його гіпотенузі АВ побудовано
квадрат ABFD. Доведіть, що ∠ACO = ∠OCB , де О-точка перетину діагоналей квадрата.
Розв’язання. ∠ACB + ∠AOB =180 , отже,
D
А
навколо чотирикутника АОВС можна описати коло.
Кути АСО і ОСВ є вписаними, які спираються на дуги,
що стягуються рівними хордами АО і ВО. Звідси
∠ACO = ∠OCB .
О
F
С
В

3. Задача 4. (№13.36) У рівнобедреному трикутнику АВС кут А дорівнює 100  . Відрізок BD –
BD + AD = BC .
бісектриса трикутника. Доведіть, що
Розв’язання. На стороні ВС відкладаємо відрізок ВК, що дорівнює ВD. ∆BDK - рівнобедрений,
отже, ∠BKD = ∠BDK = 80  . ∠C = ∠CDK = 40  ,
отже, ∆DKC - рівнобедрений, DK=KC. В
чотирикутнику АВKD ∠A + ∠BKD = 180  , тому
навколо нього можна описати коло. Кути АВD і DBK
є вписаними і рівними, отже, хорди AD і DK рівні.
Звідси BC = BK + KC = BD + DK = BD + AD .
А
D
В
К
С
Задача 5. (№13.39) На медіані ВМ трикутника АВС
позначено точку К так, що ∠MKC = ∠BCM . Доведіть, що ∠AKM = ∠BAM .
Розв’язання.
Подвоїмо медіану ВМ,
ВМ=МD. Утворений
чотирикутник АВСDпаралелограм.
B
K
M
А
С
В
Р
D
Н
А
М
С
∠BCA = ∠CAD, ∠BAC = ∠ACD . Отже, ∠DKC = ∠CAD ,
тому навколо чотирикутника АКСD можна описати коло.
Кути АКD і АСD є вписаними , які спираються на одну дугу . Звідси ∠AKD = ∠ACD . А оскільки
∠BAC = ∠ACD , то ∠AKM = ∠BAM , що і треба було довести.
Задача 6. (Обласна олімпіада, 1993 р.) Дехто накреслив трикутник АВС і провів в ньому висоти
АР і ВМ, які перетнулися в точці Н. Потім він виміряв відрізки: АН=12, НР=6, ВН=9, НМ=7 одиниць
довжини. Доведіть,що при вимірюванні була допущена помилка.
Розв’язання. Навколо чотирикутника АМРВ можна описати коло, АР і ВМ – хорди, що
перетинаються в точці Н. За властивість відрізків хорд AH ⋅ HP = BH ⋅ HM . Але 12 ⋅ 6 ≠ 9 ⋅ 7 , тому
була допущена помилка.

4. Задача 7. (Обласна олімпіада, 1994 р.) Точки M, N, K позначено відповідно на сторонах АВ, ВС,
СА гострокутного трикутника АВС так, що ∠AMK = ∠BMN = ∠ACB . Точку перетину відрізків АN і
ВК позначимо через L. Доведіть, що точки С, K, L, N лежать на одному колі.
Розв’язання. Кути АMN і ВМN - суміжні. Отже,
∠AMN + ∠BMN = ∠AMN + ∠ACN =180  . Тому
В
M
N
L
А
К
С
навколо чотирикутника АМNС можна описати коло. Кути
АМС і ANC є вписаними , які спираються на одну дугу.
Звідси ∠ANC = ∠AMC . Аналогічно навколо
чотирикутника ВМКС можна описати коло, тому
∠BKC = ∠BMC . Оскільки ∠AMC + ∠BMC =180  , то
∠
ANC + ∠
BKC =180  . Отже, навколо чотирикутника
KLNC можна описати коло, тобто точки С, K, L, N лежать
на одному колі.
Задача 8. ( Обласна олімпіада, 1995 р.) У трикутнику АВС ∠
ACB =120  . Нехай Н- ортоцентр
цього трикутника, О – центр описаного кола, М – середина дуги АСВ описаного кола. Доведіть, що
НМ=МО.
Розв’язання. Навколо чотирикутника КСРН можна описати
Н
KCP +∠
KHP =180  , ∠
KHP =60  . А оскільки
коло, отже, ∠
центральний кут АОВ дорівнює 120  , то точки А, О, В, Н
лежать на одному колі, воно є описаним навколо
чотирикутника АОВН і трикутника АОВ. АМ=МВ, тому
∠AOM = ∠MOB = 60  . Трикутники АОМ і МОВ –
Р
К
С
М
А
рівносторонні. Звідси АМ=МВ=МО, тобто точка М є центром
кола, описаного навколо трикутника АОВ і чотирикутника
АОВН. Отже, МО=МН.
В
О
Задача 9. (Обласна олімпіада, 2000 р.) В трикутнику АВС,
де ∠ = 60 , провели бісектриси AD і СЕ, що перетнулися в точці О. Доведіть, що OD=OE.
B

Розв’язання. Оскільки бісектриси кутів трикутника
B
перетинаються в одній точці, то ВО – бісектриса.
∠AOC = ∠EOD = 120  . Тому навколо чотирикутника ВЕОD
D
E
О
А
С
можна описати кола. Кути ОЕD і ОВD є вписаними , які
спираються на одну дугу, отже, ∠OED = ∠OBD = 30  . Кути
ОВЕ і ЕDО також є вписаними, що спираються на одну дугу,
отже, ∠OBE = ∠EDO = 30  . Отримали рівнобедрений
трикутник ЕОD. Отже, OD=EO.
Задача 10. (Київська міська олімпіада, 2010 р.) У
гострокутному трикутнику АВС точка О – описаного кола, СН – висота трикутника, точка Т – основа

5. перпендикуляра, опущеного з вершини С на пряму АО. Доведіть, що пряма ТН проходить через
середину сторони ВС.
Розв’язання. Пряма ТН перетинає сторону ВС в точці К.
С
Доведемо, що точка К – середина сторони ВС.
∠ATC = ∠AHC = 90 , отже, навколо чотирикутника АНТС
можна описати коло. Звідси ∠THC = ∠TAC . Оскільки АОбісектриса трикутника , вписаного в коло, то
К
О. Т
А
Н
1
(180 − ∠AOC ) = 90 − ∠ABC = ∠BCH . Маємо:
2
∠KHC = ∠KCH , трикутник СКН – рівнобедрений. А в
прямокутному трикутнику ВСН CK = HK = KB . Отже, точка К –
середина сторони ВС.
∠OAC =
В
Задача 11. (Київська міська олімпіада, 2010 р.) У гострокутному трикутнику АВС кут АВС
дорівнює 30 , точка Н- точка перетину його висот. Позначимо через O1 , O2 центри кіл.
Вписаних у трикутники АВН та СВН відповідно. Знайдіть величину кута (у градусах) між прямими
AO2 та CO1 .
Розв’язання . AA1 , BB1 , CC1 - висоти, які перетинаються в
B
точці Н. Прямі AO2 та CO1 перетинаються в точці Т.
∠B = 30  , ∠BAA1 = 60  . Оскільки O1 - центр вписаного кола в
A1
.
.
CA1
T
(
)
1
180  − ∠BAH = 120  .
2
Аналогічно оскільки ∠BCC1 = 60  , то ∠BO2 H =120  .
трикутник АВН, то ∠BO1 H = 180  −
Маємо, що ∠BO1 H + ∠BCH = 180 , тоді навколо
H
C
чотирикутника BO1 HC можна описати коло. Аналогічно
чотирикутник BO2 HA - вписаний в коло. Отже,
∠O1 BH = ∠O1CH і ∠O2 BH = ∠O2 AH як вписані кути, що спираються на одну дугу відповідно.
∠ATC = 180  − ( ∠TAC + ∠TCA ) = 180  − ( ∠HAC + ∠HCA) − ( ∠TAH + ∠TCH ) ,
∠HAC + ∠HCA = 180  − ∠AHC = 180  − ∠A1 HC1 = 30  ,
1
⋅ 30  = 15 . Звідси ∠ATC =180  − (30  +15 ) =135 .
2
Кут між прямими AO2 та CO1 дорівнює 45 .
∠O1CH + ∠O2 AH = ∠O1 BH + ∠O2 BH =
Відповідь: 45 .
Задача 12. (Київські міські олімпіади, 2011 р.) У трикутнику АВС проведено медіани AL, BM,
CN. Доведіть, що ∠ANC = ∠ALB тоді і тільки тоді, коли ∠ABM = ∠LAC .
Розв’язання. NL- середня лінія . З паралельності прямих
В
LN і АС слідує, що ∠NLA = ∠LAC . Маємо такі
рівносильні твердження: ∠ANC = ∠ALB ⇔
∠
BNC =180  −∠
ANC =180  −∠
ALB
L
N
∠
BNC + ∠
ALB =180 
O
А
М
С
⇔
⇔ навколо чотирикутника NBLO

6. можна описати коло ⇔ кути NBO і NLO є вписаними, які спираються на одну дугу,
∠NBO = ∠NLO . Отже, ми довели, що ∠ABM = ∠LAC .
Даний матеріал може стати основою для факультативних занять з учнями 8 –х класів, а також
при підготовці учнів до олімпіад.
Література
1. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А.
Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров
с решениями. – Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2007. – 336 с.
2. Київські міські математичні олімпіади. 2003 – 2011 роки/ А.В.Анікушин, О.О. Клурман,
Г.В.Крюкова та ін.. ; за ред. Б.В. Рубльова. – Х. :Гімназія, 2011. – 192 с. : іл.
3. Математичні олімпіади школярів України: 1991 – 2000 рр.: Навч. – метод. Посібник /
В.М.Лейфура, І.М. Мітельман, В.М. Радченко, В.А. Ясінський. – К.:Техніка, 2003. – 541 с.: іл.
4. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням
математики. – Х.: Гімназія, 2008. - 240 с.

7. можна описати коло ⇔ кути NBO і NLO є вписаними, які спираються на одну дугу,
∠NBO = ∠NLO . Отже, ми довели, що ∠ABM = ∠LAC .
Даний матеріал може стати основою для факультативних занять з учнями 8 –х класів, а також
при підготовці учнів до олімпіад.
Література
1. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А.
Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров
с решениями. – Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2007. – 336 с.
2. Київські міські математичні олімпіади. 2003 – 2011 роки/ А.В.Анікушин, О.О. Клурман,
Г.В.Крюкова та ін.. ; за ред. Б.В. Рубльова. – Х. :Гімназія, 2011. – 192 с. : іл.
3. Математичні олімпіади школярів України: 1991 – 2000 рр.: Навч. – метод. Посібник /
В.М.Лейфура, І.М. Мітельман, В.М. Радченко, В.А. Ясінський. – К.:Техніка, 2003. – 541 с.: іл.
4. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням
математики. – Х.: Гімназія, 2008. - 240 с.