1. บทที่ 3
กําหนดการเชิงเสน
(10 ชั่วโมง)
กําหนดการเชิงเสนเปนวิธีการอยางหนึ่งที่ใชในการตัดสินใจและการแกปญหาที่เกี่ยวกับ
การจัดสรรทรัพยากรที่มีอยูอยางจํากัด เพื่อใหเกิดประโยชนสูงสุด วิธีการนี้นําไปประยุกตใชใน
หลายๆดาน เชน ธุรกิจ อุตสาหกรรม เกษตรกรรม การผลิต และการขนสง เปนตน การแกปญหา
โดยวิธีการของกําหนดการเชิงเสน อาศัยความรูทางคณิตศาสตรในการสรางแบบจําลองที่ใชสมการ
และอสมการเชิงเสนเพื่อหาคําตอบ ในการหาคําตอบนั้นสามารถกระทําไดหลายวิธี แตสําหรับใน
บทนี้จะกลาวถึงเฉพาะกรณีที่หาคําตอบโดยใชกราฟของสมการและอสมการที่มีสองตัวแปรเทานั้น
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
แกปญหาโดยสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรและใชวิธีการของกําหนดการเชิงเสน
ที่ใชกราฟของสมการและอสมการที่มีสองตัวแปรได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรู
ชวงชั้นที่ 4 ทางดานความรู และในการจัดการเรียนรูผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดาน
ทักษะ/ กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมให
ผูเรียนเกิดทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนอันไดแกความสามารถในการแกปญหา
การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยง
ความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค
นอกจากนั้น กิจกรรมการเรียนรูควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชา
คณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความ
รับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตนเอง
สาระการเรียนรูคณิตศาสตรเพิ่มเติมเปนสาระการเรียนรูสําหรับการศึกษาตอและอาชีพ
ดังนั้นในการจัดการเรียนรูในสาระนี้ ผูสอนควรสงเสริมใหผูเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะห
โดยคํานึงถึงความสมเหตุสมผลของขอมูล ดังนั้น ในการสอนแตละสาระผูสอนจําเปนตองศึกษา
สาระนั้น ๆ ใหเขาใจถองแทเสียกอนแลวเลือกวิธีสอนใหเหมาะสม เพื่อทําใหการจัดการเรียนรู
ไดผลดี

2. 180
ขอเสนอแนะ
1. การศึกษาเรื่องกําหนดการเชิงเสนในบทนี้เปนการศึกษาขั้นพื้นฐานเทานั้น โดยมี
จุดประสงคเพียงเพื่อใหผูเรียนไดเห็นการประยุกตและประโยชนของคณิตศาสตรในชีวิตจริงบาง
เนื้อหาในบทนี้อาศัยความรูพื้นฐานเรื่องสมการ อสมการ และกราฟ ในการแกปญหา ปญหาที่
ใชวิธีการของกําหนดการเชิงเสนในบทนี้จะเนนเฉพาะปญหาที่สามารถนํามาเขียนในรูปสมการและ
อสมการเชิงเสนสองตัวแปรเทานั้น เพื่อตองการใหผูเรียนเห็นรูปแบบและแนวทางในการแกปญหา
ผูสอนควรบอกผูเรียนวา ปญหาในชีวิตจริงอาจมีความซับซอนและมีตัวแปรมากกวาสองตัว อาจ
เปนหลายรอยตัว ซึ่งการแกปญหาดังกลาวสามารถใชความรูเรื่องเมตริกซและคอมพิวเตอรมาชวย
หาคําตอบได
2. ประเภทของปญหาที่ใชวิธีการกําหนดการเชิงเสน โดยทั่วไปไดแกปญหาประเภท
ตอไปนี้
1) การมอบหมายงาน (assignment) ปญหาการมอบหมายงานนั้นจะเกี่ยวของกับ
การจัดคนหรือเครื่องจักร ใหทํางานประเภทตาง ๆ โดยแตละคนและแตละเครื่องจะทํางานเพียง
ประเภทเดียวโดยมีจุดประสงคของการกําหนดลักษณะดังกลาวเพื่อใหไดผลดีที่สุดหรือเสียคาใชจาย
ต่ําสุด
2) การผสมอาหาร (blending) ปญหาในเรื่องการผสมอาหารนั้นจะเกี่ยวของกับการ
หาสวนผสมวัตถุดิบเพื่อใหสอดคลองตามเกณฑตางๆที่ระบุ วัตถุดิบชนิดหนึ่งๆจะมีคาใชจายใน
ระดับหนึ่ง จุดประสงคของการดําเนินการนี้จึงมักจะเปนการกําหนดวาจะผสมในลักษณะใดเพื่อ
ที่จะใหเสียคาใชจายต่ําสุด หรือใหไดผลดีที่สุดเปนไปตามเกณฑตาง ๆ ที่ตองการดวย
3) การวางแผนดําเนินการ (planning and scheduling) เนนการตัดสินใจที่จะทํา
โครงการตาง ๆ ในอนาคตเพื่อใหเปนไปตามจุดมุงหมายที่ตั้งไวโดยมีขอจํากัดในเรื่องของระยะเวลา
ในการทําโครงการนั้น ๆ โดยใหผลประโยชนสูงสุดหรือเสียคาใชจายต่ําสุด
4) การจัดสรรทรัพยากร (resource allocation) ปญหาการจัดสรรทรัพยากรสวนมาก
จะมีโครงการที่ตองตัดสินใจตาง ๆ ซึ่งการดําเนินการของโครงการนี้จะทําใหทรัพยากรลดนอยลง
โครงการหนึ่ง ๆ จะสงผลตอจุดประสงคในปริมาณหนึ่งจึงตองการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยางจํากัด
ทามกลางโครงการเหลานี้เพื่อใหไดผลประโยชนที่ดีที่สุด
5) การขนสง (transportation) ปญหาการขนสงนั้นเปนการขนสงสินคาหรือบริการ
จากแหลงผลิตไปยังผูบริโภคทั้งหลาย แหลงผลิตแตละแหลงตางก็มีสินคาเปนปริมาณจํากัดและ
ผูบริโภคตางก็มีความตองการในระดับที่ตางกัน นอกจากนี้ยังมีคาใชจายตอหนวยที่แตกตางกันไป
ในการขนสงสินคาจากแหลงผลิตหนึ่งไปยังผูบริโภคในที่ตาง ๆ ดวย ดังนั้น ปญหาในลักษณะนี้จึง
เปนการหารูปแบบการขนสินคาที่จะทําใหคาใชจายรวมต่ําสุด หรือเกิดประโยชนสูงสุด โดย
เปนไปตามเงื่อนไขของการผลิตและการบริโภค

3. 181
3. การเรียนการสอนในบทนี้แบงเปนสองสวนที่สําคัญ สวนแรกคือการเขียนกราฟของ
ระบบอสมการขอจํากัดเพื่อระบุอาณาบริเวณที่หาคําตอบได สวนที่สองคือการแปลงสถานการณ
ปญหาใหเปนระบบอสมการและการกําหนดฟงกชันจุดประสงคของปญหา ผูสอนควรให
ความสําคัญกับทั้งสองสวน
4. ในเบื้องตน ผูสอนควรตรวจสอบความรูพื้นฐานของผูเรียนในเรื่องสมการและ
อสมการกอน ทบทวนความรูเรื่องสมการและอสมการเชิงเสน การหาจุดตัดของเสนตรงสองเสน
ตลอดจนการเขียนกราฟของระบบอสมการเชิงเสนเทาที่จําเปน โดยอาจเลือกใชแนวทางตาม
หนังสือเรียน ในสวนนี้ ผูสอนอาจใหผูเรียนอานทําความเขาใจเนื้อหาในหนังสือเรียนหนา
181 – 182 เกี่ยวกับการใชจุดทดสอบ (test point) เองดวย
5. แบบฝกหัด 3.2 ขอ 2 ไมไดแสดงจุดตัดของเสนตรงกับแกน X และแกน Y และ
จุดตัดของเสนตรงที่กําหนดให เพราะมีเจตนาใหผูเรียนไดใชแบบฝกหัดนี้ทบทวนการหาจุดตัด
ดวยตนเอง ทั้งนี้หากผูสอนประเมินวาผูเรียนมีพื้นฐานเกี่ยวกับเรื่องนี้ไมเพียงพอ ผูสอนอาจ
กําหนดจุดตัดตาง ๆ ในตอนเริ่มตนเพื่อนําผูเรียนใหเขาใจมโนทัศนของอาณาบริเวณที่ถูกปดลอม
กอน โดยผูสอนอาจใชชวงเวลาและวิธีการที่เหมาะสมในการทบทวนเรื่องการเขียนกราฟเสนตรง
และการหาจุดตัดของเสนตรงเพิ่มเติมใหแกผูเรียน
6. แนวทางการเรียนการสอนของบทนี้อาจมีหลายแนวทางที่แตกตางกัน แนวทางหนึ่ง
คือแนวทางตามลําดับเนื้อหาในหนังสือเรียนโดยเริ่มจากการเขียนกราฟ แลวนําเสนอวิธีการแกปญหา
กําหนดการเชิงเสนผานสถานการณปญหาในตัวอยางที่ 1 (หนา 188 – 193) สวนอีกแนวทางหนึ่ง
ที่ผูสอนอาจทําไดคือ เริ่มตนดวยการใหหาคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของฟงกชันที่กําหนดใหในอาณา
บริเวณที่เปนไปได โดยยังไมนําเสนอสถานการณปญหา ผูสอนอธิบายวา คาของ 6x + 7y – 9
คือฟงกชันของ x และ y ซึ่งสามารถเขียนในรูป f(x, y) = 6x + 7y – 9
สังเกตวา f(x, y) ก็คือ ฟงกชันจุดประสงค นั่นเอง ดังนั้น f(3, 5) คือคาของฟงกชัน
f เมื่อ x = 3 และ y = 5 ซึ่งเทากับ (6)(3) + (7)(5) – 9 = 44 จากนั้นผูสอนอธิบายวา ในบางครั้ง
เราอาจตองการทราบคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของฟงกชันภายใตเงื่อนไขที่กําหนดให
ตัวอยางเชน หาคาสูงสุดและคาต่ําสุดของ f(x, y) = 5x – 3y โดยมีเงื่อนไขตอไปนี้
–x + y ≤ 2
x + y ≤ 6
0 ≤ x ≤ 5
y ≥ 0
เมื่อเขียนกราฟแลว ผูสอนใชแนวทางตามหนังสือเรียนหนา 191 – 193 เพื่อนําไปสู
ขอสรุปที่วา คาสูงสุดหรือคาต่ําสุดจะอยูที่จุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกกําหนดโดยเงื่อนไข จาก
ตัวอยางขางตน จุดมุมอยูที่ (0, 0), (0, 2), (2, 4 ), (5, 1) และ (5, 0)

4. 182
f(x, y) = 5x – 3y
f(0, 0) = (5)(0) – (3)(0) = 0
f(0, 2) = (5)(0) – (3)(2) = –6
f(2, 4 ) = (5)(2) – (3)(4) = –2
f(5, 1) = (5)(5) – (3)(1) = 22
f(5, 0) = (5)(5) – (3)(0) = 25
ดังนั้น คาสูงสุดและคาต่ําสุดของ f(x, y) คือ 25 และ –6 ตามลําดับ
ถาผูสอนจะดําเนินการสอนตามแนวทางที่สองนี้ก็อาจใหผูเรียนฝกตามแนวทางของ
แบบฝกหัด 3.3 ขอ 1 และขอ 2 กอนจนชํานาญ แลวจึงคอยนําเขาสูเรื่องสถานการณปญหาตอไป
7. การสรางระบบอสมการขอจํากัดจากสถานการณปญหา อาจไดตัวเลขที่มีหลายหลัก
ซึ่งทําใหลําบากในการเขียนกราฟ ผูสอนควรอธิบายกับผูเรียนวากอนการเขียนกราฟ อาจลดทอน
ตัวเลขที่มีหลายหลักใหงายขึ้น การทําเชนนี้ไมไดกระทบตอระบบอสมการขอจํากัดแตอยางใด เชน
ระบบอสมการ 1 1
x y
5 10
+ ≤ 9
800000x + 500000y ≤ 40000000
ลดทอนตัวเลขใหงายขึ้นเปน 2x + y ≤ 90
8x + 5y ≤ 400
ผูสอนอาจใหผูเรียนทดลองเขียนกราฟของระบบอสมการทั้งสองแลวตรวจสอบดูกราฟ
ที่ไดวาเหมือนกันหรือไม
8. การสอนใหผูเรียนจําลําดับขั้นตอนการแกปญหาไปใชไดทันทีไมใชเรื่องยาก อยางไร
ก็ตามผูสอนควรพยายามชวยใหผูเรียนเขาใจใหไดวา ทําไมคําตอบของปญหาจะตองพิจารณาจาก
จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมของอาณาบริเวณของคําตอบที่เปนไปไดเทานั้น
9. ในกรณีที่จุดมุมสองจุดใหคาสูงสุด (หรือต่ําสุด) เชนในแบบฝกหัด 3.3 ขอ 1(2)
ผูสอนควรพยายามชี้ใหผูเรียนเขาใจวายังมีอีกหลายจุดที่เปนคําตอบ และคําตอบของปญหาทั้งหมด
คือจุดที่อยูบนสวนของเสนตรงที่เชื่อมจุดมุมทั้งสองจุดนั่นเอง
X
Y
x + y = 6 –x + y = 2
(2, 4)
(0, 2)
(5, 1)
(5, 0)O
x = 5

5. 183
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. จงแสดงอาณาบริเวณซึ่งถูกกําหนดดวยระบบอสมการตอไปนี้
(1) x + 3y ≤ 15 (2) 2x + 3y ≥ 6
4x + y ≤ 16 3x – 2y ≤ 9
x ≥ 0 x + 5y ≤ 20
y ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
2. จงเขียนระบบอสมการซึ่งมีกราฟดังที่กําหนดใหตอไปนี้
(1)
(2)
3. จงหาคาต่ําสุด และสูงสุดของ M ที่สอดคลองตามอสมการขอจํากัดที่กําหนดใหตอไปนี้
(1) M = x + 2y (2) M = 2x + y
3x + 2y ≥ 12 x + 2y ≤ 48
x + 3y ≥ 11 x + y ≤ 30
x ≥ 0 2x + y ≤ 50
y ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
Y
X
(10, 38)
x + 5y = 200
2x + 3y = 134
(0, 40)
(67, 0)
O
x + 2y = 193x + 2y = 29
(19, 0)
(5, 7)
29
(0, )
2
Y
XO

6. 184
4. โรงงานไอศกรีมผลิตไอศกรีมสามรส ไดแก รสสตรอเบอรี่ รสช็อกโกแลต และรสวานิลา
โดยผลิตไดวันละ 200 ถัง ไอศกรีมรสสตรอเบอรี่ กําไรถังละ50บาท ไอศกรีมรสช็อกโกแลต
กําไรถังละ 40 บาท และไอศกรีมรสวานิลา กําไรถังละ 30 บาท ตามปกติความตองการของ
ตลาดในแตละวัน ไอศกรีมรสวานิลาขายไดไมเกิน 60 ถัง และไอศกรีมรสช็อกโกแลตขายได
มากกวาไอศกรีมรสสตรอเบอรี่เสมอ แตโรงงานก็ผลิตไอศกรีมช็อกโกแลตไดเต็มที่วันละ
ไมเกิน 80 ถัง
(1) ถาโรงงานผลิตไอศกรีมรสสตรอเบอรี่และไอศกรีมรสช็อกโกแลตวันละ x และ y ถัง
ตามลําดับ จงเขียนอสมการขอจํากัด
(2) ถาโรงงานตองการกําไรสูงสุด จงเขียนฟงกชันจุดประสงค และหากําไรสูงสุด
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. (1) (2)
2. (1) x + 5y ≤ 200 (2) x + 2y ≥ 19
2x + 3y ≤ 134 3x + 2y ≥ 29
x ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0 y ≥ 0
3. (1) กราฟของอสมการขอจํากัดคือ
Y
X
(0, 6)
3x + 2y = 12
(2, 3)
O
x + 3y = 11
(11, 0)
Y
(0, 5)
(3, 4)
(4, 0)
O
x + 3y = 15
4x + y = 16
X
(0, 4)
(5, 3)
(3, 0)
O
3x – 2y = 9x + 5y = 20
Y
X
2x + 3y = 6
(0, 2)

7. 185
จากกราฟจะเห็นวา ไมสามารถหาคาสูงสุดของฟงกชันจุดประสงคที่สอดคลองกับ
อสมการขอจํากัดได คาต่ําสุดของฟงกชันจุดประสงคหาไดจากการพิจารณาจุดมุม (0, 6),
(2, 3) และ (11, 0) เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา 8
เปนคาต่ําสุดของ M ดังนี้
(x, y) M = x + 2y
(0, 6)
(2, 3)
(11, 0)
12
8
11
(2) กราฟของอสมการขอจํากัดคือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขางตนคือ (0, 0), (0, 24), (12, 18 ), (20, 10) และ (25, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา M ดังนี้
(x, y) M = 2x + y
(0, 0)
(0, 24)
(12, 18)
(20, 10)
(25, 0)
0
24
42
50
50
คาต่ําสุดของ M คือ 0 เมื่อ x = 0 และ y = 0
ทุกจุด (x, y) บนเสนตรง 2x + y = 50 เมื่อ x ∈ (20, 25) ใหคาสูงสุดของ M เทากับ 50
Y
X
x + 2y = 48
(12, 18)
2x + y = 50
(0, 24)
(20, 10)
O
(25, 0)
x + y = 30

8. 186
4. (1) อสมการขอจํากัด คือ
200 – x – y ≤ 60 (ไอศกรีมรสวานิลาขายไดไมเกิน 60 ถัง )
y ≥ x (ไอศกรีมรสช็อกโกแลตขายไดมากกวารสสตรอเบอรี่)
y ≤ 80 (ผลิตไอศกรีมช็อกโกแลตไดไมเกิน 80 ถังตอวัน)
(2) ฟงกชันจุดประสงค คือ P = 50x + 40y + 30(200 – x – y ) = 6000 + 20x + 10y
กราฟของอสมการขอจํากัดคือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขางตนคือ (60, 80), (70, 70) และ (80, 80)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) P = 6000 + 20x + 10y
(60, 80)
(70, 70)
(80, 80)
8000
8100
8400
จุดมุม (80, 80 ) ใหคา P สูงสุด
ดังนั้น โรงงานควรผลิตไอศกรีมรสสตรอเบอรี่ 80 ถัง ไอศกรีมรสช็อกโกแลต 80 ถัง
และไอศกรีมรสวานิลา 200 – 80 – 80 = 40 ถัง ซึ่งจะไดกําไรวันละ 8400 บาท
(60, 80) (80, 80)
(70, 70)
140
120
100
80
60
40
20
20 40 60 80 100 120 140O
Y
X
x = y
y = 80
200 – x – y = 60
หรือ y = –x + 140

9. 187
เฉลยแบบฝกหัด 3.1
1. (1, 1) อยูในกราฟของอสมการ 2x + y > 2
(–1, 3), 1 1
( , )
4 2
อยูในกราฟของอสมการ 2x + y < 2
(2, –2) อยูบนเสนตรงซึ่งเปนกราฟของ 2x + y = 2
2. (1) x < 2 (2) y > 3
(3) y ≤ 3 (4) x ≥ –1
(5) 2x + 2y < 4 (6) y + 2x > 2
(7) 3y – x ≤ 6 (8) x ≤ 2y – 2
X
Y
x = 2
X
Y
y = 3
O O
X
Y
y = 3
O X
Yx = –1
O
X
Y
(0, 2)
O
(2, 0) X
Y
(1, 0)O
(0, 2)
X
Y
(–6, 0)
O
(0, 2)
X
Y
O
(–2, 0) (0, 1)

10. 188
เฉลยแบบฝกหัด 3.2
1. (1) (2)
(3) (4)
(5) (6) ไมมีบริเวณที่ซอนทับกันของ
อสมการ 0 ≤ x ≤ 2 และ
y ≥ 0 และ 2x – 3y ≥ 12
2. (1) 2x + y ≤ 4 (2) x – y ≥ 1
x ≥ 0 x + 2y ≤ 6
y ≥ 0 y ≥ 0
(3) 2x + y ≤ 10 (4) 4x + y ≤ 16
4x – y ≤ 8 x + 3y ≤ 15
x ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
(5) 3x + 2y ≥ 12 (6) 3x + y ≥ 180
x + 3y ≥ 11 x + y ≥ 100
x ≥ 0 2x + 5y ≥ 260
y ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 0
X
Y
x = 1
O
x = –1
X
Y
O
y = 2
X
Y
O
x = y
(0, 1)
3 3
( , )
4 4
(3, 0)
x + 3y = 3
X
Y
O
y – 2x = 2
(0, 2)
(–1, 0)
X
Y
O
(0, 1)
(1, 0)
y = –2
x + y = 1

11. 189
เฉลยแบบฝกหัด 3.3
1. (1) P = 5x + 3y
2x + 4y ≤ 80
5x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 20), (10, 15) และ (16, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 5x 3y P = 5x + 3y
(0, 0)
(0, 20)
(10, 15)
(16, 0)
0
0
50
80
0
60
45
0
0
60
95
80
ดังนั้น จุดมุม (10, 15) ใหคา P มากที่สุด
นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 95 เมื่อ x = 10 และ y = 15
Y
XO
(0, 40)
5x + 2y = 80
(10, 15)
(40, 0)
2x + 4y = 80
(16, 0)
(0, 20)

12. 190
(2) P = 15x + 10y
3x + 2y ≤ 80
2x + 3y ≤ 70
x ≥ 0
y ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 1
23
3
), (20, 10) และ ( 2
26
3
, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 15x 10y P = 15x +10y
(0, 0) 0 0 0
(0, 1
23
3
) 0 233.33 233.33
(20, 10) 300 100 400
( 2
26
3
, 0) 400 0 400
ดังนั้น จุดมุม (20, 10) หรือ ( 2
26
3
, 0) จะใหคา P เทากันคือ 400
นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 400 เมื่อ x = 20 และ y = 10 หรือ x = 2
26
3
และ y = 0 แตสังเกตวา เสนตรงที่ผานจุด (20, 10) และจุด ( 2
26
3
, 0) คือ
สมการ 3x + 2y = 80 หรือ 15x + 10y = 400 แสดงวายังมีอีกหลายจุดที่เปนคําตอบ
Y
X
3x + 2y = 80 หรือ 15x + 10y = 400
(0, 40)
2x + 3y = 70(20, 10)
(35, 0)
(0, 1
23
3
)
2
(26 , 0)
3
O

13. 191
(3) P = 35x1 – 25x2
2x1 + 3x2 ≤ 15
3x1 + x2 ≤ 12
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 5), (3, 3) และ (4, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x1, x2) 35x1 25x2 P = 35x1 – 25x2
(0, 0) 0 0 0
(0, 5) 0 125 –125
(3, 3) 105 75 30
(4, 0) 140 0 140
ดังนั้น จุดมุม (4, 0) ใหคา P มากที่สุด
นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 140 เมื่อ x1 = 4 และ x2 = 0
X1
X2
3x1 + x2 = 12
2x1 + 3x2 = 15
(0, 12)
(0, 5)
O
(3, 3)
(15
2
, 0)
(4, 0)

14. 192
(4) P = 2x + 3y
x + y ≥ 4
5x + 2y ≤ 25
x ≤ 4
y ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 4), (0, 5), (3, 5), (4, 5
2
) และ (4, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 2x 3y P = 2x + 3y
(0, 4) 0 12 12
(0, 5) 0 15 15
(3, 5) 6 15 21
(4, 5
2
) 8 7.5 15.5
(4, 0) 8 0 8
ดังนั้น จุดมุม (3, 5) ใหคา P มากที่สุด
นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 21 เมื่อ x = 3 และ y = 5
X
Y
25
(0, )
2
5x + 2y = 25
y = 5
x = 4
(0, 4)
x + y = 4
(0, 5) (3, 5)
(5, 0)
(4, 0)
(4, 5
2
)
O

15. 193
(5) P = 100x + 80y
x + 2y ≤ 800
3x + 2y ≤ 1200
x ≥ 0
y ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 400), (200, 300), (400, 0), และ (0, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 100x 80y P = 100x + 80y
(0, 0) 0 0 0
(0, 400) 0 32000 32000
(200, 300) 20000 24000 44000
(400, 0) 40000 0 40000
ดังนั้น จุดมุม (200, 300) ใหคา P สูงสุด
นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 44000 เมื่อ x = 200 และ y = 300
X
Y
(0, 600)
3x + 2y = 1200
(0, 400)
x + 2y = 800
(200, 300)
(800, 0)
(400, 0)O

16. 194
(6) P = 300x + 200y
6x + 6y ≤ 420
3x + 6y ≤ 300
4x + 2y ≤ 240
x ≥ 0
y ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 50), (40, 30), (50, 20), (60, 0) และ (0, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 300x 200y P = 300x + 200y
(0, 0) 0 0 0
(0, 50) 0 10000 10000
(40, 30) 12000 6000 18000
(50, 20) 15000 4000 19000
(60, 0) 18000 0 18000
ดังนั้น จุดมุม (50, 20) ใหคา P สูงสุด
นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 19000 เมื่อ x = 50 และ y = 20
X
Y
(60, 0)O
(0, 50)
4x + 2y = 240
6x + 6y = 420
3x+ 6y = 300
(40, 30)
(50, 20)
(0, 120)
(0, 70)
(70, 0) (100, 0)

17. 195
2. (1) C = 9x + 15y
3x + 4y ≥ 25
x + 3y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 25
4
), (3, 4) และ (15, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้
(x, y) 9x 15y C = 9x + 15y
(0, 25
4
) 0 93.75 93.75
(3, 4) 27 60 87
(15, 0) 135 0 135
ดังนั้น จุดมุม (3, 4) ใหคา C ต่ําสุด
นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 87 เมื่อ x = 3 และ y = 4
X
Y
O
3x + 4y = 25
x + 3y = 15(3, 4)
(15, 0)
25
( , 0)
3
25
(0, )
4
(0, 5)

18. 196
(2) C = 28x1 + 35x2
2x1 + x2 ≥ 110
2x1 + 3x2 ≥ 170
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 110), (40, 30) และ (85, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้
(x1, x2) 28x1 35x2 C = 28x1 + 35x2
(0, 110) 0 3850 3850
(40, 30) 1120 1050 2170
(85, 0) 2380 0 2380
ดังนั้น จุดมุม (40, 30) ใหคา C ต่ําสุด
นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 2170 เมื่อ x1 = 40 และ x2 = 30
X1
X2
O
2x1 + x2 = 110
2x1 + 3x2 = 170
(85, 0)
(40, 30)
(55, 0)
170
(0, )
3
(0, 110)

19. 197
(3) C = 40000y1 + 32000y2
6y1 + 2y2 ≥ 12
2y1 + 2y2 ≥ 8
4y1 + 12y2 ≥ 24
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
กราฟของอสมการขอจํากัด คือ
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 6), (1, 3), (3, 1) และ (6, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้
(y1, y2) 40000y1 32000y2 C = 40000y1 + 32000y2
(0, 6) 0 192000 192000
(1, 3) 40000 96000 136000
(3, 1) 120000 32000 152000
(6, 0) 240000 0 240000
ดังนั้น จุดมุม (1, 3) ใหคา C ต่ําสุด
นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 136000 เมื่อ y1 = 1 และ y2 = 3
Y1
Y2
O
(0, 6) 6y1 + 2y2 = 12
(1, 3)
(3, 1)
(6, 0)(2, 0)
(0, 2) 4y1 + 12y2 = 24
2y1 + 2y2 = 8
(0, 4)
(4, 0)

20. 198
3. (1) 160000x + 80000y ≤ 2720000 (เงินลงทุนซื้อเครื่องจักร)
90x + 54y ≤ 1620 (พื้นที่สําหรับวางเครื่องจักร)
หรือ
2x + y ≤ 34
5x + 3y ≤ 90
(2) รายไดตอวัน P = 7500x + 4200y
(x, y) 7500x 4200x P = 7500x + 4200y
(0, 0)
(0, 30)
(12, 10)
(17, 0)
0
0
90000
127500
0
126000
42000
0
0
126000
132000
127500
โรงงานนี้ควรซื้อเครื่องจักรชนิด A และเครื่องจักรชนิด B อยางละ 12 เครื่อง
และ 10 เครื่อง ตามลําดับ รายไดตอวันสูงสุดคือ 132000 บาท
Y
XO
2x + y = 34
5x + 3y = 90
(0, 30)
(17, 0)
(12, 10)
(0, 34)
(18, 0)

21. 199
4. (1) x + y ≤ 10 (จํานวนพนักงาน)
10x + 30y ≤ 180 (เวลาที่ใชในการจัดกลองขึ้นรถ)
หรือ
x + y ≤ 10
x + 3y ≤ 18
(2) จํานวนกลองที่ขนสงไดตอวัน P = 30x + 70y
(x, y) 30x 70y P = 30x + 70y
(0, 0)
(0, 6)
(6, 4)
(10, 0)
0
0
180
300
0
420
280
0
0
420
460
300
บริษัทควรใชรถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญอยางละ 6 คัน และ 4 คัน ตามลําดับ
จึงจะขนสงผลิตภัณฑใหไดจํานวนกลองมากที่สุด
X
Y
O
x + y = 10
x + 3y = 18(6, 4)(0, 6)
(10, 0)
(0, 10)
(18, 0)

22. 200
5. (1) 1 1
x y
5 10
+ ≤ 9 (เนื้อที่โครงการ)
800000x + 500000y ≤ 40000000 (เงินทุนสรางบานทั้งสองแบบ)
หรือ 2x + y ≤ 90
8x + 5y ≤ 400
(2) กําไร P = 100000x + 70000y
(x, y) 100000x 70000y P = 100000x + 70000y
(0, 0)
(0, 80)
(25, 40)
(45, 0)
0
0
2500000
4500000
0
5600000
2800000
0
0
5600000
5300000
4500000
เจาของโครงการหมูบานจัดสรรควรตัดสินใจสรางทาวนเฮาสอยางเดียว จํานวน 80 หลัง
จึงจะไดผลกําไรสูงสุด ผลกําไรสูงสุดคือ 5,600,000 บาท
X
Y
(0, 80)
(25, 40)
O (45, 0)
2x + y = 90
8x + 5y = 400
(0, 90)
(50, 0)

23. 201
6. ให P เปนกําไร
x เปนจํานวนเกาอี้ขาสั้นที่ผลิตในแตละวัน
และ y เปนจํานวนเกาอี้ขายาวที่ผลิตในแตละวัน
จะเขียนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้
P = 30x + 50y
และ x + 2y ≤ 8 (เวลาที่ตองใชในการผลิตขั้นตน)
2x + 2y ≤ 10 (เวลาที่ตองใชในการผลิตขั้นที่สอง)
x ≥ 0
y ≥ 0
โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม
เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดังรูป
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 4), (2, 3) และ (5, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 30x 50y P = 30x + 50y
(0, 0)
(0, 4)
(2, 3)
(5, 0)
0
0
60
150
0
200
150
0
0
200
210
150
จุดมุม (2, 3) ใหคา P มากที่สุด
ดังนั้น ในแตละวันถาใหไดกําไรมากที่สุดควรจะผลิตเกาอี้ขาสั้น จํานวน 2 ตัว และเกาอี้
ขายาว จํานวน 3 ตัว และจะไดกําไร 210 บาท
X
Y
O
2x + 2y = 10
x + 2y = 8
(5, 0)
(0, 4)
(2, 3)
(0, 5)
(8, 0)

24. 202
7. ให P เปนกําไร
x เปนจํานวนจอภาพธรรมดาที่ควรผลิตตอสัปดาห
และ y เปนจํานวนจอภาพแบนที่ควรผลิตตอสัปดาห
จะเขียนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้
P = 1800x + 2200y
และ x + y ≤ 300 (จํานวนจอภาพทั้งสองชนิดที่ผลิต)
3600x + 5400y ≤ 1,296,000 (ตนทุนการผลิต)
x ≥ 0
y ≥ 0
โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม
เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดังรูป
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 240), (180, 120) และ (300, 0)
และเมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 1800x 2200y P = 1800x + 2200y
(0, 0)
(0, 240)
(180, 120)
(300, 0)
0
0
324,000
540,000
0
528,000
264,000
0
0
528,000
588,000
540,000
จุดมุม (180, 120) ใหคา P มากที่สุด
ดังนั้น ในแตละสัปดาหควรจะผลิตจอภาพธรรมดา จํานวน 180 ชิ้น
และจอภาพแบนจํานวน 120 ชิ้น จึงไดกําไรมากที่สุดคือไดกําไร 588,000 บาท
Y
X
(180, 120)
x + y = 300
3600x + 5400y = 1296000
O
(0, 240)
(300, 0)
(0, 300)
(360, 0)

25. 203
8. ให P เปนกําไร
x เปนจํานวนชุดกลางวันที่ควรจะตัด
y เปนจํานวนชุดราตรีที่ควรจะตัด
จะเขียนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้
P = 300x + 500y
และ 2x + y ≤ 16 (ผาสีพื้นที่ตองใช)
x + 3y ≤ 15 (ผาลายดอกที่ตองใช)
x + 2y ≤ 11 (ผาลูกไมที่ตองใช)
x ≥ 0
y ≥ 0
โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม
เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดังรูป
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 5), (3, 4), (7, 2) และ (8, 0)
และเมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้
(x, y) 300x 500y P = 300x + 500y
(0, 0)
(0, 5)
(3, 4)
(7, 2)
(8, 0)
0
0
900
2100
2400
0
2500
2000
1000
0
0
2500
2900
3100
2400
จุดมุม (7, 2) ใหคา P มากที่สุด
ดังนั้น ชางตัดเสื้อควรจะตัดชุดกลางวัน 7 ชุด และชุดราตรี 2 ชุด จึงจะไดกําไรมากที่สุด
คือมีกําไร 3,100 บาท
Y
XO
2x + y = 16
x + 2y = 11
x + 3y = 15
(7, 2)
(8, 0) (11, 0)
(0, 5)
11
(0, )
2
(3, 4)
(0, 16)
(15, 0)

26. 204
9. ให C แทนคาแรงที่ตองจายใหคนงาน 2 คน
x แทนจํานวนชั่วโมงในการทํางานของคนงานคนแรก
และ y แทนจํานวนชั่วโมงในการทํางานของคนงานคนที่สอง
จะเขียนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้
C = 25x + 22y
และ x + y ≥ 5 (จํานวนตู)
3x + 2y ≥ 12 (จํานวนโตะ)
3x + 6y ≥ 18 (จํานวนชั้นวางหนังสือ)
x ≥ 0
y ≥ 0
โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม
เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดังรูป
จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 6), (2, 3), (4, 1) และ (6, 0)
เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้
(x, y) 25x 22y C = 25x + 22y
(0, 6)
(2, 3)
(4, 1)
(6, 0)
0
50
100
150
132
66
22
0
132
116
122
150
จุดมุม (2, 3) ใหคา C ต่ําที่สุด
ดังนั้น ถาตองการใหเสียคาแรงนอยที่สุดเขาควรจะจางคนงานคนที่หนึ่งทํางาน 2 ชั่วโมง
และจางคนงานคนที่สองทํางาน 3 ชั่วโมง
X
Y
3x + 2y = 12
x + y = 5
(2, 3)
3x + 6y = 18
(4, 1)
(6, 0)
(0, 3)
(0, 5)
(0, 6)
O (4, 0) (5, 0)