1. ЛЕКЦІЯ
Визначений інтеграл. Основн1 методи 1нтегрування.
Означення та властивості визначеного інтеграла
Розглянемо задачу, що приводить до визначеного інтеграла. Нехай на відрізку ;a b задана
неперервна функція ( ) 0f x і треба знайти площу S криволінійної трапеції, обмеженої лініями
( ), , , 0y f x x a x b y :
Знайдемо наближене значення цієї площі. Для цього розіб'ємо відрізок ;a b довільними
точками: 1 ... ...k na x x x x b , та візьмемо на кожному відрізку 1,k kx x , 1,2,...,k n ,
довжини 1k k kx x x , точку k . Площа криволінійної трапеції S буде наближено дорівнювати
сумі площ прямокутників з основами kx та висотами kf :
1
n
k k
k
S f x
(рис.1). При
цьому, чим більше точок kx будемо брати тим точність такого наближення буде вища. Точне
значення S отримуємо, переходячи до границі в цих сумах, коли max kx прямує до нуля:
max 0 1
lim
k
n
k k
x k
S f x
.
З цього прикладу випливає доцільність наступного означення.
Нехай ( )f x задана на відрізку ;a b , 1 ... ...k na x x x x b - точки, що ділять його на
відрізки 1,k kx x , довжини 1k k kx x x . Візьмемо на кожному 1,k kx x точку k та утворимо
суму
1
n
k k
k
f x
, яка називається інтегральною сумою функції ( )f x на відрізку ;a b . Якщо
існує границя інтегральних сум функції ( )f x на відрізку ;a b , за умови, що max kx прямує до
нуля, і вона не залежить від способу розбиття відрізку ;a b на частини 1,k kx x та вибору точок
k , то цю границю називають визначеним інтегралом від функції ( )f x на відрізку ;a b та
позначають: 0 1max
( ) lim
i
i
b n
k k
x ka
f x dx f x
.
Числа a і b називаються відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування.
За означенням вважають: ( ) 0
a
a
f x dx ; ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx .
Якщо визначений інтеграл від ( )f x на ;a b існує, то функцію ( )f x називають
інтегрованою на ;a b . Можна довести, що неперервна на ;a b функція інтегрована на ньому.
Інтегрованою буде також функція, що має скінчену кількість точок розриву першого роду.
З визначення інтеграла та властивостей границь можна отримати такі властивості
визначених інтегралів:
y
x
y f x
0x a 1 2x1x 1kx k kx 1nx n nb x
Рис. 1
2. 2
а)
b
a
dx b a ;
б)
b b
a a
Cf x dx C f x dx , де C - стала;
в) 1 2 1 2
b b b
a a a
f x f x dx f x dx f x dx ;
г)
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx , в припущенні, що ( )f x інтегрована на кожному з проміжків
; , ; , ;a b a c c b ;
д) Якщо ( ) ( )f x g x на ;a b і вони інтегровані на цьому інтервалі, то
b b
a a
f x dx g x dx ;
е) Якщо ( )f x інтегрована на ;a b та ( )m f x M , коли ;x a b , то
b
a
m b a f x dx M b a . При цьому існує таке число m M , що
b
a
f x dx b a .
Зокрема, якщо ( )f x неперервна на ;a b , то існує таке ;c a b , що ( )
b
a
f x dx f c b a . Це, так
звана, теорема про середнє.
Нехай задана неперервна на ;a b функція ( )f x . Розглянемо ( )
x
a
f t dt , де верхня межа
інтеграла x змінюється на ;a b . Такий інтеграл називається інтегралом зі змінною верхньою
межею інтегрування. Він є функцією цієї межі x : ( ) ( )
x
a
F x f t dt . Будемо шукати похідну від
( )F x , для чого утворимо:
( ) 1 1
( ) ( ) ( )
x x x x x
a a x
F x x F x
f t dt f t dt f t dt
x x x
.
За теоремою про середнє:
1 1
( ) ( ) ( )
x x
x
f t dt f c x f c
x x
, де ;c x x x . Тому, якщо
перейти в цьому виразі до границі, коли 0x , то
0 0
( )
( ) lim lim ( ) ( )
x x
x c x x
F x x F x
F x f c f x
x
.
Це означає, що однією з первісних підінтегральної функції ( )f x буде ( ) ( )
x
a
F x f t dt , а будь-яка
інша первісна ( )f x має вигляд: ( ) ( )
x
a
F x f t dt C , де C - стала. Нехай тепер ( )F x - одна з
первісних ( )f x : ( ) ( )
x
a
F x f t dt C . Припустимо, що x a , тоді ( )F a C . Якщо ж взяти x b , то
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
F b f t dt C f t dt F a . Звідси
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f t dt F b F a F x | ,
де ( )F x - будь-яка первісна ( )f x .Така рівність називається формулою Ньютона-Лейбніца. Вона
встановлює зв'язок між невизначеним та визначеним інтегралами і дає метод обчислення
останніх. Безпосереднє обчислення визначених інтегралів за їх означенням, як границі
інтегральних сум, можливе лише в не багатьох випадках.
Заміна змінної у визначеному інтегралі
3. 3
Нехай в інтегралі
b
a
f x dx функція ( )f x неперервна на ;a b . Введемо нову змінну
інтегрування t за формулою x t , де t неперервна на 1 1;a b разом з t ,
1 1,a a b b . Тоді
1
1
bb
a a
f x dx f t t dt
Це формула заміни змінної у визначеному інтегралі. При користуванні цією формулою не
потрібно повертатися до старої змінної x . Саму ж функцію t обирають так, щоб
максимально спростити підінтегральний вираз.
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Так само як і для невизначеного інтеграла, формула інтегрування частинами у визначеному
інтегралі випливає з формули похідної добутку двох функцій. Для визначеного інтеграла, вона
набуває вигляду:
bb b
a aa
udv uv vdu ,
де ,u u x v v x - функції, які мають неперервні похідні на ;a b .
