Розглянуто основні поняття та приклади розв'язків типових завдань з данної теми

1. Первісна та невизначений інтеграл

2. Первісна та
невизначений інтеграл
Мета уроку:формування поняття первісної
функції та поняття невизначеного
інтеграла, знання таблиці первісних,
умінь застосовувати основну властивість
первісної, умінь у знаходженні
первісних для заданої функції,
користуючись правилами знаходження
первісних; розвивати увагу, пам’ять,
логічне мислення, спостережливість,
уміння порівнювати та робити висновки;
виховувати працьовитість,
наполегливість, активність.

3. Кожна дія (операція) в математиці має обернену:
додавання-віднімання;
множення-ділення;
піднесення до степеня – добування кореня;
логарифмування – потенціювання;
множення одночлена на многочлен - розкладання многочлена на
множники способом винесення спільного множника за дужки.
Основна операція диференціального числення є
знаходження похідної даної функції
Обернена операція до диференціювання є: за відомою
похідною деякої функції знайти (відновити) саму
функцію , яку називають первісною F для відомої
функції . Операція знаходження первісної F для
даної функції називається інтегруванням.
)('' xfy = ).(xfy =
)('' xfy =
)(xfy =
)(xfy =
)(xfy =

4. Наприклад, функція є первісною для функції на
проміжку (-∞;∞), оскільки на цій множині виконується рівність .
Для функції f(x)=2x первісними будуть функції F(x)=x2
+1; F(x)=x2
-10 і
т.д., тобто загальний вигляд первісних для функції f(x)=2x матимуть
вигляд F(x)=x2
+С, де С – довільна стала.
Отже, операція інтегрування неоднозначна.
Первісною для даної функції y=f(x) на заданому
проміжку [a; b] називається така функція F(x), похідна
якої для всіх x з інтервалу [a; b] дорівнює f(x), тобто F /
(x) = f (x) для всіх x є [a; b].
2
)( xxF = xxf 2)( =
xx 2)( =′

5. Таблиця первісних
Функція y=f(x) Загальний вигляд первісної
F(x)+C
k, де k - стала kx+C
xn
, де n є Z
sin x - cos x+C
cos x sin x+C
tg x + C
- ctg x + C
1−≠n Cn
xn
++
+
1
1
x2
cos
1
x2
sin
1

6. Яка з двох
функцій є
первісною
для
другої?
2
3x
13
+x
xsin
xcos−
x
x2
1
x2
sin
1
ctgx−
x2
cos
1
tgxxsin
xcos

7. Вказати первісну
F для кожної
даної функції f
2
)( xxf =
xxf sin)( =
xxf cos)( =
x
xf 1)( =
1)( 3
3
+= x
xF
3
3
)( x
xF =
2)( 3
3
−= x
xF
xxF 2)( =
32)( += xxF
42)( −= xxF
5cos)( +−= xxF
3cos)( −−= xxF
xxF cos)( −=
2sin)( += xxF
xxF sin)( =
3sin)( −= xxF

8. ОСНОВНА
ВЛАСТИВІСТЬ
ПЕРВІСНОЇ:
Якщо на проміжку
функція F(x)
є первісною для
f(x), то на цьому
проміжку
первісною для f(x)
буде також
функція F(x)+C
33)(;23)( 22
−+=++= xxxFxxxF 16)( += xxf
xxFxxF sin11)(;3sin)( +=+= xxf cos)( =
);0(;5,13)(;35)( ∞∈+−=−= xxxFxxF
x
xf
2
3)( −=
π+=+= tgxxFtgxxF 4
1
4
1
)(;6)(
x
xf 2
cos4
1)( =
32)(;12)( +=−= ctgxxFctgxxF
x
xf 2
sin
2)( −=
Первісні однієї і тієї ж функції можуть відрізнятись
лише на сталий доданок
ba;

9. x
y
F(x)=x2
+2
F(x)=x2
F(x)=x2
-4
F(x)=x2
-7
F(x)=x2
-2
Графіки первісних для даної функції
Основній властивості
первісних можна надати
геометричного змісту:
Графіки будь-яких двох
первісних даної функції можна
отримати один з одного
паралельним перенесенням
уздовж осі ординат

10. x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
Вказати, на якому
малюнку
зображено графіки
первісної функції
б)
в) г)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
y
а)
в) г)

11. 1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F′(x)= (x2
)′ = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F′(x)= (cos x)′ = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2
+ 4; F(x) = 2x3
+ 4x
F′(x)= (2x3
+ 4x)′ = 6x2
+ 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2
x; F(x) = tg x
F′(x)= (tg x)′ = 1/cos2
x= f(x)
Приклади

12. Завдання: Для функції знайти первісну, графік якої
проходить через точку
x
xf 2
cos
1
)( =
)0;
4
(
π
M
Розв'язання:
Знаходимо загальний вид
первісної
Координати точки М підставляємо
у рівняння первісної
Знаходимо сталу С
Відповідь:
Приклад
CtgxxF +=)(
Ctg +=
4
0
π
1;10 −=+= CC
1)( += tgxxF

13. Правила знаходження первісної
( )gfдляпервіснаGF
gдляпервіснаG
fдляпервіснаF
+−+⇒





Приклад:






+−+⇒












−
−
5
2
53
5
2
5
3 2
23
2
2
3
x
xäëÿïåðâ³ñíà
xx
x
äëÿïåðâ³ñíà
x
xäëÿïåðâ³ñíà
x
І правило знаходження первісної

14. Правила знаходження первісної
ІІ правило знаходження первісної
( ) ( )kfдляпервіснаkFчислодеякеkfдляпервіснаF −⇒−− ,
( )
( )xxfäëÿïåðâ³ñíàxxF
xxfäëÿïåðâ³ñíàxxF
cos10)(sin10)(
cos)(sin)(
=−=⇒
⇒=−=
Приклад:

15. Правила знаходження первісної
ІІІ правило знаходження первісної
( )






+−+⋅⇒
⇒≠−−
)()(
1
0,,
bkxfäëÿïåðâ³ñíàbkxF
k
k÷èñëîäåÿêåkfäëÿïåðâ³ñíàF
( )






+−=−+=⇒
⇒−=−=
)13sin()()13cos(
3
1
)(
sin)(cos)(
xxfäëÿïåðâ³ñíàxxF
xxfäëÿïåðâ³ñíàxxF
Приклад:

16. Функція Загальний вид первісних
74 −
+ xx C
x
x
C
xx
C
xx
+−=+
−
+=+
+−
+
+
−+−+
6
5651714
6
1
5651714
10
10
12
1
12 −
−=− x
x
C
x
xC
x
xC
x
x ++=+
−
−=+
+−
−
−+−
9
9110
9
1
12
9
12
110
12
xxxx coscos 2
1
+=+ CxxxCxxCx
x
++=++=++ sin
3
2
sin
3
2
sin
2
3
3
2
3
x2
sin
5
CctgxCctgx +−=+−⋅ 5)(5
x2
cos4
1 C
tgx
Ctgx +=+
44
1
22
12
22
22 −
⋅= x
x
C
x
C
x
C
x
+−=+
⋅
−=+
−
⋅
−
1111
11
2
11
22
11
22

17. x
10
CxCx +=+⋅ 20210
3
1
3
10
10 −
⋅= x
x
CxCxC
x
+=+⋅⋅=+
+−
⋅
+−
3 23
21
3
1
15
2
3
10
1
3
1
10
x4cos Cx +sin
4
1
)
3
sin(
x
− C
x
+−− )
3
cos(3
2
)37(
1
x−
C
x
C
x
+
−
=+
−
−−
)37(3
1
)
37
1
(
3
1

18. Сукупність всіх первісних функцій f(x) на
проміжку називається невизначеним
інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку
∫ += CxFdxxf )()(
Читається: “інтеграл еф від ікс по де ікс”
знак інтеграла;
f(x) – підінтегральна функція;
f(x)dx – підінтегральний вираз;
x – змінна інтегрування.
- – змінна інтегрування.
– змінна інтегрування.
– змінна інтегрування.
∫

19. 33
44
3
xx4
4
1
С
4
x
;С
4
x
dxx.4 =⋅=
′






++=∫
( ) xxxx
eCe;Сedxe.2 =
′
++=∫
( ) xsinCxcos;Сxcosxdxsin.3 =
′
+−+−=∫
( ) ACAxCAxAdx =
′
++=∫ ;.1
( )
xcos
1
Cxtg;Cxtgdx
xcos
1
.5 22
=′++=∫
Приклади

20. Основні властивості невизначеного
інтеграла
( )
( )
∫∫
∫
∫
=
+=′
=
′
.)()(.3
.)(.2
).()(.1
dxxfkdxxkf
Cxfdxxf
xfdxxf
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
−=
++=+
+=+
..6
.
1
.5
.)()()(.4 2121
xfdxgxgxfxgdxf
CbkxF
k
dxbkxf
dxxfdxxfdxxfxf

22. Приклади
C
x
dxx +=∫ 99
99
98
Cx
x
xCx
xx
dxxdxdxxdxxx +++=+++⋅=++=++∫ ∫ ∫ ∫ 223
313)13(
2
3
23
22
C
x
C
x
dx
x
++−=++−−⋅−=+−∫ )7
4
cos(4))7
4
cos((4)7
4
sin(
∫∫ ∫ ++=++=+=
+
= C
xx
Cxxdxxdx
x
xdx
4
2sin
2
)2sin
2
1
(
2
1
)2cos1(
2
1
2
2cos1
cos2
∫ ∫ +−=+=
+
C
x
xdx
x
dx
x
x 1
)
1
1(
1
22
2

23. Підбиття підсумків уроку.
• Що таке диференціювання функції?
• Як називають операцію обернену до
диференціювання?
• Що таке первісна та невизначений
інтеграл?
• З якими основними властивостями
первісних ви ознайомились?