Тема. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів курсу планіметрії Урок №1
<ul><li>Геометрія  — це наука про властивості геометричних фігур. </li></ul><ul><li>Зверни увагу: геометрична фігура — це ...
Точка і пряма <ul><li>Точка  і  пряма  є основними поняттями планіметрії.  </li></ul><ul><li>Це означає, що цим поняттям н...
Аксіома, теорема, означення <ul><li>Твердження, справедливість яких приймається без доведення, називаються  аксіомами .  <...
Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині <ul><li>Аксiома І. 1. Яка б не була пряма, існують точк...
Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині <ul><li>Аксiома ІІ.  </li></ul><ul><li>Із трьох точок н...
Відрізок <ul><li>Відрізком  називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома дани...
Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків <ul><li>Аксiома ІІІ. 1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від ...
Основна властивість розміщення точок відносно прямої на площині <ul><li>Аксiома ІV.  </li></ul><ul><li>Пряма розбиває площ...
Півпряма, промінь. <ul><li>Півпрямою , або  променем ,називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, ...
Кут <ul><li>Кут  — це фігура, яка складається з точки —  вершини кута  і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,...
Основні властивості вимірювання кутів <ul><li>Аксiома V. 1. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнут...
Основні властивості відкладання відрізків і кутів <ul><li>Аксiома VІ.  </li></ul><ul><li>На будь-якій півпрямій від її поч...
Трикутник <ul><li>Трикутником  називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох ві...
Основна властивість існування рівних трикутників <ul><li>Аксiома VІІІ.  </li></ul><ul><li>Який би не був трикутник, існує ...
Паралельн і прямі <ul><li>Прямі називаються  паралельними , якщо вони не перетинаються. Паралельні прямі, зображені на рис...
Аксіома паралельних прямих <ul><li>Аксiома ІХ.  </li></ul><ul><li>Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провест...
Суміжні кути <ul><li>Два кути називаються  суміжними , якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони є доповняльними пів...
Вертикальні кути <ul><li>Два кути називаються  вертикальними , якщо сторони одного кута є доповняльними півпрямими сторін ...
Кути, утворені при перетині прямих <ul><li>Внутрішні різносторонні:  <1  і  < 6,  < 3 і  < 8. </li></ul><ul><li>( <1 = < 6...
Кути в трикутнику <ul><li><1 ,  < 2,  < 3 – внутрішні кути трикутника. </li></ul><ul><li><1 + < 2+ < 3=180 ° </li></ul><ul...
Кути, вписані в коло <ul><li>Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається  плоским кутом .  </li><...
Центральний кут <ul><li>< АОС  центральний;  </li></ul><ul><li>точка 0 — центр кола;  </li></ul><ul><li>AMC  — дуга;  ANC ...
Кути, вписані в коло <ul><li><ABC  вписаний, спи­рається на дугу  АКС  (хорду АС);  <AFC  =   <ABC   (спираються на ту сам...
Паралельні прямі <ul><li>Властивості паралельних прямих Теорема 1. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то:...
Паралельні прямі <ul><li>Ознаки паралельності прямих Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б о...
Теорема Фалеса <ul><li>Теорема 1  Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рі...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі

18,271 views

Published on

Published in: Education, Business, Technology
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
18,271
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
35
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі

  1. 1. Тема. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів курсу планіметрії Урок №1
  2. 2. <ul><li>Геометрія  — це наука про властивості геометричних фігур. </li></ul><ul><li>Зверни увагу: геометрична фігура — це не тільки трикутник, коло, піраміда тощо, а й будь-яка множина точок. </li></ul>
  3. 3. Точка і пряма <ul><li>Точка  і  пряма  є основними поняттями планіметрії. </li></ul><ul><li>Це означає, що цим поняттям не можна дати точне означення. Їх можна тільки уявити, спираючись на досвід та перелічивши їхні властивості. </li></ul>
  4. 4. Аксіома, теорема, означення <ul><li>Твердження, справедливість яких приймається без доведення, називаються  аксіомами . </li></ul><ul><li>Вони містять формулювання основних властивостей найпростіших фігур. Твердження, які доводять, називаються  теоремами . Означення  — це пояснення якогось поняття, яке спирається або на основні поняття, або на поняття, що визначені раніше. </li></ul>
  5. 5. Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині <ul><li>Аксiома І. 1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. 2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну. (Треба розуміти, що тут містяться два твердження: по-перше — існування такої прямої, а по-друге — її єдиність.) </li></ul>
  6. 6. Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині <ul><li>Аксiома ІІ. </li></ul><ul><li>Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими. </li></ul>
  7. 7. Відрізок <ul><li>Відрізком  називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка . На рисунку зображено відрізок  АВ  (відрізок позначають, записуючи його кінці). </li></ul>
  8. 8. Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків <ul><li>Аксiома ІІІ. 1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. 2. Довжина відрізка дорівнює сумі дов­жин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. </li></ul>
  9. 9. Основна властивість розміщення точок відносно прямої на площині <ul><li>Аксiома ІV. </li></ul><ul><li>Пряма розбиває площину на дві півплощини. Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якого-небудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму; якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму. </li></ul>
  10. 10. Півпряма, промінь. <ul><li>Півпрямою , або  променем ,називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Ця точка називається  початковою точкою променя . </li></ul><ul><li>Різні півпрямі однієї прямої зі спільною початковою точкою називаються  доповняльними . На рисунку подані промені  AB  (він же  AC ),  DA  (або  DB ,  DC ),  BC ,  CB  (або  CA ,  CD ),  BA  (або  BD ),  AD . </li></ul><ul><li>Промені  AB  і  AD, BC  і  BD  — доповняльні. Промені  BD  і  AC  не є доповняльними, бо у них різні початкові точки. </li></ul>
  11. 11. Кут <ul><li>Кут  — це фігура, яка складається з точки —  вершини кута  і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,—  сторін кута . </li></ul><ul><li>Кут, поданий на рисунку, можна позначити так: < AOB, <0, <(ab).   </li></ul>Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими, кут називають  розгорнутим :
  12. 12. Основні властивості вимірювання кутів <ul><li>Аксiома V. 1. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 о . 2. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. </li></ul>
  13. 13. Основні властивості відкладання відрізків і кутів <ul><li>Аксiома VІ. </li></ul><ul><li>На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один. Аксiома VІІ. </li></ul><ul><li>Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за  , і тільки один. </li></ul>
  14. 14. Трикутник <ul><li>Трикутником  називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. </li></ul><ul><li>Точки називаються  вершинами трикутника , а відрізки — його  сторонами . </li></ul>
  15. 15. Основна властивість існування рівних трикутників <ul><li>Аксiома VІІІ. </li></ul><ul><li>Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої. </li></ul>
  16. 16. Паралельн і прямі <ul><li>Прямі називаються  паралельними , якщо вони не перетинаються. Паралельні прямі, зображені на рисунку, можна позначити так:  a II b . </li></ul>
  17. 17. Аксіома паралельних прямих <ul><li>Аксiома ІХ. </li></ul><ul><li>Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній. </li></ul><ul><li>Зверніть увагу: аксіома стверджує єдиність такої прямої, але не стверджує її існування. </li></ul>
  18. 18. Суміжні кути <ul><li>Два кути називаються  суміжними , якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони є доповняльними півпрямими. На рисунку  α  і  β  — суміжні. </li></ul>Властивості суміжних кутів Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює  180 ° . Теорема 2. Коли два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні. Теорема 3. Кут, суміжний із прямим ­кутом, є прямий кут. Теорема 4. Кут, суміжний із гострим ­кутом, — тупий. Теорема 5. Кут, суміжний із тупим кутом, — гострий.
  19. 19. Вертикальні кути <ul><li>Два кути називаються  вертикальними , якщо сторони одного кута є доповняльними півпрямими сторін другого. </li></ul>Властивості вертикальних кутів Теорема 1. Вертикальні кути рівні. (Але не всі рівні кути вертикальні.) Теорема 2. Кути, вертикальні рівним, ­ рівні.
  20. 20. Кути, утворені при перетині прямих <ul><li>Внутрішні різносторонні: <1 і < 6, < 3 і < 8. </li></ul><ul><li>( <1 = < 6, < 3= < 8) </li></ul><ul><li>Внутрішні односторонні: <1 і < 8, < 3 і < 6. </li></ul><ul><li>( <1 + < 8=180 ° , < 3+ < 6=180 ° ) . </li></ul><ul><li>Відповідні: <1 і < 2, < 3 і < 4, < 5 і < 6, < 7 і < 8. </li></ul><ul><li>( <1 = < 2, < 3= < 4, < 5= < 6, < 7= < 8) </li></ul>
  21. 21. Кути в трикутнику <ul><li><1 , < 2, < 3 – внутрішні кути трикутника. </li></ul><ul><li><1 + < 2+ < 3=180 ° </li></ul><ul><li>< 4 – зовнішній кут трикутника при вершині А </li></ul><ul><li>< 4= <1 + < 2, < 4+ < 5+ < 6=360 ° . </li></ul>
  22. 22. Кути, вписані в коло <ul><li>Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається  плоским кутом . </li></ul><ul><li>Плоскі кути із спільними сторонами називаються доповняльними . Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими самими сторонами. </li></ul><ul><li>Центральним кутом  у колі називається плоский кут з вершиною у його центрі ­кола. Частина кола, розміщена всередині плоского кута, називається  дугою кола , що відповідає цьому центральному куту.  Градусною міроюдуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута. </li></ul><ul><li>Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається  вписаним у коло . Точки, у яких сторони вписаного кута перетинають коло, розбивають коло на дві дуги. </li></ul><ul><li>Центральний кут, що відповідає тій із цих дуг, що не містить вершину кута, називається  центральним кутом ,  який відповідає даному вписаному куту . </li></ul>
  23. 23. Центральний кут <ul><li>< АОС центральний; </li></ul><ul><li>точка 0 — центр кола; </li></ul><ul><li>AMC — дуга; ANC — дуга </li></ul>
  24. 24. Кути, вписані в коло <ul><li><ABC вписаний, спи­рається на дугу АКС (хорду АС); <AFC = <ABC (спираються на ту саму дугу); </li></ul>
  25. 25. Паралельні прямі <ul><li>Властивості паралельних прямих Теорема 1. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то: 1) внутрішні різносторонні кути рівні; 2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 ° ; 3) зовнішні різносторонні кути рівні; 4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює  180 ° ; 5) відповідні кути рівні. </li></ul>Теорема 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої. Теорема 3. Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній. Об’єднуючи це твердження з аксіомою IX, отримуємо: через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній, причому тільки одну.
  26. 26. Паралельні прямі <ul><li>Ознаки паралельності прямих Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б одна з таких умов: а) внутрішні різносторонні кути рівні; б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює  180 ° ; в) зовнішні різносторонні кути рівні; г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює  180 ° ; д) відповідні кути рівні,— то прямі паралельні. Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній. Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна одній. </li></ul>
  27. 27. Теорема Фалеса <ul><li>Теорема 1  Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні. </li></ul><ul><li>Теорема 2 (про пропорційні відрізки). Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки. </li></ul>Якщо А 1 В 1 А 2 В 2 А 3 В 3 ... і CA 1 = А 1 А 2 =А 2 А 3 =…, то СВ 1 =В 1 В 2 =В 2 В 3 =… Якщо m l k , то

×