Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
.
Практичне заняття 2
Градієнт функції
Завдання 2.1. Знайти проекції градієнта скалярного поля
в точці2
( , ) 2 3 1z x y x...
arcsin
2
x
z
x y


. Знайдемо лінії рівня: arcsin
2
x
C
x y


- сімейство ліній
рівня. Знайдемо лінію рівня, що проход...
Величина градієнта: 2 2 2
0( ) 6 ( 6) 6 6gradu M      3 .
Напрям градієнта:
6 1 6 1
cos ;cos ;
6 3 3 6 3 3
    ...
( ) 2 6 2 6
M MM
u u u
gradu M i j

 k i j k
x y z
 
    
  
 
.
   
( ) 3 6 9 6 18
M MM
v v v
gradv M i...
Таким чином, ( )
4 3 2
( )
2 2 3 2
gradv Aпр gradu A   .
Знайти точки, в яких градієнт функціїЗавдання 2.6.
1
ln( )z x
y...
2 2 2
3 3 3 4
1u x x y y z z x y z
l r r rr r r r
 
       2
r


.
Знайти найбільшу швидкість зростання поля
в ...
Відповідь: ( ) 6 4gradz M i j 
 
.
2. arcsin
x
z
x y


в точці (1;1).М
Відповідь.
1
( ) (
2 3
gradz M i j) 
 
.
...
3.
2
2 2 2 1 1 1
, 3 , ( ;
2 2 3
yz
u v x y z M
x
    ; ).
Відповідь.  .
Завдання 2.15. Знайти кут між градієнтами фу...
Відповідь. Точки які лежать на колі, 2 2 2
x y
3
  .
Завдання 2.21. Знайти похідну функції в точці2 2 2
ln( )u x y z  ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

практ.заняття 2 теорія поля

323 views

Published on

1

Published in: Technology
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

практ.заняття 2 теорія поля

  1. 1. . Практичне заняття 2 Градієнт функції Завдання 2.1. Знайти проекції градієнта скалярного поля в точці2 ( , ) 2 3 1z x y x xy y    (1,2)M . Розв’язання. Градієнт скалярного поля знаходиться за формулою: ( ) M M z z gradz M i j x y         . Частинні похідні M z x   і M z y   є проекції градієнта скалярного поля. Знайдемо їх: 2 2 ; z x y x     2; M z x     2 3; z x y      1 M z y    . Отже .( ) 2gradz M i j     Завдання 2.2. Для функції arcsin 2 x z x y   в точці  2,4А знайти та побудувати градієнт. Розв’язання. Знайдемо ( ) A A z z gradz A i j x y         .  2 2 ; 3 4 (2 ) z y x x xy y x y       1 ; 4 15A z x     2 2 ; 3 4 (2 ) z x y x xy y x y       1 ; 8 15A z y     Отже 1 1 ( ) 4 15 8 15 gradz A i j    . Вектор перпендикулярний до лінії рівня функціїgradz
  2. 2. arcsin 2 x z x y   . Знайдемо лінії рівня: arcsin 2 x C x y   - сімейство ліній рівня. Знайдемо лінію рівня, що проходить через точку 1 (2;4):arcsin , 4 A c 1 arcsin arcsin 2 4 x x y   , 1 (2 0, 2 ) 2 4 x x y y x y       x , 4 2x x y  , 2y x - пряма (рис. П2.1). Рис. П2.1 Завдання 2.3. Знайти величину і напрям градієнта скалярного поля в точці2 2 2 ( , , ) 2u x y z x y z xyz    0(1; 1;2)M  . Визначити: а) в яких точках простору Ox градієнт перпендикулярний до осі ;yz Ox б) в яких точках він дорівнює нулю. Розв'язання. Знайдемо частинні похідні , , u uu   x y z   і їх значення в точці 0M . 2 2 u ;x yz x     0 6; M u x    2 2 u y x y ;z     0 6; M u y     2 2z x  ; u y z   0 6 M u z    . Отже, 0 00 0( ) 6 6 6 M MM u u u gradu M i j k i j k x y z                   .
  3. 3. Величина градієнта: 2 2 2 0( ) 6 ( 6) 6 6gradu M      3 . Напрям градієнта: 6 1 6 1 cos ;cos ; 6 3 3 6 3 3        6 1 cos 6 3 3   В довільній точці ( ; ; )M x y z ( ) 2( ) 2( ) 2( )gradu M x yz i y xz j z xy k         . пендикул рний до осі , має рівну нулю першу координату, тому Вектор, який пер я Ox 2( ) 0x yz  . Таким чином, для всіх точок M , які леж на поверхні ,ать x yz gradu перпендикулярний осі Ох . Для того, щоб ( ) 0adu Mgr  необхідн 0, 0, 0 о, щоб x yz y xz z     xy 1(1;1 ( 1 (1;M M . Цій відповідають точки: . Таким чином, в цих точках до Завдання 2.4. 3найти кут між градієнтами скалярних полів 2 системі ( 1;1; 1); (0;M O 2 3 4); ;0);1); ; 1;1); 1; 1 0M    gradu рівнює нулю. 2 2 9 6y z  таu x 1 v xyz  в точці 1 1 1; ;  . 3 6  M    Розв’язання. Кут між градієнтами знаходимо за формулою: ( ) ( ) cos ( ) ( ) gradu M gradv M   gradu M gradv M  . Знайдемо градієнти скалярних полів   и М та :( )v M 2 ; 2; Mx x  u u x     2 1 ; 3 6; v v x xyz         Mx 18 ; 6; 2 1 ; 9 M v v y yxy z        M u u y y y       6; 12 ; 2 M u u z z z       6; 2 1 ; 18. M v v z zxyz        
  4. 4. ( ) 2 6 2 6 M MM u u u gradu M i j   k i j k x y z             .     ( ) 3 6 9 6 18 M MM v v v gradv M i j k i j x y z               k     . Знайдемо величини та :  ( )gradu M ( )gradv M 2 2 2 ( ) 2 6 (2 6) 8gradu M ,    2 2 2 ( ) ( 3 6) ( 9 6) ( 18) 12 6.gradv M        ( ) ( ) 2 ( 3 6) 6 ( 9 6) 2 6( 18) 96 6gradu M gradv M           . Отже 96 6 cos 1; 180 8 12 6          . 2.5. Знайти проекцію градієнта скалярного поля в точці Завдання 2 2 ln(2 )u x y  (2;1)A на градієнт скалярного поля в цій же то Розв’яза роекці знаходим : 2 2v x y  чці. ння. П ю ( )gradu A на ( )gradv A о за формулою ( ) (adu A) ( ) ( ) ( ) gradv A gr gradv A пр gradu A gradv A   . Знайдемо градієнти скалярних полів  и А та ( ):v A 2 2 ; ; 92 Ax xx y     4 8u x u  2; 2; A v v x x       2 2 2 ; 92 A u y u y yx y      2 ; 2 v v2 ; . A y y y        8 2 ( ) ; 9 9 gradu A i j      gr ( ) 2 2 .adv A i j  8 2 ( ) 4 2 ( 2) . 9 3 gradu A grad ( ) 9 v A       2 2 ( ) 2 ( 2) 2 2.gradv A    
  5. 5. Таким чином, ( ) 4 3 2 ( ) 2 2 3 2 gradv Aпр gradu A   . Знайти точки, в яких градієнт функціїЗавдання 2.6. 1 ln( )z x y   дорівнює 16 i j   . Розв ня 9 ’язан . Знайдемо градієнт функції :z 1 ; 1 ( z y z x xy y y y 1)x          . Отже, 1 1 ( 1) y gradz i j xy y xy       . За умовою 16 9 gradz i j    . Тобто, 1 1 1 ( 1) 9 y i j i xy y xy      6 j     . стему:Складемо си 1, 1 1 1 . ( 1) 9 y xy y xy         6  Розв’язавши цю систему, знайдемо шукані точки: 1 3 ( ; ) 3 4 A  , 7 3 ( ; ) 3 4 B  . Завдання 2.7. Знайти похідну функції 1 ,u r  де у2 напря Обчислимо градієнт згідно з формулою (1.5): 2 2 2 r x y z   мі її градієнта. Розв’язання. 3 3 3 x y z gradu i j k r r r     .    Звідси 2 2 2 6 2 1 ( ) x y z gradu M r r     . ні косинуси градієнта будуть мати вигляд:Напрям cos ;cos ;cos x y z r r r         . У цьому випадку:
  6. 6. 2 2 2 3 3 3 4 1u x x y y z z x y z l r r rr r r r          2 r   . Знайти найбільшу швидкість зростання поля в точці  Завдання 2.8. ( , , ) y u x y z x z  (2;2;4)M . Розв’язання. Найбільша швидкість зміни поля в даній точці визнач похідні значення в точці ається за формулою (1.6). Знайдемо частинні поля і їх  2; 2;М 4 : 1 ; 4;y M u u yx x x      ln ; 4ln ;yu u x x y y         2 M 1; 1. M u u z z         ( ) 4 4ln2gradu M i j k      . Шукана найбільша швидкість зростання поля: 2 2 2 . ( ) 4 (4ln2) ( 1 2 17 16ln 2. найб u gradu M l             екції градієнта в довіль- ній точці. Відповідь. 3 ) Завдання 2.9. 2 3 4 5 3z x y xy y   . Знайти про 3 2 2 (10 3 ) (5 9 4 )gradz xy y i x xy y j       . 2. 2 2 4z   x y . Знайти градієнт скалярного поля в точці (2;1).М Відповідь. 1 ( ) (2 3 gradz M i j)    . 3. 2 2 ( ) x W M 2 x y z    . Знайти градієнт поля в точці Вказівка. Скористатись формулою: ( )W M 0(1;2;2).М 2 1u grad v v  ( ). Відповідь vgradu ugradv : 1 (7 4 4 ) 81 gradW i j k      . Завдання 2.10. Знайти та побудувати градієнт: 1. в точці2 2 z x y   3;2М .
  7. 7. Відповідь: ( ) 6 4gradz M i j    . 2. arcsin x z x y   в точці (1;1).М Відповідь. 1 ( ) ( 2 3 gradz M i j)    . Завдання 2.11. Знайти величину і напрям градієнта скалярного поля у точці2 2 2 2 3 3 2 6u x y z xy x y z       (1;1;1).А Визначити: в яких точках в якій точці градієнт поля дорівнює нулю? просто адієнт перпендикулярнийру Oxyz гр до осі ;Oy Відповідь. (2 3) (4 2) (6 6) ;gradu x y i y x j z k           ( ) 6 3 ; ( ) 3 5;gradu A i j gradu A     2 1 1 5 5 x cos ;cos ;cos 0; ; 0 2 4 y gradu        у точці ( 2;1;1)M  . 2.12. В яких точках простору поля а) перпендикулярний до осі ює нулю? Відповідь. а) б) Завдання градієнтOxyz б) дорівн3 3 3 3 :u x y z xyz    Oz ; 2 ;z xy x y z  ). Завдання 2.13. 3найти найбільшу швидкість зростання поля в точці2 2 ln( 4 )u x y  (6;4;0).М Відповідь. Знайти між градієнтами скалярних полів таЗавдання 2.14. кут ( , , )u x y z ( , ,v x y )z у точціМ . 1. 2 2 2 , arcsin , (1;1; 7 x u x y z v M x y      ). 2. Відповідь.. 2 , 6 x x u  3 3 3 2 1 1 3 6 , ( 2; ; ). 2 2 3 v y z M yz    Відповідь. 3 4  .
  8. 8. 3. 2 2 2 2 1 1 1 , 3 , ( ; 2 2 3 yz u v x y z M x     ; ). Відповідь.  . Завдання 2.15. Знайти кут між градієнтами функції ln y z x  в точках 1 2 4     1 1 ;M   та 2(1;1).M Відповідь. 3 cos 10   . Завдання 2.16. Знайти кут між градієнтами скалярного поля 2 в точках2 2 2u x y z   1(2;3; 1)M  та 2(1; 1;2)M  . Відповідь. 4 cos 41    . Завдання йти проек градієнта ункції2.17. Зна цію ф 2 z 2 2 u x y  в точці 2 2 2; ) на гр ії( ; 3 3 M адієнт функц 2 2 23 2 2 2 x y v z   в цій же точці. Завдання 2.18. Знайти проекцію градієнта функції в точці Відповідь. 0. 2 2 u x y z  (1; 1;2)A  на градієнт функції 2 1 v x z y   в тій же точці. Відповідь. 16 3 2 . дання 2.19. Знайти кій градієнт фуЗав точку, в я нкції дорівнює . . ієнта функції 2 2 z xy y x   6 2i j   Відповідь. 2; 2М  Завдання 2.20. Знайти точки, в яких модуль град 2 2 3 2 ) дорівнює 2.(z x y 
  9. 9. Відповідь. Точки які лежать на колі, 2 2 2 x y 3   . Завдання 2.21. Знайти похідну функції в точці2 2 2 ln( )u x y z    2;2; 1А   за напрямом градієнта функції 2 2 2 2v x y z   в точці (4;2; 4).В  відВідпо ь Завдання 2.22. В яких точках 1,gradu  де 2 2 2 ln .u x y   z Точки сфери 2 2 2 1x y z  Відповідь. . : Практичне завдання№2 Номери: 2.13, 2.14, 2.21 РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З ОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003) ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ В Р

×