Вища математика

1. В даному документі наведено зразки виконання завдань
контрольної роботи. Завдання контрольної роботи розбиті на 2 рівні:
- базовий рівень, що відповідає оцінці «задовільно»,
складається з завдань 1, 3, 4, 7, 9, 10.
- поглиблений рівень, що відповідає оцінкам «добре» та
«відмінно»: складається з завдань 1, 3, 4, 7, 9, 10, а також треба
розв’язати завдання 2, 5, 6, 8.
Виконувати контрольну роботу слід за своїм варіантом (варіант
визначається за останньою цифрою номера у списку групи, ті студенти, чий
номер закінчуються цифрою 0, виконують 10-ий варіант).
Більш детальна інформація наведена в методичних рекомендаціях
щодо використання електронного курсу.
Розв’язання завдань базового рівня.
Завдання 1 (практичне заняття № 1).
Обчислити подвійний інтеграл
D
I xydxdy  , якщо область D
обмежена кривими 2 2
, 2 , 0.y x y x x   
Розв’язання.
Зобразимо область інтегрування і використаємо формулу
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
xb
D a x
f x y dxdy dx f x y dy


   , одержимо
2
2
2 2
2
221 1
0 0 2
x
x
D x x
y
xydxdy dx xydy x dx

  
   
 
   
   
1
1 122 4 2 3 2 7 2
0 0 0
4 4
2 2 2
2 3 7
x
x x dx x x x dx x x
              
 
4 4 7 3 16
4 .
3 7 21 21
 
    
 

2. Завдання 3 (практичне заняття № 3).
Знайти криволінійний інтеграл другого роду  
L
y x y dx xdy  , де L –
дуга параболи 2
2y x , яка обмежена точками A(0;0) та B(1;2).
Розв’язання.
Згідно з формулою
            , , , , .
b
AB a
P x y dx Q x y dy P x g x Q x g x g x dx   
маємо
      
1 1
2 2 3 4 2
L 0 0
31
y x-y 2 2 4 2 4 4 .
30
dx xdy x x x x x dx x x x dx          
Завдання 4 (практичне заняття № 4-6).
Знайти область збіжності степеневого ряду 



1
2
)3(
n
n
n
x
Розв’язання.
Скористаємось ознакою Д'Аламбера. Для даного ряду маємо
2
1
12
)1(
3
,
3







n
x
u
n
x
u
n
n
n
n
|3|
)1(
lim|3|
|3|)1(
|3|
limlim 2
2
2
21
1











x
n
n
x
xn
nx
u
u
nn
n
n
n
n
n
За ознакою Д'Аламбера ряд буде абсолютно збіжним, якщо 13 x
звідки 24,131  xабоx . Таким чином, (-4;-2) — інтервал
збіжності даного ряду і 1R — його радіус збіжності.
1
1
2
xy 
2
2 xy 

3. Дослідимо збіжність цього ряду на кінцях інтервалу збіжності.
При х = -4 маємо ряд
,
)1()34(
1
2
1
2 







n
n
n
n
nn
який є збіжним за ознакою Лейбніца.
При х = -2 дістаємо узагальнений гармонічний ряд







1
2
1
2
1)32(
nn
n
nn
який також збіжний ( 12 p ). Отже, областю збіжності даного ряду є
відрізок [-4; -2].
Завдання 7 (практичне заняття № 8).
а) Обчислити комплексне число, записати його у алгебраїчній формі та
зобразити геометрично; б) знайти всі корені рівняння.
а)  20
22 i ; б) 0222
 zz .
Розв’язання.
а) ,
4
sin
4
cos222,
4
,222 










 





 


 iii
  .2
4
20
sin
4
20
cos222 202020








ii
б) Обчислимо дискримінант рівняння: 424)2( 2
D . За
формулою коренів квадратного рівняння маємо
iz 



 111
2
122
2
42
2,1 . Таким чином iz 11 та iz 11 .
Помітимо, що ці корені спряжені.
Завдання 9 (практичне заняття № 8).
Завдання 10 (практичне заняття 16).
Знайти розв’язок рівняння t
texxx 
 2 при початкових умовах
  ,10 x   .10 x

4. Розв’язання. Нехай    .pXtx  Тоді   ,1 pXtx   .12
 pXptx
Оскільки
 
,
1
1
2


p
te t
то операторне рівняння має вигляд
 
 2
2
1
1
312


p
pXpp .
Звідси
   42
1
1
1
3





pp
p
X ,
або
   42
1
1
1
2
1
1






ppp
X .
За таблицями зображень маємо
  .
!3
1
2 3 ttt
etteetx 

Розв’язання завдань поглибленого рівня
Поглиблений рівень, що відповідає оцінкам «добре» та «відмінно»:
складається з завдань 1, 3, 4, 7, 9, 10, що входять до базового рівня, та
завдань 2, 5, 6, 8.
Завдання 1 Див. базовий рівень.
Завдання 2 (практичне заняття № 2).
Обчислення потрійного інтеграла за допомогою переходу до
циліндричних координат.
Обчислити інтеграл 2
(( ) )
G
I x y z dxdydz   ,
якщо область V обмежена поверхнями z=0 і 2 2 2
( 1)z x y   .
Розв’язання.
Область V є конусом (рис. 3).

5. Рис. 3
Рівняння конічної поверхні, що обмежує область V, можна записати у
вигляді 2 2
1z x y   , а саму область V подати таким чином:
 2 2
( , , ):( , ) ,0 1x y z x D xV y z y      ,
де D – круг радіуса 1 із центром O(0,0). Тому цей потрійний інтеграл
можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у
прямокутних координатах:
2 22
2
111
2
1 01
(( ) )
x yx
x
I dx dy x y z dz
 
  
     .
Проте зручніше перейти до циліндричних координат
( , , ): cos , sin ,z x y z z         . Тоді прообразом круга D є прямокутник
 ( , ):0 1,0 2         , прообразом конічної поверхні – плоска поверхня
1z  , а прообразом області V – область V*
. Якобіан переходу до
циліндричних координат дорівнює  , підінтегральна функція в
циліндричних координатах дорівнює 2
(1 sin2 ) z    . Зводячи потрійний
інтеграл за областю V*
до послідовного обчислення трьох визначних
інтегралів, отримаємо
12 1
2 2
* 0 0 0
( (1 sin2 ) ) ( (1 sin2 ) )
V
I z d d dz d d z dz

                   
2 21
3 2
0 0 0
1 1 1
( (1 )(1 sin2 ) (1 ) ) ( (1 sin2 ) ) .
2 20 24 60
d d d
 

                 

6. Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних
координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область V*
, а зміну
циліндричних координат в області V. Наочно бачимо, що в області D змінна
 змінюється від 0 до 2, при кожному значенні  змінна  змінюється від
0 до 1, а для кожної точки ( , )  області D змінна z змінюється в області V від
0 (значення z в області D) до 2 2
1 1x y    (значення z на конічній
поверхні).
Обчислення потрійного інтеграла за допомогою переходу до
сферичних координат.
Обчислити інтеграл 2 2 2
( ) ,
V
x y z dxdydz  де V – куля
2 2 2 2
x y z R   (рис. 4).
Рис. 5
Розв’язання.
У даному випадку зручніше перейти до сферичних координат:
sin cos , sin sin , cos .x y z          

7. Із рис. 5 випливає, що координати , ,   змінюються в таких
межах:  від 0 до R,  від 0 до  ,  від 0 до 2. Оскільки підінтегральна
функція 2 2 2 2
,x y z    то маємо
2
2 2 2 2 2
0 0 0
( ) sin
R
G
x y z dxdydz d d d
 
            
2
4 4
0 0 0 0 0
sin 2 sin
R R
d d d d d
 
                
5 5
4
0
4
4 4 .
05 5
R R R
d
 
      
Завдання 3. Див. базовий рівень.
Завдання 4. Див. базовий рівень.
Завдання 5 (практичне заняття № 6).
Обчислити приблизно з точністю до 0,0001 

1
0
dxex x
Розв’язання:
"Точне" інтегрування за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.
Замінимо x на  x в розкладанні в ряд Маклорена, одержимо
   


!
1
!2
1
2
n
xx
xe
nn
x
.
Тому
   




!
1 2
1
2
3
2
1
2
1
n
x
xxexex
nn
xx
.
Після по членного інтегрування в інтервалі  1;0 , що належить
інтервалу збіжності ряду   ; , одержимо
  

 



1
0
2
1
1
0
2
31
0
2
11
0 !
1
dx
n
x
dxxdxxdxex
nn
x

8.  
 















!32
21
5
2
3
2
!
2
3
)1(
5
2
3
2
1
0
2
31
0
2
51
0
2
3
nnn
x
n
xx
nn
n
 00018,000128,000758,003704,014286,040000,066667,0
3790,037897,0  .
Завдання 6 (практичне заняття № 7).
Розкласти в ряд Фур’є функцію







.0,1
,0,1
)(


x
x
xf
Розв’язання. Функція непарна, тому вона розкладається в ряд Фур’є за
синусами. Знаходимо коефіцієнти n
b :
))1(1(
2
)1)1((
2
)0cos)(cos(
2
0
)cos(
2
)sin(
2
)sin()(
2
00
nn
n
nn
n
n
nx
n
dxnxdxnxxfb

 






Отже, 



1
)sin())1(1(
2
)(
n
n
nx
n
xf

.
Завдання 7. Див. базовий рівень.
Завдання 8. (практичне заняття 9-13).
Обчислити інтеграл за допомогою лишків 
2z
tgzdz .
Розв’язання.
В області 2z підінтегральна функція аналітична всюди, крім точок
2

z і ,
2

z які є простими полюсами. Особливі точки
,
2


kzk  ,...1k не належить цій області. Тому













 





 

2z 2
resf
2
resfi2tgzdz .
Маємо

9.  
,1
cos
sin
2
2










z
z
z
resf
 
.1
cos
sin
2
2









 

z
z
z
resf
Таким чином, 


2
.4
z
itgzdz 
Завдання 9. Див. базовий рівень.
Завдання 10. Див. базовий рівень.