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第三章 三角函數的性質與應用§3−1      三  角  函  數  的   圖   形(甲)弧度制               ~3−1−1~
我們觀察量角器,發現整個半圓分成 180 等分,1 等分所對應的角度大小就定義成 1 度。這種定義方式是人為的,就像重量的單位有公斤、磅、台斤等,有時候是某些習慣用法或歷史上的因素,同理,我們對於角度的大小也可以定義不同的     度   量 ...
1 弧 度 =() ° 約 等 於 57.2958 ° (57 ° 17 / 45 // ) , 注 意 弧 度 可 以 省 略 。 即 1=() °注                                      意       ...
1. 完成下表中的角度單位的互換:              ~3−1−4~
~3−1−5~
2. 在 直 角 坐 標 上 , (cos4 , tan6) 所 表 的 點 P 在 那 一 個 象 限 ?              Ans:第三象限          3. 下                列            最  ...
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5. 一直圓錐面底之半徑為 3,高為 4,若將此直圓錐沿一斜高剪開成一扇 形, 則中心角為            弧度。 Ans: 6. 有 一 個 輪 子 , 半 徑 50 公 分 , 讓 它 在 地 上 滾 動 200 公 分 的 長 度 ...
13. 如 圖 的 直 圓 錐 , AB = 12 , BC = 6 , AD = 4 ,               若               C               處       有       一       隻     ...
(1)正弦、餘弦、正割、餘割函數的週期為 2π。正切、餘切函數的週期為。。      (2) 設       F   表    sin , cos , sec , csc             中 某 一 個 函 數 ,      則 (a)...
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結                                            論                                               :正         弦           函     ...
(b)           餘               弦                函   y            數               的                  圖                形     ...
結                                                          論正     切    函       數       圖       形      的   特     色      :(a...
(c)   圖       形       在       x=        +kπ(k       為        整       數     )      處        不           連       續   。(d)   ...
(c)   圖   形       在        x=kπ(k           為        整        數          )       處       不       連   續    。(d)   圖   形    ...
(f)       餘           割           函        數             的                圖           形        :結                         ...
7. 【平移法作圖問題【作 y=sin(x+θ)+b 的圖形】  Step1:先作基本圖形 y=sinx  Step2:上下平移 b 單位 Step3:左右平移:單位  試利用正弦函數 y=sinx 的圖形,描繪下列各三角函數的圖形。  (1)...
yy                              11  8. 【伸縮法作圖問題【作 y=a sinkx 的圖形】                       ππ                         3π      ...
yy                                     11      9. 若 sinx≤且且2π≤x≤2π,求 x 的範圍。π Ans::x≤或或x≤                          ππ      ...
12. 請描繪 y=|tanx|的圖形。                                y                   −π               π       π      3π   2π           ...
22. 請 繪 出 y=sin|x| 的 圖 形 , 並 請 問 它 是 否 為 週 期 函 數 ? Ans : 否                                                      :         ...
綜合練習(1) 下列敘述何者正確?   (A)sin9.8>0 (B)sin9.8=sin(3π−9.8) (C)sec 無意義 (D)(csc2,cot2)在第四象限   (E)cos(α−π)=cosα。(2) 下列那些值是有意義的?   ...
(8) 正方形 ABCD 邊長為 2,分別以 A,B,C 為圓心,2 為半徑,在正方形內部作     三個圓弧如下圖,則     (a)與兩弧圍成眼形區域面積為=     。     (b),與圍成區或面積為=     。 (9) 有一圓形紙片...
(19) 若 sinx≥ 且 0≤x≤2π,求 x 的範圍。                                    進階問題 (20) 如圖的直圓錐,底半徑 4,高 8,試求:      (a)直圓錐之側表面積為多少?     ...
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3 1三角函數圖形

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3 1三角函數圖形

  1. 1. 第三章 三角函數的性質與應用§3−1 三 角 函 數 的 圖 形(甲)弧度制 ~3−1−1~
  2. 2. 我們觀察量角器,發現整個半圓分成 180 等分,1 等分所對應的角度大小就定義成 1 度。這種定義方式是人為的,就像重量的單位有公斤、磅、台斤等,有時候是某些習慣用法或歷史上的因素,同理,我們對於角度的大小也可以定義不同的 度 量 的 單 位 , 去 表 示 角 度 的 大 小 。 Q 2r[ 觀 察 Q/ ] : r θ° O P P/ 觀察上圖,計算 P / Q / 的弧長= ×2πr=,PQ 的弧長= ×4πr=,觀察這個結果可以發現 P / Q / 的弧長:PQ 的弧長=1:2=r:2r,因此只要圓心角固定,弧長與半徑的比值是一個定值。數學上就利用這個定值來定義角度,這個比值本身是一個實數,有別於用特定的單位去定義角度,也因此能將三角函數視為定義在實數或實數的子集合上的函數,對於後續的應用與理論的發展有很重要的影響。(1) 弧 度 的 定 義 :設 有 一 圓 , 圓 心 為 O , 半 徑 為 r 。 在 圓 周 上 取 一 段 圓 弧 ,Q使 得 圓 弧 的 長 度 等 於 r , 規 定 這 一 段 圓 弧 所 對 的 1 弧度圓 心 角 圓 POQ 就 定 義 成 1 弧 度 。 符 號 : 。 POQ=1 弧 度 =1 弳 =1 。 O P 當 的 長 度 為 r 時 , 就 說 時 POQ =1 弧 度 。 當 的 長 度 為 2r 時 , 就 說 時 POQ =_________ 弧 度 。 當 的 長 度 為 3r 時 , 就 說 時 POQ =_________ 弧 度 。 當 的 長 度 為 xr 時 就 說 就 POQ =_________ 弧 度 。由此可得:半圓的周長為由r,是半徑 r 的的倍,所以半圓的圓周角為倍 弧度,又半圓的圓周角也是 180 度(以國中所學““ ”度為單位)。所以用 180 度與度弧度所代表的角度大小都是一樣的。這個情形就好像重量單位中,1 磅與 0.454 公斤所代表 的 重 量 是 相 同 的 。(2) 度 與 弧 度 之 互 換 :設 x 弧 度 相 當 於 y ° , 因 為 , 弧 度 相 當 於 180 ° , 所 以 = 。1°= 弧 度 約 等 於 0.01745 弧 度 ~3−1−2~
  3. 3. 1 弧 度 =() ° 約 等 於 57.2958 ° (57 ° 17 / 45 // ) , 注 意 弧 度 可 以 省 略 。 即 1=() °注 意 :(a)π不論用在什麼場合,始終要堅持其近似值為 3.1416,當,用在角度時,由於 是 省 略 弧 度 , 才 會 變 成 180° , 也 就 是 , 弧 度 ≒ 3.1416( 弧 度 ) ≒ 3.1416 ×(1 弧 度 ) ≒ 3.1416 ×(57°17 / 45 // )=180° 例 如 : 例 如 表 3.1416°⇒π° 小 於 一 直 角 。 但 小 ( 單 位 故 意 不 寫 ) 表 180° 。 π°≠π 弧 度 。 書寫上,如果一個數字沒有加度或書,我們都視為是弧度,即 x ° ≠x 因此在角 度 符 號 上 的 使 用 要 特 別 注 意 。(b)  度 化 弧 度 度 去 度 “ “ ” , 乘 以 即 可 。 弧 度 化 度 弧 乘(c) 象 限 角 的 情 形度度量 弧度制 弧度制的近似值 1. 將下列各度數化為弧度: (1)60° (2)(45.6)° (3)42°24/36// Ans:(1) (2) (3) 2. 將下列各弧度化為度數: (1) (2)−2(弧度) (3) Ans:(1)150° (2) − (3)30°+ Q ~3−1−3~ 1 弧度 O P
  4. 4. 1. 完成下表中的角度單位的互換: ~3−1−4~
  5. 5. ~3−1−5~
  6. 6. 2. 在 直 角 坐 標 上 , (cos4 , tan6) 所 表 的 點 P 在 那 一 個 象 限 ? Ans:第三象限 3. 下 列 最 大 的 數 為 ? (A) sin1 (B) sin2 (C) sin3 (D) sin4 (E) sin5。(大同課本習題) Ans:(B) 4. 寫出下列各角的最小正同界角 (1)50(2)−60Ans:(1)50−14π (2)20π −60 5. 請 問 下 列 關 係 何 者 正 確 ? (A)sin(180−θ)=sinθ(B)cos(π−θ)=−cosθ (C)sin(θ+)=cosθ (D)tan(θ+π)=tanθ(E)sin(θ+360)=sinθ。Asns:(B)(C)(D)(3) 扇 形 的 弧 長 與 面 積 :(a) 弧 長 公 式 與 扇 形 面 積 公 式 : 若 設 有 一 圓 O , 其 半 徑 為 r , 扇 形 OPQ 中 的 圓 心 角 中 POQ 為 為 ( 弧 度 ) , 則 則 的 弧 長 s=⋅r⋅θ  扇 形 OPQ 的 面 積 A=r 2 θ =r⋅s 注 意 : 單 位 是 弧 度 , 而 不 是 度 證 明 : ~3−1−6~
  7. 7. Q P O π例 如 : 有 一 扇 形 , 其 半 徑 為 15 公 分 , 圓 心 角 為 3 , 試 求 面 積 與 其 弧 長 。 π π解答:弧長=15⋅ 3 =5⋅π(約 15.7 公分) 面積=(15) 2 ⋅ 3 =(約 117.81 公分)結 論 : 半 徑 為 r , 中 心 角 為 , 弧 度 之 扇 形 (POQ)  弧 長 L=r⋅θ  周 長 =2⋅r+r⋅θ 面積=⋅r 2 ⋅θ =⋅r⋅L 3. 下列各圖中, =10cm,求斜線部分的面積。 (1)分別以正△ABC 的三個頂點 A,B,C 為圓心,以其邊長為半徑, 各作一圓的相交部分。 (2)分別以 A,B 為圓心,以 AB 為半徑所作的兩個圓的相交部分。 Ans:(1)50π−50 (2)−50 4. 有一輪子直徑為 30 公分,讓它在地上自 A 點逆時針滾動 20⋅π公分的長 度,問輪子繞軸轉動幾度?問此時 A 點離地面幾公分? Ans:,15(1+)公分 ~3−1−7~
  8. 8. 5. 一直圓錐面底之半徑為 3,高為 4,若將此直圓錐沿一斜高剪開成一扇 形, 則中心角為 弧度。 Ans: 6. 有 一 個 輪 子 , 半 徑 50 公 分 , 讓 它 在 地 上 滾 動 200 公 分 的 長 度 , 問輪子繞軸轉動 度。(度以下四捨五入) (88 學 科 ) Ans:229° 7. 有 一 扇 形 的 面 積 為 1 , 弧 長 為 2 , 則 此 扇 形 所 對 的 圓 心 角 為 弧度。 Ans:2 8. 如 圖 , 有 一 輪 子 , 直 徑   80   公 分 , 外 接 於 一 正 △ ABC , 切地面於 A。讓它向右滾動,則於下一次平行地面時, 輪 子 繞 軸 轉 動 了 【   】 弧 度 , 此時輪子向右滾動了【  】公分。Ans::,40π 9. 若 一 扇 形 周 長 等 於 所 在 圓 的 周 長 , 則 扇 形 的 中 心 角 為 。 Ans:2π−2 10. 半 徑 為 1 的 三 個 圓 互 相 外 切 , 則 此 三 圓 間 所 圍 成 的 面 積 為 。 Ans : : 11. 如右上圖,圓 C 的圓心為 O,半徑為 1,∠AOB=60°,則陰影部分 π 3 的面積為      。Ans: 6 - 4 12. 一直圓錐面底之半徑為 5,高為 12,若將此直圓錐沿一斜高剪開成 一扇形,則中心角為 弧度。 Ans: ~3−1−8~
  9. 9. 13. 如 圖 的 直 圓 錐 , AB = 12 , BC = 6 , AD = 4 , 若   C   處 有 一 隻 螞 蟻 , 則 : (1) 繞 一 圈 又 回 到   C   的 最 短 路 線 長 為 【     】 。 (2) 繞 一 圈 至   D   的 最 短 路 線 長 為 【     】 。 Ans:(1)12(2)4       (乙)三角函數的圖形(1) 週 期 函 數 :定義 :一函數 y=f(x) 的圖形,若每隔一固定單位長都一樣,即可以找到固定的 正 數 正 , 使 得 對 於 每 個 定 義 域 中 的 元 素 x , f(x+α)=f(x) , 我 們 就 稱 這 個 函 數 f(x) 為 一 個 週 期 函 數 。 如 果 又 可 以 找 到 滿 足 上 述 性 質 的 最 小 正 數 p , 稱 p 為 週 期 函 數 f(x) 的 週 期 。例 如 :f(x)=sinx 因 為 sin(x+2kπ)=sinx , 即 a=2kπ , 當 k=1 時 , p=2π 最 小 。因 此 f(x)=sinx 為 週 期 函 數 且 週 期 為 2π 。f(x)=tanx 因 為 tan(x+kπ)=tanx , 即 a=kπ , 當 k=1 時 , p=π 最 小 。因 此 f(x)=tanx 為 週 期 函 數 且 週 期 為 為 。 6. 求下列各三角函數的週期: (1)f(x)=sin2x (2)f(x)=2−tan3x (3)f(x)=|sinx| Ans:(1)π (2) (3)π結論: ~3−1−9~
  10. 10. (1)正弦、餘弦、正割、餘割函數的週期為 2π。正切、餘切函數的週期為。。 (2) 設 F 表 sin , cos , sec , csc 中 某 一 個 函 數 , 則 (a) 形 如 aF(kx+b)+c 的 函 數 週 期 為 , 其 中 a,b,c 為 實 數 , k 為 正 實 數 。 (b) 形 如 |F(kx+b)| 的 函 數 週 期 為 。 (3) 設 F 表 , cot 中 之 某 一 個 函 數 , tanθ π 則 (a) 形 如 aF(kx+b)+c 的 週 期 為 k , 其 中 a,b,c 為 實 數 , k 為 正 實 數 。 (b)形如|F(kx+b)|的函數週期為。(2) 三 角 函 數 的 圖 形 :我們知道廣義角的三角函數是一個角對應到一個數的函數,例如 sinA 正弦函數是一個把角 A 對應到 sinA 的函數。在前一段中,介紹了角的另一個單位:弧度,而且還強調角度為 x 弧度時可以把單位省略不寫。對於任一個實數 x,必有一個實數x,必有一個 x 弧度的角與它對應,因此,我們可以從另一個角度來看三角函數,我們可將三角函數看成把實數對應到實數的函數。換句話說,對於任意實數 x,我們先取 x 弧度的角,然後再考慮此角的三角函數值,例如 sin2 是代表 2 弧度角的正弦函數值;對於實數而言, sin 是代表弧度角,即 30 ° 角的正弦函數值,所以sin= 。(a) 正 弦 函 數 的 圖 形 :( 法 一 ) 描 點 法 :描繪函數圖形最直接的方法就是描點法:先求出某些特殊的 x 值所對應的 sinx 值,並 列 表 如 下 : ~3−1−10~
  11. 11. x … 0 … sinx … 0 1 …再依此標出圖形上的點,然後用平滑曲線將這些線連結起來。( 法 二 ) 利 用 廣 義 角 之 正 弦 值 作 圖 : y軸以 座 標 原 點 為 圓 心 作 一 個 單 位 圓 , 對 於 任 一 個 有 向 角 以 ,假 設 此 角 度 的 終 邊 為 OP , 其 中 P 在 圓 上 , 則 P 點 的 縱 座 標 為 sinθ , P P/ M θ因 此 若 過 (θ,0) 點 且 垂 直 於 x 軸 的 直 線 L 與 過 P 點 且 平 行 x 軸 的 x軸直 線 M 相 交 於 P/ , 則 P/ 的 座 標 為 (θ,sinθ) ,因 此 P/ 點 在 y=sinx 的 函 數 圖 形 上 。 L根 據 前 面 兩 個 方 法 可 得 正 弦 函 數 的 圖 形 :正 弦 函 數 y=sinx 之 作 圖 法Step1 : 描 點 點 五 點 法 描 點 ( 即 x=0,,π,,2π)Step2 : 作 圖 圖 描 點 於 坐 標 系 中 ( 橫 軸 表 角 度 , 縱 軸 表 函 數 值 )Step3:複製製週期為 2π,故沿 x 軸向左,右兩邊,每隔 2π單位,重複描出相 同 之 圖 形 , 即 得 y=sinx 全 部 圖 形 。 y 1 x O π 2π −1 y y=sinx 1 x −π O 2π π −1 ~3−1−11~
  12. 12. 結 論 :正 弦 函 數 圖 形 的 特 色(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 (nπ,0) , 圖 形 的 對 稱 軸 為 x= +kπ , k 為 整 數 。(b) 圖 形 與 x 軸 的 交 點 (nπ,0) , 圖 形 與 y 軸 的 交 點 (0,0) 。(c) 正 弦 函 數 y=sinx 的 週 期 為 2π 。(d) 正 弦 函 數 y=sinx 的 振 幅 為 1正 弦 函 數 的 特 色(a) 正 弦 函 數 y=sinx 的 定 義 域 為 R 。(b)正弦函數 y=sinx 的值域為{y | −1≤y≤1},即,1≤sinx≤1,最大值=1,最小值=−1 。(c) 正 弦 函 數 y=sinx 為 奇 函 數 。 即 sin(−x)=−sinx 。 ~3−1−12~
  13. 13. (b) 餘 弦 函 y 數 的 圖 形 1 π x −π O π 3π 2π 2 2 2 −1 y=cosx y 1 π x − O π π y=sinx 3π 2π 2 2 2 − 1 y=cosx結 論 :餘 弦 函 數 圖 形 的 特 色(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 ( +kπ,0) , 圖 形 的 對 稱 軸 為 x=nπ , n 為 整 數 。(b) 圖 形 與 x 軸 的 交 點 ( +kπ,0) , 圖 形 與 y 軸 的 交 點 (0,1) 。(c) 餘 弦 函 數 y=cosx 的 週 期 為 2π 。(d) 餘 弦 函 數 y=cosx 的 振 幅 為 1(e)y=cosx 的 圖 形 是 由 y=sinx 的 圖 形 向 左 平 移 單 位 所 成 的 圖 形 。餘 弦 函 數 的 特 色(a) 餘 弦 函 數 y=cosx 的 定 義 域 為 R 。(b)餘弦函數 y=cosx 的值域為{y | −1≤y≤1},即,1≤sinx≤1,最大值=1,最小值=−1 。(c) 餘 弦 函 數 y=cosx 為 偶 函 數 。 即 cos(−x)=cosx 。(c) 正 切 函 數 的 圖 形 : ~3−1−13~
  14. 14. 結 論正 切 函 數 圖 形 的 特 色 :(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 (nπ,0) 。(b)圖形與 x 軸的交點(nπ,0),圖形與 y 軸的交點(0,0)。 ~3−1−14~
  15. 15. (c) 圖 形 在 x= +kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。(d) 圖 形 的 漸 近 線 : x= +kπ , k 為 整 數 。正 切 函 數 的 特 色 :(a) 正 切 函 數 y=tanx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ+, k 為 整 數 , x∈R} 。(b) 正 切 函 數 y=tanx 的 值 域 為 R 。(c) 正 切 函 數 y=tanx 的 週 期 為 的 。(d) 正 切 函 數 y=tanx 為 奇 函 數 。 即 tan(−x)=−tanx 。(d) 餘 切 函 數 的 圖 形 :結 論餘 切 函 數 圖 形 的 特 色 :(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 ( +kπ,0) 。 (k 為 整 數 )(b)圖形與 x 軸的交點( +kπ,0)(k 為整數)。 ~3−1−15~
  16. 16. (c) 圖 形 在 x=kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。(d) 圖 形 的 漸 近 線 : x=kπ , k 為 整 數 。餘 切 函 數 的 特 色 :(a) 餘 切 函 數 y=cotx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ, k 為 整 數 , x∈R} 。(b) 餘 切 函 數 y=cotx 的 值 域 為 R 。(c) 餘 切 函 數 y=cotx 的 週 期 為 的 。(d) 餘 切 函 數 y=cotx 為 奇 函 數 。 即 cot(−x)=−cotx 。(e) 正 割 函 數 的 圖 形 :結 論 :正 割 函 數 圖 形 的 特 色(a) 圖 形 的 對 稱 軸 為 x=nπ , n 為 整 數 。(b) 圖 形 的 漸 近 線 : x= +kπ , k 為 整 數 。(c) 圖 形 在 x= +kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。(d) 正 割 函 數 y=secx 的 週 期 為 2π 。正 割 函 數 的 特 色(a) 正 割 函 數 y=secx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ+, k 為 整 數 , x∈R} 。(b) 正 割 函 數 y=secx 的 值 域 為 {y | y≥1 或 y≤−1} 。 |secx|≥1(c) 正 割 函 數 y=secx 為 偶 函 數 。 即 sec(−x)=secx 。 ~3−1−16~
  17. 17. (f) 餘 割 函 數 的 圖 形 :結 論 :餘 割 函 數 圖 形 的 特 色(a) 圖 形 的 對 稱 軸 為 , x= +kπ , k 為 整 數 。(b) 圖 形 的 漸 近 線 : x=kπ , k 為 整 數 。(c) 圖 形 在 x=kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。(d) 正 割 函 數 y=cscx 的 週 期 為 2π 。餘 割 函 數 的 特 色(a) 正 割 函 數 y=cscx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ, k 為 整 數 , x∈R} 。(b) 正 割 函 數 y=cscx 的 值 域 為 {y | y≥1 或 y≤−1} 。 |cscx|≥1(c) 正 割 函 數 y=cscx 為 奇 函 數 。 即 csc(−x)=−cscx 。 ~3−1−17~
  18. 18. 7. 【平移法作圖問題【作 y=sin(x+θ)+b 的圖形】 Step1:先作基本圖形 y=sinx Step2:上下平移 b 單位 Step3:左右平移:單位 試利用正弦函數 y=sinx 的圖形,描繪下列各三角函數的圖形。 (1)y=sinx+1 (2)y=sin(x−) (3)y=sin(x+)−2 ~3−1−18~
  19. 19. yy 11 8. 【伸縮法作圖問題【作 y=a sinkx 的圖形】 ππ 3π xx−5π −5π −3π −3π −π −π ππ 3π 5π 5π −2π −2π −− 2 O O 2π 2π 22 22 2 22 ππ 22 22 Step1:先作基本圖形 y=sinx −1 −1 Step2:y=sinx 上每一點的縱坐標乘以 a (a>0) Step3:每一點的橫坐標乘以 。 試利用正弦函數 y=sinx 的圖形,描繪下列各三角函數的圖形。 (1)y=2sinx (2)y=sin3x (3)y=3sin2x y 1 π x−5π −3π −π π 3π 5π −2π −2 O 2π 2 2 2 π 2 2 −1 ~3−1−19~
  20. 20. yy 11 9. 若 sinx≤且且2π≤x≤2π,求 x 的範圍。π Ans::x≤或或x≤ ππ xx−5π −2π −5π −2π −3π −3π −π −π π 3π3π 5π5π −2 2 − OO y 2π 2π 22 22 22 ππ 22 22 −1 −1 1 π x −5π −3π −π π 3π 5π −2π −2 O 2π 2 2 2 π 2 2 −1 10. 試繪出函數 f(x)=sinx−|sinx|, y 1 π x−5π −3π −π π 3π 5π −2π −2 O 2π 2 2 2 π 2 2 −1 11. 求方程式 10sinx=x 有幾個實數解?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 個。 Ans:(D) ~3−1−20~
  21. 21. 12. 請描繪 y=|tanx|的圖形。 y −π π π 3π 2π O x 2 2 2 π 14. 試 作   y = sin(x + 4) 之 圖 形 , 並 說 明 與   y = sinx   的 圖 形 間 的 關 係 。 Ans : 【 作 法 】 y = sin(x + ) 的 圖 形 , 係將 y=sinx 的圖形沿著 x 軸方向向左平行移動單位。 π 15. 把函數 y=cosx 圖形向右平移 6 單位,成為函數      之圖形, 1 接 著 向 上 平 移 2單 位 , 成 為 函 數           之 圖 形 。 π π 1 Ans:(1) y=cos(x- 6 )(2) y=cos(x- 6 )+ 2 16. 若 sinx≤ 且 0≤x≤2π,試求 x 的範圍。 Ans::x≤ 17. 請求出函數 y=3sec(+8)−12 的週期與振幅。 Ans:週期=8π,振幅=3 18. 請繪出函數 f(x)=cosx+|cosx|,並求出它的週期。 Ans:2π 19. 請繪出 y=|cosx|的圖形,並求出它的週期。 Ans:: 20. 求方程式 tanx=−x 在在a <x<π間解的個數。Ans:3 21. 請問 sinx=log 10 x 之實數解有多少個? Ans:3 ~3−1−21~
  22. 22. 22. 請 繪 出 y=sin|x| 的 圖 形 , 並 請 問 它 是 否 為 週 期 函 數 ? Ans : 否 : 8 6 4 2 -1 0 1 -5 5 10 -2 2 -4 4 -6 6 -8 8 ~3−1−22~
  23. 23. 綜合練習(1) 下列敘述何者正確? (A)sin9.8>0 (B)sin9.8=sin(3π−9.8) (C)sec 無意義 (D)(csc2,cot2)在第四象限 (E)cos(α−π)=cosα。(2) 下列那些值是有意義的? (A)sin90 (B)tan90 (C)sec (D)cos100° (E)cos100。(3) 設 a=sin1,b=sin2,c=sin3,d=cos4,e=cos5 請比較 a,b,c,d,e 的大小。 B(4) 小萍拿一個周長為 60 公分的輪子在地上滾動, 它共滾動了 1 公尺 20 公分的長度,設輪子繞軸滾動 O 了了,求,=? D(5) 如下圖所示,每個小方格的邊長為 1,圓 O 的圓心為 O, t 半徑為;AC 與 BD 均為圓 O 的切線,切點分別為 C A C 點與 D 點。 (a)試求試COD 。 (b)求線段、圓弧及線段的長度和。 (88 社)(6) 兩 條公 路 k 及 m ,如 果 筆 直延 伸 將 交會 於 C 處 成 6 0 °夾 角, 如圖 所示 。 為 銜接 此二 公路 ,規 劃在 兩公 路各 距 C 處 4 5 0 公尺 的 A 、 兩點 間開 拓 B C 成 圓弧 型公 路, 使 k , m 分 別在 A , B 與此 圓弧 相 切 , 60 則 此圓 弧長 = 公 尺。 (9 0 學科 ) ( 公尺 以下 四捨 五入 ) 【 3 ≈ 1.732 π ≈ 3.142 】 , A B k k(7) 設一扇形之周長為 10,則此扇形面積最大為何?此時中心角為何? ~3−1−23~
  24. 24. (8) 正方形 ABCD 邊長為 2,分別以 A,B,C 為圓心,2 為半徑,在正方形內部作 三個圓弧如下圖,則 (a)與兩弧圍成眼形區域面積為=     。 (b),與圍成區或面積為=     。 (9) 有一圓形紙片如右圖中圓 O,將其中扇形(陰影部分)ROP 剪去, 並將兩半徑 OP、OR 重合粘在一起,成一圓錐。以 r 表圓的半徑, 以以表示圓心角表ROP 的弧度,以 l 表示圓弧 PQR 的長, 用下列選項中的那些值,就可以求出圓錐的體積? Q (A)只用 r 值。 (B)只用圓弧 l 值。 (C)只用 r 和和值。 (D)只用 r 和 l 值。 (E)只用 l 和和值。 O π(10) 左圖扇形 A−,中心角∠BAC= 4 , P 半徑 AB=AC =10,PQRS 為內接正方形, R 則(a)正方形 PQRS 的邊長為=     。 (b)斜線部分面積為=     。(11) 考慮函數 f(x)=2sin3x,試問下列選項何者為真? (A)−2≤f(x)≤2 (B)f(x)在 x= 時有最大值 (C)f(x)的週期為 (D)y=f(x)的圖形對稱於 直線 x= (E)f(2)>0 (88 社)(12) 求下列各函數的週期: (a)−2sin (b)|sec3x| (c)4+3sin(5x+2) (d)tan()(13) 如圖,若 y=asinbx,b>0,則數對(a,b)= 。(14) 當 x 介於 0 與 2π 之間,直線 y=1−x 與函數 y=tanx 的圖形,共有幾個交點? (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4 (87 學科)(15) 求方程式 sinx=在[0,4π ]內根的個數。(16) 求方程式 xsinx=1 在在1 <x<π的區間內有多少個實根?(17) 求方程式 cosx= 的實根個數。(18) 設 x,y 為正實數,且 x+y≠0,若 sec2θ= ,求=? ~3−1−24~
  25. 25. (19) 若 sinx≥ 且 0≤x≤2π,求 x 的範圍。 進階問題 (20) 如圖的直圓錐,底半徑 4,高 8,試求: (a)直圓錐之側表面積為多少? (b)若自錐底 P 點出發,沿圓錐側面繞行一圈,到達 斜高 AP 之中點 Q 停止,則路線長之最小值為多少? (21) 設 AB=a,AD=2a,在矩形 ABCD 中,以 A 為圓心,A D a 及 2a 為半徑作圓,試求斜線部分的面積。 (22) 半徑為 3,1 的兩圓輪相外切,如圖, 一皮帶緊繞此兩圓輪,則此皮帶長為____________。B C (23) 求函數 f(x)=2sin2x+3cos3x+4 的週期。 綜合練習解答(1) (B)(C)(D) (2) (A)(B)(D)(E) (3) b>a>e>c>d (4) 4π (5) (a)60 ° (b)4+π(6) 5 4 4 ( 7) 中心角為 2,面積最大為[提示:設扇形的圓心角提,半徑為 r,根據題設可知 2r+r θ=10 ,欲求面積 A=r 2 θ的最大值,10=2r+r θ≥2] 25π(8) (a) 2π−4(b)− (9) (C)(D)(E) (10) (a) 2 5 (b) -30 (11) (A)(B)(C)(D) 2(12) (a)6π (b) (c) (d) (13) (−3,) (14)(D) (15) 4 (16) 4 (17) 7(18) 1[提示:sec2θ≥1 ⇒≥1 ⇒(x−y) 2 ≤0 ⇒x=y] (19) ≤x≤ (20) (a)48π (b)6 (21) π 3 −1 2( + )a [提示:如何處理弧問題(1)遇到弧先找弧心 12 2(2)找弧徑(3)由弧的兩端到弧心作輔助線,形成扇形] (22) +4(23) 2π ~3−1−25~

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