18. 109
考情指數:★★★★
二項式定理
1. 對於任意正整數 n , 1 2 2
0 1 2
n n n n n n n n n r r n n
r nx y C x C x y C x y C x y C y
。
(1)
n
x y 展開共有 1n 項,按 x 降冪排列。
(2) 第 1r 項 n n r r
rC x y
稱為
n
x y 展開式中的一般項。
(3) 當 1x y 時,得 0 1 21 1 2
n n n n n n
nC C C C 。
8
2x y 的展開式中, 5 3
x y 的係數為何? (A) 56 (B)120 (C) 448 (D) 600 。 【101 統測】
解: 寫出一般項
8
2x y 展開式中的一般項為 8 8 8 8
2 2
rr r r r
r rC x y C x y
找出特定的 r 值
令 3r ,則 8 8 8 3 5 3
32 2r r r
rC x y C x y
故 5 3
x y 的係數為 8 3
3 2 56 8 448C
若展開
6
2
2
1
x
x
時將同類項合併,則常數項為何? (A)1 (B) 6 (C)15 (D) 20。
解: 寫出一般項 【97 統測】
6
2
2
1
x
x
展開式中的一般項為
66 2 6 12 2 2 6 12 4
2
1
r
r r r r
r r rC x C x x C x
x
找出特定的 r 值
令12 4 0 3r r
則 6 12 4 6 0 6
3 3
r
rC x C x C
故常數項為 6
3 20C
觀測站
這類考型不管題目如何變化,皆
先寫出一般項,再依題目找出特
定的 r 值,即可求出係數。
觀測站
沒有變數只有數字的項稱為常數
項,又 0
1x ,故常數項即為 0 次
方項。舉例來說,此題之常數項
為 0
20 20 1 20x 。
19. 110
( )1. 求
6
2x y 的展開式中, 2 4
x y 項之係數為何? (A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 60 。
【99 統測】
( )2. 在
62
2x y 的展開式中, 4 4
x y 項的係數為何? (A) 240 (B) 260 (C) 280 (D) 300 。
【94 統測】
( )3. 若
10
10 10 10
0
k k
k
k
x y C x y
, 則 10 10 10 10
0 1 2 10C C C C (A) 512 (B) 1024 (C) 2048
(D) 4096 。 【95 統測】
( )4. 試求 10 10 10
1 2 10C C C (A) 511 (B) 512 (C)1023 (D)1024。 【98 統測】
10 10 10 10 10
0 1 2 10 2C C C C
( )5. 求
30
3 1
x
x
的展開式中, 82
x 項的係數為何? (A) 315 (B) 385 (C) 435 (D) 495 。
【93 統測】
( )6. 已知 a 、 b 、 c 、 d 為整數,若
8
2
2 3
3 4x y
展開式中, 2 12
x y
項的係數為 2 3 5 7a b c d
,則
a b c d 之值為何? (A) 11 (B) 5 (C)1 (D)10 。 【101 統測】