2. 2
8. (1)餘式定理： ( )xf 除以( )x c− 的餘式 r = ( )f c
(2)因式定理：若 cx − 是 ( )xf 的因式，則 ( )f c = 0
【例】 5 4 3 2
12 7 12 58 12 16 12 465 12 100− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = 280
【例】 ( )xf = 59 22 8
7 4 5x x x+ − + 除以 x–1 的餘式= 9
9. 牛頓定理牛頓定理牛頓定理牛頓定理：：：：若整係數整係數整係數整係數 040234
=++++ cxbxaxx 有四個相異正整數根，求此四根。 Ans:1,2,4,5
10. 根與係數根與係數根與係數根與係數：若 2
0ax bx c+ + = 之兩根 βα, □補 3 2
0ax bx cx d+ + + = 之三根 γβα ,,
則
:
:
b
a
c
a
α β
α β
+ = −
=
i
兩根和
兩根積
則
−=
=++
−=++
a
d
a
c
a
b
αβγ
γαβγαβ
γβα
【例】若α,β是 x2
+ 6x + 2= 0 的兩根，求 (1)α2
+β2
(2)α3
+β3
(3) 2
)( βα +
Ans:(1)32 (2)–180 (3)–6–2 2
11. 勘根定理：說明 01093
=−− xx 在 3, 4 之間有實根 答：因為 (3) (4) 0f f⋅ <
12. 不等式：(1) x2
– 4x + 3 ≥ 0 答：x≥3，x≤1 (2) x(x–1)(x–3)(x–5) > 0 答： 0,1 3, 5x x x< < < >
(大分大分大分大分)
(小連小連小連小連)
13. (1)負指數：a–n
＝ n
a
1
(2)分數指數：設 a＞０ ，則 n
a
1
＝
n
a
【例】設 a＞0 , 2
1
a － 2
1
−
a ＝2，求 a＋a–1
＝ 6
【例】0 ≤ x ≤ 2﹐求 f(x)＝–9x
＋2×3x+1
+ 3 的最大值與最小值。 Ans:最大值 12，最小值–24
14. 圖型圖型圖型圖型：：：：(1)指數 f (x)= ax
(2)對數 f(x) = loga x
3. 3
15. (1) logax + logay = logaxy 【例】求 2log
5
3
+ 2log3 +
1
2
log49 – log
7
4
= 2
(2) logax－logay = loga
x
y
(3) log logm
n
aa
n
b b
m
=
(4) logab=
a
b
x
x
log
log
【例】解 log x – 6 log x 10 = 1 Ans: x =1000 or
1
100
(5)
xa
alog
= x
16. (1) A 為 n 位數⇒ logA 首數 = n–1 (2) A 為小數點後第 n 位不為 0⇒ logA 首數 = –n
【例】(1) log234000 = log (2.34×105
) = log105
+log2.34 =5+0.3692 =5.3692
(2) log0.00234 = log (2.34×10–3
) = –3+ log2.34 = –3+0.3692= –2.6308
【第二冊】
1.等差等差等差等差數列數列數列數列：(1) na = dna ⋅−+ )1(1 = 5 ( 5)a n d+ − ⋅
(2) ∑=
==
n
k
kn aS
1
naaaa ++++ ⋯321 =
2
)( 1 naa n ⋅+
＝
2
])1(2[ 1 ndna ⋅−+
(3)若 cba ,, 成等差，則等差中項
2
ca
b
+
= 。
2.等等等等比比比比數列數列數列數列：(1) 1 5
1 5
n n
na a r a r− −
= ⋅ = ⋅ 。
(2) ∑=
==
n
k
kn aS
1
naaaa ++++ ⋯321 ＝ 1a + 1a r+ 1a r 2
+…+ 1
1
−
⋅ n
ra ＝ 1 1(1 ) ( 1)
1 1
n n
a r a r
r r
− −
=
− −
(3)若 cba ,, 成等比，則等比中項 acb ±= 。
3. (1)
2
)1(
321
1
+
=++++=∑=
nn
nk
n
k
⋯ 【例】
20
2
11k
k
=
∑ ＝2485
(2)
6
)12)(1(
321 2222
1
2 ++
=++++=∑=
nnn
nk
n
k
⋯
(3) =∑=
n
k
k
1
3
=++++ 3333
321 n⋯ 2
]
2
)1(
[
+nn
(4)
10
1
1 1 1 1 1
( 1) 1 2 2 3 3 4 10 11k k k=
= + + + +
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑ ⋯ ＝
10
11
【例】
10
1
1
( 2)k k k=
=
+
∑
175
264
4. 4
4. (1)階乘：n！＝ ( 1) ( 2) 2 1n n n× − × − × × ×⋯
(2)排列： 6
3 6 5 4P = × ×
(3)選取： 6
3
6 5 4
3!
C
× ×
=
【例】甲、乙、丙、丁、戊，共五人排成一列，求下列方法數
(1)甲、乙、丙相鄰 (2)甲、乙不相鄰 (3)甲在乙前方，且乙在丙前方 Ans:(1)36 (2)72 (3)20
解：(1)3! 3!⋅ (2) 3! [4 3]⋅ ⋅ (3)5 4⋅ (丁戊選位就坐)
5. 重複組合重複組合重複組合重複組合：袋中有白、紅、藍球，取 5 個，共有
3 5+3-1
5 5=CH 種 種方法。
【例】有 5 種不同的酒，倒入 3 個酒杯，求下列方法數：
(1)杯子不同，每種酒不限倒一次： 3
5
(2)杯子不同，每種酒最多倒一次： 5
3P
(3)杯子相同，每種酒不限倒一次： 5
3H
(4)杯子相同，每種酒最多倒一次： 5
3C
(5)杯子不同，每種酒不限倒一次，且至少一杯為啤酒： 33
4 ( )5 − 沒啤酒
Ans: (1)125 (2)60 (3)35 (4)10 (5)61
6. 二項式： 1 2 2 1
0 1 2 1( )n n n n n n n n n n n
n na b C a C a b C a b C ab C b− − −
−+ = + + + + +⋯
(1) 4
( 1)x + = 4 3 2
1 4 6 4 1x x x x⋅ ⋅ +⋅ ⋅+ + +
(2) 0 1 2 2n n n n n
nC C C C+ + + + =⋯ ※ 0 2 4
n n n
C C C+ + +⋯＝ 1 3 5
n n n
C C C+ + +⋯＝
2
2
n
【例】(1 + x) + (1 + x) 2
+ (1 + x) 3
+ … + (1 + x )10
的展開式中，x2
的係數為 165
7. 條件機率條件機率條件機率條件機率：在發生 A 事件下，B 發生的機率＝P ( B | A ) =
( )
( )
n A B
n A
∩
8. 貝式定理貝式定理貝式定理貝式定理：：：：【例】工廠有甲﹐乙﹐丙三機器，
產量占總產量的
1 1 1
, ,
3 2 6
。已知產品中甲有 6%，
乙有 4%，丙有 3%為不良品。今任選一產品，已知
該產品為不良品，則此產品為甲機器所生產的機率為
4
9
5. 5
9. 標準差標準差標準差標準差 2
1
1
( )
n
i
i
x x
n
σ
=
= ⋅ − =∑
22
1
n
i
i
x nx
n
=
−∑
★★★★性質：若 i iy ax b= + ，則(1) y ax b= + (2) y aσ = xσ⋅
10. 標準分數標準分數標準分數標準分數
i
i
x x
z
σ
−
= (例如 Z=1.5 代表你分數比"平均平均平均平均""""多 1.5 個標準差)
11. 相關係數相關係數相關係數相關係數 r＝ 1
( )( )
n
i i
xyi
x y xx yy
x x y y
S
n S Sσ σ
=
− −
=
⋅ ⋅ ⋅
∑
※(1) –1 ≤ r ≤ 1 (2) | r |越大，相關程度越大
12. 迴歸直線迴歸直線迴歸直線迴歸直線 L： ( )= xy
xx
S
y y x x
S
− ⋅ − ※(1)直線 L 過( , )x y (2)斜率 y
x
xy
xx
S
m
S
r
σ
σ
= = ⋅
【例】研究紙張的張力強度Y (磅/平方英吋)和所含硬木比例 X (百分比)關係的實驗，得到如下 5 組數據﹕
求(1)相關係數 (2)Y 對 X 的迴歸直線方程式 Ans：(1)0.725 (2) ( )29030 8
100
y x− = −
【第三冊】
1. 三角函數三角函數三角函數三角函數：：：：
2. (1) π(弧度)＝180° (2) 1(弧度)≒57.3°
3. 平方關係平方關係平方關係平方關係：：：： sin2
θ+ cos2
θ= 1 ⇔ (sinθ±cosθ)2
= 1 ± 2sinθcosθ
【例】若 0º <θ< 90º，sinθ– cosθ=
1
2
，求(1) sinθcosθ (2) tanθ+ cotθ Ans: (1)
3
8
(2)
8
3
X 3 4 7 11 15
Y 5 40 15 35 55
6. 6
4. (1)正弦定理正弦定理正弦定理正弦定理：：：：
A
a
sin
= B
b
sin
=
C
c
sin
= 2R
(2)餘弦定理餘弦定理餘弦定理餘弦定理：：：： cosA =
bc
acb
2
222
−+
⇒ Abccba cos2222
⋅−+=
(3)面積面積面積面積 ∆=
1
2
ah =
1
2
bc sinA =
R
abc
4
= rs = ))()(( csbsass −−−
【例】 ABC∆ 中， 4=a ， 6=b ， 8=c ，求 ABC∆ 的 (1)面積 (2)高 ch (3)內切圓r (4)外接圓 R
Ans:(1) 153 (2) 15
4
3
(3)
3
15
(4) 15
15
16
5. 和角公式和角公式和角公式和角公式：：：：(1) cos(A ± B)＝cosA．cosB ∓ sinA．sinB (同名異號)
(2) sin(A ± B)＝sinA．cosB ± cosA．sinB (異名同號)
(3) tan(A ± B)＝
BA
BA
tantan1
tantan
⋅
±
∓
倍角倍角倍角倍角：：：： (1) sin2θθθθ＝＝＝＝2sinθθθθ cosθθθθ＝＝＝＝
θ
θ
2
tan1
tan2
+
(2) cos2θθθθ＝＝＝＝cos2
θθθθ－－－－sin2
θθθθ＝＝＝＝2cos2
θθθθ－－－－1＝＝＝＝1－－－－2sin2
θθθθ＝＝＝＝
θ
θ
2
2
tan1
tan1
+
−
(3) tan2θθθθ＝＝＝＝
θ
θ
2
tan1
tan2
−
三倍角三倍角三倍角三倍角：：：： (1) sin3θ＝3sinθ–4sin3
θ (2) cos3θ＝4cos3
θ–3cosθ
6. 圓心 ),( kh ，半徑為 r ⇒圓的標準式： 222
)()( rkyhx =−+−
7. 向量向量向量向量加減法加減法加減法加減法：：：：(1)
____
AB ＋
____
BC ＝
⇀
AC (2)
____
AB
____
AC− ＝
⇀
CB (後後後後––––前前前前)
8. 向量向量向量向量 OP α= ⋅ OA β+ ⋅ OB ，若 , ,P A B 共線 ⇔ + =1α β
※※※※若 : :AP BP m n= ，則 OP ＝
n
m n
⋅
+
OA ＋
m
m n
⋅
+
OB
9. 若 a 1 1( , )x y= ， b 2 2( , )x y= ，則內積 a i b ＝＝＝＝|||| a |||| |||| b |||| cosθθθθ＝＝＝＝ 1 2 1 2x x y y⋅ + ⋅
※※※※(1) a ⊥ b ⇒ a i b =0 (2)| a ＋ b | 2
＝ | a | 2
＋ 2 a i b ＋ | b | 2
10. 柯西柯西柯西柯西：( )( )2 2 2 2
1 1 2 2x y x y+ + ≥ ( )1 2 1 2
2
x x y y+
【例】設2 10x y+ = ，求 2 2
x y+ 的最小值,及此時 ),( yx 之值。 Ans:20 ,(4,2)
11. 法向量
___
n ：直線3 4 7 0x y+ − = 之法向量 n = _(3,4)_
※直線 L1 與 L2 的夾角θ＝
___
1n 與
___
2n 的夾角θ
7. 7
12. 行列式: a b
x y
= ay bx− 【例】若 6
a c
b d
= ，求(1)
4 3 6
4 3 6
a b b
c d d
−
−
=144 (2) 7 3
14 6
a b
c d
=252
【第四冊】
1. 正四面體正四面體正四面體正四面體::::(1)兩面夾角
1
cos
3
θ =
(2)高 AH ＝
6
3
a ,
1 3
4 4
r R AH AH
+ = +
(3)體積
1
( ( )
3
V AH= × ×底面積) 高
(4)兩稜線距離
2
=
2
a
2. 設 a = 1 2 3( , , )a a a ， b = 1 2 3( , , )b b b ⇒ 外積 a b× ＝ …為一向量向量向量向量
(I)方向：( a × b )⊥⊥⊥⊥ a ，且( a × b )⊥⊥⊥⊥ b
(II)大小：| a × b |＝ a 與 b 所張▱面積
3. 空間中：平面平面平面平面 : 0E ax by cz d+ + + = 的法向量的法向量的法向量的法向量
⇀⇀⇀⇀
n ( , , )a b c=
【例】平面 :1 2 3 32 0E x y z+ + − =
4. 平面的截距式平面的截距式平面的截距式平面的截距式 ABCE ： 1
x y z
a b c
+ + =
※ 四面體體積 OABCV ＝
1
6
abc
5.平面中平面中平面中平面中：：：：(1)點 0 0(X ,Y )P ，直線 L : ax + b y + c = 0 ⇒ 距離距離距離距離 0 0
2 2
( , )
| X Y |
d P L
a b
a b c
=
+
⋅ + ⋅ +
(2)兩平行線
1 1
2 2
0
0
L ax by c
L ax by c
+ + =
+ + =
:
:
⇒ 距離距離距離距離 2 1
1 2 2 2
( , )
| |
d L L
a b
c c−
=
+
6.空間中空間中空間中空間中：：：：(1)點 0 0 0,(X ,Y Z )P ，平面 E: ax + b y + cz+d = 0 ⇒ 距離距離距離距離 0 0 0
2 2 2
( , )
| X Y Z |d
d P E
a b c
a b c +
=
+ +
⋅ + ⋅ + ⋅
(2)兩平行面
1 1
2 2
0
0
E ax by cz d
E ax by cz d
+ + + =
+ + + =
:
:
⇒ 距離距離距離距離 2 1
1 2 2 2 2
( , )
| |
d E E
a b c
d d−
=
+ +
8. 8
7. 空間中的直線空間中的直線空間中的直線空間中的直線：：：：找找找找(1)點點點點 0, 0, 0( )P x y z (2)方向向量方向向量方向向量方向向量
⇀⇀⇀⇀
l ( , , )m n k=
⇒直線 L 參數式參數式參數式參數式: 或 L 比例式比例式比例式比例式: 0 0 0x x y y z z
m n k
− − −
= =
※※※※直線 L 與平面 E 夾角θ ＝ 90°°°°－－－－((((
⇀
l 與
⇀
n 夾角))))
8. 對角線矩陣
0
0
n
a
b
＝
0
0
n
n
a
b
9. 若
a b
A
c d
=
有反矩陣 1
A−
，則det( )
a b
A
c d
= ≠0 ⇒反矩陣反矩陣反矩陣反矩陣 1
A−
＝
1
det( )
d b
c aA
−
⋅ −
10. 若
A X
M
B Y
=
為轉移矩陣轉移矩陣轉移矩陣轉移矩陣，，，，則(1)0 , , , 1A B X Y≤ ≤ (2) =1A B+ 且 1X Y+ =
11.拋物線拋物線拋物線拋物線:焦點 F 0 0( , )x y ，準線 L： 0ax by c+ + =
⇒ 拋物線上的點 ( , )P x y 滿足 ( , )PF d P L=
(1)焦距=VF = c (2)正焦弦長= 4 c⋅
12.橢圓橢圓橢圓橢圓: 長軸2a ，短軸2b ，兩焦點距離 =21FF 2c
⇒ 橢圓上的點 ( , )P x y 滿足 1 2 2PF PF a+ =
(1) 2 2 2
a b c= + (2)正焦弦長
2
2b
a
=
13.雙曲線雙曲線雙曲線雙曲線:貫軸2a ，共軛軸2b ，焦點距離 =21FF 2c
⇒ 雙曲線上的點 ( , )P x y 滿足 1 2 2PF PF a− =
(1) 2 2 2
c a b= + (2)正焦弦長
2
2b
a
=
14.漸近線 1 1 1 1 2 2 2 2: 0 , : 0L a x b y c L a x b y c+ + = + + =
的雙曲線雙曲線雙曲線雙曲線: 1 1 1 2 2 2( ) ( )a x b y c a x b y c k+ + ⋅ + + =
