4. 單元3 三角函數的應用
3 三角函數的應用
47
2 2 2 2
sin cosa b a b a bθ θ− + ≤ ± ≤ +
極值
正弦定理
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
: : sin : sin : sina b c A B C=
ABC△ 面積 1 1 1
sin sin sin
2 2 2
ab C ac B bc A= = =
和差角公式
正弦 sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ±
餘弦 cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± = ∓
正切 tan tan
tan( )
1 tan tan
α βα β
α β
±
± =
∓
P.48
P.51
P.52
P.53
P.53
餘弦定理
2 2 2
2 cosa b c bc A= + − ×
2 2 2
2 cosb a c ac B= + − ×
2 2 2
2 cosc a b ab C= + − ×
海龍公式 ABC△ 面積 ( )( )( )s s a s b s c= − − − , 2
a b c
s
+ +
= P.54
二倍角公式
正弦 sin 2 2sin cosθ θ θ=
餘弦 2 2
cos2 cos sinθ θ θ= −
正切 2
2tan
tan2
1 tan
θ
θ
θ
=
−
2
cos2 2cos 1θ θ= −
2
cos 2 1 2sinθ θ= −
P.50
9. 單元3 三角函數的應用52
3-2 正弦與餘弦定理
焦點主題1
正弦定理:
在 ABC△ 中,設a 、b 、c 分別表示 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長,
Δ表示 ABC△ 的面積,且R 表示 ABC△ 的外接圓半徑。
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = ⇒ sin sin sina b c A B C=: : : : 。
已 知 ABC△ 中 , 12BC = , 75B∠ = ° ,
60C∠ = °,試求(1) AB (2) ABC△ 外接圓的
半徑。
【答:(1) 6 6 (2) 6 2 】
∵ 180 45A B C∠ = °−∠ −∠ = °
由正弦定理知
2
sin sin
a c
R
A C
= =
⇒ 12
2
sin45 sin60
c
R= =
° °
⇒ 12
2
2 3
2 2
c
R= =
∴ (1) 6 6c AB= =
(2) 6 2R =
已知 ABC△ 中, 2 3BC = , 2AC = ,且
120A∠ = °,試求(1) B∠ (2) AB (3)外接圓
半徑。
【答:(1) 30° (2) 2 (3) 2 】
(1) 由正弦定理知
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
⇒ 2 3 2
2
sin120 sin sin
c
R
B C
= = =
°
⇒ 2 3 2
sin3
2
B
=
∴ 1
sin
2
B = ⇒ 30B∠ = ° 或150°(不合)
(2) 180 30C A B B∠ = °−∠ −∠ = °=∠
得知 ABC△ 為等腰三角形,即 2AB AC= =
(3)
2 3
2
3
2
R= ⇒ 2R =
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = 。
1
10. 3
單元3 三角函數的應用 53
已知 ABC△ 中, : : 1 : 2 : 3A B C∠ ∠ ∠ = ,
求 : :a b c 。
【答:1 : 3 : 2 】
∵ 1
180 30
1 2 3
A∠ = °× = °
+ +
2
180 60
1 2 3
B∠ = °× = °
+ +
3
180 90
1 2 3
C∠ = °× = °
+ +
∴ : : sin : sin : sina b c A B C=
1 3
: : 1
2 2
=
1 : 3 : 2=
ABC△ 中, : : 1 : 2 : 1A B C∠ ∠ ∠ = ,
求 : :a b c 。
【答:1 : 2 : 1】
∵ 1
180 45
1 2 1
A C∠ = °× = °=∠
+ +
且 2
180 90
1 2 1
B∠ = °× = °
+ +
∴ : : sin : sin : sina b c A B C=
2 2
: 1 :
2 2
=
2 : 2 : 2=
1 : 2 : 1=
焦點主題2
三角形面積公式:
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
a b C a c B b c AΔ = × × × = × × × = × × × 。
ABC△ 中,若 4AB = , 10AC = , 60A∠ = °,
則 ABC△ 面積為何?
【答:10 3 】
1
sin
2
ABC b c AΔ = × × ×
1
10 4 sin60
2
= × × × °
10 3=
ABC△ 中,若 6AB = , 8BC = , 30B∠ = °,
則 ABC△ 面積為何?
【答:12 】
1
sin
2
ABC a c BΔ = × × × 1
8 6 sin30
2
= × × × ° 12=
焦點主題3
餘弦定理:
在 ABC△ 中,若a 、b 、c 分別表示 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長,則
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
⎧ = + − ×
⎪
= + − ×⎨
⎪ = + − ×⎩
。
1
sin
2
ABC ac BΔ = (兩邊及其夾角)。
3
2
11. 單元3 三角函數的應用54
ABC△ 中,已知 60A∠ = °, 6AC = , 8AB = ,
試求BC 的長度。
【答:2 13 】
由餘弦定理知
∵ 2 2 2
2 cosa b c bc A= + − ×
⇒ 2 2 2
6 8 2 6 8 cos60a = + − × × × °
36 64 48 52= + − =
∴ 52 2 13BC a= = =
ABC△ 中,已知 120C∠ = ° , 4AC = ,
3BC = ,試求AB 的長度。
【答: 37 】
由餘弦定理知
∵ 2 2 2
2 cosc a b ab C= + − ×
⇒ 2 2 2
3 4 2 3 4 cos120c = + − × × × °
1
9 16 2 3 4 ( )
2
= + − × × × − 37=
∴ 37AB c= =
設 ABC△ 中, 8AB = , 5BC = , 7CA = ,求 B∠
之值。
【答:60° 】
由餘弦定理知
∵ 2 2 2
2 cosb a c ac B= + − ×
⇒ 2 2 2
7 5 8 2 5 8 cosB= + − × × ×
⇒ 49 25 64 80 cosB= + − ×
∴ 25 64 49 1
cos
80 2
B
+ −
= =
⇒ 60B∠ = °
設 ABC△ 的三邊長之比為3 5 7: : ,求最大內
角之值。
【答:120° 】
設三邊長為3k ,5k ,7k ( 0k )
∵ 大邊對大角
∴ 2 2 2
(7 ) (3 ) (5 ) 2 3 5 cosk k k k k θ= + − × × ×
⇒
2 2 2
9 25 49 1
cos
2 3 5 2
k k k
k k
θ
+ −
= = −
× ×
,故最大內角為120°
焦點主題4
海龍公式:
在 ABC△ 中,設a、b 、c 分別表示 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長,s 表示 ABC△ 周長的一半,
且r 表示 ABC△ 的內切圓半徑。
公式 已知 2
a b c
s
+ +
= ,則 ABC△ 面積 ( )( )( )s s a s b s c−= − − 。
內切圓半徑
已知 2
a b c
s
+ +
= , ABC△ 面積為Δ,
則內切圓半徑r
s
Δ
= 。
2 2 2
2 cosc a b ab C= + − 。
大邊對大角,小邊對小角。
5
4