1. §2−2 廣 義 角 三 角 函 數
(甲)廣義角
設設EOF 為一角，如果代表正東方向，代表東北方向，如果站在 O 點，面向東然
後轉到東北方位與先面對東北方然後再轉到東方，顯然這兩個動作是有差別的，
雖然它們的方位差是一樣的，但是轉動的方向則不相同，為了能把這種差異表現
出 來 ， 我 們 擴 大 了 角 度 的 意 義 ， 從 而 定 義 了 有 向 角 。
F
30°
−
°
40
O E
(1) 定 義 ： 一 角 以 OE 以 始 邊 ， 旋 轉 到 終 邊 OF ， 從 OE 旋 轉 到 OF 的 旋 轉 量 稱
為有 向 角 ，定義中規定逆時針旋轉為正向角 ，順時針旋轉為負向角。
因 為 旋 轉 時 可 以 轉 半 圈 、 一 圈 、 二 圈 、 二 圈 半 .. 等 等 ， 亦 即 他 們 的 旋
轉 量 分 別 是 180 ° 、 360 ° 、 720 ° 、 900 ° … 等 ， 因 此 我 們 打 破 角 度 180 ° 的 限
制 ， 而將 角度 的範 圍擴 充到 180 ° 以 上， 像這 樣的 角度 就稱 為 廣 義 角 ( 或
稱 為 有 向 角 ) 。
(2) 同 界 角 ：
兩個廣義角兩 ,ϕ 有共同的始邊與終邊，我們將這樣的有 ,ϕ 稱為同界角。而兩
個同界角之間，因為始邊與終邊相同，因此差別只是所繞的圈數不同，故可
得 得 =k⋅ 360 ° ， k 為 整 數 。
例 如 ： 上 圖 中 的 400 ° 角 與 40 ° 角 ， 690 ° 角 與 角 30 ° 各 都 是 一 對 同 界 角 。
例 如 ： 57° 的 同 界 角 都 可 寫 成 57 ° +360 ° ×k (k 為 整 數 )
方法：判 斷 判 與 與 為 同 界 角 同 =k⋅ 360 ° ， k 為 整 數
1. 求 1178°之最小正同界角與最大負同界角。 Ans：98°，，262°
~2−2−1~

2. 1. 試 求 下 列 諸 角 的 最 小 正 同 界 角 與 最 大 負 同 界 角 ：
(1)675 ° (2)−1520 ° (3)−1473 ° (4)−21508 °
Ans：(1)315 ° ，，45 ° (2)280 ° ，，80 ° (3)327 ° ，，33 ° (4)92 ° ，，268 °
2. 480° 的 角 ， 令 其 始 邊 與 正 X 軸 重 合 ， 則 其 終 邊 落 在 (A) 第 一 象 限
(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(E)Y 軸上 Ans：(B)
~2−2−2~

3. ( 乙 ) 廣 義 角 三 角 函 數
我們想要定義廣義角的三角函數，首先我們要先清楚三角函數(正弦、正切、..)它
們是一個角度的函數，此處想要利用廣義角來定義 6 個三角函數，換句話說，我
們 想 要 知 道 sin(−120 ° ) 、 cos370 ° 、 tan0 ° … 等 等 ， 它 們 的 值 應 如 何 定 義 才 好 ？
(1) 三 角 函 數 的 定 義 ：
(a)在坐標平面上做一個以原點為圓心，半徑等於 r 的圓，給定一個廣義角的 ，規
y
定定 的 始 邊 為 x 軸 的 正 向 ，角的頂點為原點，根據， 的旋轉量，可畫出終邊的
位 置 。 設 終 邊 這 條 射 線 與 單 位 圓 交 於 P(x,y) ，
定 義 ： sinθ = ， cosθ = 。 r=
特 別 情 ：P(x,y)
形
Q(m,n)
當 r=1 時 sinθ = = y ， cosθ = = x
y O S
所 以 單 位 圓 上 的 點 P 的 坐 標 可 以 寫 成 P(cosθ ,sinθ) x
P(cosθ ,sinθ )
θ
O 1 x
(b) 這 樣 的 定 義 符 合 銳 角 三 角 函 數 的 定 義 嗎 ？
如果 角度為銳角，即終邊為 OQ ，此時 Q(m,n) 在圓上，設 Q 對 x 軸的垂足點為
S ， 則 ， QOS 為 直 角 三 角 形 ， 設 為 SOQ=α ， 根 據 銳 角 三 角 函 數 的 定 義 ，
cosα= ， sinα= ， 此 與 (a) 中 的 定 義 是 一 樣 的 。
(c) 其 他 三 角 函 數 的 定 義 ：
根 據 三 角 函 數 間 的 關 係 ， 我 們 可 定 義 其 他 的 三 角 函 數 ： 如 果 cosθ =,sinθ =
結 論 ： 設 角 設 終 邊 上 的 點 P(x,y) ， r==
(1)
sinθ=______ cosθ=______
tanθ=______(x≠0) cotθ=______(y≠0)
secθ=______(x≠0) tanθ=______( y≠0)
(2) 由 終 邊 的 位 置 判 別 三 角 函 數 的 正 負 ：
~2−2−3~

4. (a)sinθ 之 正 負 之 看 y 在 第 一 、 二 象 限 為 正 ， y 在 第 三 、 四 象 限 為 負
所 以 sinθ= 在 第 一 、 第 二 象 限 為 正 ， 在 第 三 、 第 四 象 限 為 負
(b)cosθ 之 正 負 之 看 x 在 第 一 、 四 象 限 為 正 ， x 在 第 二 、 三 象 限 為 負
所 以 cosθ = 在 第 一 、 第 四 象 限 為 正 ， 在 第 二 、 第 三 象 限 為 負
(c) 整 理 成 表 格 如 下 ：
~2−2−4~

5. 象 限 一 二 三 四
函數
sinθ 與 cscθ
+ + − −
cosθ 與 secθ
+ − − +
~2−2−5~

6. tanθ 與 cotθ
+ − + −
~2−2−6~

7. (d) 完 成 下 列 各 表 ：
~2−2−7~

8. 角度角 0° 90 ° 180 ° 270 ° 360 ° 120 ° 135 ° 150 ° 225 ° 270 ° 300 °
sinθ
cosθ
~2−2−8~

9. tanθ
~2−2−9~

10. (e) 廣 義 角 三 角 函 數 值 的 範 圍 ：
|sinθ|≤1 ， |cosθ|≤1
tanθ∈R ， cotθ∈R
|secθ|≥1，|cscθ|≥1
2. 在 xy 平面上，以 x 軸之正向為始邊作一廣義角軸，其終邊上有一點 P 之坐
標如下表所示，試填寫標的各三角函數值。
~2−2−10~

11. (5,12) (3,−4) (−1,−2) (3,−1) (5,0) (0,3) (−4,0) (0,−3)
P 點坐標
OP 長度
sinθ
cosθ
tanθ
cotθ
secθ
cscθ
3. 設設之終邊上有一點(x,−5)，已知 tanθ=，求 sinθ，cosθ。
Ans：sinθ= ，cosθ=
3. 座標平面上，O 為原點，為為第二象限角，P(x,2)是是角終邊上一點，
已知=3，求 x 及 cosθ之值。Ans：x=−，cosθ=
4. 設點 P(−5, y)在角在 的終點上，若 tanθ = ，則 y= ，cscθ = 。
Ans：y= −5，cscθ = −2
5. θ 不 是 象 限 角 且 tanθ ＞ 0 ， secθ ＜ 0 ， 則 點 p(cosθ ， sinθ) 在
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)兩坐
標軸上。Ans：(C)
6. 若若在第二象限，則 可能在第幾象限？Ans：第 1 或 3 象限
7. 設 sinθ= ， 求 其 他 三 角 函 數 。 (hint ： 需 討 論 象 限 )
Ans ：
(1)θ 為 第 三 象 限 角 ， sinθ= ， cosθ= ， tanθ= ， cotθ= ， secθ= ， cscθ=
(2)θ 為 第 四 象 限 角 ， sinθ= ， cosθ= ， tanθ= ， cotθ= ， secθ= ， cscθ=
~2−2−11~

12. (2) 三 角 函 數 的 化 簡 ：
(a) 角 度 角 終 邊 的 位 置 與 三 角 函 數 的 正 負 ：
(b) 角 度 化 簡 的 原 則 ：
 凡 是 同 界 角 均 有 相 同 的 三 角 函 數 值 ：
若若 1 與與 2 若為同界角，則由於同界角具有相同的始邊與終邊，所以我們知道
同 界 角 具 有 相 同 的 三 角 函 數 值 。
sin ， cos ， tan ， cot ， sec ， csc (n×360 ° +θ )
= sin ， cos ， tan ， cot ， sec ， csc (θ )
利 用 此 觀 念 可 將 任 意 角 度 的 三 角 函 數 化 成 0 ° 到 360 ° 之 間 的 三 角 函 數
例 如 ： sin789 ° =sin(2⋅360 ° +69 ° )=sin69 ° ， tan(−1000 ° )=tan(−3⋅360 ° +80 ° )=tan80 °
 負 角 之 三 角 函 數 值 的 變 換 ：
sin ， tan ， cot ， csc (−θ )= − sin ， tan ， cot ， csc (θ)
cos ， sec (−θ) = cos ， sec (θ)
 角 180 ° ± θ ， 360 ° ± θ 之 三 角 函 數 值 的 變 換 ：
sin ， cos ， tan ， cot ， sec ， csc (180 ° ± θ ， 360 ° ± θ)
= ± sin ， cos ， tan ， cot ， sec ， csc (θ )
♦ ± 號 的 選 定 可 將 號 視 為 銳 角 去 判 斷 正 負
例 如 ：
°
sin(θ+180 )= cos(θ+180 ° )= tan(θ+180 )= °
sin(180 ° −θ)= cos(180 ° −θ)= tan(180 ° −θ)=
~2−2−12~

13.  角 90 ° ± θ ， 270 ° ± θ 之 三 角 函 數 值 的 變 換 ：
sin ， cos ， tan ， cot ， sec ， csc (90 ° ± θ ， 270 ° ± θ)
= ± cos ， sin ， cot ， tan ， csc ， sec (θ)
♦ ±號的選定可將號 視為銳角去判斷正負，請注意上式中正餘函數互換。
例 如 ：
°
sin(90 +θ)= cos(90 ° +θ)= °
tan(90 +θ)=
sin(270 ° −θ)= cos(270 ° −θ)= tan(270 ° −θ)=
y
B(−y,x)
A(x,y)
C(−x,y) A(x,y)
θ
1 D O C
O x
D(−x,−y) B(x,−y)
sin(180  + θ ) tan 2 (180  − θ ) sin( 270  − θ ) csc 2 (90  + θ )
4. 化簡 − 。Ans：1
cos(270  + θ ) sin(90  + θ )
~2−2−13~

14. 5. 化簡下列各小題的值：
(1)sin60°⋅cos150°−cos225°sin(−315°)+tan300°⋅sec(−180°)= 。
(2)4cos(−960°)+tan(585°)+2sin(−1020°)= 。
−1+ 4 3
Ans：(1) (2)−1+
4
6. 設 cos100°=k，試以 k 表
(1)sin(−260°)= 。(2)tan(−260°)= 。
(3)cos(−80°)= 。(4)sin(−80°)= 。
Ans：(1)(2)(3)−k (4)−
y
8. 右 圖 為 一 圓 心 在 原 點 的 單 位 圓 ， 則 圓 弧 上 一 點 P 的 坐 標 為 ？
O
(A) (cosθ,sinθ) (B)(cosθ,−sinθ) (C) (−cosθ,sinθ) θ x
(D) (−cosθ,−sinθ) (E)(−sinθ,cosθ) Ans：(B)
P
4 cos θ + 1
9. 設 tanθ = ，cosθ ⋅cotθ <0，試求 3 sin θ + 5 之值。 Ans：
10. 設 0<α <45 ° ， 試 求 下 列 二 式 的 值 ：
(1)sin 2 (45 ° +α )+sin 2 (45 ° −α ) (2)tan(45 ° +α)⋅tan(45 ° −α)
Ans：(1)1 (2)1
~2−2−14~

15. 11. 試 求 下 列 各 值 ：
(1)cos570 ° ⋅sin150 ° +sin(−330 ° )⋅cos(−390 ° )= 。
(2)sin210 ° +tan(−135 ° )+cos(−390 ° )= 。
(3)sin60 ° ⋅cos150 ° −cos225 ° sin315 ° +tan300 ° ⋅sec180 ° = 。
(4)sin1560 ° tan(−510 ° )+cos(−240 ° )cot495 ° = 。
1+ 3 4 3 −5
Ans：(1)0 (2) (3) (4)1
2 4
− k 2 +1
12. 設 tan20 ° =k，試求 sec250 ° = 。 Ans：
k
cos(180  + θ ) cot 2 (180  − θ ) cos(270  − θ ) csc 2 θ
13. 化簡 − 。Ans：：1
sin( 270  + θ ) cos(90  + θ )
7. 在坐標平面上以原點 O 為圓心，1 為半徑畫一圓，交 x 軸正向於 A 點，y
軸正向於 B 點，再畫一直線 L 過原點並交圓 O 於 C,C/兩點。過 A 點與 B 點
作圓的切線，分別交直線 L 於 D 點與 E 點並自 C 點作 x 軸的垂線交 x 軸於
F 點，設點COA=θ。
(1)試在上圖中分別找出長度等於 sinθ ,cosθ ,tanθ ,cotθ ,secθ ,cscθ 的單一線
y
L
段長。
E
(2)試比較 sinθ ,tanθ ,secθ 的大小。
C D
(3)試比較 cosθ ,cotθ ,cscθ 的大小。
θ
O F A x
/
C
~2−2−15~

16. 180
8. 請計算 ∑ cos k =cos1°+cos2°+…+cos179°+cos180°=？ Ans：：1
°
k =1
9.
(1)試求函數 f(x)=cos2x+3sinx+1 的最大值與最小值。
(2)試求函數 f(x)= 的範圍。
Ans：(1) 4，，2 (2)−1≤f(x)≤1
14. 請求出 sin1 ° +sin2 ° +…+sin360 ° =？ Ans：0
15. 求 下 列 各 函 數 的 範 圍 ：
2
(1)f(x)= (2)f(x)=sin x−cosx
Ans：(1)≤f(x)≤ (2)−1≤f(x)≤
(丙)三角函數值表
~2−2−16~

17. (1) 三 角 函 數 值 表 的 簡 介 ：
(a)附錄中列出了 0 ° 到 90 ° ，每隔 10 / ( / 」
「 讀做分， // 」
「 讀做秒，1 ° =60 / ，1 / =60 // )
的六 種三角函數，其中數值是以 十進 位有限小數表示 ( 小數點前後共 取四
位 ) ， 大 都 只 是 近 似 值 。
(b) 表 中 最 左 一 行 由 上 而 下 列 有 0 ° 到 45 ° 的 各 角 度 ， 最 上 一 列 由 左 而 右 印 有
sin、cos、tan、cotθ、sec、csc 各函數的符號，而表中最右一行由下而上列
有 45 ° 到 90 ° 的各角度，最下一列由左而右印有 cos 、sin、cot、tan、csc、
sec 各函數的符號，這是應用餘角關係所編排的，如 sin43 ° 20 / =cos46 ° 40 / 。
(2) 如 何 查 表 ：
(a)查 1 ° 到 45 ° 的各角三角函數值，是從表的 最左一行，自上而下查角度，再
從最上一列，查三角函數的符號，則角度所在的一列，與函數符號所在的
一行，相交位置上的數，就是這個角度的某一個三角函數值。
(b) 查 45 ° 到 90 ° 的各角三角函數值，是從表的 最右一行 ，自下而上 查角度，
再從最下一列，查三角函數的符號，則角度所在的一列，與函數符號所在
的一行，相交位置上的數，就是這個角度的某一個三角函數值。
10. 查表求下列各三角函數值：
(1)cos22° (2)sin22°40/ (3)cot22°30/
~2−2−17~

18. 11. 查表求下列各三角函數值：
(1)sin67° (2)tan67°20/ (3)sec67°50/
12. 利用下表求各三角函數的角度
(1)cosA=0.9528 (2)tanB=0.4006 (3)cscC=1.063
Ans：(1)∠A=17°40/ (2)∠B=21°50/ (3)∠C=70°10/
13. 利用三角函數值表與三角函數的變換公式求下列各值：
(1)sin26° (2)sin926° (3)tan70° (4)tan(−290°) (5)cos63°20/ (6)cos603°20/
Ans：(1)0.4384 (2)−0.4384 (3)2.7475 (4)2.7475 (5)0.4488 (6)−0.4488
~2−2−18~

19. (3) 三 角 函 數 的 大 小 ：
(a)
~2−2−19~

20. 角度角 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ
~2−2−20~

21. 由 1 ° 到 89 ° 增大 減小 增大 減小 增大 減小
~2−2−21~

22. (b)
~2−2−22~

23. 角 度 0<θ<45 ° θ=45 ° 45 ° <θ<90 °
函數
正餘弦 sinθ <cosθ sinθ =cosθ sinθ >cosθ
正餘切 tanθ <cotθ tanθ =cotθ tanθ >cotθ
~2−2−23~

24. 正餘割 secθ <cscθ secθ =cscθ secθ >cscθ
14. 設 cos40°=0.7660，cos41°=0.7547
(1)求 cos40°10/的值。 (2)若 cosθ=0.76，求銳角，的值。
Ans：(1)0.7641 (2)40.53°
16. 試 比 較 下 列 各 大 小 次 序 ：
(1)sin20 ° ， tan20 ° ， sec20 ° (2)sin130 ° ， tan130 ° ， sec130 °
(3) sin220 ° ， tan220 ° ， sec220 ° (4)sin310 ° ， tan310 ° ， sec310 °
Ans ： (1) sin20 ° < tan20 ° < sec20 ° (2) sec130 ° < tan130 ° <sin130 °
(3) sec220 ° < sin220 ° < tan220 ° (4) tan310 ° < sin310 ° < sec310 °
17. 設 a=cos(−750 ° )，b=tan(−1140 ° )，c=sec4995 ° ，是比較 a,b,c 之大小。
Ans：c>a>b
18. 已知 sin47 ° 20 / =0.7353，sin47 ° 30 / =0.7373，則 sin(−227 ° 27 / )最接近下
列那一個數？(A)0.7359(B)−0.7359(C)−0.7367(D)0.7367
19. 若 sin53 ° 20 / =0.8021，sin53 ° 30 / =0.8039，sinθ =−0.8030， 且 180 ° <θ
<270 ° ，則， = 。Ans：233 ° 25 /
綜合練習
~2−2−24~

25. 3 sin θ + 5 cosθ
(1) 設 cotθ =，且 sinθ >0，試求 2 sin θ + 6 cosθ = 。
y
(2) 如右圖，單位圓 O 與 y 軸交於 A,B 兩點。角兩 的頂 A
C
點為原點，始邊在 x 軸的正向上，終邊為 OC ，直線 θ
AC 垂直於 y 軸且與角軸 的終邊交於 C 點，則下列那 x
O
一個函數值為？
(A)|sinθ |(B)|cosθ |(C)|tanθ |(D)|cotθ |(E)|secθ |
B
(3) 如下圖，A 為單位圓與 y 軸負向的交點，
AC ⊥ y 軸與角軸終點交點為 C，
則 AC =？
(A) |tanθ| (B) |cotθ| (C) |secθ| (D) |cscθ| (E) |sinθ|。
(4) 若點(sinθ cosθ ，tanθ secθ)在第三象限，則在在第 象限。
(5) 點 P(a,b)為角為終邊與直線 y+12=0 的交點，且 secθ=，求(a,b)= 。
(6) 求下列各函數的值。(a)sin870°(b)sin(−1215°)(c)cos(−105°)(d)tan2010°
(7) 設 tanθ =3，試求下列各式：
(a) (b)sin2θ −3sinθ cosθ +2cos2θ (c)
(8) 設 4cos2θ−8cosθ−5=0，求 sinθ之值。
(9) + + 之值= 。
(10) 若 90°<θ<180°，且 cosθ +sinθ=，請求下列兩小題的值：
(a)cosθ=？ (b) + =？ (c)sinθcosθ =？
(11) 求 sin21°+sin22°+sin23°+….sin290°=？
(12) 設 45<θ<90°，令 a= log 12 sin θ ，b= log 12 cosθ ，c= log 12 tan θ ，d= log 12 secθ
試比較 a,b,c,d 之大小。
(13) 設 a=sec337° , b=tan225° , c=cos143° , d=sin37°，試比較 a,b,c,d 之大小。
~2−2−25~

26. (14) 設 a＝sin1230°，b＝cosθ(－430°)，c＝tan65°，d＝sin(－430°)，則(A)a＞b
＞c＞d
(B) d＞c＞b＞a(C) a＞c＞b＞d(D) c＞a＞b＞d (E) c＞d＞a＞b。
(15) 利用三角函數與內插法表求 sin(−1028°23/)之值。(四捨五入求至小數點第四位)
(16) 若 0°<θ<45°，求， 之值。
(17) 設 A+B+C=180°，求證：
(a)tan = cot (b)sinA=−cos(++) (c)sin(+B)=cos( − )。
進階問題
(18) 求 f(x)=的範圍。
(19) 將半徑為 1 的半圓周 分成 180 等分，設等分點依次為 P1、P2、P179，
179
∑ AP
2
求 k 之和。
k =1
(20) 設 sinθ為 x2+x+a=0 的一根，求 a 值的範圍。
綜合練習解答
(1) (2) (D) (3) (B) (4) 第四象限 (5) (−5,−12) (6) (a) (b) (c)− (d) (7) (a)10 (b)
(c)±3 (8) θ在第二象限，sinθ=，；，，在第三象限，sinθ= (9) −3 (10) (a) (b)
(c)
(11) [提示：sin(90 ° −θ)=cosθ ，sin 2 θ+cos 2 θ=1 ] (12) b<a<c<d (13) a>b>d>c
(14) (D) (15) 0.7839 (16) −2sinθ[提示：1= sin 2 θ+cos 2 θ ]
(17) 提示：(b) ++=A+=A+90 ° (c) +B =(+)+=(90 ° −)+
(18) −2≤f(x)≤ (19) 358[提示：可令 P k (cosk ° ,sink ° )，， 2 =2+2cosk ° ]
(20) −2≤a≤
~2−2−26~