Angles of Sin Cos Tan

1. -1-
二倍角的正弦、余弦、正切公式
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2. 首页
课标阐释 思维脉络
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
3.要注意体会二倍角公式与和差公
式的内在联系.

3. 课前篇
自主预习
一 二
一、二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结
果?
2.上述cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢?
提示:根据同角的三角函数关系式可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
提示:sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α,cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin
α,tan(α+α)=
tan𝛼+tan𝛼
1-tan2𝛼
,即 sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2
α-sin2
α,tan
2α=
2tan𝛼
1-tan2𝛼
.

4. 课前篇
自主预习
一 二
3.填空
二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数 公 式 简记
正弦 sin 2α=2sin αcos α S2α
余弦 cos 2α=cos2
α-sin2
α=2cos2
α-1=1-2sin2
α C2α
正切 tan 2α=
2𝑡𝑎𝑛 α
1-𝑡𝑎𝑛2𝛼
T2α

5. 课前篇
自主预习
一 二
4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围
在公式 S2α,C2α 中,角 α 可以为任意角;但公式 T2α 只有当 α≠
π
2
+kπ,
且 α≠
π
4
+
𝑘π
2
(k∈Z)时才成立,否则不成立
因为当𝛼 =
π
2
+ 𝑘π,𝑘∈Z 时,tan𝛼的值不存在;当𝛼 =
π
4
+
𝑘π
2
,𝑘∈Z 时,tan2𝛼的值不存在 .当 α=
π
2
+kπ,k∈Z 时,虽然 tan α 的
值不存在,但 tan 2α 的值是存在的,这时求 tan 2α 的值可利用诱导公
式,即 tan 2α=tan2
π
2
+ 𝑘π =tan(π+2kπ)=tan π=0.

6. 课前篇
自主预习
一 二
5.做一做
求下列各式的值.
(1)4sin 15°cos 15°= ;
(2)若 cos α=
1
3
,则 cos 2α= ;
(3)若 tan θ=
1
2
,则 tan 4θ= .

7. 课前篇
自主预习
一 二
解析:(1)4sin 15°cos 15°=2·2sin 15°cos 15°
=2sin 30°=2×
1
2
=1.
(2)cos 2α=2cos2
α-1=2
1
3
2
-1=-
7
9
.
(3)由已知得 tan 2θ=
2tan𝜃
1-tan2𝜃
=
2×
1
2
1-
1
2
2 =
4
3
,
所以 tan 4θ=
2tan2𝜃
1-tan22𝜃
=
2×
4
3
1-
4
3
2=-
24
7
.
答案:(1)1 (2)-
7
9
(3)-
24
7

8. 课前篇
自主预习
一 二
二、二倍角公式的变形
1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin 2α可化为什
么形式?
提示:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何?
提示:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
3.填空
(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2;
(2)升幂缩角公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α;
sin2
α=
1-cos2𝛼
2
,cos2
α=
1+cos2𝛼
2
.
(3)降幂扩角公式:sin2
α=
1-cos2𝛼
2
,cos2
α=
1+cos2𝛼
2
.

9. 课前篇
自主预习
一 二
4.做一做
求下列各式的值.
(1)2cos2 π
12
= ;
(2) sin
π
8
+ cos
π
8
2
= .
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
12
=1+cos
π
6
=1+
3
2
.
(2)原式=1+sin
π
4
=1+
2
2
.
答案:(1)1+
3
2
(2)1+
2
2

10. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
利用二倍角公式解决给角求值问题
例1求下列各式的值:
分析:对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分
母同乘2sin 20°,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.
(1)sin
π
12
cos
π
12
;(2)1-2sin2750°;(3)
2tan150°
1-tan2150°
;
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.

11. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
解:(1)原式=
2sin
π
12cos
π
12
2
=
sin
π
6
2
=
1
4
.
(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°
=cos(4×360°+60°)=cos 60°=
1
2
.
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°
=tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3.
(4)原式=
2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°
2sin20°
=
2sin40°·cos40°·cos80°
4sin20°
=
2sin80°·cos80°
8sin20°
=
sin160°
8sin20°
=
1
8
.

12. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
反思感悟 对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的
基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角
的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公
式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

13. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
变式训练 1 求下列各式的值:
(1)cos4π
8
-sin4π
8
;
(2)
tan75°
1-tan275°
;
(3)cos
π
7
cos
2
7
πcos
4
7
π.

14. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
解:(1)原式= cos2 π
8
+ sin2 π
8
cos2 π
8
-sin2 π
8
=cos
π
4
=
2
2
.
(2)原式=
1
2
tan 150°=-
1
2
tan 30°=-
3
6
.
(3)原式=
8sin
π
7cos
π
7cos
2
7πcos
4
7π
8sin
π
7
=
4sin
2
7πcos
2
7πcos
4π
7
8sin
π
7
=
2sin
4
7πcos
4
7π
8sin
π
7
=
sin
8
7π
8sin
π
7
=
-sin
π
7
8sin
π
7
=-
1
8
.

15. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
利用二倍角公式解决条件求值问题
例 2 已知 sin
π
4
-𝑥 =
5
13
,0<x<
π
4
,求
cos2𝑥
cos
π
4+𝑥
的值.
分析:一种思路是由已知条件求出 cos
π
4
-𝑥 的值,用诱导公式求出
cos 2x 以及 cos
π
4
+ 𝑥 的值然后代入求解;另一种思路是先将欲求值
的式子化简,然后将 sin
π
4
-𝑥 平方,求得 sin 2x 的值,再求得 cos x+sin
x 的值,最后代入即得.

16. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
解法一∵0<x<
π
4
,∴
π
4
-x∈ 0,
π
4
.
又 sin
π
4
-𝑥 =
5
13
,∴cos
π
4
-𝑥 =
12
13
.
∵cos 2x=sin
π
2
-2𝑥 =2sin
π
4
-𝑥 cos
π
4
-𝑥
=2×
5
13
×
12
13
=
120
169
,
cos
π
4
+ 𝑥 =sin
π
2
-
π
4
+ 𝑥
=sin
π
4
-𝑥 =
5
13
,∴原式=
120
169
5
13
=
24
13
.

17. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
解法二原式=
cos2𝑥-sin2𝑥
2
2 cos𝑥-
2
2 sin𝑥
=
(cos𝑥+sin𝑥)(cos𝑥-sin𝑥)
2
2 (cos𝑥-sin𝑥)
= 2(cos x+sin x).
由已知得
2
2
cos x-
2
2
sin x=
5
13
,所以 cos x-sin x=
5 2
13
,
因此(cos x-sin x)2
=
50
169
,即 1-sin 2x=
50
169
,
所以 sin 2x=
119
169
,因此 1+sin 2x=
288
169
,即(cos x+sin x)2=
288
169
,而
0<x<
π
4
,所以 cos x+sin x=
12 2
13
,
故原式= 2 ×
12 2
13
=
24
13
.

18. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
反思感悟 解决条件求值问题的方法
给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观
察方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角
的变换和角之间的二倍关系.

19. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
变式训练 2 已知 sin α=
10
10
,α∈ 0,
π
2
,则 cos 2𝛼 +
π
6
的值为
( )
A.
4 3-3
10
B.
4 3+3
10
C.
4-3 3
10
D.
3 3-4
10
解析:∵sin α=
10
10
,α∈ 0,
π
2
,
∴cos α= 1-sin2𝛼 =
3 10
10
,
∴sin 2α=2sin αcos α=2×
10
10
×
3 10
10
=
3
5
,
cos 2α=1-2sin2
α=1-2×
10
10
2
=
4
5
.
∴cos 2𝛼 +
π
6
=
3
2
cos 2α-
1
2
sin 2α=
3
2
×
4
5
−
1
2
×
3
5
=
4 3-3
10
.
故选 A.
答案:A

20. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
利用二倍角公式解决化简与证明问题
例3(1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);
分析:(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理
化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos 2θ与1+cos 2θ运用公式
先化简,后约分结合同角关系证明.
(2)证明:
1+sin2𝜃-cos2𝜃
1+sin2𝜃+cos2𝜃
=tan θ.

21. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
(1)解:原式=
1+cos(2𝜃+30°)
2
+
1-cos(2𝜃-30°)
2
+cos θsin θ=1+
1
2
(cos
2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°)+
1
2
sin
2θ=1-sin 2θsin 30°+
1
2
sin 2θ=1.
(2)证明左边=
(1-cos2𝜃)+sin2𝜃
(1+cos2𝜃)+sin2𝜃
=
2sin2𝜃+sin2𝜃
2cos2𝜃+sin2𝜃
=
2sin2𝜃+2sin𝜃cos𝜃
2cos2𝜃+2sin𝜃cos𝜃
=
2sin𝜃(sin𝜃+cos𝜃)
2cos𝜃(sin𝜃+cos𝜃)
=
sin𝜃
cos𝜃
=tan θ=右边,所以等式成立.

22. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
反思感悟 1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数
名”“幂”“形”着手分析,消除差异.
(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思
路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与
分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需
要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,
是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角
的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归
一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找
出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右
两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式
本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.

23. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
变式训练 3 化简:
1
1-tan𝜃
−
1
1+tan𝜃
.
解:原式=
(1+tan𝜃)-(1-tan𝜃)
(1-tan𝜃)(1+tan𝜃)
=
2tan𝜃
1-tan2𝜃
=tan 2θ.

24. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
忽视角的范围致误
典例 化简: 2 + 2 + 2cos𝛼(2π<α<3π).
错解 2 + 2 + 2cos𝛼 = 2 + 2cos
𝛼
2
=2cos
𝛼
4
.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?
提示:错解中利用倍角公式从里到外去根号时,只是机械地套用
公式,而没有考虑角的范围对函数值的影响,从而导致错误.
正解:∵2π<α<3π,
∴π<
𝛼
2
<
3π
2
,
π
2
<
𝛼
4
<
3π
4
.
∴ 2 + 2 + 2cos𝛼 = 2 + 4cos2 𝛼
2
= 2-2cos
𝛼
2
= 4sin2 𝛼
4
=2sin
𝛼
4
.

25. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
防范措施 利用二倍角公式化简 1 ± cos𝛼时,由于 1+cos
α=2cos2𝛼
2
,1-cos α=2sin2𝛼
2
,则 1 + cos𝛼 = 2 cos
𝛼
2
, 1-cos𝛼 =
2 sin
𝛼
2
,因此要根据
𝛼
2
的终边所在的象限确定sin
𝛼
2
,cos
𝛼
2
的符号,从而
去掉绝对值符号,保持恒等变形.

26. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
1.下列各式中,不一定成立的是( )
A.sin 8α=2sin 4αcos 4α
B.1-cos 2α=2sin2α
C.(sin α+cos α)2=1+sin 2α
解析:由二倍角公式可知A,B,C项均一定成立,D项中的公式不一定
成立.
答案:D
D.tan 2α=
2tan𝛼
1+tan2𝛼

27. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
2.已知 sin α=-
3
5
,π<α<
3π
2
,则 sin 2α 等于( )
A.
7
5
B.-
1
5
C.-
12
25
D.
24
25
解析:∵sin α=-
3
5
,π<α<
3π
2
,∴cos α=-
4
5
.
∴sin 2α=2sin αcos α=2× -
3
5
× -
4
5
=
24
25
.
答案:D
3.已知 tan α=-
2
3
,则 tan 2α 的值为( )
A.
12
5
B.-
12
5
C.
12
13
D.-
12
13
解析:tan 2α=
2tan𝛼
1-tan2𝛼
=
2 -
2
3
1- -
2
3
2=-
12
5
.
答案:B

28. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
4.若 tan 𝛼 +
π
4
=-3,则 cos 2α+2sin 2α=( )
A.
9
5
B.1 C.-
3
5
D.-
7
5
解析:∵tan 𝛼 +
π
4
=
tan𝛼+1
1-tan𝛼
=-3,
∴tan α=2,
∴cos 2α+2sin 2α=
cos2𝛼-sin2𝛼
cos2𝛼+sin2𝛼
+
4sin𝛼cos𝛼
cos2𝛼+sin2𝛼
=
1-tan2𝛼
1+tan2𝛼
+
4tan𝛼
1+tan2𝛼
=-
3
5
+
8
5
=1.
答案:B

29. 课堂篇
探究学习
探究一 探究二 探究三 思维辨析 随堂演练
5.
1+cos100°
sin20°cos20°
= .
解析:
1+cos100°
sin20°cos20°
=
2cos250°
1
2sin40°
=
2cos50°
1
2cos50°
=2 2.
答案:2 2

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