1. §2−3 空間中的平面方程式
(甲)空間中平面方程式
(1)[ 回 顧 坐 標 平 面 上 的 直 線 ] ：
(a)平面坐標系中，只要知道斜率 m 與點(x 0 ,y 0 )就可以確定直線的位置，因此可以
求 出 直 線 的 方 程 式 y−y 0 =m(x−x 0 ) ( 點 斜 式 ) 。
(b)考慮平面上的直線 L：2x+3y+6=0，P(3,−4)為 L 上的任意點，我們曾定義直線
L 的 法 向 量 =(2,3) ， 設 R(x,y) 為 L 上 的 一 點 ， 根 據 法 向 量 的 定 義 ， 可 知 上 ， 即
， =0⇒(x−3,y+4)⋅(2,3)=0⇒2x+3y+6=0 。
(2) 平 面 的 法 線 與 法 向 量 ：
平面的法線：若一直線 L 垂直於平面 E，則稱此直線為平面 E 的法線。
平 面 的 法 向 量 ：
若 直 線 L 為 平 面 E 的 法 線 ，
則 直 線 L 的 一 個 方 向 向 量 就 稱 為 平 面 E 的 一 個 法 向 量 。
法 向 量 的 特 性 ：
(a) 一 個 平 面 的 法 向 量 會 是 唯 一 嗎 ？ n NO ！
(b) 若 任 取 平 面 E 上 的 兩 個 相 異 點 A 、 B ， 則 ， 。
P(x,y,z)
A(x0,y0,z0
E )
(3) 如 何 求 平 面 的 方 程 式 ：
(a) 點 法 式 ：
若 平 面 E 法 向 量 =(a,b,c) 且 過 點 A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) ，
則 平 面 E 的 方 程 式 為 a(x−x 0 )+b(y−y 0 )+c(z−z 0 )=0 。
[ 證 明 ] ：
在 平 面 E 上 任 取 一 點 P 其 坐 標 為 (x,y,z) ， 則 ，
所 以 (x−x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 )⋅(a,b,c)=0
⇒a(x−x 0 )+b(y−y 0 )+c(z−z 0 )=0
反 過 來 說 滿 足 方 程 式 a(x−x 0 )+b(y−y 0 )+c(z−z 0 )=0 的 解 Q(x,y,z)
⇒ ⊥ ⇒Q 落 在 平 面 E 上 。
~2−3−1~

2. (b) 一 般 式 ：
將 方 程 式 a(x−x 0 )+b(y−y 0 )+c(z−z 0 )=0 化 簡 可 得 ax+by+cz+d=0 的 方 程 式 。
我 們 將 ax+by+cz+d=0 稱 為 一 般 式 。
一 般 式 ax+by+cz+d=0 的 法 向 量 為 =(a,b,c)
[ 證 明 ] ：
設 A(m,n,l) 、 B(p,q,r) 在 平 面 ax+by+cz+d=0 上 ，
驗 證 驗 (a,b,c)=(p−m,q−n,r−l)⋅(a,b,c)
=a(p−m)+b(q−n)+c(r−l)
=ap+bq+cr−(am+bn+cl)
=d−d=0
故 故 因 此 ax+by+cz+d=0 的 法 向 量 為 =(a,b,c) 。
結論：掌握法向量，平面上的一點 P，即可用點法式去表示平面方程式：
(a)已知平面 E 的=(a,b,c)，過 P(x 0 ,y 0 ,z 0 ) ⇒點法式：a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+c(z-z 0 )=0
~2−3−2~

3. (b) 一 般 式 ： ax+by+cz+d=0 ， ⇒法 向 量 z
=(a,b,c) 。
(4) 問 題 與 討 論 ：
(a) 特 殊 平 面 ： xy 平 面 平 z=0 ， yz 平 面 平 x=0 ， zx 平 面 平 y=0
y
(b) 如 何 去 決 定 方 程 式 2x+3y−6=0 的 圖O形 。
z
y
x
y
x O
O
x
平 面 坐 標 ：
空 間 坐 標 ：
1. 已知一平面 E 和直線 AB 垂直，A 為其垂足，若 A(4,3,−2)，B(5,−2,1)，求
平面 E 的方程式。Ans：x−5y+3z+17=0
~2−3−3~

4. 1. 求 過 點 P(2,−3,1) 且 法 向 量 =(2,−3,4) 的 平 面 方 程 式 。 Ans ：
2x−3y+4z=17
2. 在空間中，連接點 P(2,1,3)與點 Q(4,5,5)的線段 PQ 之垂直平分面。
Ans：x+2y+z−13=0
3. 設 P 、 Q 為 平 面 E ： ax+by+cz=5 上 相 異 兩 點 ， 且 =(x 0 , y 0 , z 0 ) ， 則
⋅(a,b,c) 為 何 ？ (A) 不 定 值 ， 隨 (x 0 , y 0 , z 0 ) 而 改 變 。 (B)25 (C)5 (D)0
(E)−1。Ans：(D)
(3) 給 不 共 線 三 點 求 平 面 方 程 式 ：
(a) 從 一 個 例 子 說 起 ：
設 A(3 ， ， 1,1) 、 B(4,2,−1) 、 C(7,0,3) ， 求 過 A 、 B 、 C 三 點 的 平 面 方 程 式 。
[ 解 法 ] ： 設 平 面 的 法 向 量 為 =(a,b,c) ，
=(1,3,−2) 、 =(4,1,2)⇒⊥ 且 且
即 即 =0 且 且 =0
 a + 3b − 2c = 0
⇒ ⇒a=c ， b=c
4a + b + 2c = 0
即 a ： b ： c=8 ： (−10) ： (−11)
所 以 =k(8,−10,−11) k≠0 ， 取 =(8,−10,−11)
所 求 平 面 方 程 式 為 8(x−3)−10(y+1)−11(z−1)=0 。
~2−3−4~

5. (b) 找 公 垂 向 量 ：
由前面的例子中，我們知道已知空間中兩個向量、，
可 以 找 到 ， 使 得 可 且 且 。
空間中的向量運算除了有加減法、係數積、內積之外，還有一種運算
空 外 積 。
在物理學中，設力作用在位移的終點上，它的力矩定義為一個向量，
其 大 小 為 ||||sinθ ， 方 向 垂 直 與 ， 且 與 、 構 成 右 手 系 ，
符 號 寫 成 ： =× 這 樣 的 慨 念 抽 象 化 之 後 ， 形 成 以 下 的 定 義 ：
設 =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) ， =(b 1 ,b 2 ,b 3 ) ，
定 義 與 的 外 積 為 (a 2 b 3 −a 3 b 2 ， a 3 b 1 −a 1 b 3 ， a 1 b 2 −a 2 b 1 ) ，
符 號 ： 符 =(a 2 b 3 −a 3 b 2 ， a 3 b 1 −a 1 b 3 ， a 1 b 2 −a 2 b 1 ) 。
θ
快 速 算 法 ：
a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
×
性 質 ：
(a) |×|=||||sinθ ， ， 為 與 之 夾 角 。
(b) ×=−×
(c)× 為 一 個 向 量 ， 其 大 小 為 ||||sinθ ， 方 向 由 、 、 、 構 成 右 手 則 。
(d)∆ABC 面積為=|×|。
回到原先的問題，已知空間中兩個向量、，可以找到回，使得，且且，根據向量
外積的定義，可取為與外平行的一個向量。
~2−3−5~

6. 例 如 ： 設 A(1,2,0) ， B(0,3,0) ， C(−2,−3,1) ， 求 與 的 一 個 公 垂 向 量 。
Ans ： (1,1,8)
2. 求過三點 A(−3,1,2)、B(5,3,−7)、C(1,7,0)的平面方程式。
Ans：5x−2y+4z+9=0
3. 設一平面 E 包含點 A(2,3,1)及點 B(3,−1,0)，且平面 E 和 z 軸平行，求平面 E
的方程式，此平面方程式有何特徵？
Ans：4x+y−11=0，缺 z 項，和 z 軸平行。
4. 求過點 P(1,1,1)且垂直平面 3x+y−z+1=0 與 4x−2y−z−5=0 之平面方程式。
Ans：3(x−1)+(y−1)+10(z−1)=0
~2−3−6~

7. 5. 一平面與平面 3x+2y+z+11=0 平行，且與三軸之截距和為 22，試求其方程
式。Ans：3x+2y+z−12=0
注意：截距不是距離，是圖形與坐標軸交點之坐標值。
6. 設三平面 E1：3x+2y−2z+1=0，E2：x+y−5z−6=0，E3：4x+2y+3z+1=0，
有一平面 E 包含 E1 與 E2 之交線且與 E3 垂直，求 E 之方程式。
Ans：37x+28y−68z−51=0
4. 空 間 中 四 點 A(1 ， 1 ， 2) ， B( － 1 ， 0 ， 3) ， C(2 ， 0 ， －
1) ， D(3 ， k ， 1) ，
(1) 過 A ， B ， C 三 點 的 平 面 方 程 式 為 。
(2) 若 A ， B ， C ， D 四 點 共 平 面 ， 則 k ＝ 。
Ans：(1) 4x－5y＋3z－5＝0(2) 2
5. 試求過點 A(2,1,−1)、B(1,1,2)二點且與平面 7x+4y−4z=0 垂直之平面
的方程式。Ans：12x−17y+4z−3=0
6. 設 A(−1,2,1)，B(2,1,0)，C(0,3,1)，D(1,4,−1)設一平面 E 和直線 AB
及 CD 均 平 行 , 且 平 面 E 含 點 (1,2,3), 求 平 面 E 的 方 程 式 。 Ans ：
3x+5y+4z−25=0
~2−3−7~

8. 7. 求 下 列 各 平 面 方 程 式 ：
(1) 平 行 xy 平 面 ， 且 在 其 上 5 單 位 長 之 平 面 。 Ans ： z=5
(2) 平 行 於 z 軸 ， 且 x 軸 截 距 為 3 ， y 軸 截 距 為 4 之 平 面 。 Ans ：
4x+3y−12=0
8. 過點 A(1,2,3)與 yz 平面平行之平面方程式。Ans：x=1
9. 平 面 E 在 x,y,z 軸 的 截 距 為 2 ， ， 1 ， 3 ， 試 求 平 面 E 的 方 程 式 。
Ans：3x−6y+2z=6
10. 平面過 G(−1,2−3)且此點恰為平面在 x,y,z 軸上截點所成三角形之重
心，求此平面方程式。 Ans：6x−3y+2z+18=0
11. 平 面 E 之 法 向 量 為 (3,−2,1) ， 且 三 截 距 和 為 13 ， 求 E 的 方 程 式 。
Ans：15x−10y+5z−78=0
12. 平 面 E 包 含 2x+y−4=0 與 y+2z=0 之 交 線 且
(1) 通 過 點 (2,−1,1) 時 ， 平 面 E 的 方 程 式 。
(2) 垂 直 於 平 面 3x+2y−3z−6=0 時 ， 平 面 E 的 方 程 式 。
Ans：(1)x+y+z−2=0 (2)2x+3y+4z=4
(乙)空間中兩平面的夾角
(1) y
設 L1 ， L2 為 平 面 上 之 兩 相 交 的 直 1線
n2 ，
L1 ： a 1 x+b 1 y+c 1 =0 ， L2 ： a 2 x+b 2 y+c 2 =0 21，
n
若 設 兩 直 線 的 法 向 量 夾 角 為 πθ
−若 ，
則 兩 直 線 的 交 角 為 則 ， ，
O 兩
θ 直 。
x
[ 證 明 ] ： 設 L1 ， L2 的 法 向L 量 分 πθ
−別 為 ，
2
則 可 取 =(a 1 ,b 1 ) ， =(a 2 ,b 2 ) ， 由 右 圖
L1 a1 a 2 + b1b2
cosα= = 2 2 2 2
a1 + b1 ⋅ a 2 + b2
兩直線的交角為兩，，直線。
~2−3−8~

9. (2) 兩 平 面 的 夾 角 ：
設 兩 平 面 E1 ： a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 ， E2 ： a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 ，
若 設 兩 平 面 的 法 向 量 、 的 夾 角 為 若 ，
則 平 面 E1 與 E2 的 交 角 為 的 ， ， 交 角 。
[ 證 明 ] ： 設 平 面 E1 、 E2 交 於 一 直 線 L ， 另 作 一 平 面 E 垂 直 L
且 分 別 與 E1 、 E2 交 線 L1 、 L2 ，
法 向 量 、 的 夾 角 法 必 等 於 直 線 L1 、 L2 的 一 個 夾 角
也就是平面 E 1 、E 2 所夾的一個二面角。
7. 設平面 x+2y+z=2 與 ax−y+z=5 有一個夾角為 60°，求 a 的值。
Ans：a=±
8. 求過點 A(1,0,0)、B(0,0,)二點，且與平面 x+z=3 之交角為 45°的平面方程式。
Ans：x±y+3z−1=0
13. 設設為平面 2x+y−z=4 與 xy 平面之夾角，則 sinα=？ Ans：
14. 求 E 1 ： x−2y+2z=5 與 E 2 ： 3x+4y−5z=−3 二 平 面 的 交 角 。
Ans：或
15. 平面 E 過點 A(1,−1,1)、B(−1,3,1)且與平面 x+y+1=0 之一交角為，求
E 的方程式。 Ans：2x+y+2z−3=0，2x+y−2z+1=0
(丙)空間中點到平面的距離
~2−3−9~

10. (1) 點 A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) 到 平 面 E ： ax+by+cz+d=0 的 距 離 為 d(A,E)= 。
A
E
H
A/
(2) 兩 平 行 平 面 E 1 ： ax+by+cz+d 1 =0 ， E 2 ： ax+by+cz+d 2 =0
兩 平 面 E1 、 E2 的 距 離 d(E 1 ,E 2 )= 。
9. 設 A(3,2,1)在平面 E：3x+2y+z−28=0 上的投影點坐標，並求 A 點對此平面
的對稱點。 Ans：(6,4,2)、(9,6,3)
~2−3−10~

11. 10. 在右圖的空間坐標中，O 為原點，點 A、B、C 分別位於 x 軸、y 軸、z 軸
上，==，且 D 為的中點，求 O 到平面 ABC 與 O 到平面 ABD 的距離之
Z
比。Ans：：1
C
D Y
B
O
A X
11. 平面 E1：7x−y+2z+10=0，E2：4x+4y−8z+3=0，求 E1 及 E2 所夾二面角之平
分面方程式。Ans：16x−16y+32z+31=0 或 40x+8y−16z+49=0
16. 求點 A(5,0,8)到平面 E：2x−y+2z+1=0 的距離。 Ans：9
17. 空間中，設 A(−1,3,3)、B(1,3,4)、C(3,−5,−5)、D(2,2,7)，則四面體
ABCD 中，以 ABC 為底面時，高為何？ Ans：
18. 求 與 平 面 2x−y−2z+3=0 平 行 且 與 其 距 離 為 1 的 平 面 方 程 式 。
Ans：2x−y−2z=0 或 2x−y−2z+6=0
19. 設 P(x,y,z)為平面 E：x−2y−2z+3=0 的點，則(x−6) 2 +y 2 +z 2 的最小值為？
Ans ： 9
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12. 綜合練習
(1) 試求下列諸平面的方程式：
(a)過點(−1,3,2)，法線方向為(−4,1,3)。
(b)過點(5,6,6)，法線的方向角為 45°、45°、90°。
(c)過點(3,3,3)，法線方向餘弦為、 。
、
(d)過三點(2,7,3)、(4,6,2)、(5,6,1)。
(e)在 x,y,z 軸截距為 3,−2,4。
(f)設 P(2,1,−1)、Q(3,−2,1)、R(1,1,2)，其中直線 PQ 垂直此平面且 R 點到平面的
距離為 2。
(g)與 4x−2y−z−5=0、3x+y−z+1=0 二平面均垂直且通過點 P(1,1,1)。
(h)點(1,2,3)在此平面上的投影點為(2,3,4)。
(i)過 x+y−z+2=0、x+z−3=0 二平面的交線且過點(0,0,2)。
(j)過 A(−1,3,1)、B(1,−1,1)二點且與平面 x+y−6=0 之一交角為。
(2) 平面 E1：x−2y+2z−5=0，E2：2x+y−2z+3=0，求 E1、 2 所夾二面角之平分面方程
E
式。
(3) 設 A(1,0,1)、B(3,−1,2)、C(0,1,−1)，試求
(a)再上的正射影為何？
(b)∆ABC 的面積為何？
(c)平面 ABC 的方程式。
(d)的垂直平分面方程式。
(4) 設 A(2,0,0)、B(0,8,0)、C(0,0,1)、D(1,4,9)為空間中四點，求四面體 ABCD 的體
積。
(5) 一平面 E 與平面 x−3y+12z−5=0 平行，且與三坐標平面所圍成的四面體的體積
為 1，求 E 的方程式。
(6) ⋅給予一平面 E：x−3y−z−12=0 及一點 P(2,5,−3)，求 P 在 E 上的正射影，P 對於
E 的對稱點。
(7) 點 A(1,2,3)、B(2,3,4)，點 P 在 xz 平面上，若+為最小，
則 P 的坐標為 。
進階問題
~2−3−12~

13. (8) 平面 E 過點 P(2,3,4)，且分別交 x,y,z 三軸正向於 A、B、C 三點，O 為原點，
(a)求四面體 OABC 的最小體積。
(b)此時平面 ABC 之方程式為何？
(9) 設二平面 E1：x+ky+z−2=0 與 E2：x+y−z+1=0 的夾角為，求 k 之值。
(10) 設 A(0，1，2)，B(－1，0，3)，C(1，2，3)，
(a)求通過 A，B，C 三點的平面方程式。(b)求求ABC 的垂心坐標。
綜合練習解答
(1) (a)4x−y−3z+13=0 (b)x+y−11=0 (c)2x+3y−6z+3=0 (d)x+y+z−12=0
(e)4x−6y+3z−12=0 (f)x−3y+2z=32 或 x−3y+2z=−24 (g)3x+y+10z−14=0
(h)x+y+z−9=0 (i)x+y−z+2=0 (j)2x+y−2z+1=0 或 2x+y+2z−3=0
(2) x+3y−4z+8=0 或 3x−y−2=0 (3) (a)(−1,1,−2) (b) (c)x+3y+z−2=0 (d)2x−y+z−6=0
(4) 24 [提示：找出平面 ABC 的方程式，再求 D 點到平面 ABC 的距離，再利用四
面體 ABCD 的體積=×(∆ABC 的面積)×高] (5) x−3y+12z=±6
[提示：可令所求方程式為 x−3y+12z=k ⇒x,y,z 軸的截距為 k,, ⇒|k⋅⋅|=1]
(6) (4,−1,−5) (6,−7,−7) (7) (,0,)[提示：A、B 兩點在 xz 平面的同側，作 A 對 y=0
的對稱點 A / (1,−2,3)，令 P(x,y,z)因為 A / 、P、B 共線 =t
⇒x=1+t,y=−2+5t，z=3+t，代入 y=0 ⇒t=。] (8) (a)108 (b)++=1
[提示：設平面方程式為++=1 ，因為平面過 P 點 ++=1(其中 a,b,c 均為正數)，
2 3 4 4
四面體 OABC 的體積 V=abc，1=++≥ 33 ⋅ ⋅ = 33 ⇒V≥108，
a b c V
等號成立時 === ⇔ a=6，b=9,c=12] (9) ±[提示： =(1,k,1)，
=(1,,−1)⇒cos = ⇒k=±] (10) (a) x－y＋1＝0(b) H(0，1，1)
[提示：令 H(x,y,z)，利用，=0，，=0，H 在平面 ABC 上，找出 x,y,z 的方程式，
再解 x,y,z。]
~2−3−13~