1. §2−4 複數與複數平面
(甲) 虛數 i 的引入
為了使 x 2 +1=0 有解，我們在實數系之外另創了一個新數,稱為虛數單位。十八世紀
Euler 特 以 i 來 表 示 ， 但 當 時 並 未 普 遍 ， 直 到 Gauss 時 代 才 被 廣 泛 的 使 用 。
(1) i 的 性 質 ：
2 3 4
(a)i= (b)i =−1 (c)i =−i (d)i =1
一 般 而 言 ： i 4m+k =i k ， m 為 整 數 ， k=0,1,2,3
(2) 的 運 算 ： 如 果 a<0 ， 則 計 算 時 ， 。
計 算 ： = ？ 計 算 ： = ？
 a
− ab , a < 0, b < 0 −

, a > 0, b < 0
b
結 論 1： =  結 論 2： = 
 ab , 其他  a
, 其他

 b
1. 計算下列各小題：
(1)i97+i102+i303− i27=？ (2)=？
4
(3)=？ (4)− =？Ans：(1)i−1 (2)0 (3)−(4)
−9
~2−4−1~

2. − 12 8 2
1. 求 × −5× × =？ Ans：
30 6 −3
2. 若 x,y 為實數，且 x+y=−7,xy=4，求() 2 =？ Ans：：11
(乙)複數標準式與基本運算
~2−4−2~

3. (1) 複 數 的 定 義 ：
(a) 假 定 i 表 示 ， 而 a,b 均 為 實 數 ， 則 所 有 像 a+bi 這 樣 的 數 ， 都 叫 做 複 數 。
所 有 的 複 數 所 成 的 集 合 稱 為 複 數 系 。 複 數 系 (C)={a+b i|a,b 為 實 數 }
(b) 複 數 的 標 準 式 ： ( 實 數 )+( 實 數 ) i
一 個 複 數 z 寫 成 a+bi(a,b 為 實 數 ) 的 形 式 ， 則 a+bi 就 稱 為 複 數 z 的 標 準 式 。
其 中 a 稱 為 z 的 實 部 ， b 稱 為 z 的 虛 部 。 符 號 ： a=Re(z) ， b=Im(z) 。
例 如 ： 3+4i 的 實 部 為 3 ， 虛 部 為 4 。 2−i 的 實 部 為 2 ， 虛 部 為 ， 。
(c) 虛 數 的 定 義 ：
設 複 數 z=a+bi(a,b 為 實 數 )
 若 b=0 ， 則 z=a+bi=a 為 實 數 ， 即 虛 部 為 0 的 複 數 為 實 數 ，
故 實 數 系 包 含 在 複 數 系 中 。
a = 0 , z = bi , 稱為純虛數
 若 b≠0 ， 則 z=a+bi 為 虛 數 
a ≠ 0 , z = a + bi , 稱為虛數
數 系 的 關 係 ： N⊂ Z⊂ Q⊂ R⊂ C
(2) 複 數 的 相 等 ：
設 z 1 =a+bi ， z 2 =c+di (a,b,c,d 均 為 實 數 ) ， 則 z 1 =z 2 ⇔ a=c 且 b=d 。
(3) 複 數 的 加 減 乘 除 ： 設 a,b,c,d 為 實 數
(a) 加 法 ： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(b) 減 法 ： (a+bi)−(c+di)=(a − c)+(b − d)i
(c) 乘 法 ： (a+bi)×(c+di)=(ac − bd)+(bc+ad)i
例 如 ： (3+5i)(2−4i)=
(d) 除 法 ： 若 c+di≠0 ， 則 =+
例 如 ： =
(e)複 數 運 算 的 定 義 能 像 實 數 運 算 一 樣 滿 足 交 換 律 、 結 合 律 、 分 配 律 。
~2−4−3~

4. 2. 求 8+6 i 的平方根。 Ans：3+i，，3−i。
3. 設複數 z 的虛部為的，且的實部為，則 z=？
Ans：或
4. 化簡(2+5i)(7+3i)+為標準式。 Ans：+ i
3. 設 z∈C ， 且 實 數 Re(z)= ， 的 虛 部 Im()= ， 求 z= ？
Ans： + i 或 + i
4. 求 5+12 i 的平方根。 Ans：：(3+2i)
5. 將 下 列 各 複 數 化 成 a+bi 的 形 式 ：
(1)(−2−3i)−(−−i) (2)(2+5i)(−7−2i)
(3)()()(4)
Ans：(1)−(2)−4−39i (3)5+0i (4)
~2−4−4~

5. (4) 共 軛 複 數 ：
(a) 設 複 數 z 的 標 準 式 為 a+bi ， 我 們 稱 a − bi 為 a+bi 的 共 軛 複 數 。
符 號 z = a − bi 。 即 a+bi 與 a − bi 互 為 共 軛 複 數 。
(a+bi)+(a−bi)= 為 實 數
(a+bi) × (a−bi)= 為 實 數
例 如 ： 3 + 4i =3−4i ， − 1 + 4i =−1−4i ， − 5 =− ， 3i =−3i 。
(b)z 為 實 數 為 z =z ，
z 為 純 虛 數 或 0⇔ z =−z
(c) 共 軛 複 數 的 運 算 性 質 ： 設 z1 、 z2 為 複 數
 z1 + z 2 =__________  z1 − z 2 =__________
z1
 z1 × z 2 =__________ ( ) =_____________
z2
 (z ) =____________
6. 試求的共軛複數。 Ans： i
7. 設 z=3+2i，試求 之共軛複數。Ans： i
( 丙) 複數平面
~2−4−5~

6. (1) 複 數 平 面 的 引 進 ：
複數是表示成 x+yi(x,y 為實數)的數，我們將複數 x+yi 對應坐標平
面上的點(x,y)，我們發現這種對應是一對一的對應。即任一個複數都
可找到坐標平面上唯一一點與之對應，反之，給定坐標平面上一個
點，可找到唯一一個複數與之對應。這種與複數對應的平面稱為複
數 平 面 ， x 軸 又 稱 實 軸 ， y 軸 又 稱 為 虛 軸 。
例如：x 軸上的點(−3,0)，代表實數，3，y 軸上的點(0,6)代表純虛數
6i ，
點 (−4,6) 代 表 代 4+6i 。
例如：設 z=x+yi，則 z =x−yi。如果複數平面上 A,B 兩點代表 z 與 z ，
則 A,B 對
稱於實軸。
~2−4−6~

7. 虛軸
A(x+yi)
P(x+yi)
B(x-yi)
O
實軸
(2) 複 數 的 絕 對 值 ：
z=x+yi 的絕對值定義成複數 z 所代表的點與原點 O 的距離，如上圖
的 虛軸 ，
符 號 記 為 A(z) |z| 。
B(w)
(a)|z|=|x+yi|=
(b) 設 z,w 為 兩 個 複 數 ， 複 數 平 面 上 A 、 B 分 別 代 表 z,w ：
O
|z−w|= 實軸
(c) 複 數 絕 對 性 質 (z,z 1 ,z 2 ∈ C)
|z|=|−z|=| z |=| − z |
−z
z
O
−z
z
|z| 2 =z × z ( 若 |z|=1,z × z =1)
|z 1 ×z 2 |=|z 1 |×|z 2 | ||=
~2−4−7~

8. |z 1 −z 2 |≤|z 1 |+|z 2 | z2
|z1−z2|
|z2| z1
|z1|
O
z2
|z 1 +z 2 |≤|z 1 |+|z 2 |
z1
|z1|
O
|z1+z2|
|−z2|
−z2
~2−4−8~

9. 5. 求下列各複數的絕對值：
(a)|−7+3i| (b)|| Ans：(a) (b)2
6. 設 z∈C，試分別求 2−3i z 對於實軸、虛軸、原點成對稱的點所表示的複數。
Ans：2+3iz、、2−3iz、、2+3i z
7. 設 z∈C，在複數平面上，
(1)試問滿足|z−3|=|z−i|之複數 z 所代表的點所成的圖形是什麼？
(2)試問滿足|z−(3−2i)|=4 之複數 z 所代表的點所成的圖形是什麼？
Ans：(1)直線 (2)圓
8. 試 求 下 列 各 複 數 的 絕 對 值 ：
(a)3+i (b)−1+5i (c)3i (d)(3+i)(−1+5i) (e)
Ans：(a) (b)(c)3 (d)2 (e)
~2−4−9~

10. 9. 設 z∈C ， 在 複 數 平 面 上 ，
(1)試問滿足|z−3+6i|=|z−7i|之複數 z 所代表的點所成的圖形是什麼？
(2) 試 問 滿 足 |z−6−9i|=6 之 複 數 z 所 代 表 的 點 所 成 的 圖 形 是 什 麼 ？
Ans：(1)直線 (2)圓
10. 設 z∈C ， 設 |z|=2 ， 則 |z+3| 2 +|z−3| 2 = ？ Ans ： 22
(提示：|z+3| 2 =(z+3) ( z + 3) ，|z−3| 2 =(z−3) ( z − 3) )
( 丙) 一元二次方程式的解
~2−4−10~

11. (1) 解 一 元 二 次 程 式 ：
ax 2 +bx+c=0 ， a≠0 ， a,b,c∈R
a(x+x)= − c ， a(x+) 2 = − c+=
(x+) 2 = ， x+= ， 故 x=
(2) 一 元 二 次 程 式 根 的 性 質 ：
ax 2 +bx+c=0 (a,b,c 為 實 數 ， a≠0) ， 根 的 判 別 式 D=b 2 − 4ac
(a)D>0⇔ 兩 相 異 實 根 (b)D=0⇔ 兩 相 等 實 根 (c)D<0⇔ 兩 共 軛 虛 根
注 意 ： 以 上 的 結 論 有 一 個 重 要 的 前 提 ， 就 是 a,b,c 為 實 數 。
(2) ax 2 +bx+c=0 (a,b,c 為 有 理 數 ， a≠0) ，
(a)D=( 有 理 數 ) 2 >0 ⇔ 兩 相 異 有 理 根
(b)D≠( 有 理 數 )2 >0⇔ 兩 相 異 無 理 根
(c)D=0⇔ 兩 相 等 有 理 根
(3) 根 與 係 數 的 關 係 ：
設 一 元 二 次 方 程 式 ax 2 +bx+c=0 有 兩 根 為 有 ,β
(a)a α 2 +b α +c=a β 2 +b β +c=0
(b) α + β = − ， ， =
(c)ax 2 +bx+c=a(x −α )(x− β ) ⇒ 方 程 式 x2−(α +β )x+ α β =0
因此得知若已知兩根 因 , β ，計算 ， + β ， ， ，則可求得方程式。
~2−4−11~

12. 8. 試解下列方程式：
(1)x2+4x+2=0 (2)3x2+5x+4=0 Ans：(1)x=−2±(2)
9. 試求以下列數字為二根的整係數方程式。
(1)、 (2)1+、1−(3)4−3i、4+3i
Ans：(1)6x2−x−1=0 (2)x2−2x−1=0 (3)x2−8x+25=0
10. 設設、、為方程式 x2+2x+3=0 的二根，求下列各式的值。
(a)α2+β2 (b)α3+β3 (c)α4+β4 (d)(α2+4α+3)(β2+4β+3)
(e) + 。Ans：(a)−2 (b)10 (c)−14 (d)12 (e)−1
11. 設 a 為實數，且方程式 4x2−(3a+i)x+a−i=0 有一實根有，試求，之值與另一
個根。
Ans：：=−1、
~2−4−12~

13. 12. 設一元二次方程式 x2+4x+16=0 的二根為的、、，請求(+)2=？
Ans：：12
11. 試 解 下 列 的 方 程 式 ：
(1)5x −7x−1=0
2
(2)x −4x+5=0
2 2
(3)3x +2x+1=0
Ans：(1) (2)x=2±i (3)x=
12. 試解方程式 x|x|−3|x|+2=0。 Ans：x=1,2 或
13. 設 a 為 實 數 ， 且 3x 2 +(a+i)x+2i−6=0 有 實 根 ， 求 此 方 程 式 的 解 。
Ans：：2、1−
14. 設 x 2 −2x+3=0 的 二 根 為 的 、 、 ， 求 下 列 各 式 的 值 ：
(1)α 2 +β 2 (2)α 3 +β 3 (3) + (4) + 。
Ans：(1)−2 (2)−10 (3) (4)
15. 設設、、為 x 2 +6x+4=0 之二根，則 ( α + β ) =? Ans：：10
2
16. 設設、、為 x 2 −3x+5=0 之二根，試分別為以下列二數為根之一元二次
方 程 式 。
(1)α+β 、 、 1 (2) 、
Ans：(1)x 2 −8x+15=0 (2)25x 2 +18x+5=0
17. 甲乙二生同解一整係數方程式，甲生判別式計算錯誤，得二根為、，
乙 生 抄 錯 x2 的 係 數 ， 得 二 根 為 、 ， 則 正 確 的 方 程 式 為 何 ？
Ans：48x 2 −38x−15=0
18. 設 k 為 實 數 ， 二 次 方 程 式 kx 2 +2x+3=0 沒 有 實 根 ， 求 k 之 範 圍 。
Ans：k>
~2−4−13~

14. 19. 設 k 為 自 然 數 ， 3x 2 +10x+k=0 的 二 根 均 為 有 理 數 ， 求 k 之 值 。
Ans ： k=3 或 7 或 8
13. 令令= ，求下列各式的值：
(1) ω2 (2) ω3 (3)1+ω+ω2 (4) (5)(2−ω)(2−ω2)(2−ω4)(2−ω8)
Ans：(1) (2)1 (3)0 (4) (5)49
20. 令 令 = ， 求 下 列 各 式 的 值 ：
(1) ω 31 +ω 32 +…+ω 172 = ？
(2)(1−2ω−2ω 2 )(2+2ω−3ω 2 )(3−4ω+3ω 2 )= ？
Ans：(1) (2)105
複數與實數的比較：
~2−4−14~

15. 數 系 實數系(R) 複數系(C)
性質
定義與關係 可表示在數線上 可表示在複數平面上
加法運算 加 法 有 封 閉 性加 法 有 封 閉 性
加 法 有 結 合 律加 法 有 結 合 律
加法有交換律 加法有交換律
乘法運算 乘 法 有 封 閉 性乘 法 有 封 閉 性
乘 法 有 結 合 律乘 法 有 結 合 律
乘 法 有 交 換 律乘 法 有 交 換 律
不等性質 乘 法 對 加 法 有 分 a,b∈R 乘法對加法有分配律大 小 。
設 配 律虛 數 不 能 比 較
a−b>0⇔a>b
實數的大小次序關係：
設 x,y,z 均 為 實 數 ， 則
(a) 下 列 三 式 恰 有 一 成 立 ：
x>y ， x=y ， x<y ( 三 一 律 )
(b) 若 x<y ， y<z ， 則 x<z 。
(c)x<y ⇔ x+z<y+z
(d)若 z>0，則 x<y ⇔ xz<yz。
絕對值的性質 a 為 實 數 ，a 為 複 數 ， a=x+yi
|a|代表數線上，a 所代表的點 |a|代表複數平面上，a 所代表
到 坐 標 原 點 的 距 離 。的點到原點 O 的距離。
設 x,y 為 實 數設 x,y 為 複 數
|xy|=|x||y| |xy|=|x||y|
||= (y≠0) ||= (y≠0)
||x|−|y||≤|x±y|≤|x|+|y| ||x|−|y||≤|x±y|≤|x|+|y|
其它 設 a,b∈R ，設 a,b∈ C
a−b>0 ⇔a>b 。 a− b>0 不 能 保 證 a>b 。
a 2 +b 2 =0 ⇔a=b=0 a 2 +b 2 =0 不 能 保 證 a=b=0
a 2 ≥0
−|a|≤a≤|a| 不 能 保 證 a2≥ 0
不 能 保 證 不 |a|≤ a≤ |a|
~2−4−15~

16. 綜合練習
(1) 請化簡下列兩式：
(a) + ++i=？
(b)=？
(c)i81+i82+…+i366=？
(2) 下列各式何者為真？
(A)=× (B)=−× (C)=
(D) = − 。
(3) 設 a,b 為兩個複數，下列敘述何者正確？
(A)若 z=a+bi 為複數，則 b 為複數 z 的虛部。 (B)若 a+bi=0，則 a=b=0
(C)若 a2>b2，則 a2−b2>0 (D)若 a2−b2>0，則 a2>b2 (E)若 a2+b2=0，則 a=b=0
(4) 設 a,b 為實數，下列選項何者為真？
(A)()2= (B)= (C)= (D)設 a,b 為實數，b>a，
則=i (E)c 為實數，=ci。
(5) 設 z 為複數，z 的虛部為的2， 的實部為，則 z=？
(6) 請問滿足下列條件的複數所代表的點在複數平面上所形成的圖形：
(a)|z−3i|=8 (b)|z+5−7i|=|z−4−i|
(7) 設 a,b 為實數，且之共軛複數為為5+bi，則 a+b=？
(8) 設 a 為實數，若 x3+ax2+x+2=0 有純虛根，求 a=？
(9) 設 i=，若 1−i 為 x2−cx+1=0 之一根，則複數 c=？
(10) 設 x∈R 且 i(x+i)3 為實數，求 x 的值。
(11) 設 a,b 為實數，滿足 a+b=−12 且 ab=3，則(+)2=？
(12) 設 a,b 為實數，滿足 a+b=−13 且 ab=9，則+=？
(13) 設 x,y 為實數，且 x+y−4i=1+xyi，求+=？
(14) 試求試5+12i 的平方根。
(15) 設 z∈C，且 z2=i，求 z3+之值。
(16) 設 z=，則|z|=？
~2−4−16~

17. (17) 試解下列方程式：
(a)6x2−x−12=0 (b)x2−3x+(3+)=0 (c)x2+|2x−1|=3 (d)+ 5⋅=6
(18) 設 x2+kx+6=0 試求滿足下列條件的 k 值。
(a)二根的比為 2：1。 (b)二根平方和為 5。
(19) 甲乙二生解 x 之一元二次方程式，甲看錯判別式得二根 4,−3，乙看錯 x2 項係
數，二根得 3,−1，試問若無其他錯誤，求正確二根。
(20) 試解方程式 x−5|x|+6=0。
(21) 設 m∈Q，方程式 x2−(+1)x+m−2=0 有有理根，求 m 的值。
(22) 設 m∈R，若 x2+2mx+(4m−3)=0 無實根，求 m 的範圍。
(23) 設 k 為自然數，方程式 3x2+10x+k=0 的二根均為有理數，求 k 的值。
進階問題
(24) 設 a,b,c 為三角形的三邊長，若二次方程式(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)=0
有兩相等實根，試證明此三角形為正三角形。
(25) 令令= ，則，滿足滿3=1，1+ω+ω2=0，請利用這些性質，
求下列各式的值：
(a)(1+ω)(1+ω2)(1+ω3)(1+ω4)(1+ω5)
(b)1+ω+ω2+ω3+…+ω82
(c)(1−ω+ω2)(1−ω2+ω4)(1−ω4+ω8)(1−ω8+ω16)
(d)1−+−+…..−
(e)+++…+
(26) 利用代換法解下列各方程式：
(a)(x2+3x+1)2−5(x2+3x)−1=0
(b)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=168x2
[提示：(x2+7x+6)(x2+5x+6)−168x2=0⇒(x2+6+7x)(x2+6+5x)−168x2
⇒(x2+6)2+12x(x2+6)−133x2=0 ⇒(x2+6+19x)(x2+6−7x)=0]
(c)x2+ +4 =5(x−) [提示：令 t= x−，t2=x2+−2]
(27) 甲乙二人同解一個一元二次方程式，因甲誤寫一次項係數，乙誤寫常數項，
故甲乙二人所得的二根之絕對值之比各為 2：3 與 5：2，且甲之大根為，，乙
小根為，求原方程式。
(28) 設 x2−x+2=0 的兩根為的、、，x2−3x+4=0 的兩根為的、、，
求(α+β+γ)(β+γ+δ)(γ+δ+α)(δ+α+β)的值。
~2−4−17~

18. (29) 設 5x2−7x−1=0 的兩根為的、、，求以|α|、|β|之小數部分為根的方程式。
(30) 設二次方程式 x2+(m−1)x+m+1=0 有兩個整數根，則整數 m=？
(31) (a)求 5−12i 的二個平方根。
(b)再求複係數方程式 z2−2(1+i)z−5+14i=0
綜合練習解答
1. (a) i (b) − i (c) −1+i
2. (D)
3. (C)
4. (B)(D)
5. 3−2i 或或2i
6. (a)圓 (b)直線
7. −20
8. 11 [提示：可以令虛根為 ki，其中 k 為不等於 0 的實數，再代入
原方程式，求 k 的值。]
9.
10. x=0 或或
11. −12−2
12. i[注意：(+) 2 =19，因為 a<0 且 b<0，所以+= i(−i 不合)]
13. i
14. 2+3i 或或2−3i
15. ±[提示：(z 3 +) 2 =z 6 +2+=2，所以 z 3 + = ±]
16.
17. (a)x=或 (b)x=+1 或 2−1 (c) x=1−或或1+(d)x=−2 或 8
18. (a)k=±3[提示：令兩根為 2a,a，再利用根與係數的關係去求 a，
再求 k](b)k=±[提示：令兩根為提、、，已知， 2 +β 2 =5，用根與係
數的關係，求 k]
19.
20. x=±2 或或3 [提示：分成 x≥0，x≤0 兩種情形來討論方程式的解]
21. m=2 或或1
22. 1<m<3
23. k=3 或 7 或 8
24. 利用判別式=0，化簡成[(a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 ]=0，可得 a=b=c。
25. (a)2 (b) (c)16 (d)i (e)
26. (a)x=0 或 或 3 或 [ 提 示 ： 令 t=x 2 +3x ， 再 將 原 方 程 式 化 成
t 2 −3t=0⇒t=0 或 3，再解 x](b)x=1 或 6 或 (c)x=1±或
~2−4−18~

19. 27. 75x 2 − 175x+72=0
28. 112
29. 10x 2 −2(−5)x+(9−)=0
30. 7 或或1
31. (a)−3+2i ， 3−2i(b)−2+3i ， 4−i
[ 提 示 ： 方 程 式 配 方 得 x−(1+i)] 2 =5−14i+(1+i) 2 ， 進 一 步 化 成
[x−(1+i)] 2 =5−12i ， 由 (a) 可 知 x−(1+i)= −3+2i 或 3−2i ，
所以得知 x=−2+3i，4−i]
~2−4−19~