1. 高雄市立高雄高級中學高雄市立高雄高級中學高雄市立高雄高級中學高雄市立高雄高級中學 101101101101 年數學科教師甄選年數學科教師甄選年數學科教師甄選年數學科教師甄選
1.求行列式
tan50 tan 40 tan10
tan70 tan 20 tan50
tan80 tan10 tan70
° ° °
° ° ° =
° ° °
2.袋中有 16 個球，白、紅、黃、黑各有 4 個，任取 4 個球恰含有三個顏色的機率為。
3.設 0x > ，滿足[( 1)( 2)] 1 5x x x+ − = + ，求 x =
4.設 , Rα β ∈ ，求 2 2
(3cos 2sin 5) (2sin 3cos 5)α β α β− − + − + 的最小值
5.設 ( )f x 為二次多項式，滿足
1
( ) (1)
lim 7
1x
f x f
x→
−
=
−
，
1
0
17
( )
6
f x dx = −∫ ，
5
1
( ) 130
n
f n
=
=∑ ，求 '( 1)f − =
6.通過(1,2) 的直線與 1xy = 交在 A 、 B 兩點，求 AB 的最小值
7.給定數列 na< > ， n N∀ ∈ 滿足 0na > 。
1
n
n k
k
S a
=
= ∑ ，已知
1
4
2
n
k
n
k k
S
S
a=
=
+
∑ ， n N∀ ∈ 。求 50S =
8 證明 6
2 3 4 5 6 13
sin sin sin sin sin sin
13 13 13 13 13 13 2
π π π π π π
=
9.設
2 1
3 2
A
− 
=  
− 
，求 1 3 1 2 1
2( ) 11( ) 15( ) 4A A A I− − −
− + − =
10.四面體 ABCD，AB AC AD a= = = ，CB CD DB b= = = ，求歪斜線 AB、CD 間的距離(以 ,a b 表示)
11. 2 2
2
1
6
lim 3 2
n
n
k
n nk k
n→∞
=
 
− − = 
 
∑
12. 今為雄中人明為人中雄，此十字排成一列，問同字不相鄰的方法數
13. 方程式 2 3
1 1
a
x x
+ = 有三相異實根，求a 的範圍
14. 3 2
2010 2012 0x x x− + − = 的三根為 , ,a b c ，求
2
2
2
a a b a c
a b b b c
c a c b c
− + +
+ − + =
+ + −

2. 15. 解 ( ) ( ) ( ) 0
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
x y z a b c
a b x b c y c a z
a b x a b c y b c a z c
+ + = + +

− + − + − =
 + − + + − + + − =
16. 方程式 4 2 2
2 22 3(log ) 1 (log ) 0x k x k+ + − = 有 4 個相異實根，求 k 的範圍
17. 多項式deg ( ) 2010f x = ，
1
( ) , 1,2,3 2011f k k
k
= = ⋯ ，求 (2012)f =
18. 設 ,m h∈ℝ， 2
( ) 4( )x m y mh− = − 圖形沿著 y mx= 平移後產生一新圖形，兩個圖形交點為(5,3) ，
原圖形在此點的切線斜率為 1m ，新圖形為 2m ， 1 2 1m m+ = ，求m =
19.箱中有紅球白球各 4 顆，一次取 2 顆且取後不放回，當取出球中紅白數量一樣時停止，求取球次
數的期望值